Vậy đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm của BC khi A thay đổi.[r]
Trang 1ĐÁP ÁN ĐỀ THI LEN LỚP 10 MÔN TOÁN NGHỆ AN
NĂM HỌC 2018 – 2019 Câu 1:
a) Ta có: 2 3 27 2 3 3 3 5 3 25.3 75
Do 75 > 74 nên 75 74 2 3 27 74
b) Biến đổi vế trái:
x 2 x 2
4
4
Vậy
4
c) Đồ thị hàm số y = 3x + m đi qua A(1; 2) suy ra:
3.1 + m = 2 m = 2 - 3 m = -1
Vậy với m = -1 thì đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(1; 2)
Câu 2:
a) Với m = -2, phương trình đã cho trở thành: x2 + 2x - 3 = 0
Ta thấy: a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình trên có hai nghiệm:
x1 = 1 và x2 = -3
b) Xét PT: x2 + 2x + m - 1 = 0 (*)
∆' = 12 - 1.(m - 1) = 1 - m + 1 = 2 - m
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khi ∆' > 0
hay 2 - m > 0 m < 2 (**)
Theo định lí Vi-ét:
Theo bài ra: x1 = 2x2 nên từ (1) suy ra: 2x2 + x2 = -2 3x2 = -2 x2 =
2 3
Suy ra: x1 = 2
2 3
=
4 3
Thay x1 =
2 3
và x2 =
4 3
vào (2) ta được:
2 3
4 3
= m - 1
(thỏa mãn điều kiện (**) Vậy ……
Câu 3: Gọi x là số quyển sách mỗi HS khối 8 quyên góp, y là số quyển sách mỗi HS
khối 9 quyên góp (x, y N*)
Số sách HS khối 8 quyên góp được là: 120x (quyển)
Số sách HS khối 9 quyên góp được là: 100y (quyển)
Do tổng số sách cả hai khối quyên góp được là 540 nên ta có PT:
120x + 100y = 540 6x + 5y = 27 (1)
Trang 2Mặt khác, mỗi HS khối 9 quyên góp nhiều hơn mỗi HS khối 8 một quyển nên ta có phương trình: y - x = 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ PT:
6x 5y 27
y x 1
Giải hệ trên ta được:
x 2
y 3
(thỏa mãn điều kiện) Vậy: số quyển sách khối 8 quyên góp được là: 2.120 = 240 quyển
số quyển sách khối 9 quyên góp được là 3.100 = 300 quyển
Câu 4:
a) BE AC và CF AB (GT)
BEC 90
và BFC 90 0
BEC BFC 90
, mà E và F thuộc cùng
một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC
nên tứ giác BCEF nội tiếp
b) Tứ giác BCEF nội tiếp (theo câu a) nên
KFB KCE (cùng bù BFE)
∆KFB ∆KCE∽
KE.KF KB.KC (1)
Tứ giác AMBC nội tiếp đường tròn (O) nên KMB KCA (cùng bù AMB)
∆KMB ∆KCA∽
Từ (1) và (2) suy ra: KM.KA = KE.KF (đpcm)
c) Gọi giao điểm của đường thẳng MH với BC và (O) lần lượt là I và N
Vì KM.KA = KE.KF (theo câu b) nên
∆KMF ∆KEA (c.g.c) ∽
Tứ giác AEHF có AEH AFH 180 0 nên là tứ giác nội tiếp (4)
Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm A, E, H, F, M cùng thuộc một đường tròn
AMH AFH 90 0 AMN 90 0
AN là đường kính của (O)
ACN 90 0 NC AC, kết hợp với BH AC NC // BH (*)
ABN 90 NB AB , kết hớp với CH AB NB // CH (**)
Từ (*) và (**) suy ra tứ giác BHCN là hình bình hành
Suy ra hai đường chéo HN và BC cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đường
Do BC cố định nên trung điểm I của nó cũng cố định
I O
N
F H M
K
E
C B
A
Trang 3Vậy đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định (là trung điểm của BC) khi A thay đổi
Câu 5: Điều kiện:
2
Xét PT (1):
(1) 2x2 - 2xy + x - y = 0 2x(x - y) + (x - y) = 0
(x - y)(2x + 1) = 0
x y 1
2
* Với x =
1 2
, thay vào (2) ta được
2
giải ra được y = 0 hoặc y =
1 2
* Với x = y, PT (2) trở thành
2
Suy ra x = y = 0
Vậy tập nghiệm của hệ PT là: 1;0 ; 1 1; ; 0;0