Tính xác suất để giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh nêu ở trên không ngồi cạnh nhau.. và mặt đáy.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU
ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1: a)(3đ) Giải phương trình:
2 2
x x
b) (3đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình:
x2 2m 1x 4m 3 0
là nhỏ nhất
Câu 2: (3đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa:
x y
x
Câu 3: (3đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì a b c d, , , Chứng minh rằng số
A
a b c a b d b c d a c d
không phải là một số nguyên
Câu 4: (3đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D
đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD.Lấy J thỏa 2CJ 2AB JM
Chứng minh rằng IJ song song với AB
Câu 5: (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A0; 2 ; B0; 4 ; C6; 1
a) Chứng minh tam giác ABC cân
b) Tính diện tích tam giác ABC
c) Xác định tọa độ D Sao cho tứ giác ABDG là hình bình hành Biết G là trọng tâm của tam giác ABC
Câu 6: (3đ) Cho a, b, c, d> 0 và ab+bc+cd+da=1 Chứng minh rằng:
a3
b+c +d+
b3
c+ d+a+
c3
d + a+b+
d3
a+b+ c ≥
1 3
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 10 – NH 2018-2019
Câu 1: a)
2 2
x x
ĐK: x 0
Đặt
1
t x
x
x2 12 t2 2
x
(1) 2t23 20 0t
4 5 2
t t
t4 x 2 3
5
2
t
2 1 2
x x
b) x2 2m 1 x 4m 3 0
(2)
(2) có nghiệm 0
2
4m 12m 13 0
2m 32 4 0, m
Theo viet:
1 2
1 2
2
A x x m m m
1 min A 6
2
m
Câu 4:
Câu 2:
x y
x
y có nghĩa
2
3 2x 0 3x 11 0
x x
2
2
3
2
11
3
1
x
x
x
x
1 x 1
2CJ JM 2AB 2AJ 2AC AM AJ 2AB
5
3
Mà M là trung điểmcủa AD nên
MJ 2
JD .
Gọi K là trung điểm của CD, ta có
MI 2
IK Vậy ta
có:
MJ MI
IJ // CD // AB
F
H G
J
I R
D
M
A
Trang 3Câu 3: Vì a b c d Z, , ,
nên
A
a b c a b d b c d a c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
1
Mà
, , 0
1
x y z
x
y
x x z
y y z
Thật vậy,
1
x
y
x y
xz yz
xy xz xy yz
x y z y x z
x x z
y y z
Nên
a b c a b c d
a b d a b c d
b c d a b c d
a c d a b c d
Suy ra A 2
Do đó 1 A2 A không phải là một số nguyên
Câu 5:
Ta có:
6
3 5
3 5
AB
AC
BC
Vậy: Tam giác ABC cân tại C
Gọi M là trung điểm AB nên M(0;-1) Vì tam giác ABC cân tại C nên CM là đường cao đỉnh C của tam giác ABC
Diện tích tam giác ABC là:
S AB CM
(ĐVDT)
Ta có: G=(-2;-1)
Vì tứ giác ABDG là hình bình hành nên:
2 7
G G
Vậy: D=(-2;-7)
Câu 6:
Cho a, b, c, d> 0 và ab+bc+cd+da=1 Chứng minh rằng:
a3
b+c +d+
b3
c+ d+a+
c3
d + a+b+
d3
a+b+ c ≥
1 3
Trang 4Chứng minh:
Theo AM-GM ta có:
a3
b+c +d+
a (b+c +d )
2
3a
2
b3
c+d +a+
b (c+d+a)
2
3b
2
c3
d +a+b+
c (d+a+b )
2
3c
2
} }
⇒
2
9 2
3
ab ac ad bc bd cd
b c d c d a d a b a b c
(1) Theo AM-GM ta có:
3
2
ab ac ad bc bd cd
⇒1
3(a
2
+b2+c2+d2)≥2
9(ab+ac+ ad+ bc+ bd +cd )(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
a3
b+c +d+
b3
c+ d+ a+
c3
d + a+b+
d3 a+b+c ≥
1
3(a
2
+b2+c2+d2) (3) Mặt khác ta có:
a b c d ab bc cd da
Từ (3) và (4) suy ra:
a3
b+c +d+
b3
c+ d+a+
c3
d + a+b+
d3 a+b+ c ≥
1 3
Dấu “=” xảy ra khi: a=b=c=d=1
2.
Trang 5SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU
ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1 : (6đ) Giải các phương trình sau :
1)
3
tg x tgx 1
4
2)
cos x sin x
2cos 2x sin x cos x
Bài 2 : (3đ) Chứng minh rằng : a4 b4 c4 abc a b c
Bài 3 : (3đ) Trong mp Oxy , cho điểm K(3;4) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 2y – 6 =
0 Viết phương trình đường tròn (C’) tâm K cắt (C) tại hai điểm A , B sao cho AB là cạnh hình vuông có 4 đỉnh thuộc (C)
Bài 4 : (4đ) Giải hệ phương trình :
Bài 5 : (4đ) Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó
có 1 đáp án đúng Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời Tìm xác suất để học sinh này nhận
điểm dưới 1
Trang 6ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG – KHỐI 11 – MÔN TOÁN – NH 2018-2019 Bài 1 :
1)
2 3
3
3
tgx 1 tgx 1
tgx 0
tg x 4tg x 5tgx 0
2) ĐK:
sin x 0
PT cosx sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x 0
cos x sin x 0
1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x
Mà
sin x cos x 1; sin x cos x 1 2 cos x sin x sinx cos x 2
1 sin x cos x 1 sin 2x
Vậy PT có nghiệm duy nhất x 4 k2
Bài 2 : Ta có :
a b 2a b
b c 2b c
a c 2a c
2 a b c a b b c a b a c b c a c 2 ab c a bc abc 2abc a b c
Bài 4 : ĐK: x 1, y 0
(1) y x y ( ) ( x y ) x2 y2 ( x y y )( 1 x y ) 0
TH 1 x y 0 (loại do x 1, y 0)
TH 2 2 y 1 x 0 x 2 y 1 thế vào pt (2) ta được
(2 y 1) 2 y y 2 y 4 y 2 2 y ( y 1) 2 y 2( y 1)
2
y y
Do y 0 y 2 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (5;2) x y
- Chú ý Do có thể phân tích được thành tích của hai nhân tử bậc nhất đối y (hay x) nên có thể
giải pt (1) bằng cách coi (1) là pt bậc hai ẩn y (hoặc x)
Bài 5 : Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là
1
4 và xác suất trả lời câu sai là
3
- Gọi x là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là 10 x
- Số điểm học sinh này đạt được là : 4x 2(10 x)6x 20
- Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi
21
6
- Mà x nguyên nên x nhận các giá trị: 0,1, 2,3
- A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”
Trang 7và P A ( ) P A ( )0 P A ( )1 P A ( )2 P A ( )3
- Mà:
10 10
1 3 ( )
4 4
i i
nên
10 3
10 0
1 3
4 4
i i
Trang 8
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU
ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1 (4,5 điểm)
1) Tìm m để hàm số ycos 3x6 cos 2m x 21cosx2m 8 đồng biến trên khoảng
0;
2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số f x( )=x3+(m2- 3)x m+ 2+ -m 2
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
1 2.
2
y= x
-Câu 2 (4,5 điểm)
1) Giải phương trình
tan x tan x4 tanxcot x cot x4cotx 8
log x 7x 3 log x 7x 4 ,
x 3) Một nhóm học sinh gồm có 9 bạn nam, trong đó có bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh xếp vào 13 cái ghế trên một hàng ngang Tính xác suất để giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh nêu ở trên không ngồi cạnh nhau
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình 3 x33 x232x2 4x332x24x2,
x .
2) Tính tích phân
4 2 0
log 2sin cos
1 cos 2
x
Câu 4 (6,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x y 3 2 3 0
và hai đường tròn C1 :x2y22x 6y 6 0
;
2 2
C x y
Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với đường thẳng d, tiếp xúc ngoài với đường tròn C1 , đồng thời
C cắt C2 tại hai điểm A B, phân biệt mà ABd
2) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình thoi, ·ABC 90o Góc giữa A C'
và mặt đáy ABCD bằng 30o; góc giữa hai mặt phẳng A BC' và ABCD bằng 45o; khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng A CD' bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE'
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm (0;9;0)
A , M(4;3;25) và cắt hai tia Ox Oz, lần lượt tại hai điểm B C, khác O sao cho
OB +OC nhỏ nhất
a b c a b
Trang 9HẾT
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo
danh:
Giám thị 1 (Họ tên và
ký)
Giám thị 2 (Họ tên và
ký)
1.1
(2.5
điểm)
cos 3 6 cos 2 21cos 2 8
y x m x x m
-0 5
Đặt t =cosx, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;
khi và chỉ khi hàm số
f t =t + mt - t m-
f t = t + mt- = t + mt
-Hàm số f t( ) =t3+3mt2- 6t m- - 2
nghịch biến trên (- 1;1)
Û + - £ " Î
-0.5
( ) ( )
'
f f
m
ïï
ïï
Û íïïï - £
£ ïïî
=
0.5
m
m m
ìï - - £
ï
Û íï- + £ïî Û - £ £
Kết luận
0.5
1.2
(2.0
điểm)
Ta có y' 3 x2 m2 3. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
Giả sử A x y B x y là hai điểm cực trị ( ; ), ( ;1 1 2 2)
Tính được hệ số góc của đường thẳngAB là 1 2 2
3 3
f x f x
x x
0.5
Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
2
y= x
suy ra
0.5
2.1
(1.5
điểm)
tan x tan x4 tanxcot x cot x4cotx8
i u ki n:
Điều kiện: ều kiện: ện: sin cosx x 0 x k 2,k
Phương trình tương đương
0.5
Trang 103 2
(tanxcot )x (tanxcot )x (tanxcot ) 6 0x (1)
Đặt t tanxcot , | | 2x t , phương tình (1) trở thành
6 0
Giải được t 2
Suy ra tanxcotx 2 sin 2x 1 x4 k
(thỏa mãn)
Vậy x 4 k k,
là nghiệm của phương trình đã cho
0.5
2.2
(1.5
điểm
4
log x 7x 3 log x 7x 4
Điều kiện:
2 2
Viết lại phương trình dưới dạng
log x 7x 3 log x 7x 4 (1)
0 5
Đặt ylog (4 x27x 4) Từ phương trình (1) ta có hệ:
2
2
y
y
0.5
f y
là hàm nghịch biến
Do đó phương trình (2) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Nhận thấy y=1 là một nghiệm
Với
8
x
x
Vậy phương trình có nghiệm x8 àv x1.
0.5
2.3
(1.5
điểm)
13!
W =
Đánh số ghế trên hàng ngang theo thứ tự từ 1 đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào các ghế
số 1,5,9,13
Gọi A là biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn
Hải và bạn Minh không ngồi cạnh nhau”
0.25
Xét các trường hợp
- Bạn Minh ngồi ở ghế 1
+ Số cách xếp 3 bạn nữ còn lại là 3!
+ Có 8 cách xếp vị trí của Hải
+ Có 8! cách xếp tám bạn nam vào các vị trí còn lại
Suy ra số cách xếp là 3!.8.8!
- Bạn Minh ngồi ghế 13 cũng có số cách xếp là 3!.8.8!
0.5
- Bạn Minh ngồi ghế 5 (ghế 9 làm tương tự)
Có 3! cách xếp 3 bạn nữ, có 7 cách xếp vị trí của Hải, có 8! cách xếp 8 bạn nam còn lại
Suy ra số cách xếp là 3!.7.8!
0.5 3!.7.8! 3!.8.8! 3!
W =
( ) 2.15.13!3!8! 8158
Trang 11(2.0
điểm)
Đặt u3 x2;v3 2x24x2
Phương trình đã cho trở thành 3u3 1 u 3v3 1 v.
0 5
Xát hàm số f t( )3 3t Có 1 t.
2 2 3 3
1
t
t
Suy ra hàm số ( )f t luôn đồng biến Nên ( ) f u f v( ) u v 0.5
Ta có
2
x x x x x x x
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
3
2
x x
0.5
3.2
(2.0
điểm)
2
2
log 2sin cos 1 ln 2sin cos
Đặt
2
ln 2sin cos 1
cos
x
ïï ïïí
ïïïî
2 os sin 2sin cos
1 tan
2
-ïï =
ïï
Þ í
ïïïî
2 os sin 2sin cos
2cos
x c x v
x
-ïï =
ïï
ï = ïïïî
0.5
4 4
4
0
tan ln 2sin cos
x dx x
0.5
0
ln 4ln 2 2 2
0.5
4.1
(2.0
điểm)
C1 có tâm I -1( 1;3)
, bán kính R =1 2 ; C2 có tâm (I2 0; 3- ) , bán kính R =2 1
Khẳng định tâm I của đường tròn C nằm trên đường thẳng l qua I2 và song song
với d , l có phương trình x y- - 3= 0
0.5
Gọi (I t+3;t) Î Sử dụng l II1=R+R1=5 được t = hoặc 0 t = - 1
( )3;0
I
hoặc (I 2; 1 - )
0.5
Trang 12Kiểm tra C
cắt C2
tại hai điểm phân biệt, ta có (I 2; 1 - ) KL: Đường tròn C : x 22y12 9 0.5
4.2
(2.0
điểm)
G
B'
A'
A
C'
D
D'
C F
B I
J H
Hạ AI ^BC suy ra góc( (A BC' ) (; ABCD) )
= góc(A I AI' , )
= A IA =· ' 45o(1)
Góc (A C ABCD' ;( ) )
=A CA =· ' 30o (2).
Hạ AJ ^CD, AH ^A J' .
Khẳng định khoảng cách từ điểm 'C đến mặt phẳng A CD' bằng AH = a
0.5
Từ (1) suy ra AI =AA'. Đáy ABCD là hình thoi nên AJ =AI
Xét tam giác vuông 'A AJ , từ AH = được a AJ =a 2
Đặt AB =x x,( >0) Þ BC =x
Từ (2) suy ra AC =a 6
0.25
Xét tam giác vuông
AIC IC = AC - AI = a
IB =IC - BC =2a x- Xét tam giác vuông
:
AIB AB =AI +IB 2 ( )22 (2 )2 3
2
a
0.5
2
a
AC ÇBD= O Þ BO =
;
2
3 ' ' ' '
2
a
Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và đường thẳng d qua F vuông
góc với (ABCD)
Mặt phẳng trung trực của AA cắt d tại G thì G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ' AA DE '
0.25
Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE là ' GA= GF2+FA2 với 2
a
Tính được
57 4
a
AE =
;
2
2
ADE
a a a
FA
× ×
Vậy
2
GA= +FA = +æççç ö÷÷÷÷=
0.25
Trang 13(2.0
điểm)
Giả sử ( ;0;0), (0;0; )B a C b ( , a b ).0
Phương trình mặt phằng (P) qua các điểm (0;9;0), ( ;0;0), (0;0; )A B a C b có dạng
1
9
x y z
a b
0.5
Điểm M(4;3;25) (P)Î nên
4 25 2
3
a b Ta có OB OC a b 0.5
Dấu ‘=’ đạt được khi
105
2
a b
0.5
Vậy phương trình mặt phẳng cần lập là
2 1
21 9 105
b x
a x
b x
b
a b
/
b x
b x
Đặt ( ) ln
g x
2 2
=> g(x) nghịch biến (0,+oo) , xlim ( ) 0g x
=> g(x)>0 , x>0
=> f’(x)>0, x>0
=> f(c)>f(0) , c>0
=> đpcm
0.25
0.25
0.25
0.25
20 điểm
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.