Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong m[r]
Trang 1SỞ GD VÀ ĐT LONG AN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÔNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2017 - 2018
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 2
x x
b) Tìm mđể tổng các bình phương các nghiệm của phương trình: x2 2m1x m 4 là nhỏ nhất.3 0
Câu 2 ( 3,0 điểm) Giải hệ phương trình:
,
x y
x xy y
Câu 3 (3,0 điểm) Giải phương trình :
( x Î ¡ )
Câu 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC=a ,CA=b , AB=c BC a CA b BA c ; ; (b ≠ c) và diện tích là S S Kí hiệu m a ,m b , m c m m m a; ; b c lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ
từ các đỉnh A, B, C
Biết rằng 2 ma2 mb2 mc2 Chứng minh rằng : a2£ 4 cotS A
Câu 5 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD Giả
sử H 1;3
, phương trình đường thẳng AE x y : 4 3 0 và
5
; 4 2
C
Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD
Câu 6 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N là điểm thuộc
cạnh AC sao cho NA = 2NC Gọi K là giao điểm của MA và BN.Chứng minh rằng: AK = 6.KM
Câu 7 (2,0 điểm) Doanh nghiệp tư nhân Đông Phương Tầm Vu chuyên kinh doanh xe gắn máy các
loại Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe Honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Câu 8 (2,0 điểm) Cho bốn số nguyên dương bất kì , , , a b c d Chứng minh rằng số :
A
a b c a b d b c d a c d
không phải là một số nguyên
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC : 2017 - 2018
MÔN TOÁN
Câu 1
a)
2 2
x x
Đặt
1
t x
x
x2 12 t2 2
x
(1) 2t23 20 0t
4 5 2
t t
0,5
t x
5 2
t
2 1 2
x x
0,5
b) x2 2m 1x 4m 3 0 (2)
(2) có nghiệm 0 4m212m13 0 2m32 4 0, m 0,5
Theo viet:
1 2
1 2
0,5
A x x m m m
1 min A 6
2
m
0,5 0,5
Câu 2
,
x y
x xy y
Đặt z y 1, thay vào hệ ta được:
1,0
2 2
1 1
1 1
0
x z
x z
xz
x z
x z
xz x z
xz
1,0
Trang 3+) 2
2
0,5
1
0,5
Câu 3
Giải phương trình : x4 x2 4 x4 20x2 4 7 x
Nhận xét : Từ phương trình suy ra x 0
0,5
Đặt
2 2
4
1 3
t x
x
, ta được phương trình t t 21 7
0,5
1,0
Ta được :
2
1 4
2
x
x x
0,5
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 1, x 2 0,5
Câu 4 Cho tam giác ABC có BC=a ,CA=b , AB=c BC a CA b BA c ; ; (b ≠ c) và diện tích
là S S Kí hiệu m a ,m b , m c m m m a; ; b c lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ
từ các đỉnh A, B, C Biết rằng 2 ma2 mb2 mc2(*)
Chứng minh rằng a2£ 4 cotS A
(*)
Û + ³ (**)
0,5
Ta có
cos
4 cot 2 sin
sin
A
A
=
2 cosbc A b c a
-0,5
Từ (**)Û b2+ -c2 a2³ a2 Hay 4 cotS A a³ 2 0,5
Câu 5
- Qua E dựng đường thẳng song song với AD cắt AH tại K và cắt AB tại I
Suy ra: +) K là trực tâm của tam giác ABE, nên BK AE
0,5
B
A
C
D
H K I
E
Trang 4+) K là trung điểm của AH nên KE song song AD và KE=
1
2AD hay
KE song song và bằng BC
Do đó: CEAE CE: 2x - 8y + 27 = 0
Mà
3
;3 2
, mặt khác E là trung điểm của HD nên D 2;3
0,5
- Khi đó BD: y - 3 = 0, suy ra AH: x + 1 = 0 nên A(-1; 1) 0,5
Câu 6 Cho tam giác ABC M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N là điểm thuộc cạnh
AC sao cho NA = 2NC Gọi K là giao điểm của MA và BN Chứng minh rằng: AK = 6.KM Đặt: AB a AC b ;
và AK t AM
Khi đó:
2
BK a b
2 3
BN a b
0,5
Do B, N, K thẳng hàng nên
m BK mBN a b m a b
1
t
t m
t
0,5
Suy ra
6
7
AK AM AK KM AK KM
(đpcm)
0,5
Câu 7 Gọi x ( x 0, đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới Khi đó:
Số tiền đã giảm là: 31 x. Số lượng xe tăng lên là: 200(31 x).
Vậy tổng số sản phẩm bán được là: 600 200(31 x) 6800 200 x
0,5
Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là:(6800 200 ) x x
Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là: (6800 200 ).27 x
0,5
Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là:
( )
2
(6800 200 )x x (6800 200 ).27x 200x 12200x 183600
0,5
Lập BBT ta thấy lợi nhuật lớn nhất khi x 30,5. Vậy giá bán mới là 30,5(triệu
đồng
0,5
Trang 5Câu 8
Vì , , ,a b c d Z
nên
A
a b c a b d b c d a c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
0,5
Mà
, , 0 1
x y z x y
x x z
y y z
Thật vậy, 1
x
y x y
xz yz
xy xz xy yz x y z y x z
x x z
y y z
0,5
Nên
a b c a b c d
a b d a b c d
b c d a b c d
a c d a b c d
Suy ra A 2
0,5