Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn... hệ phương trình bậc hai hai ẩn số .[r]
Trang 1C” hương _ PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
$5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬU0 NHẤT NHIÊU ẨN
HE PHUONG TRINH BAC NHAT HAI AN:
® Định nghĩa:
a,x+b,y=c, (1)
Hệ phương trình bậc nhất 2 ấn x và là hệ có dạng (0): VỚI
a,x+b,y=c, (2)
a, +b; #0
a; +b; #0
Cap s6 (x,;y,) déng thoi thoa ca 2 phuong trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ
®_ Công thức nghiệm: Quy tắc Crame
Ky higu: D=|" | "|=a,b,-a,b,, D, =|" ,'|=c,b,-c,b,, D, =|" "|=a,c, -4,¢,
A, 2 Cy b, A, 2
Dz0 He co nghiem duy nhat x=—~, y=
D, z0 hoặc D z0 Hệ vô nghiệm
D,=D,=0 Hệ có vô số nghiệm
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai an ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thê, phương pháp cộng đại sô
® Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm (x;) của hệ (7) là toa dé diém M(x;y) thuộc cả 2 đường thăng:
(d,):a,x+b,y=c, va (d,):a,x+b,y=c,
e«_ Hệ (I) có nghiệm duy nhất = (d,) va (d,) cat nhau
se Hệ (ï) vô nghiệm = (d,) va (đ,) song song với nhau
«_ Hệ (I) có vô số nghiệm © (đ,) và (đ,) trùng nhau
a, 0b, a, b, Cc, a, b, Cc,
Nghiệm duy nhất Vô nghiệm Vô số nghiệm
Trang 1/15
Trang 2
ax+by+c,z=d,
Hệ có dang: 4a,x+b,y+c,z=d,- Mot nghiém của hệ là bộ 3 86 (x,;y,;z,) thda ca 3
a,x +b,y +¢,z=d,
phương trình của hệ Nguyên tắc chung dé giải các hệ phương trình nhiều ân là khử bớt
an đê đưa vê các phương trình hay hệ phương trình có sô ân ít hơn Đê khử bớt ân, ta cũng có thê dùng các phương pháp cộng đại sô, phương pháp thê như đôi với hệ phương
$6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬ0 HAI HAI ẨN SỐ
HỆ GÔM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
dx? texy+ fy? +exthy =i (2)
Phương pháp giai: Tu phuong trinh bac nhat (1), rat x theo y (hoac y theo x) va thé
vào phương trình còn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐÔI XÚNG LOẠI I
Dấu hiệu nhân dang: Khi thay đổi vị trí x và cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự
các phương trình cũng không thay đổi
Phương pháp giải: Biến đồi về dạng tổng và tích 2 biến
Dat S=x+y, P=xy
Giải hệ với ân 5, P với điều kiện có nghiệm (x;y) 1a S? >4P
Tìm nghiệm (x;/) băng cách thế vào phương trình X? -SX+P=0
Một số biến đổi để đưa về dạng tổng — tích thường gặp:
° + “+ =(x+y) —2xy =S? —2P 0 ty? =(x+y) —3xy(x + y)=S° -3SP
o (x-y)y =(x+y) —4xy =S* —4P °
+* +” =(A) +2} -2x?w?)=S°-4S°P+ 2P”
° “+ °+x 2ˆ =(x)-xu+ )(+xu+ )=
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐÔI XÚNG LOẠI II
Dấu hiệu nhân dạng: Khi thay đổi vị trí x và cho nhau thì hệ phương trình không thay
đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia)
Phương pháp giai: Lay về trừ về và phân tích thành nhân tứ, lúc nào cũng đưa được về dạng (x-1/).ƒ(x) =0, tức luôn có x=
Lưu ý: Đối với hệ đôi xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp
HE PHUONG TRINH DANG CAP BAC HAI
ax? +b,xy+c,y° =d, (i
a,x’ +b,xy+c,y° =d,
d,(a,x° +b,xy+c,y*) =d,.d, (1) d,(a,x° + b,xy +c,y°)=4d,.d, (2)
Lay (1)-(2)> (ad, —a,d,)-x° +(b,d, —b,d,)-xy + (c,d, —c,d,)-y’ =0 Day 1a phuong trinh dang
cap bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ +, y
Dang tong quat: |
Trang 2/15
Trang 3
* Lưu ý: Dạng Fin(X7Y) =a
F0cy) = 09)
m,n, k thoa man m+n=k Khi do ta sé str dung k¥ thuat déng bac dé gidi Tuc bién déi hé
vol fy), fry), fy) la cac biểu thức đắng cấp bậc
Cau 1
Cau 2
Cau 3
Cau 4
Cau 5
eit => f(xy): f,acy)=af,(x;y) va đây là phương trình đăng cap bậc
ñ- ƒ,(X;1)=- ƒ,(X;U)
k
2x+y=l
Nghiệm của hệ: V2xty=1 L
3x+V2y =2
Lời giải
Chon C
Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm (x;y): 4x+6y=10
Lời giải
Chọn A
Ta có : 4x+6y= 10 ©2x+3y =5 Vậy phương trình có vô số nghiệm
3x+4y=l 2x-5y=3
Lời giải
Tìm nghiêm cua hê phương trinh:
Chọn A
_3 2x5 -Ị ax-fey-Z
Ta có: y=
0,3x—0,2y—0,33=0 1,2x+0,4y—0,6=0
A (-0.7:0,6) B (0,6;—0,7) C (0.7:—0,6) D Vô nghiệm
Lời giải
Tìm nghiệm (x; y) cua hé :
Chon C
Taco: a =12x10,4 -0,6=0 >x=0,7 = y=-0,6
Hệ phương trình: có bao nhiêu nghiệm ?
3x+6y=3
Lời giải
A 0
Chon D
Trang 4Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
1 2 1 Taco: -=—=-—
3 6 3
—> Hệ phương trình có vô số nghiệm
2x+y=4
Hệ phương trình : + x+2z = + 2A2 có nghiệm là?
y+z=2+42
Lồi giải Chon D
Ta có : Thể y=4—2x vào phương trình y+z= 2+2 ta được -2x+z=—2+42
~2x+z=-2+W2 Giải hệ * Ý2 durgc x=l:z=2 => y=2
x+2z=I+242
2 4,2 — 16 7
Cho hé phuong trinh ‘ y gS Dé giai hé phuong trinh nay ta dùng cách nào sau day ?
x+y=
A Thay y=8§—x vào phương trình thứ nhất B Đặt § =x+ y,P=xy
C Trừ về theo về D Một phương pháp khác
Lời giải Chọn A
Hệ gôm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai nên ta rút một ấn từ phương
trình bậc nhât thê vào phương trình bậc hai
Hệ phương trình {! ợ xy có nghiệm là :
C.(15; 6).(—6:—15) D (15:6).(6:15).(—15:—6).(—6:—15)
Lời giải
Chon C
Tacé: y=x-9 > x(x-9)=90 = x -9x-90=0 = x=15;x=-6
x=15> y=6
x=-6> y=-15
(V2 +1)x+ y= 2-1 là:
2x-(ý2-1]y=2x2
Lời giải
Nghiệm của hệ phương mi
Chon D
Tacé: y=V2-1-(y2+1)x = 2x—(V2-1)(v2-1-(V2+1)x) =2v2
=>=x=l>y=-2
Tìm điêu kiện của tham sô m đê hệ phương trình sau có đúng một nghiệm: >
—mx+3y=m—4
A m#3 hay m#-3 B m#3 va m#-3
Trang 5Cau 11
Cau 12
Cau 13
Cau 14
Loi giai Chon B
3 —m
Tass: D-| =9-m
—m 3 Phuong trinh cé dung mét nghiém khi D4#O GO m#33
Với giá trị nào của m thì hai đường thăng sau tring nhau (d,): (m? -1)x- y+2m+5=0 và (đ,):3x—y+1=0
A m=-2 B m=2 C m=2 hay m=-2 D Khong co gia tri m
Loi giai
Chon A
2
Ta có : Hai đường thắng đ, và đ, trùng nhau khi = = -1_„ 2m13
—] 1
a>
2m+5=1 m=—2
p có nghiệm , điều kiện cần và đủ là : x.y=
A S“—P<0 B S”—-P>0 C S”—-4P<0 D S“—-4P>0
Lời giải
Đê hệ phương trình : |
Chon D
Ta có : x, y là nghiệm phương trình X*—SX +P=0
Hệ phương trình có nghiệm khi A= S“ˆ—4P>0
Hệ phương trình
x y+xy* =30
A có 2 nghiệm (2;3) và (135) B có 2 nghiệm (2;I) và (3;5)
C có 1 nghiệm là (5;6) D có 4 nghiệm (2;3).(3;2) (1:5) (5: 1)
Lời giải
Chon D
Dat S=x+y,P=xy (S*-4P2>0)
P=II
S+
Hệ phương trình tương đương —=5(I1I-S)=30 >-—S” +11 -30 =0
P=30
>S$=5;S =6
Khi S =5 thì P=6 suy ra hệ có nghiệm (2;3).(3;2)
Khi § =6 thì P=5 suy ra hệ có nghiệm (1;5),(5;1)
2 4 2 =]
Hệ phương trình ( y có đúng I nghiệm khi và chỉ khi :
y=x+m
A m=A2 B m=—N2 C m=NV2 hoac m=—A|2 D m tùy ý
Lời giải Chon C
Ta có : x° +(x+m) =1 2x? +2mx+m’ -1=0 (*)
Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm
—=A'=m°~2m?+2=0<>zm= +22
Trang 6Câu 15
Câu 16
Câu 17
Câu 18
Câu 19
2(x+y)+3(x-y)=4
(x+y)+2(x-y)=5
A 1,13 B I 3]
Có nghiệm là
C (2.3)
2 2
Hệ phương trình :
Lời giải Chọn B
Dat u=x+y,v=x-y
„ |2w+3v=4
Ta có hệ =>2(5-2y)+3v=4 >v=6 >u=-7
ut+2v=5
=> > = y¢x-6=—Jox toy 8
` ` |x-l|+y=0 , oa
Hé phuong trinh: có nghiệm 1a ?
2x-y=5
A x=-3;y=2 B x=2;y=-l Œ x=4;y=-—3 D x=-4;y =3
Lời giải Chọn B
x—l=5-2x
Ta có : |x-l|+2x-5=0 ©5-2x>0“ <©x=2 —>y=-]
x—l=-5+2x
Phương trình sau có nghiệm duy nhât với giá trị của m là :
x+(m+2)y=m+3
C m#1 hoac m#-3 D m4#1 va m#-3
Loi giai Chon D
Ta có : D=m(m+2)—3= m +2m—3
Phương trình có nghiệm duy nhất khi D0 <> ;m#1 và m3
mx+(m+ 4) y=2
Cho hệ phương trình : Đề hệ này vô nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham
m(xt+y)=l-y
SỐ 7: là :
C m=-1 hay m=- D m=—— hay m=3
Loi giai Chon A
mx+(m+4)y=2
Ta có : Hệ trở thành => D=m(m+1)—m(m+4)=-3m
mx+(m+l)y=1
Hé v6 nghiém > D=0 > m=0
Thứ lại thây zz=0 thoả điều kiện
“—yˆ+6x+2y=0
Cho hệ phương trình ( » 9 T147” Từ hệ phương trình này ta thu được phương trình
x+y=
sau đây ?
A x°+10x+24=0 B.x°+16x+20=0 C x°4+x-4=0 D Một kết quá khác
Trang 7Cau 20
Cau 21
Cau 22
Cau 23
Lời giải
Chon D
Tacé: y=8—x = x°—-(8—x) +6x+2(8—x)=0 = 20x-48=0
x’ —3xy+ y°+2x+3y-6=0
Hé phuong trinh có nghiệm là :
2x-y=3
A (231) B (3;3) C (2;1),(3;3) D V6 nghiém
Lời giải Chon C
Tacé: y=2x-3>x ~3x(2x—3)+(2x-3)" +2x+3(2x-3)-6= 0
—=_-x +5x-6=U —=x=2;x=3
x=2—y=l
x=3> y=3
x+y=I
Hệ phương trình + „ ˆ„, có bao nhiêu nghiệm ?
x+y =5
Lời giải Chọn B
Ta có: y=l—x=>+?+(I—x)} =5=—24Ì-2x-4=0 =x=-l;x=2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
23213
Hé phuong trinh 3 ) có nghiệm là:
1
;} =— Œ.x=-—-;y=- D Hệ vô nghiệm
x+y=l0
¬ có nghiệm là:
x+y =58
Hé phuong trinh
Lời giải
Chon C
S* -2P =58
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X”—10X +2l=0 © X =7;X =3
Vậy nghiệm của hệ là (7;3).(3: 7)
S=10
Ta có : => P=2I (nhận)
Trang 8Câu 24
2
Tim a dé hé phuong trinh “125 vệ nghiệm:
x+ay=l
A a=1 B a=1 hoac a=-1 C a=-1 D Khong co a
Loi giai Chon C
Tacé: D=a’-l, D =z-I ,D, =a-a
Hệ phương trình vô nghiệm > D=O0@a=+1
a=1 =D,=D, =0 = Hệ phương trình vô sô nghiệm
a=-1 >D.=-2 = Hệ phương trình vô nghiệm
X+y+z=9
1 1 Câu 25 Nghiệm của hệ phương trình : + +—+—=l
Câu 26
Câu 27
xX y Z xy+ yZz + zx = 27
Lời giải
Chon D
1 1 1
Ta có: —+—+—=Ïl<xy+ yz+zY= Xyz > xyz = 27
x y Zz
= x,y,z la nghiém của phuong trinh X° -9X*+27X -27=0 <>X =3
Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;3;3)
x+y+xy=S5
Hệ phương trình | > có nghiệm là :
x+y =5
A (2:1) B (1; 2) C (2:1).(I: 2) D Vô nghiệm
Lời giải Chon C
Tacó: 4 _„ S?-2P=5 => S*—2(5-S)=5 > S*+2S-15=0 58 =-5;S8 =3
S =-5 => P=10 (loại)
s=3—P-=2(nhận)
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X”—3X +2=0<>X =l;X =2
Vậy hệ có nghiệm (2;1).(1;2)
x+y+xy= I
Hé phuong trinh h có nghiệm là :
2 2_ 3
xy+xyˆ= 5
A (3;2);(—2;1) B (0;1).(1;0) C (0;2),(2;0) D (2:5 } (4:2
Loi giai Chon D
Trang 9
Câu 28
Câu 29
Câu 30
Ta có : sp- => %,P là nghiệm của phương trình X”—— 222 X +—=0<> X =l;X == 2
Khi S=l;P=_—~ (loại)
Khi $=2;P=1 thi x, y langhiém cua phuong trinh X'-ŠX +l=0<>X=2,X =
Vậy hệ phương trình có nghiệm (2:5) (5 : 2}
X+ytxy=5
Hé phuong trinh | ¬ có nghiệm là :
x+y +xy=7
C (—2;-3) hoặc (-3;—2) D (—I;-2) hoặc (—2;-1)
Lời giải
Chọn B
Tacó: 4 „ => S*-(5-S)=7 >S*+S-12=0>8=3,S =-4
S°-P=7 Khi § =3= P=2 thi x, y là nghiệm của phương trình X”—3X +2=0<> X =l1;X =2
Khi S=2>P=3 (loại)
Vậy hệ có nghiệm là (I;2) hoặc (2:1)
Hệ phương trình ‘i ty+yềH có nghiệm là :
x+y? +3(x+ y) = 28
A (3;2),(2;3) B (-3;-7),(—7;-3)
C (3;2);(-3;-7) D (3;2),(2;3),(-3;-7),(-7;-3)
Loi giai Chon D
Dat S=x+y,P =xy(S?-4P 20)
S* —~2P+3S =28
Khi S=5=> P=6 thi x, y langhiém cia phương trình X”—5X +6=0<>X =2;X =3
Khi $ =—10=> P=21 thi x, y langhiém cua phuong trinh
X”+10X+2l=0<>X =-3;X =-7
Vậy hệ có nghiệm (3;2).(2;3).(—3;—7).(—7:~3)
S+P=Il
Ta có: —=$“-2(11-S)+3S =28 > S*+5S-50=0 > S=5;S =-10
Hé phuong trinh = 3x4 8y co nghiém 1a (x;y) voi x#0 va y#0 la:
y =3y+8x
A (-Vii:—Vi1);(Vivi1) B (0;-Vi1);(Vi1;0)
Trang 10Câu 31
Câu 32
Câu 34
Lời giải Chọn A
y°=3y+8§z
x=y
=>
x +xy+y°+5=0
3
Ta có : D = 3x4 By => x-y =-5x+ấy =(x-y)(x°+xy+y?+5)}=0
Khi x= y thì x—1lx=0<>x=0;x=+V11I
1) 3
Khi t taytg)+5=0|xk tay t5=0 (phương trình vô nghiệm)
Vậy hệ có nghiệm (—VI1;—vIT]:(NI1:⁄H1)
Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình:
yˆ=5y-2x
A (3:3) B (2;2);(3:1):(—3;6)
C (1:1).(2: 2).(3:3) D (—2;—2),(1;-2),(-6;3)
Loi giai Chon A
2 =5x-2 rac: | ox ” =x#—y?=7x—7y =(x—y)(x+y~7)=0
yˆ=5y-2x
Khi x= y thì x-3x=0<>x=0;x=3
Khi y=7—x thì x”— 7x+14=0 (phương trình vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; 3)
Hé phuong trinh có bao nhiêu nghiệm ?
y+x=6
Lời giải Chon C
24 yy Taco: rn =x -y+y-x=0>(x—-y)(x+y-1)=0
y +x=6
Khi x= y thi x°+x-6=O0@x=-3;x=2
Khi y=I— x thi x° —x+7=0 (phuong trinh v6 nghiém)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (—3;-3) và (2;2)
x? =3x-
Hé phuong trinh ” có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y) 2
y =3y-x
Lời giải
Chọn B
Ta có : fe > => x°—y? =4x-4yX =>(x-y)(x+y-1)=0
yo =3y-x
Khi x= y thì x—2x=0<>x=0;x=2
Trang 11Câu 34
Câu 35
Cau 36
Cau 37
Khi y=4-x thì x-4x+4=0 ©x=2
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (0;0).(2;2)
x+y=4
> 5 4 - Khang dinh nao sau day là đúng ?
X +y =m
Cho hé phuong trinh |
A Hệ phương trình có nghiệm với mọi 7
B Hệ phương trình có nghiệm < |rn| > V8
C Hệ phương trình có nghiệm duy nhat< lm| >2
D Hệ phương trình luôn vô nghiệm
Lời giải Chọn B
Tacs: | 3 » 3 3 =>44-2P=m >P= 6—m
3x° —4xy+2y* =17
7 Hé thie biéu dién x theo y rút ra từ hệ phương
y -—x =16 Cho hé phuong trinh : |
trình là ?
A x= hay ye te B x=2— hay x=313,
C x =—— 2 hay x=—— M2 D x=—y hay x=— BS
Loi giai Chon
Ta có :
3x° —4xy+2y* =17
| 3 ae > = 16(3x* —4xy + 2y?)=17(9? - x7) 65x? —64xy4 15y’ =0
y —=* =
©(I13z-5y)(5x—3y)=0 xa sy hay _
Cho hé phuong trinh : » Cac gia tri thich hop cia tham s6 m dé hé phuong
x+my=2m+1 trình có nghiệm nguyên là :
Lời giải Chọn A
Tacó: D=mm —1, D.=m-1, D, = 2m’ +m-—3
Hệ phương trình có nghiệm x = _ yo = aml
D m+l° D m+l
Hé phuong trinh co nghiém nguyén khi m=0;m =-2
x|l+2|y|= 3
h|+2l|=3,
Các cặp nghiệm (x; y) của hệ phương trình :