TIỂU LUẬN môn TOÁN CAO cấp tính đạo hàm của các hàm sau tại những điểm mà hàm số xác định

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giảng viên - cô giáo Th.S Bùi Thị Khuyên đã dày công truyền đạt kiến thức và hướng dẫn chúng em trong quá trình làm bài.. Em đã cố gắng v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIA ĐỊNH KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

TIỂU LUẬN

MÔN:TOÁN CAO CẤP

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Bùi Thị Khuyến Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thành Phước

MSSV: 200811265 Lớp: K14DCTH06 Khóa: 14

TP HỒ CHÍ MINH NĂM 2021

LỜI MỞ ĐẦU

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Công Nghệ Thông Tin, trường Đại Học Gia Định đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng em học tập và hoàn thành đề tài này Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giảng viên - cô giáo Th.S Bùi Thị Khuyên đã dày công truyền đạt kiến thức và hướng dẫn chúng

em trong quá trình làm bài.

Em đã cố gắng vận dụng những kiến thức đã học được trong học kỳ qua để hoàn thành bài tiểu luận Nhưng do kiến thức hạn chế và không có nhiều kinh nghiệm thực tiễn nên khó tránh khỏi những thiếu sót trong quá trình làm và trình bày Rất kính mong sự góp ý của quý thầy cô để bài tiểu luận của em được hoàn thiện hơn

Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô

đã giúp đỡ em trong quá trình thực hiện bài tiểu luận này.

Xin trân trọng cảm ơn!

Mục Lục

CHƯƠNG 1: GIẢI BÀI TẬP MSSV: 200811265 (6+5)/2= 5,5

Câu 1(2đ) Tính đạo hàm của các hàm sau tại những điểm mà hàm số xác định:

1, (ln )

M

x

y= x

2, (arcsin )

x

y= x

3,

2

sin

2 x

y=

4,

arccos

y x

Mx

=

Giải :

Câu 1:

1, (ln )

M

x

y= x

y = (x>0)

 lny =

Đạo hàm 2 vế ta được

 = + =

=> y’ =

2 (arcsin )

x

y= x

y =

 lny = x.ln

Đạo hàm 2 vế ta được

 = ln

=> y’ =

3

2

sin

2 x

y=

y =

 lny =

Đạo hàm 2 vế ta được

 = =

=> y’ =

4,

arccos

y x

Mx

=

y=

y’ = 2x +

y’ = 2x +

Câu 2(1đ) Tính vi phân của các hàm sau.

1,

arctan

y

khi x tăng từ 1 đến 1.01

2,

x

y xe=

khi x giảm từ 0 đến -0.15

Giải:

1,

arctan

y

khi x tăng từ 1 đến 1.01

Ta có

2 2

1 5,5.

5,5 5,5 5,5 '

30, 25 5,5

1

x

x

+

+

Suy ra vi phân cần tìm

1

2 2

5,5 5,5 1419 (1) 1, 01 1

30, 25 x 25000

dy

+

2,

x

y xe=

khi x giảm từ 0 đến -0.15

Ta có dy= y dx' =(e x+xe dx x)

( ) 0

(0) x x .( 0,15 0) 0,15

x

Câu 3(2đ) Tìm cực trị của các hàm sau.

1,

2

1

y x= −x

2, y x M= − lnx

3, y=lnx−arctanx

4,

2

2

2 4 2

x t t

y t





= −



Giải:

TXD : -1

 y’ =

Xét y’ = 0







 2

 x =

-Xét x= thì f’(

+ f’’ ( < 0 nên hàm số đạt cực đại tại

-Xét x= thì f’(

+ f’’ ( > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại

• y = x – 5,5lnx (x>0)

y’= 1

-Xét y’ = 0

 1 - =0

 1 =

-Xét x= thì f’(

+ f’’ ( > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại

y’=

Xét y’ =0

 =0



 x =



Nhận thấy phương trình vô nghiệm

Nên suy ra hàm số không có cực trị

4,

2

2

2

x t t

y t





= −



2 '( )

(4 4) 2 2

dy tdt t

y x

dx t dt t

0 '( ) 0 0 0

2

2 2

x t

y t

=





Ta có

2

3

2 ' 2 2 (2 2) 1 ''( )

(4 4) (4 4) (2 2)

t

dt d

y x

dx t dt t dt t

−

Tại t=0

thì x=0

và

0 3

1 1 ''(0) 0 (2 2) t 8

y

t =

−

−

Nên x=0

là điểm cực tiểu của hàm số với giá trị cực tiểu là y CT = y(0)= −2

( ứng với

t = 0)

với giá trị cực tiểu y CT = −2

Câu 4 Khai triển Maclaurin của các hàm sau đến cấp 3.

1,

2

2x x

y e= −

2,

2

ln(5,5 )

y= +x

Giải:

1) Ap dụng khải triển

2 3

3

2! 3!

thì (2x x− 2) → 0

nên ta có

( ) ( )

2

2

2

3

2

3

x x

x x

x x

x x x x

y e x x x o x

−

−

−

2.Áp dụng khai triển

2 3

3

ln(1 ) ( )

2 3

x x

Ta có :

y = ln ( 5,5 + ) = ln = ln(5,5) + ln [1]

Do x→0

ì nên ta có

y = ln(5,5) + ln = ln11 – ln 2 + ln

Xét : ln = + o(

Câu 5(1đ) Tính các tích phân suy rộng sau.

1,

3 2

1

4 3

2

x

x x x

+∞ +

=

∫

2,

2 1

1 1

x x

+∞

=

+

∫

Giải

1,

3 2

1

4 3

2

x

x x x

+∞ +

=

∫

• Xét trên [1, +∞)

ta có x = 1 là điểm bất thường

Ta có

2

1 2

x x x x x x x x x

Với

4 3 4 3

2 ( 1)

x x x x x

thì :

Mà

2

2

1

7

(x− 1) dx

∫

Phân kì do α = >2 1

nên

2

1 3 2 1

4 3 2

x

x x x

+

=

∫

phân kì

Với

2 3 2

2

4 3 2

x

x x x

+∞ +

=

∫

Ta có khi x→ +∞ thì :

Mà

2 2

2

4

I dx

x

+∞

= ∫

Hội tụ do α = >2 1

Nên

2 3 2 2

4 3 2

x

x x x

+∞ +

=

∫

Hội tụ

Mà I = +I1 I2

trong đó I1 Phân kì I2 HT nên I phân kì

2,

2

1

1

1

x x

+∞

=

+

∫

Đầu tiên ta tìm một nguyên hàm của

1

x

x x = x x

Đặt

2 2 2

2 2

1

xdx tdt

t x t x

x t

=





Do đó

2

2

2

.( 1) ( 1)( 1) 2 1 1

ln 1 ln 1 ln ln ( )

Suy ra

1 2 1 lim ( ) (1) ln

2 2 1

x

I F x F L

→+∞

−

+

Với

2

2

1 1 1 1 lim ( ) lim ln ln1 0

2 1 1 2

x

L F x

x

→+∞ →+∞

Nên ta suy ra

1 2 1 1 2 1

ln ln

2 2 1 2 2 1

I = −L − = − −

Vậy Tích phân I hội tụ

Câu 6(1đ) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi xoay quanh Ox, Oy

1,

2 , 2, 0

y x y x= = + x≥

2,

2

4 , 0,

y= −x y= y x≥

Giải:

1,

2 , 2, 0

y x y x= = + x≥

Ta có miền D giới hạn bởi

2 , 2, 0

y x y x= = + x≥

là phần màu vàng như hình vẽ

Ta xét x≥0

thì y x= +2 cắt

2

y x= tại điểm A(2, 4)

Do x+ ≥ 2 x2 , ∀ ∈x [ ]0, 2

Nên ta có thể tích vật thể tròn xoay khi quay D quanh trục Ox là

0

184

Ox

V D = π  x+ − x dx= π x + x+ −x dx = π  + x + x− ÷ = π

(đvtt)

2,

2

4 , 0,

y= −x y= y x≥

Ta có miền D giới hạn bởi

2

4 , 0,

y= −x y= y x≥

là phần màu vàng như hình vẽ

Giao điểm của

2

4

y= −x

và y=x tại miền

0 0

x y

≥



 ≥



thỏa mãn

2

4

y= −x

trục

Ox, trục Oy Do đó miền

:

x D

− ≤ ≤







, và miền D2 giưới hạn bởi

2

4

y= −x

2

2

0 2 :

4

x D

x y x

 ≤ ≤







Do đó thể tích cần tìm

16 2 2 8 2 16

Ox

π

−

[2]

Câu 7(1đ) Một cửa hàng bán xe đạp bán được M xe mỗi tuần với giá 400 đôla/1 xe Người quản lý nhận thấy nếu mỗi lần cửa hàng giảm giá M đôla/1 xe thì sẽ bán thêm được 2 xe Biết giá vốn của mỗi xe là 200 đôla

a/ Nếu gọi x là số lần giảm giá, hãy tìm giá bán mỗi xe (p) và số lượng xe bán được (q) như 1 hàm theo x

c/ Hãy tính số lần giảm giá để tối đa lợi nhuận cho cửa hàng mỗi tuần? Tính lợi nhuận tối đa?

Giải :

Giá vốn xe :C = 200 đô la / 1 xe

a,Gọi x là số lần giảm giá :

+ Nên khi giảm x lần thì sẽ bán được Q= 5,5 + 2x (xe)

+ Giảm giá x lần thì giá xe bán là :

P = 400-x.5,5

Điều kiện :

P > 200 khi đó cửa hàng mới còn lợi nhuận ( giá vốn xe 200 đô la)

 400- 5,5x > 200

 x

Vậy số lần giảm giá là dưới 37 lần

b, / Tìm doanh thu (R), lợi nhuận (P) của cửa hàng tương ứng với số lần giảm giá -Hàm doanh thu theo tuần :

A = Q P

= (5,5 + 2x).( 400-x.5,5)

-Hàm lợi nhuận : B = A – C

= (5,5 + 2x).( 400-x.5,5) – 200 (5,5 + 2x) ( đv đô la)

c, / Hãy tính số lần giảm giá để tối đa lợi nhuận cho cửa hàng mỗi tuần? Tính lợi nhuận tối đa?

Xét hàm lợi nhuận:

B = (5,5 + 2x).( 400-x.5,5) – 200(5,5 + 2x)

Đặt B = f(x)

 f(x) = -11 + 369,75x + 1100

Ta có :

f’(x) = -22x + 369,75

xét : f’(x) =0

 -22x + 369,75 =0

=> x = 16,8

* f’’(34,98) = -22 <0

Nên suy ra x là điểm cực đại

Mà đề bài hỏi số lần nên x phải nguyên Vì x = 16,8 là cực đại nên lận cận

số nguyên với x=16,8 là 16 và17

+ Với x =16

+ Với x =17

Vậy hãy giảm 17 lần để tối ưu hóa lợi nhuận

Câu 8(1đ) Trong kinh tế có một số khái niệm : Thặng dư sản xuất, thặng dư tiêu dùng, hàm cầu, hàm cung, điểm hoà vốn Hãy giải thích rõ các khái niệm trên Dùng tích phân xác định để nêu cách tính thặng dư sản xuất, thặng dư tiêu dùng, điểm hoà vốn khi biết hàm cung, hàm cầu Dùng đồ thì để minh hoạ ( Các em có thể tham khảo nguồn trên mạng Internet nhưng phải có trích dẫn)

Giải:

người bán nhận được từ việc bán 1 lượng hàng hóa nhất định và tổng chi phí biến dổi để sản xuất số hàng hóa đó

Công thức trên biểu diễn phần diện tích giữa đường

 Thặng dư tiêu dùng (Consumer surplus) là: thước đo kinh tế về lợi ích của người tiêu dùng, xảy ra khi giá mà người tiêu dùng phải trả cho 1 sản phẩm, dịch vụ thấp hơn so với giá họ sẵn sàng trả

Công thức trên biểu diễn phần diện tích giữa đường

giữa lượng cầu và các yếu tố xác định cầu về 1 loại hàng hóa trong 1 khoảng thời gian nhất định

giữa lượng cung và các yếu tố xác định cung về 1 loại hàng hóa trong 1 khoảng thời gian nhất định

bằng với chi phí đã bỏ ra [3]

CHƯƠNG 2: KẾT LUẬN

• Kết quả đạt được

- Nâng cao khả năng tính đạo hàm, tính vi phân

- Nắm được các bước khi tìm cực trị

- Nắm được cách khai triển Maclaurin

- Nắm rõ về cách tính tích phân suy rộng, tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay

quanh Ox,Oy

- Tìm hiểu về doanh thu, lợi nhuận

- Tìm hiểu về Thặng dư sản xuất, thặng dư tiêu dùng, hàm cầu, hàm cung, điểm hoà

vốn

• Hướng phát triển

- Phát triển khả năng, tư duy tính toán

- Học hỏi được nhiều toán ứng dụng trong cuộc sống

TÀI LIỆU THAM KHẢO

dục 2006

27/07/2021

[3] Nguồn: