Nếu để từng đội làm một mình thì đội thứ nhất hoàn thành ít hơn đội thứ hai là 10 ngày.Hỏi khi mỗi đội làm một mình thì tốn bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong con mương?. Giải: Cách [r]
Trang 1Chương IV: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trong thực tế, nhiều bài tốn đố, bài tốn vật lí trong đời sống trong chương trình phổ thông tuy rất quen thuộc nhưng không đơn giản khi giải chúng Trong mục này, chúng ta chuyển các bài toán như vậy thành các phương trình, hệ phương trình và có các lời giải rõ ràng, rất triệt để Để giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, trước tiên chúng ta phải chuyển tải được ý nghĩa, mối quan hệ tồn bộ bài tốn sang ngơn ngữ đại số Sau đĩ, kết hợp các đại lượng chưa biết với các giả thiết để tạo ra phương trình, hệ phương trình Cuối cùng là giải phương trình, hệ phương trình để cĩ được kết luận Cụ thể như sau:
Bước 1: Chọn ẩn số và xác định điều kiện của ẩn số Chúng ta cĩ thể gọi ẩn số một
cách trực tiếp tức là: đề yêu cầu tìm đại lượng gì thì ta gọi ẩn như vậy, hoặc ta
cũng cĩ thể gọi ẩn gián tiếp mà cũng tính được đại lương cần yêu cầu
Ví dụ: Yêu cầu tính độ dài của quảng đường Chúng ta cĩ thể gọi trực tiếp: gọi x
(km) là độ dài của quảng đường Hoặc cĩ thể gọi gián tiếp là: Gọi x (m/s) là vận
tốc đi hết quảng đường hoặc y (s) là thời gian đi hết quảng đường…
Bước 2: Thơng qua các ẩn số, giả thiết và các mối quan hệ giữa chúng để thiết lập
phương trình hoặc hệ phương trình
Chú ý: các mối quan hệ thường gặp như sau:
Quảng đường = (vận tốc) x (thời gian)
Sản lượng = (Năng suất ) x (thời gian)
Khối lượng riêng = Khối lượng.
Thể tích
Nồng độ = Khối lượng chất tan .
Khối lượng dung dịch …
Bước 3: Giải phương trình, hệ phương trình và kiểm tra các nghiệm điều kiện của ẩn số
Cuối cùng là kết luận
Nhận xét:
Khi các đại lượng không được lượng hoá cụ thể (như hoàn thành xong một công việc, đào xong
một con đê, chảy đầy bồn nước,…) thì thường tính thông qua đại lượng: năng suất trong một đại
lượng thời gian
Ví dụ: Một vòi nước chảy đầy 1 bể trong thời gian t (giờ) Thì ta có: năng suất trong một đại lượng
thời gian là: trong 1 (giờ) thì vòi chảy được là 1
t (bể) Khi đó: x (giờ) thì vòi chảy được
1 x.
t (bể) và
trong t (giờ) thì vòi chảy được t 1 1
t (bể)(tức là đầy bể)
Khi các bài toán vận tốc di chuyển mà có thêm các vận tốc phụ v’ ( vận tốc gió,vận tốc gió,…) thì khi đi xuôi dòng thì phải cộng v’ và ngược dòng thì trừ đi v’
Nếu biểu diễn bài toán dưới dạng biểu đồ, hình vẽ thì sẽ thuận tiện, rõ ràng hơn cho việc thiết lập các phương trình
Sau đây là các ví dụ về các bài toán điển hình mà chúng tôi trình bày 2 cách giải
quyết vấn đề là đặt ẩn trực tiếp và gián tiếp Do đó, cách giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình rất uyển chuyển và linh động tuỳ thuộc vào bài toán cụ
thể
Ví dụ 1: Một ca nơ xuơi dịng 45km rồi ngược dịng 18 km Biết rằng thời gian xuơi dịng lâu
hơn thời gian ngược dịng 1 giờ và vận tốc xuơi dịng lớn hơn vận tốc ngược dịng là 6
km/h Tính vận tốc của ca nơ lúc ngược dịng ?
Giải:
Trang 2Cách 1: Đặt ẩn trực tiếp:
Gọi x (km/h), x > 0 : là vận tốc của ca nơ lúc ngược dịng
Vì vận tốc xuơi dịng lớn hơn vận tốc ngược dịng là 6 km/h nên vận tốc của ca nơ khi
xuơi dịng là: x + 6 (km/h)
Ta cĩ: thời gian xuơi dịng lâu hơn thời gian ngược dịng 1 giờ
thời gian xuơi dịng – thời gian ngược dịng = 1 Quảng đường Quảng đường 1
Vận tốc xuôi dòng Vận tốc ngược dòng
1 6
45x 18(x 6) x(x 6)
2
12 9
x
x
Vậy ta cĩ 2 đáp số: vận tốc ngược dịng là 12 (km/h) hoặc 9 (km/h)
Cách 2: Đặt ẩn gián tiếp:
Gọi x (h), x > 0: là thời gian ca nơ ngược dịng
Vì thời gian xuơi dịng lâu hơn thời gian ngược dịng 1 giờ nên thời gian xuơi dịng là: x + 1 (h)
Ta cĩ: vận tốc xuơi dịng lớn hơn vận tốc ngược dịng là 6 km/h vận tốc xuơi dịng – vận tốc ngược
thời gian xuôi dòng thời gian ngược dòng
6 1
45x 18(x )1 6x(x )1
2
6x 21x 18 0
2
1 5
x
Ta được: thời gian ca nơ ngược dịng là 2 (h) hoặc 1,5(h)
Vậy vận tốc ca nơ ngược dịng là 18 9 18 12
2 (km / h) hoặc 1 5 (km / h)
,
Ví dụ 2: Một cơng ty dự định điều một số xe để di chuyển 120 tạ hàng, nếu mỗi xe chở thêm
1 tạ hàng so với dự định thì số xe giảm đi 4 chiếc Tính số xe dự định điều động?
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn trực tiếp
Gọi x (chiếc), x >0: là số xe mà cơng ty dự định điều động Thì số hàng mỗi xe dự định
sẽ chở là: 120
x (tạ)
Nếu mỗi xe chở thêm 1 tạ hàng so với dự định tức là: 120 1
x (tạ) thì số xe giảm đi 4
chiếc
Số xe dự định số xe chở thêm 1 tạ = 4
4
Tổng số tạ hàng
Hàng mỗi xe (trường hợp chở 1 tạ)
1
x
x x
Trang 324 20
x
x (loại vì điều kiện x> 0)
Vậy số xe dư định là 24 (chiếc)
Cách 2: Đặt ẩn gián tiếp:
Gọi x (tạ hàng), x >0: là số tạ hàng mà mỗi xe dự định chở Thì số xe dự định để chở 120
tạ hàng là: 120
x xe (cũng là số xe đề bài cần tính )
Vì số xe dự định – số xe (chở thêm 1 tạ) = 4
4
Tổng số tạ hàng
Hàng mỗi xe (trường hợp chở 1 tạ)
4 1
120(x )1 120x 4x(x )1
2
4x 4x 120 0
5 6
x
x (loại vì điều kiện x > 0)
Vậy số xe mà cơng ty dự định điều động là: 120 120 24
5
Ví dụ 3: Hai dung dịch muối cĩ khối lượng tổng cộng là 220 kg Lượng muối trong dung
dịch I là 5 kg, lương muối trong dung dịch II là 4,8 kg Biết nồng độ muối trong dung
dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 1% Tính khối lượng mỗi dung dịch
nĩi trên?
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn trực tiếp
Gọi x (kg), x >0 : là khối lượng của dung dịch I
Vì hai dung dịch muối cĩ khối lượng tổng cộng là 220 kg nên khối lượng của dung dịch II là: 220 – x
(kg), (x < 220 )
Vì nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 1%
Nồng độ dung dich I Nồng độ dung dịch II = 1%
1
Khối lượng muối trong dung dịch I Khối lượng muối trong dung dịch II %.
Khối lượng dung dịch I Khối lượng dung dịch II
,
500 220( x) 450x x(220 x)
2
100
x (loại vì điều kiện x <220)
x
Vậy khối lượng của dung dịch I là: 100 (kg ) và khối lượng của dung dịch II là: (220 – 100) = 120 kg
Cách 2: Đặt ẩn gián tiếp:
Gọi x, x >0: là nồng độ của dung dịch I
Vì nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 1% nên nồng độ của
dung dịch II là: x – 1%
Do hai dung dịch muối cĩ khối lượng tổng cộng là 220 kg
Khối lượng dung dich I + Khối lượng dung dịch II = 220
220
Khối lượng muối trong dung dịch I Khối lượng muối trong dung dịch II .
Nồng độ dung dịch I Nồng độ dung dịch II
220 1
,
Trang 45 480
220
5 100( x )1 480x 220 100x( x )1
2
22000x 1200x 5 0
0 05 1 220
x
Với x = 0.05 thì khối lượng dung dịch I là: 5 5 100
dịch II là: 220 100 120(kg).
220
x thì khối lượng của dung dịch I là: 5 5 1100 220
1 220
(kg)
thuẫn với với giả thiết nên khơng nhận trường hợp này
Ví dụ 4: Một phịng họp cĩ 500 chỗ ngồi Do phải xếp 616 chỗ ngồi, người ta kê thêm 3 dãy
ghế và mỗi dãy ghế phải kê thêm 2 chỗ Tính số dãy ghế lúc ban đầu của phịng họp?
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn trực tiếp
Gọi x, x > 0: là số dãy ghế lúc ban đầu của phịng họp Số chỗ ngồi ban đầu là: 500
x (chỗ ngồi), 500
x
Vì kê thêm 3 dãy ghế nên cĩ: (x + 3) dãy ghế
Vì mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ nên mỗi dãy cĩ: 500 2
x (chỗ ngồi)
Sau khi kê xong thì đủ chỗ ngồi cho 616 người ngồi nên
Số chỗ ngồi sau khi kê xong là 616
616 (số dãy ghế sau khi ke)â x (Số chỗ ngồi mỗi ghế sau khi ke)â
500
x
2
2x 110x 1500 0
25
500 30
30
x
Vậy phịng họp ban đầu cĩ 25 dãy ghế
Cách 2: Đặt ẩn gián tiếp
Gọi x, x : là số chỗ ngồi ban đầu của mỗi dãy ghế trong phịng họp Số dãy ghế ban đầu là: 500
x ,
500
x ( cũng là đáp số đề bài yêu cầu tính)
Vì kê thêm 3 dãy ghế nên cĩ: 500 3
x dãy ghế
Vì mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ nên mỗi dãy ghế cĩ: (x + 2) chỗ ngồi
Ta cĩ: Sau khi kê xong thì đủ chỗ ngồi cho 616 người ngồi nên
Số chỗ ngồi sau khi kê xong là 616
616 (số dãy ghế) x (Số chỗ ngồi mỗi ghế)
500
x
Trang 52 500 3 616
2
3x 110x 1000 0
20 50 3
x
x (loại x )
Vậy phịng họp ban đầu cĩ 500 500 25
20
Ví dụ 5: Hai đội cơng nhân cùng làm chung một con mương thì hồn thành trong 12
ngày Nếu để từng đội làm một mình thì đội thứ nhất hồn thành ít hơn đội thứ hai là 10 ngày.Hỏi khi mỗi đội làm một mình thì tốn bao nhiêu thời gian để hồn thành xong con mương ?
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn trực tiếp
Gọi x (ngày), x>12: là thời gian đội thứ nhất làm một mình xong con nương
Vì nếu để từng đội làm một mình thì đội thứ nhất hồn thành ít hơn đội thứ hai là 10
ngày nên thời gian đội thứ hai làm một mình xong con nương là: x +10 (ngày)
Trong 1 ngày đội thứ nhất là: 1
x(con mương) Trong 1 ngày đội thứ hai là:
1 10
x (con
mương)
Vì “hai đội cơng nhân cùng làm chung một con mương thì hồn thành trong 12 ngày”
nên trong một ngày cả hai đội làm chung là: 1
12 (con mương)
x x
12(x 10) 12x x(x 10)
2
20 6
x
x ( loại vì điều kiện x > 12 )
Vậy đội thứ nhất một mình hồn thành con mương trong 20 ngày và đội thứ hai một mình hồn thành con mương trong (20 + 10) = 30 ngày
Cách 2: Đặt ẩn gián tiếp
Gọi x là phần con mương mà đội thứ nhất làm trong một giờ Thời gian của đội thứ nhất hồn thành con mương là: 1
x
Vì “nếu để từng đội làm một mình thì đội thứ nhất hồn thành ít hơn đội thứ hai là
10 ngày” nên thời gian của đội thứ hai hồn thành con mương là: 1
x+10 (ngày) Phần con mương mà đội thứ hai làm được trong một ngày là: 1
10
x x x
Vì “hai đội cơng nhân cùng làm chung một con mương thì hồn thành trong 12 ngày”
nên trong một ngày cả hai đội làm chung là: 1
12 (con mương)
1
x x
x
12 1 10x( x) 12x 1 10x
2
120x 14x 1 0
Trang 61 20 1 6
x
x ( loại vì điều kiện x > 0 )
Vậy đội thứ nhất một mình hồn thành con mương trong 1 1 20
1 20
x
ngày và đội
thứ hai một mình hồn thành con mương trong 1 10 1 10 30
1 20
ngày
Ví dụ 6: Tính các kích thước của hình chữ nhật biết rằng nếu tăng chiều dài 3m, giảm chiều
rộng 2m thì diện tích khơng đổi Nếu giảm chiều dài 3m, tăng chiều rộng 3m thì diện tích
khơng đổi
Giải:
Cách 1: Đặt ẩn gián tiếp:
Gọi x, y (m) : lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật,(x, y >0) Diện tích
của hình chữ nhật là x.y (m2)
Vì ” nếu tăng chiều dài 3m, giảm chiều rộng 2m thì diện tích khơng đổi” nên ta cĩ
phương trình: (x + 3)(y –2) = xy (1)
Vì “Nếu giảm chiều dài 3m, tăng chiều rộng 3m thì diện tích khơng đổi” nên ta cĩ
thêm phương trình nữa là: (x – 3)(y + 3) = xy (2)
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ phương trình sau:
Vậy diện tích hình chữ nhât là x.y = 12.15 = 180 (m2)
Cách 2: Đặt ẩn trực tiếp
Gọi S (m2), S >0 là diện tích hình chữ nhật Gọi a (m), a >0 là chiều dài hình chữ nhật Thì chiều rộng của hình chữ nhật là: S
a(m)
Theo giả thiết , ta cĩ hệ phương trình sau:
S
a
a
2 2
0 15
Lấy (1) cộng với (2) có: a 15a = 0
a
Thay a = 15 vào (1) có S = 180
Vậy diện tích hình chữ nhât là S = 180 (m2)
BÀI TẬP Bài 1 : (Vào lớp 10, PHPT Hưng Yên, 2001-2002)
Một tàu thủy chạy trên một khúc sơng dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút Tính
vận tốc tàu thủy khi nước yên lặng, biết vận tốc của dịng nước là 4 km/h
Bài 2: (Đề Thi Thử vào lớp 10 tỉnh Quảng Nam, năm 2009-2010)
Khoảng cách giữa hai bến sơng A và B là 60 km Một xuồng máy đi xuơi dịng từ bến A
Trang 7đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đi đến bến C
Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ Tính vận tốc
xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h?
Bài 3 (HSG lớp 9 Nam Đông, Huế, 2008-2009)
Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên khúc sông dài 40 km hết 4 giờ 30 phút Cho biết thời
gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km Hãy tính vận tốc
của dòng nước?
Bài 4: (Vào lớp 10, ban C, PTNK tp HCM, năm 1999-2000)
Một nhóm bạn đi du khảo bằng xe đạp từ điểm A đến điểm B Điểm B cách điểm A là 24km Khi trở về A
vì bị ngược gió nên tốc độ trung bình của nhóm bạn bị giảm 4 km/giờ và thời gian di chuyển trở về A lâu hơn thời gian di chuyển từ A đến B là 1 giờ Hãy tính tốc độ trung bình ở lượt đi của nhóm bạn nói trên
Bài 5: ( Vào lớp 10, ban C, PTNK tp HCM, 2004-2005)
Hai thành phố A và B cách nhau 48km, gió thổi từ A đến B với vận tốc không đổi 6km/h
Lúc 8 giờ, một người đi môtô từ A đến B, nghỉ 30 phút rồi đi đến A, anh về A lúc 10 giờ
50 phút Vận tốc của môtô được cộng thêm hoặc trừ bớt vân tốc của gió tùy theo mô tô
chạy xuôi chiều hoặc ngược chiều gió Hãy tính tốc độ riêng của môtô (tốc độ môtô khi
tốc độ gió bằng 0 ) ?
Bài 6:(Vào lớp 10, ban A, PTNK tp HCM năm 2004-2005)
Cùng một thời điểm, một chiếc ôtô XA xuất phát từ thành phố A hướng về thành phố B và
một chiếc xe khác XB xuất phát từ thành phố B hương về thành phố A Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A 20km Cả 2 chiếc xe, sau khi đến A và B tương ứng, lập tức quay lại và gặp nhau lần hai tại một điểm C Biết thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ Hãy tính vận tốc của từng chiếc xe ôtô?
Bài 7 : (Vào lớp 10, PTNK tp HCM, năm 1997-1998)
Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau D km Thị trấn B có địa thế
cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc không đổi d (km/giờ) không
đổi Nếu nước không chảy, tàu Hi vọng có vận tốc x(km/giờ) không đổi, tàu Tương lai
có vận tốc y (km/giờ) không đổi Vào 8 giờ sáng, tàu Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng
B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về hướng A Vào 12 giờ trưa, hai tàu gặp nhau lần
đầu tiên tại điểm cách A một khoảng cách là (1/3)D Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa
giờ rồi quay về B ; tương tự tàu khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A Hai tàu gặp nhau lần hai tại một điểm cách B một khoảng cách là (5/27 )D Hãy tìm vận tốc của các tàu Hi vọng và Tương lai biết rằng nếu ngay từ đầu, mỗi tàu tăng vận tốc thêm 7,5 km/giờ thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu lúc 11 giờ trưa ?
Bài 8: (Vào lớp 10 Chuyên, Quốc Học Huế, năm 2007-2008)
Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì đầy sau 16 giờ Nếu vòi I chảy trong 3 giờ và vòi II
chảy trong 6 giờ thì thể tích nước bằng 25% bể Tính thời gian cần thiết để riêng mỗi vòi
chảy đầy bể?
Bài 9: (Vào lớp 10, Thừa Thiên – Huế, năm 2002-2003)
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 12 giờ bể đầy Sau khi
hai vòi cùng chảy 8 giờ thì người ta khóa vòi I, còn vòi II tiếp tục chảy Do tăng công
suất của vòi II lên gấp đôi nên vòi II chảy đầy phần bể còn lại trong 3 giờ rưỡi Hỏi nếu
mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thì sau bao lâu thì đầy bể?
Bài 10: (Vào lớp 10 PTTH, TP Huế, năm 2009-2010)
Hai máy ủi làm việc trong 12 giờ thì san lấp được 1
10 khu đất Nếu máy ủi thứ nhất làm việc một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm một mình trong 22 giờ
thì cả hai máy san lấp được 25% khu đất đó Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san
lấp xong khu đất đó trong bao lâu?
Bài 11: (Vào lớp 10 Chuyên, ĐH Sư Phạm HN, năm 2009-2010)
Hai công nhân cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong.Nếu người thứ nhất làm 6
giờ và người thứ hai làm 12 giờ thì chỉ hoàn thành 50% công việc Hỏi nếu làm riêng thì
mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Bài 12: (Vào lớp 10, ban C, PTNK, tp HCM, năm 2001-2002)
Một hồ nước được cung cấp nước bởi 3 vòi nước Biết rằng nếu từng vòi nước cung cấp
nước cho hồ thì vòi nước thứ nhất sẽ làm đầy hồ nhanh hơn vòi nước thứ hai là 5 giờ, vòi
Trang 8nước thứ ba lại làm đầy hồ nhanh hơn vịi nước thứ nhất 4 giờ; cịn nếu vịi nước thứ nhất
và thứ hai cùng cung cấp nước cho hồ thì thời gian chúng làm đầy hồ bằng với thời gian
vịi nước thứ ba làm đầy hồ Hỏi nếu cả ba vịi cùng cung cấp nước cho hồ thì chúng sẽ
làm đầy hồ trong bao lâu?
Bài 13 : (Vào lớp 10, PTNK tp HCM, 2007-2008)
Một cơng ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt
đầu thực hiện cơng việc cùng một lúc Nếu sau 6 ngày, tổ A được hỗ trợ thêm 10 cơng
nhân may thì họ hồn thành cơng việc cùng một lúc với tổ B Nếu tổ A được hỗ trợ thêm
10 cơng nhân ngay từ đầu thì họ sẽ hồn thành cơng việc sớm hơn tổ B một ngày Hãy
xác định số cơng nhân ban đầu của mỗi tổ Biết rằng mỗi cơng nhân mỗi ngày may được
20 sản phẩm
Bài 14: (Vào lớp 10, tỉnh Thái Bình, năm 2005-2006)
Một mảnh vườn hình chữ nhật cĩ diện tích bằng 720 m2, nếu tăng chiều dài thêm 6m và
giảm chiều rộng 4m thì diện tích của mảnh vườn khơng đổi Tính các kích thước của
mảnh vườn?
Bài 15 : (Vào lớp 10, tại tp HCM, 2006-2007)
Cho mảnh đất hình chữ nhật cĩ diện tích bằng 360 m2, nếu tăng chiều rộng thêm 2m và
giảm chiều dài 6m thì diện tích của mảnh vườn khơng đổi Tính chu vi mảnh đất ban
đầu ?
Bài 16 : (Vào lớp 10, tỉnh Thái Bình, năm 2002-2003)
Một hình chữ nhật cĩ đường chéo bằng 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m Tính
diện tích của hình chữ nhất đĩ?
Bài 17: (Vào lớp10 Chuyên, tỉnh Ninh Bình năm 2008-2009)
Một thửa ruộng hình chữ nhật cĩ chu vi 300m Tính diện tích của thửa ruộng, biết rằng
chiều dài giảm đi 3 lần và chiều rộng tăng gấp 2 lần thì chu vi của thửa ruộng khơng thay
đổi
Bài 18: (Vào lớp 10 Chuyên , Quốc Học Huế, năm 2009-2010)
Một tấm tơn hình chữ nhật cĩ chu vi là 114 cm Người ta cắt bỏ 4 hình vuơng cĩ cạnh 5
cm ở bốn gĩc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật (khơng cĩ nắp) Tính các kích
thước của các tấm tơn đã cho Biết rằng thể tích của hình hộp bằng 1500 cm3?
Bài 19: (Vào lớp 10, ban C, PTNK tp HCM, 2000-2001)
Cho một số gồm 2 chữ số Tìm chữ số đĩ, biết rằng tổng 2 chữ số của nĩ nhỏ hơn số đĩ 4 lần và thêm 45 vào tích của 2 chữ số đĩ sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho
Bài 20: (Vào lớp 10, ban C, PTNK tp HCM, năm 2002-2003)
Tìm số gồm hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số là 9 và tổng lập phương của hai chữ
số đĩ là 189
Bài 21: (Vào lớp 10 Chuyên, Quốc Học Huế, năm 2008-2009)
Hai bác nơng dân đem trứng ra chợ bán với tổng số trứng của hai người là 100 quả Số
trứng của cả hai người khơng bằng nhau nhưng hai người bán được một số tiền bằng
nhau Một người nĩi với người kia: “ Nếu số trứng của tơi bằng số trứng của anh thì tơi
bán được 90000 đồng” Người kia nĩi: “ Nếu số trứng của tơi bằng số trứng của chị thì
tơi bán được 40000 đồng thơi” Hỏi mỗi người cĩ bao nhiêu trứng và giá mỗi quả trứng
của mỗi người là bao nhiêu?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 :
Gọi x (km/h) là vận tốc tàu thủy khi nước yên lặng Vân tốc tàu khi xuơi dịng là (x + 4)
km/h và ngược dịng là: (x – 4) km/h Nên thời gian xuơi dịng là: 120
4
x (giờ) và thời
gian ngược dịng là: 120
4
x (giờ) Vậy ta cĩ phương trình:
x x (với 6 giờ
45 phút 27
4 giờ)
Đáp số: x = 36 (km/h)
Trang 9Bài 2:
Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nước yên lặng Điều kiện: x >1
Thời gian xuồng xuôi dòng 60km từ A đến B là: 60
1
x (giờ) và ngược dòng 25 km từ B
đến C là: 25
1
x (giờ) Ta cĩ phương trình sau:
8
x x
Đáp số: x = 11 (km/h)
Bài 3
Gọi x (km/h) lần lượt là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và y (km/h)vận tốc dịng
nước.Điều kiện x > y> 0 Ta cĩ : Vận tốc thuyền khi xuôi dòng là : (x+y) km/h và
ngược dòng là (x-y) km/h Ta được : hệ phương trình sau:
2
x y x y
x y x y
Đáp số: Vận tốc của dịng nước là: 2 km/h
Bài 4:
Gọi x (km/h), (x >4) là tốc độ trung bình ở lượt đi của nhĩm bạn nĩi trên Thì vận tốc lượt về là: x – 4 (km/h)
Thời gian về lâu hơn thời gian đi 1 giờ 24 24 1
4
Đáp số: x = 12 km/h
Bài 5:
Gọi x (km/h) là tốc độ riêng của mơtơ, (x >6) Vận tốc mơ tơ đi từ A đến B và
từ B đến A lần lượt là: (x + 6 ) km/h và
(x – 6) km/h Thời gian đi từ A đến B và
từ B đến A lần lượt là:
48
6
x (giờ) và
48 6
x (giờ)
Theo đề bài cĩ :
Đáp số: x = 42 (km/h)
Bài 6:
Gọi x, y (km/h), (x,y >0): lần lượt là vận tốc của xe XA và XB
Gọi M là điểm gặp nhau lần đầu tiên thì MA = 20 km Thời gian của xe XA đi đoạn MA
= thời gian XB đoạn BM =20
x (giờ) Nên khoảng cách BM là:
20
x .y (km) Nên quảng đường AB là: 20
20
y
Khoảng cách CB là: 10 phút y = 10
y
y (km) Nên khoảng cách CA = AB – CB =20
20 6
- Theo giả thiết: độ dài mà xe XA đi được từ điểm gặp nhau thứ nhất (M) đến điểm gặp nhau thứ hai (C) là:
MB + BC = 20
x + 6
y = x.1 20
6
y x (1) x
Trang 10- Tương tự cho xe B là: MA + AC = 20 + 20 20
6
20 40
6
y y y (2) x
Từ (1) và (2) có : x = 40 km/h và y = 60 km/h
Bài 7 :
- Tại lần gặp đầu tiên sau 4 giờ ( 8 giờ sáng đến 12 giờ trưa), ta có: 4(x – d) + 4(y + d) = D
4(x y) D (1)
Và tàu Hi vọng đi được: 4(x – d) =
3
D (2)
- Khoảng thời gian của 2 tàu giữa 2 lần gặp nhau bằng nhau
( D/ ) ( D/ ) ( D/ ) ( D/ ) + = + (3)
- Sau khi tăng 7,5 km/giờ mỗi tàu ngay từ đầu, ta có: 4(x +7,5 – d) + 4(y + 7,5 + d) = D
4(x y 30) D (4)
Từ (1) và (4) có: D = 180 Thay vào (2) có: x – d =15 và từ (1) có: y + d = 30
45 + 27 = 90 + 27
(x d) (y d) và tiếp tục thay: d = x –15 và
y = 45 – x Ta có: 2x245x1000
Đáp số: x = 20 km/h và y = 25 km/h
Bài 8:
Gọi x, y (giờ)( x, y >0) : lần lượt là thời gian vòi I và vòi II chảy đầy bể Ta có hệ sau:
16
4
x y
, đặt X 1 ;Y 1
Đáp số: Vòi I chảy đầy bể trong 24 (giờ); Vòi II chảy đầy bể trong 36 (giờ)
Bài 9:
Gọi x,y (giờ), x, y > 12: lần lượt là thời gian của vòi I, vòi II chảy một mình với công suất bình thường đầy bể
Trong 1 giờ, vòi I chảy 1
x(bể) và vòi II chảy
1
y(bể) Trong 1 giờ, cả hai bể cùng chảy là: