Ebook 500 Bài toán cơ bản và mở rộng lớp 10 được chia làm 2 phần: đại số và hình học. Với bố cục khoa học, bám sát kiến thức sách giáo khoa giúp các em dễ dàng ôn tập hơn. Mời các em cùng tham khảo tiếp nội dung phần 2 cuốn sách.
Trang 1
VECTO Chiang /
—_ Một uectơ được xúc định bởi :
+ Phuong : Hai vecto cung phuong khi chung cting nam tren HIỘI đường thẳng hoặc nằm trên hat đường thẳng song song,
+ Hướng : Hai uectơ cùng phương thì có thê cùng huớng hoạc nạ‡ưữớc
hướng Tu chỉ xét đến hướng của hú: occtơ Phí chướng cùng phương
+ Độ dài của vectu la dé dai doan thẳng vác định boi diem daw va
- Vecto-khéng O la vecta, c6 phương oà hướng túy ý va co dé dai bang ©
2 Vecto bang nhau
Hai uectơ bằng nhau khi va chi khí chủng cùng hướng cà có độ dài bằng nhau
~~ >
B va CD cung huonyg;
— - | AB=CD œ 4“ _
IABI= LCD |
II VECTO VÀ CÁC PHÉP TOÁN
1 Tổng của hai uectơ
a) Quy tắc tam giác (quy tắc 3 điểm) Với ba điểm A, B, C ta có : AB + BC = AC
Quy tắc 3 điểm cùng gọi là hệ thức Chasles dùng để cộng các 0ieŒg
| liên tiếp, có thế mở rộng cho trường hợp nhiều 0ecfƠ
Trang 2
ec Tinh chat: Tony vecto co cac tinh chat :
+ Giao hoan as bh bea
+ Ket hop fas dra ¢ a+tb+se) + Tinh chat cua vecto khong œ + f) = + qa = dq
Hiéu cua hai vecto
a) Vecto doéi : Hal vecty doi nhau la hat vecto nguvoc huong va co cung
do dai
Vecto dot cua vecto a hil
Tong cua hat vecty doi la tectd œ2) = @ E) Quy tắc tam giác đối với hiệu vectơ
>
Voi ba diem A, B.C bat ki, ta ludn co : AB = CB -CA
Tích cua mét sé voi mot vecto
l.a=a; (-l).a =-a; 0.a = 0; k.0 = 0
0 Diéu kién dé hai vectơ cùng phương
Diéu kien can va dui dé hai vecto a, b (b z 0) cùng phương là có
137
Trang 3
Trung điểm đoạn thẳng uà trọng tam của tam giác
a) Trung điểm của đoạn thăng
I là trung điểm của AB © IA + IB -0
I là trung điểm của AB oà M là điểm bất kì <> 2 MI = MA + MB
b) Trong tâm của tam giác
G là trọng tâm của 1ABC = GA + GB + GC “0
G la trong tam cia AABC va M la diém bat ki © 3 MG = MA +M B+ MC
MOT SO PHUGNG PHAP CHUNG MINH
Chứng mình hơi uectơ cùng phương
>
Dé chitng minh hai vectu a, 6 cting phuong, ta chiing minh hé thiic :
a-=k.b
Ching minh ba diém A, B, C thang hang
Dé chitng minh ba điểm A, B, C thang hang, ta chitng minh hai vecta
AB, AC cung phuong
—
AB =k AC
Chứng mình hai đường thẳng song song
Để chứng ninh hai đường thẳng AB cà CD song song, ta chứng nừnh
_— >
hai vects AB, CD cung phuong
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Đế chứng mình hai đoạn thẳng bằng nhau, AB = CD, ta chứng nữnh
AB = CD
Chứng mình trung điểm của đoạn thẳng
Dé chứng mình điểm I là trung điểm ctia doan thang AB, ta chứng
Trang 4
—
Chứng minh trong tam cua tam giac
Để chứng mình điểm G la trong tam ctia AABC, ta chứng mình một trong các hệ thức :
>
+ GA+GB+GC =0
>
+ Voi diém Ila trung điểm của cạnh BC thi: 2 AG = ặ AI ›
+_ Với Q là điểm bất ki trong mat phdng thi : 30G = Ộ + OB + OC Chứng mình ba điểm khơng thẳng hang
Đế chứng ninh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng hay A, B, C là ba đình của một tam giác, ta chứng mình hút cecty AB, AC khơng cùng phương
Chứng mình hình bình hành
Để chứng mình tứ giác ABCD là hình bình hành, tạ chứng mình hệ thức AB = DC
từ cả hai tế hoặc xuất phát từ một hệ thức đã biết
- Để xác dịnh điểm M thỏa mãn một hệ thức 0ectơ, tư tìm một điển: cố định O đã biết uà tìn cách biếu diễn 0ectơ OM theo các 0ectơ cĩ mặ£ | :
a) Hai vectơ đối nhau thì cùng phương
"b) Hai vecto bang nhau thi cung phuong
c) Ƒlai vectơ cùng phương thì đối nhau
d) Hai vecto cung phuong thi bang nhau
e) Hai vectơ bằng nhau thì cĩ cùng độ dài
f) Hai vectơ cĩ cùng độ dài thì bằng nhau
139
Trang 5254 Cho hình vẽ bên với EF // AB // DC Hay tim :
a) Hai vecto bang nhau
b) Hai vectơ đối nhau
e) Hai vectơ cùng phương không bằng
nhau và cũng không đối nhau
đ) Hai vectơ không cùng phương
Hướng dẫn
Bạn đọc căn cứ vào SGK để trả lời
255 | Cho bốn điểm A, B, C, D không thắng hàng với
140
Trang 6| cho tam giác ABC
4a) Xác định các điểm D và E sao cho các hệ thức sau được thoa màn
AD = AB+ AC: BE - BA - BC
b) Chung minh điểm € là trung điểm của đoạn thắng ED
Hướng dẫn Jung hinh bink kanh ABDC
Cho hình bình hành ABCD
a) Xác định các điểm M, P sao cho AM = DB: MP - AB
b) Chứng mình điểm B là trung điểm của đoạn thăng DP
Trang 7Ta cling much hai nệnh TẢ :
Nếu AB = CD thi hai doen “há, y AD, BC có cùng trung điển | Gia
su I la trung điểm cuu đduạn thầu, AI
Cl=IB => Al+IB=CIl+ID—> AB=CD
Cho O, A, B, € la bốn điểm bất kì trong mặt phẳng
._
Đặt OA =u; OB=v; OC=w
a) Dựng các điểm D; E; F sao cho :
b) Chứng minh rang A là trung điểm của đoạn thăng DE và C lì trung điểm của đoạn thẳng FD
—
e) Chứng minh hệ thức: OD+OE + OF =OA+OB+OC
Hướngdẫn
»
Trước hết dựng hình bình hành OAMB ta được OM = OA 4 OB -ut y
Dung hinh binh hanh OCMD ta duge : OM = OC + OD
Trang 8OD-OM-.O0C = OD=OM -OC hay OD =u+v-w
Cac diém E, F dựng tương tự
Ta có OD = U4 v - w
OE =U=V+W
Đăng thức này chứng tỏ A là trung điểm của doan thang DE
Trường hop diém C cũng chứng mình tương tự
Dé thay OD+ OE+OF =u +v+w Suy ra đpem
Cho hai điểm A, B
a) Dung cac diém E, F sao cho: AE = = AB; AF = 5 AB
b) Chứng mình hai đoạn thắng AB va EF co cing trung diém
2 Al = AE+ AF+ El + FI
Vi I la trung diém cua AB nén 2 AI - AB
Mặt khác ÊAB+ ŠAB -{2+2)aB - AB 5 5 5 5
Trang 9Cho tam giác ABC
a) Chứng minh rằng với mọi điểm M trong mặt phẳng, ta có :
- MA +2MB-3MC- CA+2CB
b) Dung diém D sao cho : DA +2DB-3DC = CA +2 CB
Hướng dẫn Thế MA = MC + CA và MB = MC + CB vào vẽ trai, ta suy ra dpem Trước hết, dựng vectơ CC" - 2CB D A
Dung hinh binh hanh ACC’D
Taco: CD = CA + 2CB
Cho tam giác ABC
a) Dựng điểm P thỏa mãn hệ thức: 3 PA - 2PBy PC = 0
b) Chứng minh rằng, vectơ v = 3MA-5MB+2 MC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trong mặt phẳng
Hướng dẫn Thế PB = PA + AB; PC = PA+AC vào vế trái và rút gọn, ta dược :
2PA- AB-AB+AC=0 = 2AP=AC-AB-AB
Trang 10b) M, N theo thu tu la trung diém cua các đoạn thẳng AB, CD
Chung minh hệ thức : AD+ BD + AC + BC =4 MN
Áp dụng công thức trung điểm để có 2DM = DA + DB (1)
‘Cho bén diém A, B, C, D Goi M, N theo thứ tự là các trung điểm của đoạn thắng BC, CD
Trang 11Suy ra AD+ BE+ CF - AE + BF + CD
Phần còn lại chứng minh tương tự
267] Cho tứ giác ABCD, có AB không song song với CD; M,N,P, Q theo
thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, DB
Trang 12PA - PÏ+IA; PB=PI+IB; PC=PI+IC; PD= PI+ID
Két hop voi két qua (“) suy ra dpem
Cho tạm giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP
Hãy biểu thị các vectơ AB BC, CA theo các vectơ BN, CP
Trang 13Cho tứ giác ABCD; M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD,
BC Hãy biểu diễn vectơ MN theo vectơ AB, DC va AC, DB
Cho AABC và D là điểm thöa mãn hệ thức 3 DB-2D6 = ở
a) Biéu dién vecto AD theo các vectơ AB, AC rồi về điểm D
b) Xác định điểm E thỏa mãn hệ thức : EA +3EB-2 EC = 0
Trang 14AB CD và P là điểm thôa mãn hệ thức OP = = 0A
a) Chung minh hệ thức : 3AP- 2 AC = 0
b) Chứng mình ba điểm B, P, N thang hang
c) Chứng minh ba đường thắng AC, BD và MN đồng quy
Trang 16
A
Hướng dẫn a) Dẻ thấy D là trung điểm của AB; G là Z|
trong tam cua AABC; C la trimg diém /)
cua doan thang AE
Ta co: BE = BA+ AE
= AC = CE => C là trung điểm của AE
Vi 2AD = AB nên tacó 3GA+ AB+ AC = 0
= 3GA = -(AB+ AC)
M la trung diém cua BC nén 2AM = AB + AC , do dé
2
3GA=-2AM => GA= 5 MA
——>
Hai vectơ GA và MA cùng phương, suy ra ba điểm A, M, G thẳng hàng
7@Ï Cho hình bình hành ABCD và hai điểm E, F thỏa mãn các hệ thức
CE:ÌEB = 0: 2 DE+ JBD = 0 3
a) Chứng minh ba điểm A, E,F thẳng hàng
b) Xác định vị trí điểm M để hệ thức sau đây được thỏa mãn
c¬— >
2AM-3AF = 0
151
Trang 17Ta có : AM = ^AE => AM = = (AM + ME) = AM=ME=0
M là trung điểm của CD
Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của cạnh BC và P, Qlà hai
điểm được xác định bởi các hệ thức: BP =BC-2AB (
CA + AQ =k AC-(BA+ AC) => AQ =kAC+ AB
Dé A, P, Q thang hang thi vecto AB va AQ phải cùng phương
Trang 18Để đường thăng PQ đi qua M, ta tìm điều kiện để hai veetơ MP và
MQ cùng phương (ba điểm M, P, Q thăng hàng)
Cho tam giác ABC
a) Dựng các điểm PE, F, G thỏa mãn các đẳng thức:
— cá
b) Chứng minh điểm G nằm trên đường thẳng BC
AE = = AB, BF = AB; EM=2BC; FN=4BC
b) Cac diém A, M, N có thẳng hàng không ? Tại sao ?
Hướng dẫn
153
Trang 19Cho tam giác ABC:
a) Dựng các điểm E và D sao cho :
Cho tam giác EDE
a) Dựng điểm H sao cho : EH = 4ED- 3 EF
b) Chứng minh diém H nam trén DF
Hướng dẫn
Ta có: ED+DH=4ED-3EF => DH =3(ED- EF)
=> DH =3 FD = suy re dpcen
*
Trang 20Cho tam giác ABC có I la trung diém của trung tuyến AM và D là
điểm thỏa mân hệ thức AD = ; AC
a) Biéu dién cac vecto BD, BI theo cac vecto AB, AC
b) Chtmg minh ba diém B, I, D thang hang
a) Dựng các điểm E, F sao cho : BE =9 AB; AF =3AD
b) Dựng điểm G sao cho tứ giác AEGPF là hình bình hành
Hướng dẫn Tacó: IE =—ID
155
Trang 21I la trung diém cua AB nén Al = = AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AE = (AB + AD)
ABCD la hinh binh hanh nén AB+ AD = AC
=> AE = ặ AC => suy ra đpem
Cho tam giác ABC
a) Dựng các điểm I, E, F sao cho : AL = IC; 3CE = CB; AF = BA
b) Chứng minh ba điểm F, I, E thang hang
Hướng dẫn
Độc giả dựng
Từ các hệ thức đã cho ta tính được :
IF = BA-~ AC, 1 =~g (BÀ - 2 AC)
=> IF = -3 IE => hai vectd IF, IE cùng phương
=> ba điểm F,I, E thẳng hàng
Cho tam giác ABC
a) Dựng các điểm K, L sao cho
tb
KA+2KB+3KC-0; 2LB+3LC = 0
b) Chứng minh ba điểm A, K L thẳng hàng
Hướng dẫn Độc giả dựng
Biểu diễn AK, AL theo AB, AC
Trang 22Cho tam giác ABC
Trang 24Cho tứ giác ABCD; E va F là trọng tâm của các tam giác ABD và BCD Chứng mình EF / AC
Hướng dẫn Gọi I là trung điểm của đường chéo BD Ta có :
b) Ching minh DE // AM |
Hướng dẫn Độc gia vẻ hình
M là trung điểm của BC nên :
2AM = AB+ AC
DE = DA + AE
Trang 25Theo giả thiết AE = 3AC
6AM = 6.2 (AB + AC) = 3LAB + AC) 2)
_—+
Từ (1) và (2) suy ra DE = 6.AM
Hai vectơ DE; AM cùng phương = DE // AM
Cho tam giác ABC
a) Dựng các điêm M N sao cho AM = = AB; AN = SẠC
Trang 26Cho hinh binh hanh ABCD: I va J là các trung điểm cua AB, CD
a) Dựng các điểm E, F thỏa mãn :DE = ï DI: BF = : BJ
b) Chung minh AF // CE
Cho tam giác ABC với trọng tâm G và tam giác A'BC' với trọng tâm
là điểm GŒ'
a) Chứng minh hệ thức : NẠ?¿ BB’ + cơ = aGŒ
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm
Trang 27Hướng dẫn
G; là trọng tâm: của ABCA' : GA’ + GB + GC = 3GG,
G; là trọng tâm cua ACAB' : GB’ + GA + GC = 3GG;
— "¬
G; là trọng tâm của AABC': GC'+ GA + GB = 3GG;
G la trong tam cba AABC: GA+GB+GC = 0
G la trong tâm của AAB'C': GA'+GB'+GC = 0
Trang 28AB=DC = DŒ-AB=0 = DC:BA=0
Vậy GB+GD+GE = 0 Đẳng thức cuối cùng này chứng to G la
trọng tâm của tam giác BDE
Cho tam giác ABC A' là điểm đối xứng của A qua B,
B' là điểm đối xứng của C qua A, C' là điểm đối xứng của C qua A
Chứng minh hai tam giác ABC và A'BC' có cùng trọng tâm
Hướng dẫn
~
Chung minh AA'+ BB’ + CC" = 0
Cho tam giác ABC, các đường cao AA’ BB’, CC’
Chứng minh nếu AA'+BB'+ Cc" = 0 thì tam giác ABC là tam giác đều
Hướng dẫn
AA’, BB’, CC’ giao nhau tại trực tâm H Đảng thức đã cho cũng có
nghĩa là H cũng là trọng tâm của AABC Tam giác ABC có trọng tâm
và trực tâm trùng nhau
Cho tam giác ABC và D là một điểm bất kì; DA, DB, DC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A', B, C
Chứng minh rằng nếu ta có BA’ -A'C+ CB’ ~ BA + AC - CB = 0 thi
D là trọng tâm của tam giác ABC
163
Trang 29a) Xác định điểm G thỏa mãn hệ thức: GA+GB+GC+GD = 0 (*)
Điểm G thỏa mãn hệ thức (*) cũng được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD
b) Goi G,, Ge, G3, G4, theo thứ tự là các trọng tâm của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB Chứng minh điểm G cũng là trọng tâm của
tứ giác Gi; Go, G3, Gy
Hướng dẫn
2 (GA + GB) + (GC + GD) = 0 D N Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn
G€ +GD- 2GQ
Đẳng thức này chứng tỏ G là trung điểm của đoạn thang PQ
Chú ý : Nếu gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
AD, BC thì chứng minh tương tự, ta thấy G cũng là trung điểm của đoạn thẳng MN
G là giao điểm của PQ, MN Dễ thấy G là điểm duy nhất thỏa mãn hệ thức (*)
Người ta cũng chứng minh được G là trung điểm của đoạn thẳng nối hai trung điểm của các đường chéo AC, BD (Theo định lí Gergonne)
G, 1a trong tam cua AABC : GA+GA+GC = 3GGì (1)
— men
G, la trong tam cia AABC: GB+GC+GD = 3GG2 (2)
Trang 30G, la trong tam cua AABC : GA+GC+GD = 3GG3 (3)
G, la trong tam cua AABC : GA+ GB+ GD = 3GG (4)
G là trọng tâm của tứ giác ABCD : GA+GB+GC+GD = 0 (5)
Tương tự, ta tính được CG’ = -5 AB- "3 AC
Ib) Ta co: MG = MA+AG’
> MG'=- - (AB + AO) +2 AC 2 AB
=> MG’ = -> AB+= AC > 6 MG’ = AC - 5 AB
308 Cho tứ giác ABCD Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song song với cạnh
BC, đường này cắt đường chéo BD tại điển E Đường thẳng qua B song song với cạnh AD, cắt đường chéo AC tại điểm F
Chung minh EF // CD
165
Trang 31Hướng dẫn Hai vectơ OC, OA cùng phương, do đó
Trang 32=> M1atrung diém cia AE
AD = CE = ADEC là hình bình hành Do đó M cũng là trung điểm
của đường chéo CD
Cho đoạn thắng AB xà một điểm C bất kì thuộc đoạn thẳng AB sao
a) Biểu diễn các vectơ AD, AE, DE theo các vectơ AB, AC
b) Chứng minh hai tam giác ABC và ADE có cùng trọng tâm
©) Điểm F, I thỏa mãn các hệ thức: FA =kFB; IC =klA
Trang 33k-1 k-1 Kết hợp hai đẳng thức này với DE = AE - AD ta được :
Vi GA+GB+GC = 0 va EC+DB = 0 suy ra 'GA+GD¿ GE = (
=> G là trọng tâm của tam giác ADE
Tr Al=kIA => AI = -— AC
BI =BA+ Al suyra Bi = AC- AB
Từ giả thiết FA-=kFB = AF =TTTAB
và ta tính ra CF = _= AB- AC cho ta :
Trang 34a) Chung minh AB + AB =BC+BC =CA+CA' = 0
b) Có thể nói gì về ba đoạn thắng AA’, BB’ CC' ?
c) Goi M là giao điểm của AA' và BB' Chứng minh ba diém P, G, M thang hang
Hướng dẫn
Ta có: AB = 2ED; A'B' = 2.DE
_>
ng AB + AB = 0
Chứng mình tương tự cho các hệ thức tiếp theo
AA’, BB, CC' đồng quy tại 1 điểm
Chứng minh hệ thức PM = = 5 3G ‘
Cho hình bình hành ABCD, tâm O và E, F là hai điểm được xác định
bơi các hệ thức : AE = = AB: CF == CD, k #0
ed
a) Chứng minh OE và OF là hai vectơ đối nhau
Suy ra ba điểm O, E, F thẳng hàng và O là trung điểm của E, F b) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành
Trang 35314] Cho tam giác ABC
a) Dựng các điểm D, E, F thỏa mãn các đẳng thức :
_—
b) Chứng minh tứ giác ABEF là hình bình hành
Hướng dẫn a) Dựng điểm D :
Từ AD = 2AB - AC
_ Suy ra 2AB = AD+ AC hay AB là trung
tuyến của AADC = B là trung điểm của DC
Tr CF =FE = FE-CF = 0 => FE+FC = 0
Vay F là trung điểm của đoạn thẳng CE
Trang 36- Trên trục tọa độ (O; ¿) thì :
+ u=ai = ala toa dé cua vecto u
+ OM = ik = m là tọa độ của điểm M
+ AB = ABi => AB la dé dai dai sé ctia Uectơ AB
| 2 Hệ trục tọa độ
>
- Trong hé toa dé (O; i ; J) thi u(x, y) © > =xi+yJ
- Các kiến thức quan trọng uê tọa độ :
ø) Tọa độ của uectơ
A(xa, ya); B(xp,yn) => — AB = (xp ~ Xa; YB - YA)
u=xe;t+ty.e2 & u=(x; y); lul=yx°+y
b) Cac phép toadn: u =(x; y); v =(x'; y')
> —>
e utvu=(x+x',y+y)
Ỉ ® u-v =(x -x;y-y)
° hu = (kx; ky)
e_ Tích uô hướng : u.0 = xx’ + yy’
~_ Điều biện hai uectơ cùng phương : xy -xy=0 `
—_ Điều kiện hai uectơ uuông góc :' xx' + yy' = 0
c) Trung diém va trong tâm
e Cho A(xa, ya) va B(xp; yp)
1 là trung điểm của AB: x) = ng: vị = 2428
171
Trang 37XG = sữa + Xp + %C); Ya = sửa + yn + Yo)
s_ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k i
a) Tính các vectơ: AB; CD; AC: DB: AD; BC
b) Nghiệm lại hệ thức : AB+3CD +10 BC =0
Hướng dẫn
AB = (-3; 1); CD=(1; 3); AC =(-3; 0);
aa
DB = (1: 2); AD =(-2;3); BŒ=(0;-1),
Trang 38Cho bốn điểm A(-1; 5): BÍ2: |
a) Chứng minh điểm D nằm trên đường thắng AB
b) Chứng minh điểm B thuộc đoạn thẳng AC
đăng thức này chứng tỏ hai vectơ AD, AB cùng phương Vậy ba điểm
A,B D thẳng hàng, hay điểm D nằm trên đường thẳng AB
Cho bốn điểm AL-2; 4); B(2; 0); C(3; -1), D(1; 1)
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường thẳng
b) Xác định _ trí tương đối giữa bốn điểm ấy
Hướng dẫn
— Tê
Xét các vectơ AB, AC và BD, BC
Điểm B nằm giữa hai điểm D, C
D nằm giữa hai điểm A B Thứ tự sắp xếp như sau : A, D, B, C
Cho 3 điểm A(-6; 2); B(2; 6); C(7; -£)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C là các đỉnh của một tam giác
b) Tìm điểm D trong mặt phẳng sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành
173
Trang 39174
Hướng dẫn
a) Tacé: AB =(8:4), AC =(13;-10)
Vi 5 # = = hai vectơ AB, AC không cùng phương, suy ra ba điểm
A, B, C không thẳng hàng Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tarn giác
Trang 40¢, hung 2 4
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KÌ
nhau
3 Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt