Định lý 1: Nếu dường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng P thì đường thẳng d vuông góc với mpP... Các tính chất: t/c1: Có duy nhất một mpP đi q[r]
Trang 1ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
Định nghĩa : mp() vuông góc với mọi
đường thẳng mp()
Định lý 1: Nếu dường thẳng d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt
phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P)
Trong mp(P) :a b M
Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai
cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với
cạnh thứ 3
a AB
a AC a BC Các tính chất:
t/c1: Có duy nhất một mp(P) đi qua điểm O cho
trước và vuông góc với đ ường thẳng a cho
trước.
t/c2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua
điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng
(P) cho trước
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
+ là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại
trung điểm của nó.
+ (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB
mọi điểm của (P) luôn cách đều A và B (tức là
(P) là mp trung trực của đoạn AB, M mp (P)
MA = MB).
3 Mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan
hệ vuông góc:
Tính chất 3:
a)
a // b
( P ) a
(P) b
b)
a b
a ( P )
b ( P )
a // b
Tính chất 4:
a)
( P ) // ( Q )
d ( P )
d (Q) )
b)
( P ) a ( Q ) a ( P ) ( Q )
(P) // (Q) )
Tính chất 5:
a)
a // (P)
b ( P )
b a
b)
a ( P )
a b ( P ) b
a // (P)
BÀI TẬP Bài 1 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC)
và tam giác ABC vuông ở B.
a Chứng minh BC (SAB)
b Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh:
AH (SBC)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC Biết
SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng:
a SO (ABCD)
b IJ (SBD)
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB,
SC, SD.
a Chứng minh rằng: CD (SAD), BD (SAC)
b Chứng minh: SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)
c Chứng minh: HK (SAC).
Bài 4 Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam
giác đều, gọi I là trung điểm BC
a Chứng minh: BC (AID)
b Vẽ đường cao AH của tam giác AID Chứng
minh: AH (BCD)
Bài 5 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một
vuông góc với nhau Gọi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH (ABC) Chứng minh rằng:
a BC (OAH)
b H là trực tâm của ABC
Trang 2c 2 2 2 2
1 1
1 1
OC OB
OA
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Lý thuyết: Phương pháp chứng minh: mp()
vuông góc với mọi đường thẳng mp()
PP chứng minh: Để chứng minh a b ta chứng
minh a với một mặt phẳng chứa b
Định lý 1: ( định lý ba đường vuông góc )
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt
phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mp(P) khi
đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b
vuông góc với hình chiếu a’ của a trên mp(P)
b mp(P) b a
b a
(với a’ là hình chiếu
của a lêm mp(P))
Định l ý 2: Đường thẳng vuông góc một trong hai
đường song song thì vuông góc với đường thẳng
còn lại
b c
BÀI TẬP Bài 1 Cho tứ diện ABCD có ABC, DBC là hai
tam giác đều, gọi I là trung điểm BC
BC AD
AH của tam giác AID Chứng minh AH
BD
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông Mặt bên SAB là tam giác vuông và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I, J
lần lượt là trung điểm AB, BC
CM: SI (ABCD), AD (SAB), DJ (SIC)
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh bằng a Mặt bên SAB là tam giác đều,
SCD là tam giác vuông cân tại S Gọi I, J là trung
điểm của AB và CD
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ, từ đó suy ra
tam giác SIJ là tam giác vuông
b) Chứng minh rằng SI (SCD), SJ (SAB)
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ
Chứng minh SH AC
Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh bằng a Mặt bên SAB là tam giác đều,
2
SC a Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB; AD
a/ Chứng minh SH (ABCD).
b/ Chứng minh AC SK, CK SD.
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ
nhật có AB = a, BC a 3 Mặt bên SBC vuông tại B, SCD là tam giác vuông tại D có SDa 5
a/ Chứng minh: SA (ABCD).
b/ Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt
các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I và J Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên
SC Xác định các giao điểm K, L của SB,
SD với mặt phẳng (HIJ) Chứng minh rằng
AK (SBC), AL (SCD)
c/ Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông tâm O, SA (ABCD) Gọi H, I, K lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD
a CM: BC(SAB), CD(SAD), BD (SAC).
b CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC Từ
đó suy ra ba đường AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng
c CMR: HK (SAC) Từ đó suy ra HK AI Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD)
và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông, đường cao AB = a, BC = 2a Ngoài ra còn có SC vuông góc với BD
a Chứng minh rằng tam giác SBC vuông.
b Tính AD.
c Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM =
x (0 x a) Tính độ dài của đường cao
DE trong tam giác BDM theo a và x
Bài 8 Cho hình chóp S.ABC, SA (ABC) Gọi H,
K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, SBC Đường thẳng HK cắt SA tại S’
a) Chứng minh: SB (CHK), SC (BHK) b) Chứng minh: S’B SC, S’C SB Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ
nhật, SA (ABCD) Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD
a) CM: Tam giác SBC và SCD vuông b) CM: AB’ SC, AD’ SC
Bài 10 (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy
ABCD là hình thang vuông tại A và B,
SA ( ABCD ) , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông
Bài 11 (B-2007) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy
ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AE và BC CMR: MN BD
P) b
a
a’
Trang 3Bài 12 (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy
ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều,
( SAD ) ( ABCD ) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD Chứng minh rằng:
AM BP