• Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu là Ou , tia cuối là Ov.. Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đế[r]
Trang 1
LƯỢNG GIÁC
CHUYEN DE 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
§I1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A TOM TAT LY THUYET
1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ đài cung tròn
a) Don vi radian: Cung tron co d6 dai bang ban kính gọi là cung có sô đo | radian, goi tat là cung | rađian Góc ở tâm chăn cung | radian gọi là góc có sô đo | radian, goi tat la goc 1 radian
1 radian còn viét tat la 1 rad
Vi tinh thong dung cua don vi radian nguoi ta thuong khong viét radian hay rad sau sO do cua cung va goc
b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:
Cung tròn bán kính # có số đo œ 0 <œ <2z ,có số đo ø)” 0<a < 360 và có độ dài là ¡ thì:
l= Ra =——.R 180 do dé © = x 180
180
7L
0
Đặc biệt: 1rad — 1 = rad 180
2 Góc và cung lượng giác
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm)
b) Khái niệm góc cung lượng øiác và số đo của chúng
Cho đường tròn định hướng tâm O va hai tia Ou, Ov lần lượt cắt đường
tròn tại và W Tia m cắt đường tròn tại ÄZ, tia Om chuyển động
theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm Ä/ cũng
chuyển động theo một chiều trên đường tròn
e Tia Om chuyén động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia
Ov thi ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giúc tia dau
la Ou, tia cudi la Ov Kíhiệu Ou,O0
e Diém M chuyén dong theo một từ điểm U dén tring véi diém
V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng gidc diém
b đâu U, điểm cuối V Kí hiệu là UV
e Tia Om quay ding mét vong theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2z), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 720 (hay 4z), quay theo chiều âm một phân tư vòng
ta nói nó quay góc —90°(hay — 5 ), quay theo chiêu âm ba vòng bôn phân bảy( 7 vong) thi ndi
nó quay góc —Ế 300" (hay =)
b e_ Ta coi số đo của góc lượng giác Ou,Oo_ là số đo của cung lượng giác UV
c) Hệ thức Sa-lơ
e V06i batia Ou, Ov, Ow tiy y ta cod:
Sd Ou,Ov + Sd Ov,Ow = Sd Ou,Ow +h27 Kk EZ
Sd Ou,Ov — Sd Ou,Ow = Sd Ow,Ov +h2r kez
Trang 1/13
Trang 2b
Với ba điểm tùy ý U,V,WW trên đường tròn định hướng ta có :
SdUV+SdVW =SdUW+ k2r k € Z
S—đUWV-—S5đUW =SŠđWV-+k2m k € Z
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Góc có sô đo 108” đôi ra radian là
Loi giai Chon A
Cách 1: áp dụng công thức đổi d6 ra rad a = a0"
Cach 2:
= tương ứng 108°
7
— tương ứng 18" 10 g ung
2 tương ứng 270”
1 tuong ung 45°
Biêt một sô đo của góc (Ox, Oy) = > + 2001Z Giá trỊ tông quát của góc (Ox, Oy) la
Loi giai Chon A
Góc có sô đo = đôi sang độ là
Loi giai Chon C
Ap dụng công thức đôi rad sang độ ø =
1
Góc có số đo g đồi sang độ là
Loi giai Chon C
Ap dụng công thức đôi rad sang độ ø =
1
n= 2 189 _ a9, 9 2
Cho (Ox, Oy) = 22°30'+ k360° Voi k bang bao nhiêu thi (Ox, Oy) = 1822°30'?
Loi giai
Trang 3Câu 6:
Câu 7:
Câu 8:
Câu 9:
Câu 10:
Câu 11:
Câu 12:
Chọn D
(Ox, Oy) = 1822°30' = 22°30'+5.360° >k=5
Góc có số đo a đổi sang độ là
Lòi giải Chọn B
áp dụng công thức đồi rad sang độ ø = 180
7
n= 2 189" 7 59 7°30", 24 2
Góc có số đo 120° đổi sang rađian là góc
Loi giai Chon D
120° = 120”.z _2Z
180° 3
Số đo góc 22°30' đổi sang rađian là:
Loi giai Chon A
99°39" = 22 30 z _Z
180° 8 Đổi số đo góc 105° sang rađian băng
Loi giai Chon B
105° _ 105 I _ 1
180° 12 Giá tri k dé cung a= 21 k2z thỏa mãn l1ÖZz< œ <]1Z là
Loi giai Chon D
10Z <ø <11z € 10 << +k.2Z <1lz €=S—<k2z < ey <k<7ek=o
Cho hình vuông ABŒD có tâm Ø và một trục (1) đi qua Ó Xác định số đo của các góc giữa tia ÓÁ với trục (J ) , biét truc (J ) đi qua đỉnh A của hình vuông
A 180° + k360° B 90° + k360° C.—90° + k360° D k360°
Loi giai Chon D
Vi truc (J ) đi qua đỉnh A và tâm của hình vuông nên trục (I ) =ÓA nên số đo của các góc
giữa tia ÓA với trục (Ï) băng 0°+ &360° =k360°
Trang 3/13
Trang 4Cau 13:
Cau 14:
Cau 15:
Cau 16:
Cau 17:
Cau 18:
Một đường tròn có bán kính R =—cm Tim độ dài của cung 2 trên đường tròn
Z
2
Lòi giải
Chọn B
Độ dài của cung 2 ad = 907 trên đường tròn được tính băng công thức:
Ta pe 180° 180 o0 19 _m, z
Một đường tròn có bán kính ® =10cm Độ dài cung 40° trên đường tròn gần băng:
Lời giải Chọn A
Độ dài của cung 40° trên đường tròn được tính bằng công thức: 7 s 5 R= Tag 40210 ~7em
Góc 18° có số đo bằng rađian là
Loi giai Chon B
Taco: 1° =—~rad > 18° = 18 rad = rad
180 10
Góc 7 có số đo bằng độ là:
Loi giai Chon C
Ta có: lrad = (=) —> 7 tad = (=| =10°
Một đường tròn có bán kính20cm Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo Ts (tính
sân đúng đến hàng phần trăm)
Loi giai
Chon B
Độ dài của cung pg rad = 127 trên đường tròn được tính bằng công thức:
oO
Z5!“ R=- —.12.20x4.18em 180” 180
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm
B Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá 27
C Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0;2Z]
D Số đo của một cung lượng giác là một số thực
Trang 5Câu 19:
Cau 20:
Cau 21:
Cau 22:
Cau 23:
Cau 24:
Chon C
Chọn điểm A(1;0)làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Tìm điểm
25 cuối #⁄ của cung lượng giác có số đo =
A M là điểm chính giữa của cung phan tu thir I
B M 1a diém chinh gitta ca cung phan tu tht II
C Ä⁄ là điềm chính giữa của cung phần tư thứ II
D ⁄ là điểm chính giữa của cung phân tư thứTV
Lời giải Chọn A
Theo giả thiết ta có: AM = 7 a7 67, suy ra điêm ⁄ là điêm chính giữa của cung phân
tư thứ I
Một đường tròn có bán kính 15 em Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 307 là :
Loi giai Chon B
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có Ï= Ra = T80 nên
Ta có J==.R=“—~ 73) 15-2,
Cho đường tròn có bán kính 6 em Tìm số đo (rad ) của cung có độ dài là 3cm:
Lời giải Chọn A
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có Ï= Ra = T80 ® nên
Ta có x=+=Š=05,
, 3 2, L ae Góc có sô đo =r được đôi sang sô đo độ là :
Lời giải
Chọn C
Lời giải
Vi trad =( 182) nen 23% = {23% 180) _(=135) 33.750 = 33°45", 7 l6 (16 z 4
Số đo radian của góc 30°là :
Lời giải
Chọn A
Vì ° =-^—rad nên 309 =30.-——=Z, 180 180 6
Số đo độ của góc 7 là:
Trang 5/13
Trang 6Câu 25:
Câu 26:
Câu 27:
Cau 28:
Cau 29:
Cau 30:
Cau 31:
Loi giai Chon D
Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của góc 1 là 45”
Số đo radian của góc 270° 12:
Chon B
Theo công thức đôi đơn vị sô đo radian của góc 270” là >
Góc 63°48' bằng (với z =3,1416 )
Lời giải Chọn A
Theo công thức đôi đơn vỊ, ta có sô đo cung đã cho có sô đo băng —.# =].114radial, với
Z ~ 3,1416
Cung tròn bán kính băng 8,43 em có số đo 3,85rad có độ dài là:
Loi giai Chon D
Theo công thức tinh độ dài cung ta có độ dài cung có số do 3,85rad là
¡ = R.øư =8,43.3,85 = 32,4555 cm Lam tròn kết quả thu được ta có đáp án là D
Xét góc lượng giác (OA; OM ) =a, trong do M là điểm không làm trên các trục tọa độ Óx và
Oy Khi đó #⁄ thuộc góc phần tư nào để sing va cos@ cing dau
A I và (H) B I và (II) C I và (IV) D (II) va (Hl)
Chon B
Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác
Cho q@ là góc tù Điêu khăng định nào sau đây đúng?
A.sina <Q B.cosa>0O C tana <0 D.cotz >0
Lời giải
Chon C
Vì ø là góc tù, nên sinø >0, cosz <0 > tanøz<0
Cho bôn cung (trên một đường tròn định hướng): a=-72, pao ya, == Các cung nào có điểm cuối trùng nhau:
Loi giai
Chon B
= vay; a va 8 la cac cp géc luong gidc co diém cudi tring nhau
Cho a=2+k2a (k eZ) Dé ae (19;27) thi gid tri cua k là
Trang 7Câu 32:
Câu 33:
Câu 34:
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
k=2 a= ¢(19,27); k=3= a= (19:27); k=4 a= £(19:27);
k=5 >a== ¢(19;27)
Cach 2:
I9<<+k2z (keZ)<27 ©k={3;4}
Cho góc lượng giác (OA, OB) có số đo băng = Hỏi trong các số sau, số nào là số đo của một
góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác (ÓA,OB) ?
Loi giai
Chon D
OT _
„3z _ 4Z
,3lt_T ie
Loi giai
Chon D
Cung # có mút đầu là A và mút cuối là A⁄ theo chiều dương có số đo là or k2z nên loại A,C
Cung @ c6 mút đầu là A và mút cuối là ⁄ theo chiều âm có số đo là = và chỉ có duy nhất mot diém M trên đường tròn lượng giác nên loại B
Cho hình vuông ABCD cé tam O va truc (i) đi qua Ó Xác định số đo góc giữa tia ÓA với
trục (¡) biết trục (i) đi qua trung điểm 7 của cạnh Aÿ
A.45° +k360° B.95° + k360° C.135° + k360° D.155° +k360°
Trang 7/13
Trang 8Câu 35:
Câu 36:
Câu 37:
Chon A
(7)
AOB=90° va OA=OB
Tam giác AOB vuong can tai O
(i) di qua trung điểm của À nên (¡).L AB
= (i) là đường phân giác của gĩc AĨB nên (240) = 45°,
Một bánh xe cĩ 72 răng Số đo gĩc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
Loi giai Chon C
oO
72
Một bánh xe cĩ 72 răng nên Ï răng tương ứng =5°
Khi di chuyển được 10 răng là 10.5° =50°
Tìm khăng định sai:
A Voi ba tia Ou, Ov, Ow, ta cd: sd(Ou, Ov) +sd (Ov, Ow) = sd(Ou, Ow) —2kz,k € Z
B Với ba điểm U,V,W trên đường trịn định hướng: sd UV+ sdVW =sd Uw+ 2kr, k eZ
C Vdi ba tia Ou, Ov, Ox, ta cé: sd (Ou, Ov) = sd (Ox, Ov) —sd (Ox, Ou) +2ka,k EZ
D Voi ba tia Ou, Ov, Ow, ta cĩ: sd(Ov, Ou)+sd(Ov, Ow) = sd(Ou, Ow)+ Q2ka,k EZ
Loi giai Chon D
Str dung hé thie Sa-lo’ vé s6 do cua goc luong gidc thi ba khăng định ở câu A, B, C đều đúng
Trên đường trịn lượng giác gốc A cho các cung cĩ số đo:
77
I) -—
(H) -—
137
II) —
(Il) =
Sa
(IV) TT
Hỏi các cung nảo cĩ điểm cuối trùng nhau?
A Chi (I) va (II) B Chi (I), (II) va (III)
C Chí (H), (HI) và (IV) D Chi (I), (II) va (IV)
Chon A
Trang 9Cau 38:
Cau 39:
Cau 40:
Cau 41:
Ta có: Fag: 12 _ 32 2m; 27 31 oy
Suy ra chỉ có hai cung 1 Và — 77 có điêm cuôi trùng nhau
Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gin may bang 6,5 cm (lay
Z =3,1416 )
A 22054 cm B 22063 cm C 22054 mm D 22044 cm
Loi giai Chon A
Lời giải Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có Ï= Ra = T80 ® nên
Trong 3 phút bánh xe quay được 60.180 = 540 vong, bánh xe lăn được:
¡ =6,5.540.2z ~ 6,5.540.2.3,1416 (cm) ~ 22054 (cm)
Trong mặt phăng định hướng cho tia Óx và hình vuông ABC vẽ theo chiều ngược với chiều
quay của kim đồng hỗ, biết sđ(Óx, OA) = 30° +k360°,k €Z Khi do sd (OA, AC) bang:
A 120° +k360°,k €Z B -45° + k360°",k eZ
C 45° +k360°,k eZ D 90° + k360°,k EZ
Loi giai Chon B
Tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ trùng tia AC nên góc
sd (OA, AC) =-45°+k360',keZ
Trong mặt phắng định hướng cho ba tia Ou, Ov,Ox Xét cdc hé thire sau:
(I) sd (Ou, Ov) = sd (Ou, Ox) + sd (Ox, Ov) +k27,k eZ
(II) sd (Ou, Ov) = sd (Ox, Ov) + sd (Ox, Ou) +k27,k EZ
(III) sd (Ou, Ov) = sd (Ov, Ox) + sd (Ox, Ou) +k27,keZ
Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:
A Chi (I) B Chi (II) C Chi (Il) D Chi (I) va (I)
Loi giai Chon A
Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia thy y Ou, Ov, Óx, ta có
sd(Ou, Ov) + sd(Ov, Ox) =sd(Ou,Ox)+k2a (keZ)
Góc lượng giác có số đo œ (rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số
đo dạng :
A œ+k180° (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k)
B œ+k360” (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một gia tri cua k )
Œ œ+k2Z(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một gid tri cua k)
D œz+#Z(k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k)
Lời giải Chọn C
Nếu một góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo @ radian thi moi góc lượng giác cùng tia dau Ou ,
tia cudi Ov co s6 do a@+2ka, keEZ, mdi gdc tương ứng với một giá trị của & Các cung
Trang 9/13
Trang 10Câu 42:
Câu 43:
Câu 44:
Câu 45:
Cau 46:
Cau 47:
lượng giác tương ứng trên dudng tron dinh huong tam O cũng có tính chất như vậy Tương tự
cho don vi độ
Cho hai góc lượng giác có sổ (0x,0u)=~ + mdz, meZ va sd(Ox,Ov)=—F+n2z,
néZ Khang dinh nao sau day dung?
A Ou và v trùng nhau B Ou va Ov d6i nhau
C Ou va Ov vuông góc D Tạo với nhau một góc T
Lời giải Chọn A
Ta cóisd(O,Ow)=—^” + m2z =—^ —2z + m2z =—E +(m— 1)2z mec 7
Vay n=m-—1 do d6 Ou va Ov tring nhau
Nếu góc lượng giác có sđ (Ox, Oz) = <> thi hai tia Ox va Oz
C Tạo với nhau một góc bằng = D Đối nhau
Lời giải Chọn B
Ta có sd (Ox, Oz) = <= = x7 " = a 327 nên hai tia Ox va Oz vuông góc
Cho hai góc lượng giác có sđ(Ox, Ou) = 45” + m360°,m e Z và
sd(Ox, Ov) = —135° +n360°,n eZ Tacé hai tia Ou va Ov
A Tạo với nhau góc 45” B Trùng nhau
Lời giải Chon C
(Ox, Ov) =-135° +1360° = 225° +1360" = 45° +180° +1360° (ne Z)
Vay, Taco hai tia Ou va Ov déi nhau
Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đên 3 giờ thì kim giây đông hô sẽ quay được sô vòng băng:
Loi giai Chon B
Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ)
Kim phút quay 9.60=540 vòng
Kim giây 540.60 = 32400 vòng
Góc có số đo 120° được đổi sang số đo rad là :
Lòi giải
Chọn D
120z _ 2Z
180 3
cA z 7 2 A ` 137 ` Z 2 A 2 A, qs
Biết góc lượng giác @ cé s6 đo là — thì góc (Ou, Ov) có sô đo dương nhỏ nhật là:
Lòi giải
Chọn A