CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC CHUONG 1 BIEU DIEN DIEM DUONG THANG MAT

3 Do nối hai điểm vô tận S 1∞ và S 2∞ nên đường thẳng tâm chiếu là đường thẳng vô tận của những mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x.. ta không thể thấy được đường thẳng này trên hì

PHẦN 1

PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC

CHƯƠNG 1 : BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG

CHƯƠNG 2 : BIỂU DIỄN ĐƯỜNG VÀ MẶT

CHƯƠNG 3 : CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

CHƯƠNG 4 : BÀI TOÁN TÌM GIAO TUYẾN

CHƯƠNG 5 : BÓNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC

CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG

A HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU

Trong không gian, lấy hai mặt phẳng (mp) vuông góc nhau Mặt phẳng thẳng đứng P1 gọi là

mp hình chiếu đứng Mặt phẳng nằm ngang P2 gọi là mp hình chiếu bằng Hai mặt phẳng P1

và P2 giao nhau theo một đường thẳng gọi là trục hình chiếu x.

Gọi G là mp phân giác 1 của góc nhị diện (thuộc phần tư thứ 2 và thứ 4 ) hợp bởi P1 và P2

Gọi S1∞ và S2∞ lần lượt là những hướng chiếu thẳng góc (vuông góc) với mặt phẳng P1 và P2

- Với một vật thể bất kỳ trong không gian, ta sẽ chiếu vật thể này lên trên các mặt phẳnghình chiếu P1 và P2 bằng hai phép chiếu thẳng góc có nguồn chiếu lần lượt là S1∞ và S2∞

1 Một số tài liệu khảo sát 2 mặt phẳng phân giác – một mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (thuộc phần tư thứ 1 và thứ 3) , một mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (thuộc phần tư thứ 2 và thứ 4) Giáo trình này chỉ xét một mặt phẳng phân giác G duy nhất thuộc góc phần tư thứ 2 và thứ 4.

2 ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM

II.1. Thành lập đồ thức của một điểm (hình 1-02)

Giả sử có một điểm A bất kỳ trong không gian, để thành lập hình biểu diễn của điểm A ta tiếnhành như sau :

- Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S1∞ lên mp P1 ta được điểm A1

- Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S2∞ lên mp P2 ta được điểm A2

- Quay mặt phẳng P2 và mặt phẳng G quanh trục x đến trùng với mặt phẳng P1 thì điểm A2

có vị trí mới trên mặt phẳng P1 như hình vẽ 1-02

Nhận thấy rằng A1 và A2 nằm trên cùng một đường gióng 2 thẳng đứng vuông góc với trụchình chiếu x

 Ta định nghĩa :

- Cặp điểm (A1,A2) gọi là đồ thức của điểm A (A1A2⊥ x)

- A1 gọi là hình chiếu đứng của điểm A

- A2 gọi là hình chiếu bằng của điểm A

- Gọi Ax là giao điểm của A1A2 với trục x ta có :

2 Đường gióng là những đường thẳng phụ trợ dùng để canh chỉnh, so sánh vị trí giữa các hình chiếu của một đối

Hình 1-02

Độ cao của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng P2

Trên hình 1-02, độ cao của điểm A là đoạn thẳng AA2 = A1Ax

Độ xa của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng P1

Trên hình 1-02, độ xa của điểm A là đoạn thẳng AA1 = A2Ax

 Lưu ý : Đồ thức của một điểm B nào đó - (B 1 ,B 2 ) có mối liên hệ ràng buộc duy nhất là B 1 B 2

⊥ x Còn thứ tự B 1 nằm trên, B 2 nằm dưới hay ngược lại, hoặc cả hai hình chiếu B 1 lẫn B 2

cùng nằm trên hoặc nằm dưới trục x là tự do Việc này tùy thuộc vào vị trí tương đối của điểm B trong không gian so với các mặt phẳng hình chiếu P 1 và P 2 (Xem ví dụ hình 1-03)

II.2. Các điểm đặc biệt (hình 1-04)

- Điểm B thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng P1 thì có hình chiếu bằng B2 nằm trên trục hình

- Trục hình chiếu x thuộc mặt phẳng phân giác G nên mọi điểm trên x cũng có hai hình

chiếu trùng nhau : E ∈ x ⇒ E 1 ≡ E 2

3 ĐƯỜNG THẲNG

Hình 1-04

Ta có định nghĩa :

- Đường thẳng nối 2 tâm chiếu S1∞ và S2∞ được gọi là đường thẳng tâm chiếu 3

- Đường thẳng thường là đường thẳng không cắt đường thẳng tâm chiếu4

3 Do nối hai điểm vô tận S 1∞ và S 2∞ nên đường thẳng tâm chiếu là đường thẳng vô tận của những mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x (ta không thể thấy được đường thẳng này trên hình vẽ)

4 Đường thẳng cắt đường thẳng tâm chiếu khi và chỉ khi nó nằm trên một mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x Đường thẳng cắt đường thẳng tâm chiếu là những đường thẳng đặc biệt.

Hình 1-05

- Đồ thức của đường thẳng thường là một cặp đường thẳng không vuông góc với trục hìnhchiếu x (hình 1-05)

Ghi chú : Mọi đường thẳng d nằm trên mặt phẳng hình chiêu bằng P2 đều có hình chiếu đứng

d1 ≡ x Ta vẫn có thể xem d như là một đường thẳng bằng

- Đường thẳng mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (hình 07)

1-Hình 1-06

Hình 1-07

Tính chất : Hình chiếu bằng của đường thẳng mặt là một đường thẳng song song với trục

hình chiếu x m là đường thẳng mặt ⇔ m 2 // x

Ghi chú : Mọi đường thẳng n nằm trên mặt phẳng hình chiêu đứng P1 đều có hình chiếu bằng

n2≡ x Ta vẫn có thể xem n như là một đường thẳng mặt

- Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 (hình 1-08)

Hình 1-08

Tính chất : Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng bị suy biến thành một điểm : d2 ≡

A 2 Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng là một đường thẳng vuông góc trục x d là

đường thẳng chiếu bằng ⇔ d 2 là một điểm và d 1⊥ x

- Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (hình 1-09)

Tính chất : Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng bị suy biến thành một điểm : a1≡

D 1 Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng là một đường thẳng vuông góc trục x a là

đường thẳng chiếu đứng ⇔ a 1 là một điểm và a 2⊥ x

- Đường thẳng cạnh là đường thẳng (thuộc mặt phẳng) vuông góc với trục hình chiếu x.

(hình 1-10)

Đối với đường thẳng cạnh, ta không thể biểu diễn hai hình chiếu của nó bằng ký hiệu củađường thẳng bình thường như (a1,a2), (b1,b2), … vì có rất nhiều đường thẳng cạnh khác nhau

có các hình chiếu trùng nhau trên hình vẽ Do đó để đảm bảo tương ứng 1-1, ta bắt buộc

phải biểu diễn đồ thức của đường thẳng cạnh bằng đồ thức của hai điểm A, B bất kỳ thuộcnó

Tính chất : Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đường thẳng cạnh là một cặp đường

thẳng trùng nhau và cùng vuông góc với trục hình chiều x

AB là đường thẳng cạnh ⇔ (đường thẳng) A 1 B 1≡ (đường thẳng) A 2 B 2 và ⊥ x

Hình 1-09

4 SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

4.1 Điểm thuộc đường thẳng thường (hình 1-11)

Hình 1-10

Điểm thuộc đường thẳng thường khi và chỉ khi các hình chiếu của điểm thuộc các hình chiếu

có cùng chỉ số của đường thẳng và thỏa mối liên hệ ràng buộc của điểm

Nhìn trên hình 1-12, ta có nhận xét là điểm J không thuộc đường thẳng cạnh AB nhưng vẫn

có các hình chiếu J1∈ (đường thẳng) A1B1 và J2∈ (đường thẳng) A2B2

Do đó, đối với đường thẳng cạnh cho dù các hình chiếu của điểm có thuộc các hình chiếu cócùng chỉ số của đường thẳng thì cũng chưa chắc là điểm đó thuộc đường thẳng cạnh

Ta có điều kiện để một điểm thuộc đường thẳng cạnh như sau :

Điểm thuộc đường thẳng cạnh khi và chỉ khi tỉ số đơn của ba điểm (có chứa điểm đó) trênhình chiếu đứng bằng tỉ số đơn của ba điểm (có chứa điểm đó) trên hình chiếu bằng

Điểm I thuộc đường thẳng cạnh AB ⇔ (A 1 B 1 I 1 ) = (A 2 B 2 I 2 )

 Dựa vào điều kiện về tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng như trên, ta có cách xét một điểm

I xem có thuộc đường thẳng cạnh AB hay không bằng hình vẽ gọi là phép gióng song song

: (hình 1-13)

- Trên hình chiếu đứng, vẽ hai tia song song bất kỳ đi qua A1, B1

- Trên hình chiếu bằng, vẽ hai tia song song theo một hướng bất kỳ khác đi qua A2 và B2

- Các tia qua A1 và A2 cắt nhau tại điểm A’, Các tia qua B1 và B2 cắt nhau tại điểm B’ Nối A’B’

- Từ I1 vẽ tia song song với A1A’ cắt A’B’ tại điểm I’

- Từ I’ vẽ tia song song với A’A2 cắt A2B2 tại một điểm Nếu điểm này trùng với vị trí của điểm

I2 thì có nghĩa là trong không gian I ∈ AB Ngược lại là I ∉ AB

Hình 1-11

Điểm I thuộc đường thẳng d ⇔ I 1∈ d 1 , I 2∈ d 2 và I 1 I 2 ⊥ x

4.2 Điểm thuộc đường thẳng cạnh (hình 1-12)

Hình 1-12

5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

5.1 Trường hợp hai đường thẳng thường

Hình 1-13

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường cắt nhau là giao điểm của các hình chiếu có

cùng chỉ số của chúng nằm trên cùng một đường gióng vuông góc với trục x (hình 1-14) Nếu

không thỏa có nghĩa là hai đường thẳng chéo nhau (hình 1-15)

Hình 1-14

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song nhau là các hình chiếu có cùng chỉ số của

chúng cũng phải song song nhau (hình 1-16)

5.2 Trường hợp đường thẳng thường và đường thẳng cạnh

Một đường thẳng thường và một đường thẳng cạnh chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.Chúng không thể song song với nhau được

Hình 1-15

Hình 1-16

Đường thẳng thường d giao với đường thẳng cạnh AB tại điểm I nếu như các hình chiếu củacác điểm A, B, I thỏa tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng : (A1B1I1) = (A2B2I2) (Thỏa phép gióngsong song trên hình vẽ) (hình 1-17) Nếu không thỏa có nghĩa là

Hình 1-18 Hình 1-17hai đường thẳng chéo nhau (hình 1-18)

5.3 Trường hợp hai đường thẳng cạnh

Ta chỉ xét trường hợp hai đường thẳng cạnh có các cặp hình chiếu rời nhau5 Lúc này ta cóthể xem hai đường thẳng cạnh nằm trên hai mặt phẳng song song nhau và cùng vuông gócvới trục hình chiếu x Do đó chúng không thể cắt nhau Chỉ có thể xảy ra trường hợp haiđường thẳng song song hoặc chéo nhau

Giả sử hai đưởng thẳng cạnh AB và CD song song nhau như trên hình 1-19 Khi đó AB và CD

sẽ tạo thành một mặt phẳng, và hai đường thẳng thường bất kỳ thuộc mặt phẳng này đềuphải cắt nhau (ở điểm hữu hạn hoặc điểm vô tận) Chẳng hạn ta nối BD và nối AC thì AC và

BD sẽ cắt nhau tại điểm I

6 MẶT PHẲNG

6.1 Thành lập đồ thức của mặt phẳng

Đồ thức của mặt phẳng được xác định bằng :

Hình 1-20

- Đồ thức của ba điểm không thẳng hàng (hình 1-21)

- Đồ thức của một điểm và đồ thức của một đường thẳng không chứa điểm đó

Hình 1-21(hình 1-22)

- Đồ thức của hai đường thẳng cắt nhau (hình 1-23)

- Đồ thức của hai đường thẳng song song nhau (hình 1-24)

Hình 1-22 Hình 1-23

diễn này sang cách biểu diễn khác (nếu muốn) trong khi mặt phẳng P được biểu diễn vẫn giữ nguyên - không thay đổi (hình 1-26).

6.2 Các mặt phẳng đặc biệt

- Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 (hình 1-27)

Tính chất : Mặt phẳng chiếu đứng có hình chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng.

(ABC) là mặt phẳng chiếu đứng ⇒ A 1 B 1 C 1 là một đường thẳng

- Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 (hình

1-28)

Tính chất : Mặt phẳng chiếu bằng có hình chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng.

(a∩b) là mặt phẳng chiếu bằng ⇒ a 2 ≡b 2 là một đường thẳng

Hình 1-25 Hình 1-26

Hình 1-27

- M

ặ t

phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

(hình 1-29)

Tính chất : Mặt phẳng bằng có hình chiếu đứng bị suy biến thành một đường thẳng và song

song với trục hình chiếu x

Tính chất : Mặt phẳng mặt có hình chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng và song song

với trục hình chiếu x

(p // q) là mặt phẳng mặt ⇒ p 2 ≡q 2 là một đường thẳng // x

- Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x (hình 1-31)

Tính chất : Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của mặt phẳng cạnh là một cặp đường thẳng

trùng nhau và vuông góc với trục hình chiếu x

(ABC) là mặt phẳng cạnh ⇒ A 1 B 1 C 1 ≡ A 2 B 2 C 2 là một đường thẳng ⊥ x

Hình 1-30

7 VẾT CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

7.1 Vết của đường thẳng (hình 1-32)

Cho một đường thẳng d bất kỳ trong không gian, kéo dài đường thẳng d đến giao với các mặtphẳng hình chiếu P1 và P2 Ta gọi :

- Vết đứng của đường thẳng d là giao điểm của d với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 Vết

đứng của đường thẳng d là một điểm có hình chiếu bằng nằm trên trục x (điểm A(A1,

A2) là vết đứng của đường thẳng d ⇒ A2∈ x)

Hình 1-31

- Vết bằng của đường thẳng d là giao điểm của d với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 Vết

bằng của đường thẳng d là một điểm có hình chiếu đứng nằm trên trục x (điểm B(B1, B2)

là vết bằng của đường thẳng d ⇒ B1∈ x)

 Cách tìm vết của một đường thẳng thường d : (hình 1-32)

- Kéo dài d1 giao với trục x tại B1 Từ B1 gióng đường thẳng đứng vuông góc trục x và giaovới d2 tại điểm B2 Ta có B(B1,B2) là vết bằng của đường thẳng d

- Kéo dài d2 giao với trục x tại A2 Từ A2 gióng đường thẳng đứng vuông góc trục x và giaovới d1 tại điểm A1 Ta có A(A1,A2) là vết đứng của đường thẳng d

7.2 Vết của mặt phẳng (hình 1-33)

Cho một mặt phẳng A không chứa trục x trong không gian, ta gọi :

- Giao của mặt phẳng A với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 là vết đứng của mặt phẳng A Ký

hiệu : V1A

V1A chính là một đường thẳng mặt m thuộc mp A có hình chiếu bằng m2 ≡ x

- Giao của mặt phẳng A với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 là vết bằng của mặt phẳng A Ký

hiệu : V2A

Hình 1-32

V2A chính là một đường thẳng bằng b thuộc mp A có hình chiếu đứng b1 ≡ x

 Lưu ý : V 1 A và V 2 A là hai đường thẳng hoàn toàn khác nhau cùng thuộc mặt phẳng A Để tránh nhầm lẫn, ta nên đặt V 1 A ≡ m là một đường thẳng mặt thuộc mp P 1 và đặt V 2 A ≡ b

- Chọn trong mặt phẳng A chọn ra hai đường thẳng thường bất kỳ p và q.

- Tìm vết đứng A(A1, A2) và vết bằng B(B1, B2) của đường thẳng q

- Tìm vết đứng C(C1, C2) và vết bằng D(D1, D2) của đường thẳng p

Hình 1-33

- Nối hình chiếu đứng của các vết đứng lại : Nối A1C1 ta được vết đứng V1A của mặt phẳngA.

- Nối hình chiếu bằng của các vết bằng lại : Nối B2D2 ta được vết bằng V2A của mặt phẳngA

- Mặt phẳng A song song với trục x (mặt phẳng chiếu cạnh) có vết đứng V1A và vết bằng

V2A cũng song song với trục x (hình 1-26)

8 SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG

8.1 Cơ sở của sự liên thuộc trên đồ thức

Hình 1-35

Hình 1-36

Hai mệnh đề làm cơ sở cho tương quan liên thuộc giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng là :

- Đường thẳng thuộc mặt phẳng khi nó đi qua hai điểm của mặt phẳng đó Hình 1-37 – Đường thẳng d thuộc mp (ABC)

- Điểm thuộc mặt phẳng khi nó nằm trên một đường thẳng của mặt phẳng đó

Hình 1-38 – Đường thẳng d không thuộc mp (a ∩ b)

Hình 1-39 – Điểm I thuộc mp (ABC)

- Trên đồ thức, nếu đã biết trước một điểm nào đó thuộc mặt phẳng vết (thường) và có một hình chiếu thuộc vết (đứng hoặc bằng) của mặt phẳng thì ta có thể xác định hình chiếu còn lại của nó nằm trên trục x.

Trên Hình 1-41 ta thấy điểm A(A1,A2) thuộc mp A và có hình chiếu A2 thuộc vết bằng V2A

do đó hình chiếu còn lại của nó là A1 thuộc trục x Điểm B(B1,B2) thuộc mp A và có hìnhchiếu B1 thuộc vết đứng V1A do đó hình chiếu còn lại của nó là B2 thuộc trục x

- Ngược lại, trên đồ thức, nếu đã biết trước một điểm nào đó thuộc mặt phẳng vết (thường) và đã có một hình chiếu nằm trên trục x thì ta có thể xác định hình chiếu còn lại

của điểm này sẽ thuộc vết mặt phẳng có cùng chỉ số.

Lưu ý : Đối với các mặt phẳng đặc biệt như mp vết chiếu đứng và mp vết chiếu bằng thì ta chưa đủ điều kiện (thông tin) để xác định hình chiếu còn lại của điểm theo tính chất liên thuộc như trên

- Để xác định một điểm I bất kỳ thuộc mặt phẳng vết (thường), ta có thể thực hiện theo các cách sau :

Vẽ qua I một đường thẳng thường bất kỳ nằm trên mặt phẳng vết (hình 1-42)

Vẽ qua I một đường thẳng bằng nằm trên mặt phẳng vết (hình 1-43)

Vẽ qua I một đường thẳng mặt nằm trên mặt phẳng vết (hình 1-44)

Hình 1-41

Hình 1-42 – Vẽ qua I một đường thẳng thường

Hình 1-43 – Vẽ qua I một đường thẳng bằng

8.3 Các ví dụ về bài toán liên thuộc của điểm - đường thẳng - mặt phẳng

Bài 1 - Cho đồ thức của mp (ABC) như hình vẽ Hãy vẽ trên mp (ABC) một đường thẳng d bất

kỳ (hình 1- 45)

Hình 1-44 – Vẽ qua I một đường thẳng mặt

Từ hình chiếu đứng, ta vẽ đường thẳng d1 bất kỳ Do d thuộc mặt phẳng (ABC) theo giả thiếtnên d1 phải cắt các cạnh của tam giác A1B1C1 Cụ thể là d1 cắt A1C1 tại điểm 11 , cắt B 1C1 tạiđiểm 21.

Theo tính chất liên thuộc của điểm với đường thẳng thường ta có :

Điểm 1 ∈ AC thì có 11∈ A1C1 và 12∈ A2C2 Điểm 2∈ BC thì có 21∈ B1C1 và 22∈ B2C2 Do đógióng các đường thẳng đứng từ 11 và 21 lần lượt xuống hình chiếu bằng lên các cạnh A2C2 và

Dựa vào các tính chất đã biết của đường thẳng bằng, đường thẳng mặt, đường thẳng cạnh,

ta áp dụng mệnh đề liên thuộc - đường thẳng thuộc mặt phẳng để giải Cách giải được chỉ rõnhư trên hình vẽ

Bài 3 - Cho điểm D thuộc mặt phẳng (a ∩ b) đã có hình chiếu đứng là D 1 Hãy xác định hình chiếu bằng D 2 (hình 1-47)

Áp dụng mệnh đề liên thuộc - đường thẳng thuộc mặt phẳng, ta vẽ một đường thẳng d thuộc

mp (a ∩ b) và đi qua điểm D Khi đó d sẽ cắt hai đường thẳng a, b của mặt phẳng (a ∩ b) tạihai điểm 1 và 2

Hình 1-45