Full li thuyet va Trac nghiem dao ham Toan hoc 12

 Nếu  hệ số góc * Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc  khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan  sau đó tìm tiếp điểm M0x0; y0 bằng cách giải phương trình f/x0 = k và viế[r]

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM

BUỔI 1:

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa đạo hàm:

Đạo hàm của f (x) tại x , kí hiệu 0 f '(x0) hay ( 0)

' x y

0

0

2 Quy tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

là hằng số

 u v ' u v' '

 u v ' u v v u'  '  C u C u 



v



 Nếu yf u u u x ,     y x y u u x 

*Các công thức :

  C 0 ;  x  1







B KĨ NĂNG CƠ BẢN

* Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo

Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo)

+ Bước 2: Tính x x o

y lim x





 suy ra f′(xo)

*Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :

 Dạng : y =

ax 2+bx+c a' x2+b ' x+c'  y’ =

(ab '−a' b)x2+2(ac'−a' c)x+(bc '−b' c)

(a' x2+b' x+c ' )2

 Dạng : y =

ax 2+bx+c

ad x2+2ae x+(be−dc )

(dx +e )2

 Dạng : y =

ax+b

ad−cb

(cx+d )2

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Bài tập 1: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y = x2 + x tại x0 1

b) y = 1

1





x

x

tại x0 0

b) y = 1

1





x

x

tại x0 0

Nhận xét: Để tính hàm số y = f (x) trên khoảng (a;b) và x 0 (a;b) bằng định nghĩa

ta chỉ cần tính

yf(x0 x) f(x0) sau đó lập tỉ số x

y





rồi tìm giới hạn của x

y





khi x tiến dần về 0

Bài toán 2: Tính đạo hàm của hàm số theo quy tắc

Dạng 1: Tính đạo hàm của Tổng, Hiệu, Tích, Thương.

Bài tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1







x

x

y

b) yx5  5x3 2x2 1 c) 4

3 2







x

x y

d) y(9 2x)(3x2  3x1)

 Nhận xét: Để tìm đạo hàm của hàm số y  f (x) ta chỉ cần xác định dạng của hàm số rồi

áp dụng các công thức và phép toán của đạo hạm để tính đạo hàm của hàm số

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm hợp

Bài tập 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y(2x4 4x 3)1994 ; b) y2 2x2 1 ; c) 5

2

x

y 

2

5  2  2

y

Bài toán 3: Giải bất phương trình

 Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f (x)và g (x)(nếu có)

Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình rồi thay f '(x) và g'(x)(nếu có) vào điều kiện tìm nghiệm x0

Bước 3: Lập bảng xét dấu rồi kết luận tập nghiệm của bất phương trình.

Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau:

a) f'(x)< 0 ,với f x x 2x 6x

5 3

1 )







9 3 )

(

2









x

x x x g

1 )





x f

1 3

2 )







Nhận xét: Tùy thuộc vào đề bài ta tính được đạo hàm của f (x)và g (x)(nếu có) sau đó

đem thế vào điều kiện có được từ đề bài để tìm nghiệm của bất phương trình.

Luyện tập củng cố:

Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

3 2

5

3 2

x x

ĐS: y x2 x1 2) y=2 x5

−x

4 1 10

2

y  x 

7

y

x x x x ĐS: 2 3 4 5

7

y

4) y5 (3x2 x1) 15 x3 5x2 ĐS:y 45x210x

Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1)

2) y=( x2+5)3

3) y=( x2+1)(5−3x2)

x

5)y 2x3

6) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5

7)y 3x4x2

8)

2

2 5

2

x

y

x







1

y



10) y= √ x2+ 6 x+7

11) y= √ x−1+ √ x+2

12) y=( x+1) √ x2+ x+1

13)

y= √ x2−2 x+3

2 x +1

14)

1 x y

1 x







D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN.

Câu 1: Số gia của hàm số f ( x)=x3 , ứng với: x0=2 và ∆ x=1 là:

Câu 2: Số gia của hàm số f ( x )=x2

A 2 x +∆ x B ∆ x(x+∆ x) C ∆ x(2 x +∆x) D 2 x ∆ x

Câu 3: Số gia của hàm số f ( x )= x2

A 1

2( (∆ x)2

2(∆ x)2−∆ x+1

Câu 4: Tỉ số ∆ y

∆ x

Câu 5: Đạo hàm của hàm số f ( x )=3 x−1 tại x0=1 là:

Câu 6: Hàm số x 1

1 x 2 y







có đạo hàm là:

/

) 1 x (

1 y







/

) 1 x (

3 y







/

) 1 x (

1 y





Câu 7: Hàm số

 

x 1

2 x y

2







có đạo hàm là:

2

/

) x

1

(

x 2 x

y









2 /

) x 1 (

x 2 x y







2 /

) x 1 (

x 2 x y







Câu 8: Cho hàm số f(x) =

2

x 1

x 1





















Đạo hàm của hàm số f(x) là:

A. 3

/

) x 1

(

) x 1 ( 2

)

x

(

f









/

) x 1 ( x

) x 1 ( 2 ) x ( f









/

) x 1 ( x

) x 1 ( 2 ) x ( f







) x 1 ( 2 ) x (

f/







Câu 9: Đạo hàm của hàm số f ( x )=5 x3

A 15 x2

−2 x B 15 x2

−2 x−1 C 15 x2+2 x D 0

Câu 10: Đạo hàm của hàm số y=6 x5

+4 x4−x3+10 là:

A y '=30 x4

+16 x3−3 x2 B y '=20 x4

+16 x3−3 x2

C y '=30 x4+16 x3−3 x2

+10 D y '=5 x4

+4 x3−3 x2

Câu 11: Đạo hàm của hàm số y=x2−3√x+1

x là:

A y '=2 x+ 3

2√x−

1

2√x+

1

x2

C y '=2 x− 3

2√x+

1

2√x−

1

x2

Câu 12: Đạo hàm của hàm số y= x −2

2 x +3 là:

A y '= 7

Câu 13: Đạo hàm của hàm số y=( x−1)(x −3) là:

A y '

=x−1 B y '

=x−4 C y '=2 x−4 D y '

=x−3

Câu 14: Cho hàm số y=x3−3 x2+13 Giá trị của x để y’ > 0 là:

C x ∈ (−∞;−2) ∪(0 ;+∞) D x ∈(0 ;−2)

Câu 15: Đạo hàm của hàm số y=(x3−2 x2)2 bằng:

A 6 x5−20 x4+16 x3 B 6 x5−20 x4+4 x3

C 6 x5

−20 x4−16 x3

Câu 16: Phương trình x y '=1 biết y=√x2−1 có tập nghiệm là:

Câu 17: Đạo hàm của hàm số y= 1

√x+1−√x−1 là:

A y '=1

2( √x+11 +

1

√x−1) B y '=1

4( √x+11 +

1

√x−1)

C y '= 1

√x +1+

1

√x−1 D Không tồn tại đạo hàm

Câu 18: Đạo hàm của hàm số f ( x )= x+9 x +3+√4 x tại điểm x=1 là:

A −5

25

5

11 8

Câu 19: Đạo hàm của hàm số y=(x−2)√x2+1 là:

A

2

2

'

1

y

x



2 2

'

1

y

x



2 2

'

1

y

x



2 2

'

1

y

x





Câu 20: Hàm số có 2

1 ' 2

x

là:

A

3

1

x

y

x





B

2

3

3(x x)

y

x





C

3

5 1

x x y

x

 



D

2

2x x 1

y

x

 



Câu 21: Tìm nghiệm của phương trình f '

(x )=0 biết f ( x )=3 x +60x −64

x3+5

A −2 và −4 B 2 và 4 C −2 và 4 D ± 2 và ± 4 Câu 22: Cho hàm số f ( x )=√1+x Giá trị biểu thức f(3) – 8f’(3) là:

Câu 23: Giả sử h ( x )=5(x +1)3

Câu 24: Cho hai hàm số f ( x)=x2

'

(1)

g '(0)

Câu 25: Cho hàm số y=m x3

+x2+x−5 Tìm m để y '=0 có hai nghiệm trái dấu

A m=0 B m<0 C m>0 D m<1

BUỔI 2

A Kiến thức cơ bản

Giới hạn của x

x

sin

sin

x

x x

Bảng đạo hàm hàm số lượng giác

Đạo hàm của hàm số lượng giác:

sinx' cosx sinu' u'cosu

sin sin )



cosx' sinx





 

x

x ' 2

cos

1 tan   

u

u

' '

cos

 

x

x ' 2

sin

1 cot   

u

u

2

' '

sin



Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u'x

và hàm số y  f (u)có đạo hàm tại u là y( ( ))'u x

thì hàm hợp y  f(g(x))có đạo hàm tại x là:

B Kỹ năng cơ bản

- Biết vận dụng 0

sin lim 1

x

x x

trong một số giới hạn dạng

0

0 đơn giản

- Tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác

- Tính đạo hàm của một số hàm số hợp.

C Bài tập luyện tập

Bài toán 1: Đạo hàm của hàm số lượng giác.

Dạng 1: Đạo hàm của hàm số ysinx,ycosx,ytanx và y cot x

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) ysin x cosx : b) ytan x cotx c) x x

x x

y

cos sin

cos sin







Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp:

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 sin

x

y 

; b) y3tan22xcot22x c)y x2 1.cot2x d) x

x

y 3

sin

cos



D Bài tập TNKQ

(Làm tổng hợp cuối)

( )x (u(x)). ( )x

Tiết 5 VI PHÂN

A Kiến thức cơ bản

Vi phân: yf x  dyf x dx 

Phép tính gần đúng: f(x0 + x)  f(x0) + f’(x) x

B Kỹ năng cơ bản

- Vi phân của một hàm số

- Giá trị gần đúng của một hàm số tại một điểm

- Nắm chắc các quy tắc tính đạo hàm, vận dụng vào trong BT.

C Bài tập vận dụng

Dạng 1: Phép tính gần đúng

Ví dụ 1: Xác định giá trị của 3,99 với 4 chữ số thập phân.

Giải

Đặt f(x) = x , ta có

f’(x) =

1

2 x .

Theo công thức tính gần đúng, với x0 = 4, x = -0,01 ta có f(3,99) =f(4 – 0,01) f(4) +f’(4)(-0,01),

4 +

1

Ví dụ 2: Tính giá trị củasin 30 300



nên ta xét hàm số







 

Áp dụng ct f(x0 + x)  f(x0) + f’(x) x

Ta có:

0

0,5076

c



Vậy

0

0

6 360

 

Dạng 2: Vi phân

Ví dụ : Tìm vi phân của các hàm số sau:

1

y

x



b)

2 1

x y x





 c)

tan x

y

x



Lời giải

2

x



b) 2

3

x



2

2 sin 2

4 os





D Bài tập TNKQ

(Làm tổng hợp cuối)

A Kiến thức cơ bản



( )n ( ) (f (x)) '( )n

f x 



1

( ) 'x n n x n



B Kỹ năng cơ bản

Tính đạo hàm cấp hai của HS

Tính đạo hàm cấp cao của HS luọng giác, phân thức

Tính đạo hàm và sử dụng các phép biến đổi đặc biệt là về hàm lượng giác

C Bài tập vận dụng

Dạng 1: Tính đạo hàm cấp hai

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

x y x





c) y x  2sin x d) y (1 x cosx2)

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức về đạo hàm.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng

a) y’ – y2 -1 = 0 với y = tanx

b) y’ + 2y2 + 2 = 0 với y = cot2x

c) y’2 + 4y2 = 4 với y = sin2x

D Bài tập TNKQ

D Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. (NB) Hàm số y = sinx có đạo hàm là:

1

y/



Câu 2. (NB) Hàm số y = tanx có đạo hàm là:

1

2

C y/ = sin x

1

2

D y/ = 1 – tan2x

Câu 3. (NB)Hàm số y = cotx có đạo hàm là:

1

2

C y/ = –sin x

1

2

D y/ = 1 + cot2x

Câu 4. (TH) Hàm số y = 2

1

(1+ tanx)2 có đạo hàm là:

C y/ = (1+tanx)(1+tanx)2 D y/ = 1+tan2x

Câu 5. (TH) Hàm số y = sin2x.cosx có đạo hàm là:

A y/ = sinx(2cos2x – 1) B y/ = sinx(3cos2x + 1)

C y/ = sinx(cos2x + 1) D y/ = sinx(cos2x – 1)

Câu 6. (TH) Hàm số y = cot2x có đạo hàm là:

x cot 1

y

2



B cot2x

) x cot 1 ( y

2



x 2 tan 1

y

2



D cot2x

) x tan 1 ( y

2



Câu 7. (VDT) Cho hàm số y = cos3x.sin2x Khi đó y/ 









 

A y/ 









 









 

3 = 1

C y/ 









 

1

D y/ 









 

1

Câu 8. (VDT) Cho hàm số y (x)2sin x Đạo hàm của hàm số y là:

A y/2cos x B

x cos x

1

y/



C

x

1 cos x

2

y/



D xcos x

1

y/



Câu 9. (VDC)Đạo hàm của hàm số y=cot ⁡(cosx) là:

A y '= −sin x

'

'

y '

= 1

sin2(cos x)

Câu 10. (VDT) Cho các hàm số f ( x )=cos 3 x , g ( x)=sin 2 x , h ( x )=tan2 x Hàm số

A f (x) B g(x) C h(x ) D f (x) và h(x )

Câu 11. (VDT) Cho hai hàm số f1( x )=xsinx và f2( x )= cos x

f2'(1)

f1'(1) bằng

Câu 12. (VDC) Cho hàm số f ( x )=2 cos2

(4 x−1) Giá trị của x để |f '(x )|=8 là:

C 1

16(π +4+k 2 π ) D π +k 2 π (k là số nguyên)

Câu 13. (NB) Cho hàm số y = f(x) = (x – 1)2 Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x)?

A dy = 2(x – 1)dx B dy = (x–1)2dx C dy = 2(x–1) D dy = (x–1)dx

Câu 14. (TH) Một hàm số y = f(x) = 1cos22x Chọn câu đúng:

A

dx x 2 cos 1 2

x 4 sin )

x

(

df

2







B

dx x 2 cos 1

x sin )

x ( df

2







C

dx x 2 cos 1

x cos )

x

(

df

2





D

dx x 2 cos 1 2

x sin )

x ( df

2







Câu 15. (NB) Cho hàm số y = x3 – 5x + 6 Vi phân của hàm số là:

A dy = (3x2 – 5)dx B dy = –(3x2 – 5)dx

C dy = (3x2 + 5)dx D dy = (–3x2 + 5)dx

Câu 16. (TH) Cho hàm số y = x3

1

Vi phân của hàm số là:

A 4dx

1

dy 

B x dx

1

dy 4

1

dy 4

D dyx4dx

Câu 17. (NB) Cho hàm số y = x 1

2 x





Vi phân của hàm số là:

A  2

1 x

dx dy





B  2

1 x

dx 3 dy





C  2

1 x

dx 3 dy







1 x

dx dy







Câu 18. (TH) Cho hàm số y = x 1

1 x

x2







Vi phân của hàm số là:

A

dx ) 1 x

(

2 x x











B.

dx

)

1

x

(

1

x

dy 2







C

dx ) 1 x

(

1 x

dy 2









D

dx ) 1 x (

2 x x

2









Câu 19. (VDC) Vi phân của hàm số x

x tan

y 

là:

A

dx x cos x

x

x 2

B

dx x cos x x 4

) x 2 sin(

C 4x xcos x dx

) x 2 sin(

x

2

D 4x xcos x dx

) x 2 sin(

x 2

Câu 20. (VDT)Hàm số y = xsinx + cosx có vi phân là:

A dy = (xcosx – sinx)dx B dy = (xcosx)dx

C dy = (cosx – sinx)dx D dy = (xsinx)dx

Câu 21. (TH) Hàm số x 2

x y





có đạo hàm cấp hai là:

//

2 x

1 y





//

2 x

4 y







D  2

//

2 x

4 y





Câu 22. (NB) Hàm số y = (x2 + 1)3 có đạo hàm cấp ba là:

A y/// = 12(x2 + 1) B y/// = 24(x2 + 1)

C y/// = 24(5x2 + 3) D y/// = –12(x2 + 1)

Câu 23. (NB) Đạo hàm cấp 2 của hàm số y = tanx bằng:

x sin

2





B cos x

1



1





D cos x

x sin 2



Câu 24. (VDT)Xét hàm số y = f(x) = 







 3 x cos

Phương trình f(4)(x) = –8 có nghiệm x









2

;

0

là:

A x = 2



B x = 0 và x = 6



C x = 0 và x = 3



D x = 0 và x =

2



Câu 25. (VDC) Cho hàm số y = sin2x Hãy chọn câu đúng:

A 4y – y// = 0 B 4y + y// = 0 C y = y/tan2x D y2 = (y/)2 = 4

BUỔI 3:

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại điểm x0a;b Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó

Định lí: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm

M0(x0;f(x0))

*Phương trình tiếp tuyến

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)) là:

y - y0 = f'(x0)(x - x0) trong đó y0 = f(x0)

2)Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời: v(t0) = s'(t0)

b) Cường độ tức thời: I(t0) = Q'(t0)

B KĨ NĂNG CƠ BẢN

1) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y  f (x)

Dạng 1: Cho hàm số y  f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0)

Dạng 2: Cho hàm số y  f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.

2) Ứng dụng đạo hàm vào giải các bài toán có nội dung vật lý

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y  f (x)

Dạng 1: Cho hàm số y  f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0)

 Phương pháp giải:

Bước1: Xác định tọa độ x0; y0

Bước 2: Tính đạo hàm của f'(x) tại x0

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0), có dạng:

) )(

( 0 0

'

0 f x x x y

Bài tập 1: Cho hàm số 3 2





y

có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại điểm (1 ; -1).

b) Tại điểm có hoành độ bằng -3.

Dạng 2: Cho hàm số y  f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.

 Phương pháp giải:

Bước 1:Gọi x là hoành độ tiếp điểm, khi đó ta có 0 f'(x0)k

Bước 2: Giải f (x0)k

'

để tìm x sau đó thế 0 x vào hàm số 0 y  f (x) để tìm y0

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), có dạng :

) )(

( 0 0

'

0 f x x x y

Bài tập 2: Cho hàm số 2 1

1 3





y

có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc bằng 2.

 Nếu d//  d :y ax b   hệ số góc k = a

 Nếu d    d :y ax b   hệ số góc

1

k a



*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc  khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

mãn

tan 1

k a





k sau đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

Bài tập 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x 3 5x2 Viết pt tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến 2

đó

b) Vuông góc với đường thẳng

1 4 7

y x

Bài tập 4: Cho hàm số yf x( )x3 m x( 1) 1 (Cm) Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích bằng 8

Bài tập 5: Cho hàm số y2x3 3x212x 5 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp sau

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 4

b) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng

1 5 2

y  x 

một góc 450

Bài tập 6: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y2x3 3x25 đi qua điểm

19

; 4 12

A

 Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến (C) của hàm số y  f (x) ta cần phải biết tọa độ

0

x và y hay hệ số tiếp tuyến k để tìm0 x và0 y , sau đó tính đạo hàm của hàm số 0 y  f (x) tại x rồi áp dụng vào phương trình tiếp tuyến.0

Bài tập 7: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động

2

1 2

s gt

, trong đó g=9,8m/s2 và t tính bằng giây Vận tốc của vật tại thời điểm t=5s bằng:

Hướng dẫn giải

Ta có

2

1

2

s gt

=> '(t)s g t v t.  ( ) Khi đó (5) 9,8.5 49v   m/s

Chọn đáp án A

Bài tập 8: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

4 2

1 3 2

S  t  t

, trong đó t tính bằng giây s và S được tính bằng mét m Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t=4s bằng:

Hướng dẫn giải: