Thực tiễn dạy học trong thời gian qua và việc áp dụng các giải pháp trên vào quá trình dạy học môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng, để việc giảng dạy có kết quả, tôi có một số k[r]
Trang 1BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ THÁNG 10
Người báo cáo: Trần Đình Phú
Tên chuyên đề: “Tính các đại lượng hình học bằng cách lập phương
trình trong dạy học Hình học 8 và Hình học 9”
A PHẦN MỞ ĐẦU
I Lý do chọn đề tài.
Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những người yêu thích toán học Đối với học sinh để có một vốn kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều và bền bỉ Đối với giáo viên làm thế nào để trang bị cho các em đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng đặt ra cho bản thân
Trong chương trình Hình học THCS, để giải quyết một bài toán hình học chúng ta có thể vận dụng nhiều phương pháp giải khác nhau Chúng ta biết là mục đích của việc dạy học toán ở trường phổ thông là làm sao bồi dưỡng cho học sinh cách suy nghĩ, tìm tòi làm phát triển tư duy nhận thức, tư duy sáng tạo
và năng lực vận dụng của học sinh và cần khuyến khích học sinh tư duy bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau Một trong những phương pháp đó là: Vận dụng phương pháp đại số để giải bài toán hình học
Để vận dụng được phương pháp đại số thì giáo viên giúp học sinh nhận biết những bài toán nào thì nên dùng phương pháp đại số và vận dụng như thế nào để linh hoạt biến tri thức đó thành tri thức của học sinh Đối với dạng toán tính toán các đại lượng hình học, có những bài toán nếu không biết kỹ năng biến đổi đại số, trong đó có việc lập phương trình, hệ phương trình thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiều khó khăn Bởi vậy khi dạy bộ môn Hình học (Hình 8, Hình 9), bản thân tôi rất quan tâm đến vấn đề này, mỗi khi có điều kiện để nêu ra cho học sinh, tôi đều không bỏ qua
Trang 2Xuất phát từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm
“Tính các đại lượng hình học bằng cách lập phương trình trong dạy học Hình học 8 và Hình học 9”
II Mục đích nghiên cứu.
- Giúp HS làm quen và giải quyết các bài tập hình học bằng phương pháp đại số theo các mức độ từ dễ đến khó
- Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học môn hình
- Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó giúp các
em hình thành phương pháp giải
- Rèn cho HS khả năng dự đoán, tính sáng tạo,giúp HS hoạt động tự giác,tích cực Rèn cho HS đồng đều hai mặt là tri thức toán học và hoạt động thể hiện ngôn ngữ toán học
III Phạm vi nghiên cứu.
Nội dung chương trình Hình học 8, 9 THCS
IV Đối tượng nghiên cứu.
Phương pháp tính các đại lượng hình học thông qua giải bài toán bằng cách lập phương trình
V Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu SGK, tài liệu tham khảo sau đó vận dụng vào hướng dẫn cho
HS từ đó rút ra những bài học kinh nghiệm
- Thường xuyên trao đổi với GV bộ môn nhằm tháo gỡ những khó khăn của đề tài
VI Dự báo đóng góp của đề tài.
Trang 3- Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã tìm hiểu và thấy được sự khó khăn của học sinh trong việc học môn hình học Học sinh luôn cho môn hình khó, làm cho học sinh ngày càng xa rời đối với môn học
- Đối với giáo viên khi hướng dẫn học sinh làm các dạng bài tập cũng như khi nghiên cứu các dạng bài tập chỉ đi sâu và coi trọng các dạng bài tập láp ghép công thức tạo ra sự nhàm chán cho học sinh Vì vậy khi gặp một số dạng bài tập cần vận dụng kiến thức đại số thì học sinh hết sức lúng túng
- Hệ thống bài tập từ dễ đến khó, bài tập được lấy từ các đề thi HSG, cho nên đề tài này tài liệu tham khảo để bồi dưỡng học sinh giỏi
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Cở sở lý luận.
Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học là một quá trình lâu dài, kiên nhẩn và phải có phương pháp
Trong chương trình toán THCS, Hình học - Đại số có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Phương pháp đại số có thể áp dụng vào để giải quyết những bài tập hình học khó, rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học như kĩ năng tính toán, vẽ hình, kĩ năng đo đạc, ước lượng đồng thời giúp học sinh hình thành
và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như Toán học hóa tình huống thực tế, phát hiện và xây dựng thuật giải,vận dụng toán học vào thực tiễn
Sử dụng phương pháp Đại số trong hình học có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa
Trang 4Rèn luyện những đức tính như : tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ cho HS
Hơn nữa “Phương pháp giáo dục phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của người học: Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” là một trong những định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học căn bản và toàn diện Nhất là dạy học Toán phải dạy cho học sinh năng lực phát hiện và giải toán Do đó, giáo viên phải rèn luyện, bồi dưỡng cho học sinh kĩ năng tự học độc lập, thực chất là thói quen độc lập suy nghĩ, suy nghĩ sâu sắc khoa học để có khả năng phân tích bài toán, có khả năng dự đoán và nhận định được bài toán này nên dùng phương pháp nào
2 Thực trạng trước khi thực hiện đề tài
Qua giảng dạy Toán 8 và 9 trong các năm qua, bồi dưỡng học sinh giỏi… Bản thân tôi nhận thấy phần Hình học có vai trò quan trọng trong các đề thi Bởi vì giải các bài tập hình học đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức hình học liên quan đã được học ở cấp THCS vào làm bài Trong chương trình SGK lớp 8, lớp 9 có rất nhiều bài toán hai chiều Hình học - Đại số nhằm hình thành và phát triển tư duy toán học cho HS, giúp các em hiểu rõ hơn vẻ đẹp của toán học Rèn cho HS khả năng dự đoán, tính sáng tạo trong giải toán Nhiều nhất có thể nói là các dạng bài tập về tính toán các đại lượng hình học (độ dài đoạn thẳng, tính diện tích v.v )
Sử dụng phương pháp đại số trong hình học giúp cho HS hiểu được mối liên hệ hình học - đại số, giúp cho các em có cái nhìn nhiều góc độ về bộ môn hình học Chính vì vậy tôi xin được hệ thống các dạng bài tập tính toán các đại lượng hình học sử dụng phương pháp đại số nhằm giúp HS đặc biệt là HS khá, giỏi làm quen và hiểu được phương pháp này một cách hiệu quả nhất
Trước khi thực hiện đề tài, có những thuận lợi và khó khăn sau:
a) Thuận lợi.
Trang 5- Hầu hết các giáo viên đều có trình độ đạt chuẩn và trên chuẩn, có kiến thức vững vàng, luôn trau dồi kiến thức chuyên môn, nghiệp vụ sư pham và luôn
có ý chí vươn lên
- Nhà trương có cơ sở vật chất tốt khan trang có phòng học dành cho bộ môn tốt thuận lợi cho việc triển khai giảng dạy môn học theo đúng yêu cầu và đặc thù của bộ môn
b) Khó khăn.
- Đại đa số các em xuất phát từ gia đình làm nông nghiệp nên gặp rất nhiều khó khăn về mặt thời gian học tập, nghiên cứu bài vở của các em
- Các em cũng chưa có ý thức tự rèn luyện bản thân tìm tòi các dạng tài liệu dể tham khảo
- Do tâm lý học sinh thường nghĩ các bài toán hình học thuộc loại khó Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập
- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân
- Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao
- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân
3 Nội dung nghiên cứu.
a) Cơ sở lý thuyết.
Trang 6- Phương pháp tiến hành
+ Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu thị các yếu tố hình học theo ẩn
+ Từ các mối quan hệ hình học lập phương trình hoặc hệ phương trình + Giải phương trình hoặc hệ phương trình, chọn giá trị thích hợp
- Một số kiến thức cơ bản
+ Công thức tính diện tích tam giác, hình thang, hình vuông, hình chữ nhật + Định lý Ta – lét, tam giác đồng dạng
+ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý Pitago
b) Các ví dụ minh họa.
Bài 1 Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh bằng 10cm, 17cm, 21cm.
* Phân tích tìm lời giải:
Đây là một bài toán dễ đối với những học sinh được bồi dưỡng học sinh giỏi khi lắp số liệu thuần túy vào công thức Hê – rông Vậy nếu không có công thức Hê – rông thì bài toán này được giải quyết như thế nào? Rõ ràng là từ công thức tính diện tích tam giác đã được học ở lớp 8, ta phải kẻ đường cao của tam giác Từ đó nảy sinh ra vấn đề là để tính diện tích tam giác, ta phải tính một số đại lượng trung gian
* Lời giải vắn tắt:
21cm
A
H
Xét ABC có AB = 10cm, AC = 17cm, BC = 21cm Kẻ AH BC Vì BC > AC
> AB nên B 90 ,0 C 900 H nằm giữa B và C
Đặt HC = x, HB = y Ta có: x + y = 21 (1)
Trang 7? 9 20
B
A
Ta lại có:
10
189 17
x y
Kết hợp (1) suy ra x – y = 9 (2)
Từ (1) và (2) x = 15, y = 6 Từ đó ta tính được AH = 8cm
Vậy
2 1
2
ABC
S AH BC cm
* Nhận xét:
Đối với học sinh khá, giỏi thì đây là bài toán đơn giản Nhưng có một vấn
đề là học sinh vẽ hình thường theo cảm tính Vẽ đường cao AH với H nằm giữa
B và C nhưng không hiểu tại sao H lại nằm giữa B và C
Sau đây là một số bài tập tương tự:
Bài 2 Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Biết AB = 20cm, HC
= 9cm Tính độ dài AH.
* Lời giải vắn tắt:
Đặt BH = x Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được:
AB 2 = BH BC hay 20 2 = x(x + 9).
Thu gọn ta được phương trình: x 2 + 9x – 400 = 0
Giải phương trình này ta được x 1 = 16; x 2 = –25 (loại)
Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm
* Nhận xét:
Thông thường đối với dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình,
ta thường đặt ẩn trực tiếp Nhưng trong bài toán này nếu ta đặt AH = x, từ các
mối liên hệ, ta đưa ra phương trình vô tỷ Việc gải phương trình vô tỷ đòi hỏi
Trang 82x
8cm
60
B
A
thời gian và kiến thức nhiều hơn Bởi vậy, trong bài toán này, để tính AH ta đặt
ẩn gián tiếp qua BH Khi đó ta đưa về phương trình bậc 2 một ẩn dễ giải hơn.
Tuy nhiên, có những bài toán đưa về phương trình vô tỷ, như bài tập 3
Bài 3 Cho tam giác ABC, B 600, BC = 8cm; AB + AC = 12cm Tính độ dài cạnh AB.
* Lời giải vắn tắt:
Kẻ AH BC Đặt AB = 2x Từ đó tính được BH = x và
AH = x 3; HC = 8 – x
Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H
Ta có: AC = x 328 x2
= 4x216x64
Do AB + AC = 12 nên 2x + 4x216x64 = 12
Giải PT trên ta được: x = 2,5
AB = 2.2,5 = 5cm
Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm.
Diện tích tam giác ABC = 10 3cm
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác Biết rằng AD =
1cm; BD = 10cm Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)
* Lời giải vắn tắt:
D C B
A
1cm
Trang 9Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm
Đặt BC = x, dùng Pitago tính được AC = x 2 9
Do AD = 1 nên DC = x 2 9 – 1
Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên :
BC DC hay 2
9 1
x x Từ đó ta được phương trình 8x 2 – 6x – 90 = 0
x 3
Sử dụng máy tính tìm được x = 3,75cm Vậy BC = 3,75cm.
Bài 5 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng
đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó
* Lời giải vắn tắt:
:
Kẻ AH CD; BK CD Đặt AH = AB = x HK = x
AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra: DH = CK =
10 2
x
Vậy HC = HK + CK = x +
10 2
x
=
10 2
x
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
Ta có: AH 2 = DH.CH hay
.
5x 2 = 100
Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = – 2 5(loại)
10cm
X
X
B A
Trang 102x 12 15,6
// //
K
B
A
A
/ /
//
//
6
9
N
B
Vậy: AH = 2 5
Bài 6 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài
15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC.
* Lời giải vắn tắt:
Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x
Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 15,62x2
Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được:
AC AH hay 2 2
15, 6 15,6
x
x
Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2
Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm).
Bài 7 Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường
trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm
* Lời giải vắn tắt:
Đặt AB = x; AN = y AC = 2y.
Trang 11Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền
ta được: BC = 2AM = 2.6 = 12 cm
Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A
Ta được: x 2 + 4y 2 = 144 (1) và x 2 + y 2 = 81 y 2 = 81 – x 2 (2)
Thay (2) vào (1) ta được phương trình : x 2 + 4( 81 – x 2 ) = 144
Thu gọn phương trình trên ta được phương trình: 3x 2 = 180
Nghiệm dương của phương trình: x = 2 5
Bài 8 Giả sử MNPQ là hình vuông nội tiếp tam giác ABC, với
;
MAB NAC và P Q BC; Tính cạnh hình vuông biết BC = a và đường cao
AH = h
* Lời giải vắn tắt:
I A
M
Q
N
P H
Gọi I là giao điểm của AH với MN Đặt cạnh hình vuông MNPQ là x(x>0).
Ta có:
1 2
AMN
2x h x
BMNC
S BC MN MQ a x x
;
1 2
ABC
S a h
Ta lại có: S ABC S AMN S BMNC nên
2a h2x h x 2x a x Hay: . ( )
ah
a h x a h x
a h
Vậy cạnh hình vuông MNPQ là
ah
a h
Trang 12K
Bài 8 Cho đường tròn (O), A là một điểm nằm ngoài (O), AO cắt đường
tròn tại I Biết AI = 7 , IB = 5 Tính độ dài AB?
I
* Phân tích tìm lời giải:
+Tính AB bằng cách đưa AB về cạnh một tam giác vuông
+ Vẽ tam giác vuông ABK, kẻ AH BK có thể biểu thị AB, BK theo KH từ đó dẫn đến việc chọn ẩn là KH
* Lời giải vắn tắt:
Đường vuông góc với AB tại A cắt BI tại K kẻ AHBK do OABC
I là điểm chính giữa BC BI là phân giác của B
Có KBA AKB 90 0
CBI BIO 90
Mà KBA CBI AKB BIO và BIO AIK AKB AIK AKI cân HK = IH
Đặt HK = HI = x (x > 0) BK = 2x + 5
Có AI = AK = 7
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông : AK 2 =KH.KB
7 22x 5 x
7
x TM
H
Trang 13 BK = 7 do AB 2 = KB 2 - AK 2 = 72 - 7 2
= 40 AB = 2 10
Nhận xét: Đây là bài tập mà tôi đã khai thác từ bài tập 48 SBT toán 9 -Tr134 Bài tập này nhằm giúp học sinh củng cố các hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính chất tiếp tuyến
Bài 9 Cho điểm B nằm giữa A và C sao cho AB = 14cm, BC = 28 cm Vẽ
về một phía của AC các nửa đường tròn tâm I, K, O có các đường kính theo thứ
tự AB, BC, AC Tính bán kính của đường tròn tâm M tiếp xúc ngoài với các nửa đường tròn tâm I, K và tiếp xúc trong với nửa đường tròn tâm O.
K
M
B D
* Phân tích tìm lời giải:
+ Có thể tính OA, OI, OK, IK.
+Từ hệ thức MO 2 - MI 2 = OH 2 - IH 2 và MK 2 - MI 2 = HK 2 - HI 2 dẫn đến việc
chọn bán kính của (M) và chọn IH là ẩn.
* Lời giải vắn tắt:
Gọi D là giao điểm của OM và đường tròn (O) Ta có:
OA = OD = OC = 2
AC
(cm)
OI = OA - IA = 21 - 7 = 14 ( cm )
OK = OC - KC = 21 - 14 = 7 ( cm )
IK = 14 + 7 = 21 ( cm )
Gọi bán kính của đường tròn (M) là x (x > 0 ) ta có :
IM = x + 7, MK = x +14, MO = OD - MD = 21 - x