Cac bai toan tinh nhanh o tieu hoc

[r]

20.TÍNH NHANH

Bài 1:

Tính nhanh

999999999:81-123456789:10+11111111,1 (9 chữ số 9 và 9 chữ số 1)

Giải

999999999:81-123456789:10+11111111,1

= 12345679 – 12345678,9 + 11111111,1

= 0,1 + 11111111,1

= 11111111,2

Bài 2:

Giải

a)

2/9 + 6/27 + 8/36 + 12/54 + 16/72 + 18/81 =

2/9 x 6 = 4/3

b)

(1-2/5)x(1-2/7)x(1-2/9)x……x(1-2/99)=

3 x 5 x 7 x ……… x 97 = 3/99

5 x 7 x 9 x ……….x 99

c)

Gọi A= 1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/1024

Nhân A với 2:

Ax2 = 1+1/2+1/4+1/8+…… +1/512

Ax2 – A = 1+1/2+1/4+1/8+…… +1/512 – (1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512+1/1024)

A = 1 – 1/1024 = 1023/1024

Cách 2:

(1-1/2)+(1/2-1/4)+………+(1/512-1/1024) =

1 – 1/1024 = 1023/1024

Bài 3:

Tính tổng: 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + + 99x100

Giải

Gọi biểu thức trên là A, ta có :

A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + + 99x100

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + + 99x100x3

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + + 99x100x(101-98)

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + + 99x100x101 - 98x99x100

A x 3 = 99x100x101

A = 99x100x101 : 3

A = 333300

Bài 3b:

Tính: 1x3 +2x4+3x5+ 4x6+ + 99x101

Giải

1x3 +2x4 + 3x5 + 4x6 + + 99x101 =

(2-1)(2+1) + (3-1)(3+1) + (4-1)(4+1) + (5-1)(5+1) + + (100-1)(100+1) = (2x2 -1) + (3x3 – 1) + (4x4 – 1) + (5x5 – 1) + … + (100x100 – 1) =

2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + … + 100x100 – 99 = (1)

Mà:

2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + … + 100x100 =

2x(3-1) + 3x(4-1) + 4x(5-1) + 5x(6-1) + … + 100x(101-1) =

2x3-2 + 3x4-3 + 4x5-4 + 5x6-5 + … + 100x101-100 =

2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 + … + 100x101 – (2+3+4+5+…+100) = (2)

Ta lại xét :

2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 + … + 100x101 =

[2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + … + 100x101x(102-99)] : 3 =

(2x3x4 – 1x2x3 + 3x4x5 – 2x3x4 + 4x5x6 – 3x4x5 + … + 100x101x102 – 99x100x101) : 3 =

(100x101x102 – 1x2x3) : 3 = 343 398

Thay kết quả 343 398 vào (2) ta được :

343 398 – (2+100) x 99 : 2 = 338 349

Thay kết quả 348 447 vào (1) ta được :

338 349 – 99 = 338 250

Bài 4:

Tính nhanh

8/9 x 15/16 x 24/25 x x 2499/2500

Giải

8/9 x 15/16 x 24/25 x x 2499/2500

= (2x4)/(3x3) x (3x5)/(4x4) x (4x6) / (5x5) x x (49x51) / 50x50)

= 2x4x3x5x4x6x x49x51 / 3x3x4x4x5x5x x50x50 (giản ước tử và mẫu)

= (2x51) / (3x50)

= 17/25

Bài 5:

Tính nhanh:

A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + + 1/98x99x100

Giải

1/1x2x3= ½ x(1/(1x2) – 1/(2x3)

1/2x3x4= ½ x(1/(2x3) – 1/(3x4)

1/3x4x5= ½ x(1/(3x4) – 1/(4x5)

………

1/98x99x100= ½ (1/(98x99) – 1/(99x100)

A = ½ x (1/1x2 – 1/2x3 + 1/2x3 – 1/3x4 + 1/3x4 – 1/4x5 + …… + 1/98x99 – 1/99x100)

A = ½ x (1/1x2 – 1/99x100) =1/2 x ( ½ - 1/9900)

= ½ x (4950/9900 – 1/9900) =1/2 x 4949/9900

A = 4949/19800

Hoặc :

Nhân A với 2 ta được:

A = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + + 2/98x99x100

= (1/1x2 – 1/2x3) + (1/2x3 – 1/3x4) + (1/3x4 – 1/4x5) + …… + (1/98x99 –

1/99x100)

= 1/1x2 – 1/99x100 = 1/2 – 1/9900 = 9898/19800

Vậy:

A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + + 1/98x99x100

= 9898/19800 : 2

A = 4949/19800

Bài 6:

Tính: A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102

Giải

A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102

Nhân A với 4 ta được:

A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x 4 + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4

A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + + 100x101x102x(103 - 99)

A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + + 100x101x102x103

- 99x100x1001x102

Sau khi cộng - trừ giản ước ta có : A x 4 = 100x101x102x103

A = 100 x101x102x103 : 4 = 26527650

Bài 7:

Tính nhanh: 11 x 34 – ( 34 + 6 x 34 + 102)

Tính nhanh:

11x34-(34+6x34+102) = 11x34 – [34x(1+6+3)] = 11x34 – 10x34 = 34

Bài 8:

Tính nhanh: 2x3+3x4+4x5+5x6+ +29x30

Giải

Gọi biểu thức trên là A, ta có :

A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + + 29x30

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + + 29x30x3

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + + 29x30x(31-28)

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + + 29x30x31 – 28x29x30

A x 3 = 29x30x31

A = 29x30x31 : 3

A = 8990

Bài 9:

So sánh A và B biết:

A= 163% X 167% B= 165% X 165%

Giải

Nhân A và B với 10000

A x 10000 = 163 x 167 = 165 x 163 + 165 + 161 = 165 x 164 + 161

B x 10000 = 165 x 165 = 165 x 164 + 165

Do 161 < 165 nên A x 10000 < B x 10000

Hay: A < B

Bài 10:

Tính tổng : A = 1 + 4 + 9 + 16 + + 100 (A= 1x1 + 2x2 + 3x3 + … +

10x10)

Giải

A = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 100

A = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 10x10

A = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + … + 10x(11-1)

A = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 10x11 – 10

A = (1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 10x11) – (1+2+3+ … + 10)

A = (10x11x12) : 3 – (1+2+3+ … +10)

A = 440 – 55

A = 385

Bài 11: (Giống bài 10)

Tính nhanh: B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + + 100 x 100

Giải

B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + + 100 x 100

= 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + + 100 x (101 – 1)

= 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + + 100 x 101 – 100

= (1 x 2 + 2 x 3 + + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + + 100) = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)

= 343400 – 5050

B = 338350

Bài 12:

Tính tổng : A = 4 + 16 + 36 + 64 + + 10000

Giải

A:4 = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 2500

A:4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 50x50

A:4 = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + … + 50x(51-1)

A:4 = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 50x51 – 50

A:4 = (1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 50x51) – (1+2+3+ … + 50)

A:4 = (50x51x52) : 3 – (1+2+3+ … +50)

A:4 = 46 852 – 1275 = 45 577

A = 45 577 x 4

A = 182 380

Bài 13:

Tính M = 1 + 9 + 25 + 49 + + 9801

Giải

Cộng 2 vế với: 4+16+36+….+10000

M + (4+16+36+….+10000) = 1+4+9+16+25+….+9801+10000

= 1x1 + 2x2 + 3x3 + …… + 100x100

= 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + + 100 x (101 – 1)

= 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + + 100 x 101 – 100

= (1 x 2 + 2 x 3 + + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + + 100) = (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)

= 343400 – 5050

= 338350

M + (4+16+36+….+10000) = 338350

Ta thầy : 4+16+36+….+10000

= 4x(1 + 4 + 9 + …… + 2500)

= 4x(1x1 + 2x2 + 3x3 + …… + 50x50)

= 4x(1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + + 50 x (51 – 1))

= 4x(1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + + 50 x 51 – 50 )

= 4x[(1 x 2 + 2 x 3 + + 50 x 51) – (1 + 2 + 3 + + 50)]

= 4x[(50 x 51 x 52) : 3 - (50 x 51 : 2)]

= 171700

Vậy: M + 171700 = 338350

M = 338350 – 171700

M = 166 650

Bài 14:

Tính nhanh: (1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + + 1/99x100)

Giải

Xét mẫu số: 1/(2x3) + 1/(3x4) + …… + 1/(99x100)

= 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + + 1/99 – 1/100

= (1 + 1/3 + + 1/99) – (1/2 + 1/4 + + 1/100)

= (1 + 1/3 + + 1/99)+(1/2+1/4+1/6+….+1/100) – (1/2+1/4+1/6+ + 1/100)x2

= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + +1/50 )

= 1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100 (Đơn giản số trừ)

Vậy: (1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + + 1/99x100) = (1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100) / (1/51 + 1/52 + 1/53 + + 1/100) = 1

Bài 14b:

A = 1/ 51 + 1/ 52 + 1/ 53 + + 1 /100 Chứng minh : 7 /12 <A< 5/ 6

1/51 ; 1/52 ; 1/53 ; … ; 1/74 đều lớn hơn 1/75

=> 1/51 + 1/52 + … + 1/75 > 25/75 = 4/12

1/76 ; 1/77 ; 1/78 ; … ;1/99 đều lớn hơn 1/100

=> 1/76 + 1/77 + … + 1/100 > 25/100 = 3/12

=> 1/51 + 1/52 + … + 1/100 > 4/12 + 3/12 = 7/12

Và

1/51 ; 1/52 ; 1/53 ; … ; 1/75 đều bé hơn 1/50

=> 1/51 + 1/52 + … + 1/75 < 25/50 = 6/12

1/76 ; 1/77 ; 1/78 + … ;1/99 đều bé hơn 1/75

=> 1/75 + 1/76 + 1/77 + … + 1/100 < 25/75 = 4/12

=> 1/51 + 1/52 + … + 1/100 < 6/12 + 4/12 = 5/6

Vậy: 7/12 < A < 5/6

Bài 15:

Tính nhanh: 1/(1 x2) + 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + + 1/ (2013 x 2014)

Giải

Ta thấy:

1/(1x2) = 1 – 1/2

1/(2x3) = 1/2 – 1/3

1/(3x4) = 1/3 – 1/4

………

Nên: 1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + + 1/ 2013 x 2014 =

1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + + 1/2013 – 1/2014 =

1 – 1/2014 = 2013/2014

Bài 16

Tính A= 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + + 1/2013x2014x2015

Giải

Nhân 2 vế với 2:

Ax2 = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + + 2/2013x2014x2015

= 1/1x2-1/2x3 +1/2x3 - 1/3x4 + 1/3x4 -1/4x5 + +1/2013x2014 - 1/2014x2015 = 1/1x2 - 1/2014x2015 = 4056194 / 8116420

A = 4056194 / 8116420 : 2

A = 2028097 / 8116420

Mở rộng: Mẫu số có tích 4 số tự nhiên liên tiếp như trường hợp sau ta 2 vế với 3 Chú ý là: 3 = 4-1 = 5-2 = 6-2 = ………

A = 1/1x2x3x4 + 1/ 2x3x4x5 + 1/3x4x5x6 + … + 1/27x28x29x30

A x 3 = 3/1x2x3x4 + 3/2x3x4x5 + 3/3x4x5x6 + + 3/27x28x29x30

A x 3 = 1/1x2x3 - 1/2x3x4 + 1/2x3x4 - 1/3x4x5 + 1/3x4x5 - 1/4x5x6 + +

1/27x28x29 - 1/28x29x30

A x 3 = 1/1x2x3 - 1/28x29x30 = 1/6 - 1/24360 = 146154 / 146160

A = 48718 / 146160

Bài 17:

Tính: S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+ -1998x1999+1999x2000

Giải

S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+ -1998x1999+1999x2000

S = 1x2 +(3x4-2x3)+(5x6-4x5)+(7x8-6x7)+…… +(1999x2000 – 1998x1999)

= 2 + 3x(4-2) + 5x(6-4) + 7x(8-6) + ……… + 1999 x (2000-1998)

= 2 + 3x2 + 5x2 + 7x2 + ……… + 1999x2

= 2 x (1+3+5+7+… + 1999)

S = 2 x 1000000 = 2 000 000

Bài 18:

Tính nhanh

8/9 x15/16 x24/25 x 35/36 x x 99/100

Giải

Ta thấy:

8/9 = (2x4)/(3x3) ; 15/16 = (3x5)/(4x4) ; 24/25 = (4x6)/(5x5) ; … ; 99/100 = (9x11)/ (10x10)

Nên có thể viết lại :

(2x4 3 5 4 6 x5 7 6 8 7 9 8 10x x11) / (3x3x4x4x5x5x6x6x7x7x8x8x9x9x10x10)

(2 x 11) / (3 x 10) = 22/30 = 11/15

Bài 19:

Tính nhanh:

1x4+2x5+3x6+ +99x102

Giải

1x4+2x5+3x6+ +99x102 = 1x (2+2) + 2x(3+2) + 3x(4+2) + … + 99x(100+2) =

(1x2+2x3+3x4+ …+99x100) + (2+4+6+…+198) =

Ta thấy: 1x2+2x3+3x4+…+99x100 nhân với 3 thì được

1x2x3+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+…+99x100x(101-98) =

1x2x3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+….+99x100x101-98x99x100 =

99x100x101 = 999900

Vậy : 1x2+2x3+3x4+…+99x100 = 999900 : 3 = 333300

Còn 2+4+6+…+198 có (198-2) :2+1= 99 (số hạng)

Tổng bằng : (198+2)x99 :2 = 9900

Kết quả :

1x4+2x5+3x6+ +99x102 = 333 300 + 9 900 = 343 200

Bài 20:

Tính nhanh

A = 1 + 2 + 4 + 8 + + 4096 + 8192

Giải

Cách 1:

A x 2 = 2 + 4 + 8 + + 16384

A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383

Vậy A = 16383

Cách 2:

Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:

1 + 2 + 4 = 3 + 4

Tổng 4 số hạng đầu là:

1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8

Tổng 5 số hạng đầu là:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16

Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:

A = 1 + 2 + 4 + 8 + + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383

Vậy A = 16383

Cách 3:

Nhận xét từ TỔNG 3 số hạng đầu về sau ta được:

1+2+4 = 3+4

1+2+4+8 = 7+8

1+2+4+8+16 = 15+16

………

Vậy A = (8192-1)+8192 = 16383

PHẦN BỔ SUNG

Bài 21:

Tính tổng:

5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81

Giải

S = 5/27 + 5/(27x2) + 1/(6x3) + 1/(3x9) + 5/(3x63) + 5/(63x4) + 5/(4x81) + 1/81

S = 5/27 + 5/54 + 1/18 + 1/27 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 1/81

S = 5/27 + 5/54 + 5/90 + 5/135 + 5/189 + 5/252 + 5/324 + 5/405

S = 5/(9x3) + 5/(9x6) + 5/(9x10) + 5/(9x15) + 5/(9x21) + 5/(9x28) + 5/(9x36) + 5/ (9x45)

S = 10/(9x6) + 10/(9x12) + 10/(9x20) + 10/(9x30) + 10/(9x42) + 10/(9x56) + 10/(9x72) + 10/(9x90)

S = 10/9 x (1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90)

S = 10/9 x (1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + 1/5x6 + 1/6x7 + 1/7x8 + 1/8x9 + 1/9x10)

S = 10/9 x (1/2 -13 + 1/3-1/4 + 1/4-1/55 + 1/5-1/6 + 1/6-1/7 + 1/7-1/8 + 1/8-1/9 + 1/9-1/10)

S = 10/9 x (1/2 - 1/10) = 10/9 x 4/10

S = 4/9

Bài 22:

Tính A=

1 2 3 2 4 6 3 6 9

2 3 12 4 6 24 6 9 36

       

Giải

1 2 3 2 4 6 3 6 9

2 3 12 4 6 24 6 9 36

       



       

1 2 3 2 (1 2 3) 3 (1 2 3)

2 3 12 2 (2 3 12) 3 (2 3 12)

         



         

(1 2 3) (1 2 3)

(2 3 12) (1 2 3)

    



    

1 2 3 1

2 3 12 12

 



 

A =

1

12

Bài 23:

Tìm A biết:

(1-1/3)x(1-1/6)x(1-1/10)x(1-1/15)x x(1-1/780)xA=1

Giải

(1-1/3) x (1-1/6) x (1-1/10) x (1-1/15)x x (1-1/780) =

2/3x 5/6x x 9/10 x x 779/780 =

4/6 x 10/12 x 18/20 x x 1558/1560 =

4x10 x 18 x x 1558/6x 12 x 20 x x 1560 =

(1x4)x(2x5)x(3x6)x (37x40)x (38 x 41) / (2x3)x(3x4)x(4x5)x … x(39x40) =

Giản ước ta còn

41/3x39 = 41/117

Ta được:

41/117 x A = 1

A = 1 : 41/117

A = 117/41

Bài 24:

Tính:

1 2 1 2 3 1 2 3 4         1 2 2009  

Giải

1 2 1 2 3 1 2 3 4         1 2 2009   =

(1+2)x2:2 (1+3)x3:2 (1+4)x4:2 (1+2009)x2009:2 =

2x3 3x4 4x5 2009x2010 =

2x3 3x4 4x5 2009x2010 =

2x( - + - + - + + - )

2 3 3 4 4 5 2009 2010 =

2x( - )

2 2010 =

1004

2 x

2010 =

1004 1005

Bài 25:

Tính nhanh

A = 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + 1/36 + 1/45

Giải

Nhân A với 1/2 Ta được:

A/2 = 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 + 1/90

= 1/(2x3) + 1/(3x4) + … + 1/(9x10)

= 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + …+ 1/9 – 1/10

= 1/2 – 1/10 = 4/10

A = 4/10 x 2 = 4/5

Bài 26:

1x6x6 2x9x8 3x12x10   98x297x200 Giải

Ta có thể viết lại :

A =

1x(2x3)x(3x2) 2x(3x3)x(4x2) 3x(4x3)x(5x2)   98x(99x3)x(100x2)

A =

6 1x2x3 2x3x4 3x4x5   98x99x100

A x 12 =

1x2x3 2x3x4 3x4x5   98x99x100

A x 12 =

1x2 2x3  2x3 3x4  3x4 4x5   98x99 99x100

A x 12 =

1x2 99x100 =

4949 9900

A =

4949

9900x12

4949 118800



Bài 27:

So sánh A và B Biết:

A = 1 x 2 + 2 x 4 + 3 x 6 + 4 x 8 +5 x 10 / 3 x 4 + 6 x 8 + 9 x 12 + 12 x 16 + 15 x 20

B = 11111 / 66665

Giải

A = 1x2 + 1x2x2x2 + 1x2x3x3 + 1x2x4x4 + 1x2x5x5 / 3x4 + 3x4x2x2 + 3x4x3x3 + 3x4x4x4 + 3x4x5x5

A = 1x2 x (4+9+16+25) / 3x4 x (4+9+16+25) = 1/6

A = 11111/66666

Vậy

A < B

Bài 28:

Tính: 6+16+30+48+ +19600+19998

Giải

B = 6 + 16 + 30 + 48 + + 19600 + 19998

Chia cả 2 vế cho 2 ta được

B/2 = 3 + 8 + 15 + 24 + + 98000+ 9999

B/2= 1x3+2x4+3x5+4x6+…….+98x100+99x101

B/2= 100/6.[(100-1)x(2x100+1)] = 328350

Suy ra: B =328350x2=656700

Bài 29:

Tính: 1+ 3 + 6 +10 + +4851+4950

Giải

C=1+ 3 + 6 +10 + +4851+4950

Nhân cả 2 vế với 2 ta được

2xC= 1x2 + 2x3 + 2x6 +2x10 + ……… 2x4851+2x4950

2xC=2+6+12+20+………… +9702+9900

2xC = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 = 333300

Suy ra: A= 333300:2 = 166650

Bài 30:

Tính: D = 2 + 5 + 9 + 14 + + 4949 + 5049

Giải

Nhân cả 2 vế với 2 ta được

2xD=1x4+ 2x5+ 3x6+ 4x7+…… +98x101+99x102

2xD = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2)

2xD = 1x2+1x2+2x3+2x2+3x4+3x2+ +99x100+99x2

2xD= (1x2+2x3+3x4+ +99x100)+2(1+2+3+ +99)

2xD = 333300 + 9900 = 343200

Suy ra : D= 343200 :2 =171600

Bài 31:

Tính: S = 2 + 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2

Giải

Sx2 = 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2

Sx2 – S = (2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + 2x2x2x2x2x2) – (2 + 2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2)

S = 2x2x2x2x2x2 – 2

Bài 32:

Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n>1 thì:

3/(9x14)+3/(14x19)+ +3/[(5n-1)x(5n +4)] <1/15

Giải

Đặt A = 3/(9x14)+3/(14x19)+ +3/[(5n-1)x(5n +4)]

Nhân A với 5/3 ta được:

5/3A = 5/(9x14)+5/(14x19)+ +5/[(5n-1)x(5n +4)]

5/3A = 1/9 – 1/(5n+4)

A = 3/5 x [1/9 – 1/(5n+4)]

Với n > 1 thì [1/9 – 1/(5n+4)] < 1/9

Mà 3/5 x 1/9 = 1/15

Suy ra: A = 3/5 x [1/9 – 1/(5n+4)] < 1/15

Hay: 3/(9x14)+3/(14x19)+ +3/[(5n-1)x(5n +4)] <1/15

Bài 33:

Cho A = 2/3^2 +2/5^2+2/7^2 + +2/2007^2 Chứng minh A <1003/2008

Giải

Ta thấy

2/(3x3) < 2/(2x4) = 1/2 – 1/4

2/(5x5) < 2/(4x6) = 1/4 – 1/6

2/(7x7) < 2/(6x8) = 1/6 – 1/8

………

2/(2007x2007) < 2/(2006x2008) = 1/2006 – 1/12008

Nên:

A = 2/3^2 +2/5^2+2/7^2 + +2/2007^2 < 2/(2x4) + 2/(4x6) + … + 2/(2006x2008) < 1/2 – 1/4 + 1/4 – 1/6 + 1/6 – 1/8 + … + 1/2006 – 1/2008 =

1/2 – 1/2008 = 1003/2008

Vậy: A < 1003/2008