Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học ……… Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng giao cho dạy các lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh khá, giỏi. Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản tôi còn phải bồi dưỡng các em tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi dưỡng cho các em ôn thi đại học là nhiệm vụ quan trọng số một. Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hàm số đóng vai trò quan trọng hàng đầu. Phần hàm số là phần rất nhiều vấn đề và rất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán về đồ thị hàm số, trong đề tài của mình tôi chọn vấn đề quan trọng của đồ thị hàm số là một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số. Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số’’.
Trang 1HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A ĐẶT VẤN ĐỀ I/ Lời mở đầu.
Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nước Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học ………
Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng giao cho dạy các lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh khá, giỏi Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản tôi còn phải bồi dưỡng các
em tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi dưỡng cho các em ôn thi đại học là nhiệm vụ quan trọng số một
Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hàm số đóng vai trò quan trọng hàng đầu Phần hàm số là phần rất nhiều vấn đề và rất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán về đồ thị hàm số, trong đề tài của mình tôi chọn vấn đề quan trọng của đồ thị hàm số là một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số
Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai
thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán khoảng
cách liên quan đến đồ thị hàm số’’.
Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, tránh tình trạng khi các em gặp phải các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số thường làm phức tạp vấn đề hay không giải được Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số
II Thực trạng vấn đề nghiên cứu
1 Thực trạng vấn đề
Hiện nay khi gặp các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, một
số học sinh chưa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra cách giải thì thường làm
Trang 2phức tạp hóa bài toán nên khó kết thúc bài toán, các em chưa biết lựa chọn kiến thức hình học phù hợp với các bài toán
2 Hệ quả của thực trạng trên
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách phối hợp giữa hình học và các bài toán đồ thị hàm số Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I Các giải pháp thực hiện.
Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng
kiến thức hình học nào phù hợp Sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp
II Biện pháp tổ chức thực hiện.
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức hình học về khoảng cách và kiến thức của hàm số Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình cho các hàm số để học sinh vận dụng
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ về các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số
1 Kiến thức toán có liên quan
- Khoảng cách giữa hai điểm
- Công thức khoảng cách từ một điểm đến đưòng thẳng.
- Kỹ năng tính nhanh cực trị của hàm đa thức bậc ba, hàm phân thức bậc 2: bậc 1
- Sử dụng bảng biến thiên của hàm số
2 Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải
Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số
1
3
y= f x = x −mx − + +x m
có khoảng cách giữa các điểm cực đại cực tiểu là nhỏ nhất
Trang 3Phân tích bài toán: Bài toán giải theo ba bước
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đưa ra toạ độ các điểm
cực trị
Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị và sử dụng hàm số
hoặc các bất đẳng thức cơ bản đưa ra giá trị nhỏ nhất của khoảng cách đó từ
đó tìm ra m
Bài giải:
Ta có: f x'( )=x2−2mx−1 có ∆ =m2 + > ∀ 1 0, m f x'( )có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2và hàm số đạt cực trị tại x x1 ; 2khi đó gọi các các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
A(x y1 ; 1), B(x y2 ; 2)
Theo Viét ta có:
1 2
1 2
2 1
x x
+ =
= −
Thực hiện phép chia f x( ) cho f x'( )ta có:
2
( ) ( ) '( ) ( 1) ( 1).
f x = x m f x− − m + x+ m+
Do
1
2
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x
=
2
2
( ) ( 1) ( 1)
( ) ( 1) ( 1)
−
Ta có:
4
9 4
[( ) 4 ][1 ( 1) ]
9
( 1)[1 ( 1) ] 4(1 )
2 13 3
AB
Trang 4Vậy m=0 thì giá trị nhỏ nhất giữa điểm cực đại và cực tiểu là:
2 13
3
Ví dụ 2: Cho hàm số y= f x( )= − +x3 3x2+3(m2−1)x−3m2−1 Tìm m để
đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách đều O
Phân tích bài toán: Bài toán này ta làm theo hai bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được cực trị.
Bước 2: Cho hai khoảng cách bằng nhau ta được giá trị m cần tìm.
Bài giải:
Ta có: f x'( )= −3x2+6x+3(m2−1).
Hàm số đạt cực đại cự tiểu khi phương trình f x'( ) 0= có hai nghiệm phân biệt
Ta có: f x'( ) 0= ⇔ −3x2+6x+3(m2− =1) 0.
Ta cần có ∆ = + ' 1 m2− = 1 m2 > ⇔ ≠ 0 m 0.
Với điều kiện đó hàm số có cực trị là x1 = − 1 m x; 2 = + 1 m.
Gọi hai điểm cực trị là: A(1− − −m; 2 2m3); (1B + − +m; 2 2m3).
Khi đó:
3
(1 ) ( 2 2 ) (1 ) ( 2 2 )
16 4 0
0 1 2
m m
= ⇔ − + − − = + + − +
=
⇔
= ±
Đối chiếu điều kiện
1 2
m= ±
Ví dụ 3: Cho hàm số
2 ( )
1
x
khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là không đổi
Phân tích bài toán: Bài toán này rất đơn giản ta làm theo hai bước
Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được 2 cực trị.
Trang 5Bước 2: Tính khoảng cách và đưa ra điều phải chứng minh.
Bài giải:
Ta có:
2 2
2 '( )
( 1)
f x
x
−
=
− .
0 '( ) 0
2
x
f x
x
=
= ⇔ = ⇒ hàm số có hai điểm cực trị là A(0;-m), B(2;4-m).
Khoảng cách hai điểm cực trị là: d = (2 0)− 2+[(4−m) (− −m)]2 =2 5.
Từ đó ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
1
x
điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng (d):
2 0
x y+ + = là bằng nhau.
Phân tích bài toán: Bài toán này ta giải theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cưc tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đư ra toạ độ hai điểm
cực trị
Bước 3: Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
ta suy ra m
Bài giải:
Ta có:
2
2
2 2 2 '( )
( 1)
f x
x
+ + −
=
+ Đặt: g x( ) =x2 + 2x+ 2m− ∆ = − 2; ' 3 2 m
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ f x'( ) 0= có hai nghiệm phân biệt ⇔ g x( ) 0=
có hai nghiệm phân biệt khác -1
(*)
m
m
∆ > − >
Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có: A x( ; 2 1 x1 + 2 ), ( ; 2m B x2 x2 + 2 ).m
Với x x1 ; 2là hai nghiệm g x( ) 0= , áp dụng viét ta có
1 2
1 2
2
+ = −
Trang 6Ta có:
1 2 1 2 2 3 1 2 2
Khi đó:
( ;( )) ( ;( ))
3x 2m 2 3x 2m 2
(3 3 )(3 3 4 4) 0
1
2
Đối chiếu (*)
1 2
m= thoả mãn
Ngoài cách làm trên ta còn có thể dùng hình học để giải dựa vào cơ sở hai điểm A, B cách đều (d) khi AB song song với d hoặc trung điểm của AB thuộc (d)
Ví dụ 5: Cho hàm số
2
1
x
+
khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 10
Phân tích bài toán: Bài toán này làm theo ba bước:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để tìm toạ độ của điểm cực
đại, điểm cực tiểu
Bước 3: Tính khoảng cách và áp dụng viét ta có m.
Bài giải:
Ta có:
2 2
2 '( )
(1 )
f x
x
− + +
=
Đặt: g x( )= − +x2 2x m+ ∆ = +; ' 1 m.
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ g x( ) 0= có hai nghiệm phân biệt khác 1
Trang 7
1(*).
(1) 0 1 0
m
m
∆ > + >
⇔ ⇔ ⇔ > −
Khi đó sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có hai điểm cực trị là:
( ; 2 ); ( ; 2 ).
A x − x −m B x − x −m Với ⇔ x x1 ; 2là 2 nghiệm của phương trình
( ) 0
g x = .
Theo viét:
1 2
1 2
2
+ =
= −
Ta có:
Đối chiếu (*) m=4 thoả mãn
Ví dụ 6: Cho hàm số
3 5 ( )
2
x
y f x
x
−
− có đồ thị (H) Tìm trên (H) điểm
M để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (H) là nhỏ nhất
Phân tích bài toán:
Bước 1: Tìm tiệm cận đứng và ngang.
Bước 2: Tính tổng các khoảng cách, áp dụng bất đẳng thức côsi tìm giá
trị nhỏ nhất Từ đó tìm được điểm M
Bài giải:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=3, tiệm cận đứng x=2.
Gọi toạ độ
1 ( ; ) ( )
2
a
tiệm cận là:
Dấu bằng xẩy ra khi:
1
3 2
m
m m
=
− = − ⇔ − = ⇔ =
Từ đó ta có M(1;2) và M(3;4)
Trang 8Ví dụ 7: Cho hàm số
2 3 3 ( )
2
x
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Phân tích bài toán:
Bước 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 2: Gọi toạ độ của M ra và tính tổng khoảng cách từ M đến hai
tiệm cận sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có giá trị nhỏ nhất từ đó tìm được M
Bài giải:
Ta dễ tìm được tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là: x+ =2 0; Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là x y− + =1 0
Gọi M(
2 3 3
;
2
a
a
0 0
0
x
− +
+ Theo bất đẳng thức côsi ta có:
4 0
0
1
x
+ Tức là giá trị nhỏ nhất của d(M) là 48 khi
2
0
1 2
1
2
x
= − +
Vậy toạ độ M(
4
) hay M(
4
)
Ví dụ 8: Cho hàm số
2 5 15 ( )
3
x
(C) sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung
Trang 9Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ của M
Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến trục hoành d1, khoảng cách từ M đến trục tung d2 Ta có phương trình d1=2d2 từ đó tìm được M
Bài giải:
Gọi toạ độ M(
2 5 15
;
3
a a
Khoảng cách từ M đến trục hoành là:
2 1
5 15 3
d
a
=
Khoảng cách từ M đến trục tung là: d2 = a .
Ta có:
2
5 15 2
3
a
+ Xét hai trường hợp:
+ Trường hợp 1:
2
2
1 61
15 0
2
a
a
a
− +
=
+ + = ⇔ + − = ⇔
=
Khi đó toạ độ M là:
+ Trường hợp 2:
2
2
5 15
3 11 15 0 3
a
nghiệm
Vậy toạ độ M là:
Ví dụ 9: Cho hàm số
1 ( )
1
x
y f x
x
−
+ có đồ thị (H) Tìm M thuộc (H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất
Phân tích bài toán:
Trang 10Bước 1: Gọi toạ độ của M sau đó tính tổng khoảng cách từ M đến hai
trục toạ độ
Bước 2: Ta tìm cách hạn chế miền tìm giá trị nhỏ nhất để thuận lợi cho
việc tìm giá trị nhỏ nhất
Bài làm:
Gọi toạ độ M(
1
; 1
a a a
− + ) thuộc (H).
Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là:
1
1
a
a
−
= +
+
Để ý rằng với M(1;0) thì d(M)=1 do đó để tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta
chỉ cần xét khi:
1
0 1.
1 1
a
a
a
a
<
− < <
− < − < +
+
Với 0 < <a 1 thì
Áp dụng côsi ta có:
2
( 1)
a
+
Khi đó giá trị d(M) nhỏ nhất khi:
2 1
2 1 1
a
a a
a
+ =
< <
Vậy toạ độ M( 2 1;1− − 2)
Ví dụ 10: Cho hàm số
2 6 ( )
3
x
+ −
thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ M(
; 3
a a
+ −
6
; 4
3
a a
a
+ +
− ).
Trang 11Bước 2: Tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ, giới hạn miền
lấy giá trị nhỏ nhất, sử dụng hàm số tìm giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Gọi toạ độ M(
; 3
x x
+ −
6
; 4
3
x x
x
+ +
− ).
Tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là:
6
3
x
= + + +
− .
Do M(2;0)thuộc (C) nên tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta chỉ cần xét với x ≤2, xét hai khả năng:
*) Nếu − ≤ ≤2 x 0thì
6 ( ) ( ) 4
3
d M g x
x
= = +
−
2
6
( 3)
g x
x
−
*) Nếu 0 ≤ ≤x 2thì
6 ( ) ( ) 2 4
3
x
−
2
3 3 6
x
p x
= −
= +
Lập bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất d(M) trên [0;2] là p(0)=p(2)=2 Vậy toạ độ M(2;0) và M(0;2)
Ví dụ 11: Cho hàm số
4 9 ( )
3
x
y f x
x
−
− có đồ thị (H) Tìm trên mỗi nhánh của (H) hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất
Phân tích bài toán:
Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn
hơn 3 và hoành độ nhỏ hơn 3, ta gọi toạ độ của A(
3 3; 4 α
α
+ +
); B(
3
3 β ; 4
β
) với α β, là hai số dương.
Trang 12Bước 2: Tính khoảng cách AB theo α β, sử dụng linh hoạt bất đẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B
Bài giải:
Gọi toạ độ của A(
3 3; 4 α
α
+ +
); B(
3
3 β ; 4
β
) với α β, là hai số dương.
Ta có:
( B A) ( B A) ( ) ( )
α β
áp dụng côsi
2
+
Dấu bằng xẩy ra khi:
0
3 9
α β
α β αβ
αβ
= >
=
Vậy toạ độ A(3+ 3; 4+ 3); B(3− 3;4− 3)
Ví dụ 12: Cho hàm số
2 2 5 ( )
1
x
mỗi nhánh của đồ thị (C) hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất
Phân tích bài toán:
Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn
hơn 1 và hoành độ nhỏ hơn 1, ta gọi toạ độ của A(
4 1;
α α
α
+ +
); B(
4
1 β β ;
β
− − −
) với α β, là hai số dương.
Bước 2: Tính khoảng cách AB theo α β, sử dụng linh hoạt bất đẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B
Bài giải:
Gọi toạ độ của A(
4 1;
α α
α
+ +
); B(
4
1 β β ;
β
− − −
) với α β, là hai số dương.
Trang 13Ta có:
4 4
4 ( ) [1 (1 ) ]
α β
α β
αβ
Áp dụng côsi ta có:
2 2
Dấu bằng xẩy ra:
4
0
8.
8
α β
α β αβ
αβ
= >
=
Vậy toạ độ hai điểm A, B là: A(1+48;−48 2 2− 4 ); B(1−48; 8 2 24 + 4 )
Ví dụ 13: Cho hàm số
2 4 5 ( )
2
x
(C) để khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: 3x y+ + =6 0nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Gọi toạ độ của M thuộc (C).
Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến ∆: 3x y+ + =6 0, sau xử lý khéo giá trị tuyệt đối để áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số
Bài giải:
Gọi điểm M(
;
2
m m
1
; 2
2
m m
m
+ +
+ ) thuộc (C).
Khoảng cách từ M đến ∆: 3x y+ + =6 0 là:
2 2
( ; )
10
3 1 1 4( 2)
d M
m
+ + +
+
Trang 14Khoảng cách từ M đến ∆: 3x y+ + =6 0nhỏ nhất bằng
2 10
5 , xẩy ra khi
2
5
3 2
2
m
m
m
= −
+ = + ⇔ + = ⇔
= −
Vậy toạ độ M là:
5 5 3 5 ( ; );( ; ).
2 2 2 2
− − −
Ví dụ 14: Cho hàm số
2
3 cos 4 sin 7 ( )
1
x
α + α +
Tìm α để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Ta tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên, sử dụng bất đẳng
thức Buanhiacopski để đư ra giá trị lớn nhất, từ đó tìm được α.
Bài giải:
Ta có:
2
3 cos 4sin 3cos
Từ đó ta dễ có tiệm cân xiên của đồ thị hàm số là:
(3cos ) 4sin 3cos (3cos ) 4sin 3cos 0
Khoảng cách từ O(0;0) đến tiệm cân xiên ∆ là:
3 4.sin 10 cos
( ; )
9 cos 1 sin 10 cos
d O
+ +
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacopski ta có:
9 (4 )(sin 10cos )
13 10 10
( ; )
10 sin 10cos
d O
+
Trang 15Khoảng cách lớn nhất từ O(0;0) đến tiệm cân xiên ∆ là
13 10 10
Khi
10.cos
10
Vậy
40 arctan( ) ,( )
3 k k
Ví dụ 15: Giả sử ∆ là tiếp tuyến tại M(0;1) của đồ thị hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
khoảng cách từ điểm đó đến ∆ là nhỏ nhất.
Phân tích bài toán:
Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến ∆.
Bước 2: Dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm khoảng cách nhỏ nhất
trên miền (1;+∞)
Bài giải:
3 ' (1 )
y
x
=
Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y=3x+1.
Gọi N x y( ; ) ( )( 0 0 ∈ C x0 > 1)có khoảng cách tới ∆ nhỏ nhất.
Thế thì x0 là nghiệm của phương trình:
0
0 0
2 3
0 (1 )
x
x x
=
Vậy toạ độ điểm cần tìm là N(2;-5)
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hàm số y= f x( ) 2= x3+mx2−12x−13 Tìm để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu cách đều trục Oy
Trang 16Bài 2: Cho hàm số
2 1 ( )
3
x
y f x
x
+
− có đồ thị (C) Tìm toạ độ M trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất
Bài 3: Cho hàm số
4 7 ( )
2 1
x
y f x
x
− +
− có đồ thị (C) Tìm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận là nhỏ nhất
Bài 4: Cho hàm số
5 8 ( )
3 2
x
y f x
x
−
+ có đồ thị (C) Tìm M trên (C) sao cho tổng khoảng cách giữa hai trục toạ độ là nhỏ nhất
Bài 5: Cho hàm số
2 5 ( )
3 2
x
y f x
x
− +
các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất
Bài 6: Cho hàm số
2 ( )
2
x
y f x
x
+
− có đồ thị (C) Tìm M trên (C) cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Cho hàm số
1 ( )
2
x
y f x
x
+
− có đồ thị (C) Tìm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất
Bài 8: Cho hàm số
2 ( )
3
x
y f x
x
+
− có đồ thị (C) Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
Bài 9: Cho hàm số
2 2 5 ( )
2
x
tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Bài 10: Cho hàm số
2 1 ( )
1
x
− +
khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất
Bài 11: Cho hàm số
( )
1
x
cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất
