TRNG DI HC CONG NGHIP HA NI LI d

Cấu trúc, các khái niệm, cách phân tích một mô hình toán kinh tế.Trong đó có đưa ra một số mô hình toán kinh tế : mô hình tối ưu, mô hình cân đối liên ngành, mô hình kinh tế cân bằng, m

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

LẠI ĐỨC HÙNG

BÀI GIẢNG

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

mathematical economics model

(LƯU HÀNH NỘI BỘ)

HÀ NỘI, NĂM 2017

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Quang Dong – Ngô Văn Thứ - Hoàng Đình Tuấn, Mô hình toán kinh tế, Đại học Kinh tế quốc dân, Nhà xuất bản Thống kê, 2006

[2] Nguyễn Quang Dong, Kinh tế lượng, Đại học Kinh tế quốc dân, Nhà xuất bản Giao thông Vận tải, 2008

[3] Lê Quốc Phương, Đặng Huyền Linh, Tình hình xây dựng và ứng dụng

mô hình kinh tế tại một số cơ quan, tổ chức ở Việt nam, Ban Phân tích và

Dự báo Vĩ mô (Trung tâm Thông tin Dự báo Kinh tế - Xã hội quốc gia)

[4] Nguyễn Quảng, Nguyễn Thượng Thái, Toán kinh tế, Học viện Công

nghệ bưu chính viễn thông, 2007

[5] Nguyễn Hải Thanh, Các phương phápToán kinh tế, Đại học Nông nghiệp Hà Nội, 2008

[6] Lê Đình Thúy(Chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Nhà xuất bản Đại học Kinh tế quốc dân, 2012

[7] Bùi Trinh, Bảng vào ra, Nhà xuất bản Thống kê, 2006

[8] Tổng cục Thống kê, Bảng cân đối liên ngành của Việt Nam năm 1989,

2007, 2012 Nhà xuất bản thống kê, 2010

[9] Alpha C.Chiang – Kevin Wainwright, Fundamental methods of

mathematical economics, Springer, 2006

Trần Nam Bình – Viện Đại học New South Wales, Úc

Thế giới là một thị trường lớn, con người nếu không phải là kẻ mua thì là người bán

MỤC LỤC

Trang

TÀI LIỆU THAM KHẢO 2

LỜI NÓI ĐẦU 4

Chương 1 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH §1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 6

Bài tập 10

§2 Bài toán quy hoạch tuyến tính 11

Bài tập 20

§3 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng hương pháp đơn hình 21

Bài tập 31

§4 Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát 32

Bài tập 37

Chương 2 BẢNG VÀO RA ( Input – Output table ) §1 Các khái niệm của bảng vào ra 41

Bài tập 51

§2 Cấu trúc cơ bản của bảng vào ra 52

Bài tập 58

§3 Một số ứng dụng của bảng vào ra 61

Bài tập 73

Chương 3 MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ §1 Các khái niệm cơ bản về mô hình toán kinh tế 79

Bài tập 105

§2 Một số mô hình tối ưu cơ bản 107

Bài tập 120

§3 Một số mô hình toán kinh tế 122

Bài tập 141

LỜI NÓI ĐẦU

Trong một thế giới toàn cầu hóa các đối tượng vận động trong kinh tế xã hội rất đa dạng và phức tạp Việt Nam trong thời gian qua và sắp đến hội nhập vào các khối và các tổ chức kinh tế khu vực cũng như toàn cầu: WTO, ASEM, APEC, FTA, Cộng đồng kinh tế ASEAN 2015, TPP…Tuy nhiên để việc hội nhập như thế nào để có hiệu quả về kinh tế xã hội là một câu hỏi rất khó có câu trả lời?

Kinh tế học là môn khoa học xã hội, khoa học về con người Đối tượng nghiên cứu rất phức tạp: “Con người là tổng hòa các mối quan hệ xã hội” Toán học là môn khoa học cơ bản, một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc xây dựng, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chặt chẽ

và hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực

Toán kinh tế là môn khoa học nhằm vận dụng toán học trong xây dựng , phân tích các mô hình kinh tế để từ đó hiểu rõ hơn các nguyên tắc và các quy luật kinh tế của nền kinh tế thị trường Toán kinh tế cung cấp cho các Nhà Quản lý các kiến thức để họ có thể vận dụng vào việc ra các quyết định sản xuất

Giải Nobel kinh tế năm 2012 được trao cho Lloyd S Shapley là nhà toán học và Alvin E Roth nhà kinh tế học vì các nghiên cứu của hai ông trong lĩnh vực lý thuyết “ghép đôi” và các phát minh về thiết kế thị trường có khả năng ứng dụng rộng rãi trên khắp thế giới

Trên tinh thần đó, cuốn “Bài giảng mô hình toán kinh tế” được biên

soạn theo chương trình môn học Mô hình toán kinh tế dành cho sinh viên khối ngành quản lý và kinh doanh với thời lượng 45 tiết của trường Đại học Công nghiệp Hà Nội Trong cuốn sách này, dùng kiến thức cơ bản của Toán học để người đọc hiểu được các cấu trúc và biết cách phân tích các

Mô hình kinh tế đã được áp dụng với kinh tế học vĩ mô hiện đại, mong muốn làm cho các đối tượng vận động trong kinh tế đơn giản hơn Cuốn sách gồm có ba chương :

Chương 1 Trình bày những nội dung cơ bản về mô hình tối ưu tuyến

tính trong sản xuất và kinh doanh Cụ thể là các khái niệm, tích chất cơ bản

và phương pháp đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Chương 2 Trình bày cấu trúc, các khái niệm của mô hình vào ra Thông

qua mô hình vào ra người đọc có thể hiểu về bức tranh kinh tế của một quốc

gia và xây dựng được các bảng vào ra đơn giản cho một số ngành kinh tế

Chương 3 Trình bày về mô hình toán kinh tế Cấu trúc, các khái niệm,

cách phân tích một mô hình toán kinh tế.Trong đó có đưa ra một số mô hình

toán kinh tế : mô hình tối ưu, mô hình cân đối liên ngành, mô hình kinh tế

cân bằng, mô hình kinh tế tĩnh,…

Để học tốt môn Mô hình toán kinh tế, người học cần các có kiến thức

cơ bản về toán cao cấp, kinh tế học, như là: Đại số tuyến tính ( Ma trận,

định thức, giải hệ phương trình tuyến tính, không gian véc tơ), giải tích (

Đạo hàm, vi phân của hàm số một biến và nhiều biến, phương trình vi phân,

phương trình sai phân), kinh tế vi mô, kinh tế vĩ mô Ngoài ra để tính toán

nhanh các mô hình toán kinh tế thì người đọc cần phải có kỹ năng sử dụng

máy tính

Trong lần xuất bản này, tác giả hy vọng cuốn sách sẽ có ý nghĩa thiết

thực đối với sinh viên khối ngành quản lý và kinh doanh Tác giả đã nhận

được nhiều ý kiến đóng góp quý báu của các bạn đồng nghiệp ở các khoa :

Kiểm toán – kế toán, Quản lý và kinh doanh, Khoa học cơ bản của Trường

Đại học Công nghiệp Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các

bạn bởi sự đóng góp đó

Tuy nhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề trong cuốn sách này cần phải tiếp

tục thảo luận Tác giả rất mong tiếp tục nhận được những ý kiến đóng góp

từ phía các bạn đồng nghiệp và đông đảo bạn đọc để cuốn sách được hoàn

thiện hơn

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về hòm thư : hungminh0102@gmail.com

Xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 04 năm 2017 TÁC GIẢ

CHƯƠNG I QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

MỤC TIÊU CHƯƠNG I Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Tìm vectơ  n sao cho hàm số:

§1 BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT

Trong những ngày tháng 8 năm 2015 đã có nhiều biến động về thị

trường tài chính Từ khi Ngân hàng Trung Quốc phá giá đồng Nhân dân tệ 4,6%, dẫn tới đồng tiền của các nước trong khu vực và trên thế giới cũng phải làm theo Tại sao lại có phản ứng dây truyền như vậy? Với tình hình kinh tế biến động như thế, thì chính sách tiền tệ, tài khóa và các doanh nghiệp phải hành động như thế nào? Để kinh tế không vào vòng suy thoái Song hành cùng chính sách điều hành vĩ mô của các chính phủ thì mọi

doanh nghiệp muốn sản xuất-kinh doanh n sản phẩm tốt nhất để cung ứng

ra thị trường với các điều kiện ràng buộc: lượng nguyên liệu b, nhân công x, nhà xưởng y, công nghệ z, thuế k…hiện có Hãy lập kế hoạch (mô hình) sản xuất-kinh doanh mỗi loại trong n sản phẩm là bao nhiêu sao cho tổng danh thu từ việc bán các sản phẩm lớn nhất- max (hoặc tổng chi phí: b,x,y,z,k,…

nhỏ nhất-min) Đó là bài toán tối ưu trong sản xuất-kinh doanh mà mọi

doanh nghiệp cần phải thiết lập trước khi tham gia vào thị trường

Ví dụ 1.1 Một nông dân có b1 sào đất để trồng hoa và lúa Ông ta dự định mua hai loại giống trên là b2VNĐ, số tiền phân bón là b3 VNĐ Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho tổng tiền thu được lớn nhất từ việc bán các sản phẩm (hoặc sản xuất sao cho tổng tiền chi phí là nhỏ nhất)

( , , , n)

Mô hình: Gọi x1 là số sào trồng hoa thu hoạch quy ra tiền làc1 ,x2 là số

sào trồng lúa thu hoạch quy ra tiền là c2

Ví dụ 1.2 Một doanh nghiệp hiện có 3 loại nguyên liệu b18,b2 8,b3 4

(tạ) muốn sản xuất 2 sản phẩm x i với c14,c2 3( triệu đồng) là giá bán

một đơn vị sản phẩm loại j j, 1, 2 Mỗi sản phẩm phải dùng số lượng

nguyên liệu được cho như trong bảng sau:

Sản phẩm

Nguyên liệu x 1 x 2

Nguyên liệu hiện có b i

Với các điều kiện khác (thuế, nhà xưởng, công nghệ, nhân công) ổn

định Hãy lập kế hoạch (mô hình) sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu

sao cho tổng danh thu từ việc bán các sản phẩm lớn nhất trong điều kiện

nguyên liệu hiện có

Doanh thu từ việc bán các sản phẩm là: z4x13x2

Tìm x1,x2 để z4x13x2 đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện:

Lượng nguyên liệu thứ nhất dùng để sản xuất sản phẩm thứ nhất x1là 2x1

Lượng nguyên liệu thứ hai dùng để sản xuất sản phẩm thứ hai x2là 1 .x2

Tìm x1,x2 để f x x( 1, 2)4x13x2m xa

Thỏa mãn các điều kiện ràng buộc:

Ví dụ 1.3 Một doanh nghiệp hiện có mnguyên liệu b i i( 1, )m người ta

muốn sản xuất n sản phẩm, c j(j1, )n là số tiền thu được từ việc bán một

đơn vị sản phẩm loại j Mỗi sản phẩm phải dùng hết a ij đơn vị nguyên

liệu, được cho như trong bảng sau:

Hãy lập kế hoạch (mô hình) sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu sao

cho tổng số tiền thu được từ việc bán các sản phẩm lớn nhất (hoặc chi phí là

nhỏ nhất) trong điều kiện nguyên liệu hiện có

; 1,

j

c j n là số tiền thu được từ việc bán một đơn vị sản phẩm loại j.Tổng

số tiền thu được từ việc bán các sản phẩm là:

Lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm thứ nhất x1là a x i1 1

Lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm thứ hai x2 là a x i2 2

…………

Lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm thứ n x nlà a x in n

Vậy lượng nguyên liệu thứ i i; 1,mdùng để sản xuất các sản phẩm là:

a x i1 1a x i2 2  a x in n

Vì lượng nguyên liệu thứ i i; 1,mdùng để sản xuất các sản phẩm x j 0

không vượt quá lượng nguyên liệu hiện có b i i; 1,m nên:

Bài tập thảo luận 1.1: Theo Tổng cục thống kê (GSO), năm 2014 Việt

Nam xuất khẩu gạo đạt gần 6,38 triệu tấn (trị giá 2,96 tỷ USD), nhập khẩu 9

triệu tấn ngô-đậu tương (trị giá hơn 4 tỷ USD) Mặc dù là nước nông nghiệp

nhưng nghịch lý này tồn tại đã nhiều năm Anh chị có nhận xét gì về các

con số thống kê trên? Nếu anh chị là chủ doanh nghiệp sản xuất-kinh doanh

một trong các sản phẩm: gạo; ngô; đậu tương thì anh chị có dự án sản

xuất-kinh doanh gì mới?

( , , , n)

BÀI TẬP 1.1 Một doanh nghiệp dệt có kế hoạch sản suất 3 loại vải A, B, C Nguyên

liệu để sản xuất là các loại sợi cotton, kater, polyester Doanh nghiệp đã chuẩn bị 3 loại nguyên liệu trên với khối lượng tương ứng là 3 tấn; 2,5 tấn; 4,2 tấn Mức tiêu hao mỗi loại sợi để sản xuất 1m vải và giá bán (ngàn đồng/m) vải thành phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán để lập kế hoạch sản xuất tối ưu, nghĩa là sản xuất mỗi loại vải bao nhiêu mét để tổng doanh thu của doanh nghiệp đạt được cao nhất, biết rằng với giá bán đã định thì doanh nghiệp có thể tiêu thụ được hết số sản phẩm sẽ sản xuất

1.2 Một công ty cần vận chuyển hàng hóa từ các kho I, II với khối lượng

lần lượt là 150 tấn, 120 tấn đến các đại lí A, B, C với nhu cầu cần nhập

hàng lần lượt là 70 tấn, 110 tấn, 80 tấn Cho biết chi phí vận chuyển hàng hóa (ngàn đồng/tấn) từ các kho đến các đại lí được cho trong bảng sau:

§2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát & các khái niệm

Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có dạng:

là bài toán min, bài toán gọi là bài toán max

Ràng buộc: Các điều kiện xác định ở (1.3) là các ràng buộc dấu (nếu không

nói gì về điều kiện dấu của biến thì quy ước nhận dấu tuỳ ý).Các điều

kiện xác định ở (1.2) gọi là ràng buộc hàm ( hàm mục tiêu là hàm tuyến tính

và các ràng buộc là các phương trình, bất phương trình tuyến tính)

Ứng với ràng buộc thứ i ta có A i (a a i1, i2, a in) là véctơ dòng thứ i ,

hệ véctơ A này tạo thành một ma trận ràng buộc hay ma trận hệ số: i

ij ij

j j j

mj

a a A a

n

x x x x

t

n

c c c c

m

b b b b

theo thứ tự là các ma trận véctơ cột thứ của ma trận A; biến số, hệ số của

biến số trong hàm mục tiêu, b ihệ số của ràng buộc

Ví dụ 1.4 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

toán gọi là một phương án (viết tắt PA)

cực tiểu (hoặc cực đại) gọi là phương án tối ưu(viết tắt PATU)

Phương án được gọi là “tốt hơn” phương án nếu đối

với bài toán min; hoặc đối với bài toán max

“bằng”, nghĩa là: ij

1

n

j i j

“không bằng”, nghĩa là: ràng buộc dấu ( , )0x i   , ij

1( , )

Ví dụ 1.5 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

và véctơ x0 (8, 0, 0, 0)

Ta thấy véc tơ x0 thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán nên nó là phương

án của bài toán Hơn nữa nó thỏa mãn chặt ràng buộc (1) và 3 ràng buộc

dấu x2 x3x4 0, thỏa mãn lỏng ràng buộc (2), (3) và ràng buộc dấu x1

Ví dụ 1.6 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

và các vectox1(10, 0, 0, 0);x2 (0, 0,10, 0) Các vecto x x1, 2 có phải là các

phương án của bài toán không? Phương án nào tốt hơn? Kiểm tra các ràng

buộc của bài toán

Bài toán quy hoạch tuyến tính (viết tắt BTQHTT) có ít nhất một phương

án tối ưu gọi là BTQHTT giải được Bài toán không có phương án tối ưu

gọi là bài toán không giải được Có hai khả năng của bài toán không giải

được:

(i) Bài toán không có phương án

(ii) Bài toán có phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn dưới đối

với bài toán min tức là , hoặc không bị chặn trên đối với bài toán

max tức là trên tập phương án

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính là đi tìm phương án tối ưu của bài

toán hoặc kết luận bài toán không giải được

Phương án cực biên: Một phương án thoả mãn n ràng buộc chặt độc lập tuyến

tính gọi là phương án cực biên (n là số biến của bài toán) Phương án cực biên

thoả mãn đúng n ràng buộc chặt gọi là phương án cực biên không suy biến,

thoả mãn chặt nhiều hơn n ràng buộc gọi là phương án cực biên suy biến

Chú ý: Ta có thể chuyển bài toán QHTT max về bài toán QHTT min giữ

nguyên các điều kiện ràng buộc (1.2) và (1.3) theo quy tắc sau:

1( )

n

j j j

Ví dụ 1.7 Trong Ví dụ 1 5, phương án thoả mãn 4 ràng buộc chặt Hãy kiểm tra xem 4 ràng buộc này có độc lập tuyến tính không?

Do đó hệ 4 véctơ trên độc lập tuyến tính nên 4 ràng buộc chặt này độc lập tuyến tính Vậy là phương án cực biên và là phương án cực biên không suy biến

Ví dụ 1.8 Chứng tỏ không là phương án cực biên của bài toán sau

Thật vậy, ta thấy véctơ thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán nên nó là phương án Mặt khác lại chỉ thỏa mãn chặt 5 ràng buộc (gồm 3 chặt ràng buộc hàm và 2 chặt ràng buộc dấu ) nên không là phương án cực biên

2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có dạng như sau:

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán mà mọi ràng

buộc hàm đều là phương trình và mọi ràng buộc dấu đều không âm

Ví dụ 1.9 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể đưa về bài toán dạng chính

tắc tương đương theo nghĩa giá trị tối ưu của hàm mục tiêu của hai bài toán

là bằng nhau, và từ phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối

ưu của bài toán kia Ta có quy tắc chuyển đổi giữa các bài toán được phát

biểu dưới đây

2.1 Quy tắc chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc

Nếu ràng buộc dấu Đặt

Nếu ràng buộc dấu mang dấu tuỳ ý, ta đặt:

Nếu ràng buộc hàm có dấu hoặc , ta thêm các biến phụ (hệ

số c n i của các biến phụ trong hàm mục tiêu bằng 0) theo quy tắc:

ij j i j

0

n n

ij j n i i j

ij j i j

0

n n

ij j n i i j

ij j i j

Lời giải: Mọi ràng buộc dấu đều không âm, có 2 ràng buộc hàm chưa phải là

phương trình Do đó, thêm hai biến phụ x x5, 6 ta được bài toán dạng chính tắc

2.2 Phương án cực biên của bài toán QHTT dạng chính tắc

tuyến tính dạng chính tắc là phương án cực biên khi và chỉ khi hệ các véctơ cột ứng với các thành phần dương của độc lập tuyến tính

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 1

2 3 4

1 10 2

0

x

Từ định lí trên, để phương án là phương án cực

biên của bài toán QHTT là hệ véctơ cột độc lập tuyến

tính

Ví dụ 1.12 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính có hệ ràng buộc

Phương án có là phương án cực biên của bài toán?

Lời giải: Phương án có các thành phần dương Ứng với các

thành phần dương của , xét hệ véctơ:

, hệ véctơ này độc lập tuyến tính

Vậy là phương án cực biên

2.3 Cơ sở của phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc

Giả sử là phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc

Ta gọi hệ mr A( ) véctơ J  độc lập tuyến tính là cơ sở của

phương án cực biên ( m là hạng của ma trận A)

Nếu là phương án cực biên không suy biến thì nó có đúng thành

phần dương, J  là cơ sở duy nhất

Nếu là phương án cực biên suy biến thì hệ véctơ giả sử có

thành phần dương , ta bổ sung thêm véctơ cột khác của

để được một hệ gồm m véctơ độc lập tuyến tính và gọi hệ véctơ này là

cơ sở của phương án cực biên Kí hiệu cơ sở của phương án cực biên

là:

nằm trong cơ sở

Với phương án cực biên , ta gọi các thành phần là thành phần

cơ sở; còn với là thành phần phi cơ sở

0

1 2( , , , j, , n)

Ví dụ 1.13 Tìm phương án cực biên ứng với cơ sở của bài toán

có hệ ràng buộc:

Lời giải: Gọi là phương án cực biên ứng với cơ sở

, thế thì sẽ là thành phần phi cơ sở nên Thay

Nhận xét: Nếu phương án cực biên không suy biến thì có một cơ sở duy

nhất, đó chính là hệ véctơ độc lập tuyến tính Nếu phương

án cực biên là suy biến thì có thể tìm được nhiều cơ sở khác nhau, tuỳ thuộc vào cách bổ xung véctơ cột của để được một hệ gồm

véctơ độc lập tuyến tính

3 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn có dạng:

1 2 3 4 5( , , , , )

Ở đó ma trận hệ số:

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn là bài toán thoả mãn ba điều

kiện: Là bài toán dạng chính tắc; vế phải hệ ràng buộc hàm không âm;

4 Tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính

Tính chất 1 Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án và hạng của

ma trận hệ ràng buộc bằng n biến số thì bài toán có phương án cực biên

Tính chất 2 Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có tập phương án khác rỗng

và hàm mục tiêu bị chặn (bị chặn dưới đối với bài toán min, bị chặn trên đối

với bài toán max) trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu

Tính chất 3 Số phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính là hữu hạn

Ví dụ 1.14a Cho BTQHTT

Ta thấy mọi ràng buộc dấu đều không âm, có ba ràng buộc hàm chưa là

phương trình, thêm các biến phụ vào các ràng buộc này ta được

Đó là bài toán dạng chuẩn, có phương án cực biên

với cơ sở Tuy nhiên, bài toán có hàm mục tiêu giảm vô hạn trên tập phương án Do đó bài toán không giải được

Chúng ta sẽ giải quyết ở bài học sau

1.4 Chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính sau về dạng chuẩn Chỉ ra cơ sở

đơn vị, phương án cực biên ứng với cơ sở đơn vị đó

1.5 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

và các vectox1 (10, 0, 0, 0);x2 (0, 0,10, 0)

b Phương án nào tốt hơn? Kiểm tra các ràng buộc của bài toán

§3 GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

1 Cơ sở lí luận của phương pháp đơn hình

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:

2 3 4

1 10 2

j j

      là ước lượng của biến x k

theo cơ sở J0, trong đó x jk là hệ số phân tích của véctơ k

Chú ý: Ước lượng các biến các biến cơ sở   j 0, j J0

Định lí 1.2 (Dấu hiệu tối ưu) Nếu phương án cực biên ứng với cơ sở

0

duy nhất

Nếu phương án cực biên ứng với cơ sở J của bài toán dạng chính tắc 0

có mà tồn tại    k 0, k J0 thì bài toán có phương án tối

ưu khác ngoài

Định lí 1.3 (Định lí cơ bản) Giả sử phương án cực biên ứng với cơ sởJ0

của bài toán dạng chính tắc mà tồn tại    k 0, k J0 Khi đó :

a) Nếu có một   k 0, k J0 và x jk 0 thì bài toán không giải được

b) Nếu mỗi    k 0, k J0,tồn tại ít nhất một thì xây dựng được phương án cực biên mới 1

x tốt hơn phương án cực biên

2 Thuật toán giải BTQHTT dạng chuẩn bằng phương pháp đơn hình

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

Tìm vectơ  n để hàm số

với

Bài toán QHTT dạng chuẩn ở trên có phương án cực biên

, , , m

Thuật toán đơn hình để giải BTQHTT dạng chuẩn gồm bốn bước:

Bước 1: Lập bảng đơn hình xuất phát với phương án cực biên ứng với cơ sở J

Trong bảng đơn hình đầu tiên, ta ghi các số liệu của bài toán theo thứ tự

như sau:

(1) ghi các biến

(2) ghi các hệ số của các biến x j

(3) ghi ma trận hệ số các ràng buộc hàm

(4) ghi hệ số x0j b i (hệ số ở vế phải các ràng buộc hàm)

(5) ghi các véctơ đơn vị , theo thứ tự lập thành ma trận đơn vị

(6) ghi các hệ số tương ứng với các chỉ số ở cột cơ sở

Bước 2: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu phương án cực biên

Nếu mọi  k 0, thì bài toán có phương án tối ưu chính là và min 0

f   ở bảng đơn hình tương ứng Thuật toán kết thúc

Nếu tồn tại , mà tất cả các hệ số khai triển thì kết luận hàm mục tiêu không bị chặn vì f x( ) , bài toán không giải

được Thuật toán kết thúc

Nếu với mỗi k 0, đều tồn tại ít nhất một hệ số , chuyển sang bước 3 để tìm phương án cực biên tốt hơn ứng với cơ sở

Ta gọi là tỉ số đơn hình ứng với ,xác định giá trị nhỏ nhất rơi vào

dòng , véctơ bị loại khỏi cơ sở mới Khi đó phần tử a rs gọi là phần tử trục, dòng chứa phần tử trục gọi là dòng xoay, cột s chứa phần tử trục gọi

là cột xoay Chuyển sang bước 4

r A

(2) (1)

Bước 4: Biến đổi bảng đơn hình mới với phương án cực biên trong cơ sở

mới : Ta thay c A s, s vào vị trí của c A r, r các c A j, j(jr j, J) được giữ

0 0

r rs j

r

rs

j J x

a x

0

rk rs jk

trong cơ sở mới , ta được bảng đơn hình mới với phương án cực biên

.Quá trình quay trở lại kể từ bước 2 Quá trình tính toán cứ tiếp tục như vậy,

sau một số hữu hạn bước sẽ xuất hiện dấu hiệu tối ưu hoặc kết luận bài toán

không giải được Trong trường hợp bài toán có phương án tối ưu ta cũng

biết đó là phương án tối ưu duy nhất hay nó có vô số phương án tối ưu

Ví dụ 1.15 Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình

1

10 2

Lời giải: ta có 0

x =(10,0,0,0,8,28) là phương án cực biên, với cơ sở đơn vị

J= , bảng đơn hình xuất phát như sau:

Giải thích: Ở bảng đơn hình thứ nhất, có 2 chỗ vi phạm dấu hiệu tối ưu:

Do nên ưu tiên đưa vào cơ sở Trên cột , chọn số dương nào làm phần tử trục, ta tính tỉ số đơn hình :

Giá trị min đạt được ở chỉ số , nên bị loại khỏi cơ sở và dòng ứng với nó

là dòng xoay Giao giữa dòng xoay và cột xoay xác định phần tử trụ (được đặt trong ngoặc đơn) Thực hiện biến đổi Gauss, ta có bảng đơn hình thứ 2

Ở bảng đơn hình thứ hai, tồn tại duy nhất nên được đưa vào cơ sở Tính tỉ số đơn hình trên cột này, ta có:

Ở bảng đơn hình 3, do nên bài toán có phương án tối ưu

Vậy bài toán đã cho có phương án tối ưu và Mặt khác, do nên phương án tối ưu trên là duy nhất

Ví dụ 1.16 Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình

Ta thấy mọi ràng buộc dấu đều không âm, có ba ràng buộc hàm chưa là

phương trình, thêm các biến phụ vào các ràng buộc này ta được

bài toán:

Đó là bài toán dạng chuẩn, có phương án cực biên

với cơ sở Lập bảng đơn hình xuất phát:

Ở bảng đơn hình thứ 2, có 3 = 15/4 > 0 và nên kết luận bài toán

có hàm mục tiêu giảm vô hạn trên tập phương án Bài toán không giải được

Chú ý: Khi áp dụng thuật toán đơn hình trên, ta cần chú ý các vấn đề sau:

a Khi áp dụng các quy tắc chọn véctơ đưa vào cơ sở mới và chọn véctơ

véctơ bị loại khỏi cơ sở , nếu giá trị hoặc rơi vào nhiều hơn một

chỉ số, ta chọn ngẫu nhiên một chỉ số nào đó Tuy nhiên, nên chọn chỉ số sao cho

phần tử trục được xác định khiến việc biến đổi bảng đơn hình càng đơn giản càng

tốt ( bài tập 1.6.)

b Đối với bài toán có hàm mục tiêu thì có thể chuyển về giải

bài toán với chú ý hoặc cũng có thể giải

trực tiếp bài toán đã cho ( bài tập 1.7.) Sau đây ta đưa ra một số điểm giống và

khác nhau cơ bản trong thuật toán đơn hình đối với hai bài toán min và max:

tối ưu khác ( bài tập 1.8.)

Tập phương án tối ưu của bài toán được xác định:

trong đó là phương án tối ưu ở bảng đơn hình, t là tham số

Hàm mục tiêu không bị chặn 2) và 3) và

Xác định tỉ số đơn hình

a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình

b) Xác định tập phương án tối ưu của bài toán

c) Tìm phương án tối ưu có có thành phần

Lời giải: a) Bài toán đã ở dạng chuẩn với cơ sở đơn vị

Ở bảng đơn hình thứ 3, do mọi nên bài toán có phương án tối

b) Từ bảng đơn hình 3, do (mà ) nên ta xác định được phương

c) Từ tập phương án tối ưu , phương án tối ưu có thành phần nên

,suy ra (thỏa mãn điều kiện ) Vậy phương án tối

c) Giải bài toán khi có thêm điều kiện

Lời giải: a) Theo định nghĩa về cơ sở của phương án cực biên của bài toán

dạng chính tắc, do là phương án cực biên không suy biến, có các thành phần dương nên cơ sở ứng với phương án cực biên là

hệ véc tơ Để lập được bảng đơn hình ứng với phương án cực

biên , ta sẽ biến đổi ma trận hệ số mở rộng nhằm tạo ra cơ sở đơn vị

gồm các véc tơ và Quá trình biến đổi được thể hiện ở bảng thứ

nhất và thứ hai dưới đây:

Trong bảng 4, xuất hiện dấu hiệu hàm mục tiêu không bị chặn do

và nên bài toán không có phương án tối ưu,

Với thay vào (*) ta được phương án

Vậy trị số hàm mục tiêu sẽ đạt tại phương án

Ta cũng có thể thay biểu thức (*) vào hàm để tìm phương án có trị số

hàm mục tiêu bằng

c) Do hàm giảm vô hạn trên tập phương án nên với điều kiện

thì giá trị chính là giá trị tối ưu

là phương án tối ưu của bài toán

f x t  f x  t t

    t44

Giả sử b i 0,i1,m, ma trận hệ số A a ij mxn không chứa vecto đơn vị

nào Bài toán (I) chưa có cơ sở đơn vị

Thêm vào vế trái phương trình ràng buộc thứ i trong bài toán (I) biến giả

x x

Như vậy bài toán (M) là bài toán dạng chuẩn, có phương án cực biên

xuất phát x(0, , 0, , ,b1 b m) với cơ sở đơn vị J= 1 2 

, , ,

A  A  A  Sử dụng thuật toán đơn hình ta giải bài toán (M)

( , , , n)

Ước lượng k của bài toán (M) có dạng :

Giả sử x( ,x x x1 2, 3, ,x x n n i),x n i 0,i1,m là phương án của bài toán (M) thì x( ,x x x1 2, 3, )x n là phương án của bài toán (I) và ngược lại, đồng thời f x( )F x( )

Mối liên hệ giữa bài toán (M) và bài toán (I)

Nếu x( ,x x x1 2, 3, ,x x n n i),x n i 0,i1,m là phương án tối ưu của bài toán (M) thì x( ,x x x1 2, 3, )x n là phương án của bài toán (I) và f x( )F x( )

Nếu x( ,x x x1 2, 3, ,x x n n i),mà x n i 0,i1,m là phương án tối ưu của bài toán (M) thì bài toán (I) không giải được

Chú ý:

a) Giải bài toán (M , ta chỉ cần thêm vừa đủ số các biến giả để tạo nên một cơ )

sở đơn vị Và trong quá trình biến đổi bảng đơn hình, nếu véctơ ứng với biến giả bị loại khỏi cơ sở thì không cần tính toán ở cột ứng với biến giả đó nữa

b) Bài toán (M có phương án tối ưu, mà trong phương án tối ưu của bài toán )(M), mọi thành phần ứng với biến giả bằng 0 thì bỏ đi các thành phần ứng với biến giả, ta được phương án tối ưu của bài toán ban đầu

c) Nếu trong phương án tối ưu của bài toán (M có thành phần ứng với biến )giả nhận giá trị dương thì bài toán ( )I không có phương án

d) Nếu bài toán (M có hàm mục tiêu không bị chặn và cơ sở ở bảng đơn )hình tương ứng không chứa véctơ ứng với biến giả, thì đây cũng là một cơ

sở của bài toán (I), ta kết luận bài toán (I) có phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn dưới trên tập phương án của nó

A Thêm hai biến giả x x7, 8 (Với M là số dương lớn tùy ý) ta có bài

toán mở rộng (M) của bài toán đã cho là:

Ở bảng 3, dấu hiệu tối ưu xuất hiện nên bài toán (M) có phương án tối ưu

Lời giải: Trước tiên đổi dấu hàm mục tiêu để đưa về bài toán min, đồng thời thêm

hai biến phụ x x và hai biến giả 5, 6 x x7, 8 Ta có bài toán mở rộng (M):

Ở bảng 3, dấu hiệu tối ưu xuất hiện nên bài toán (M) có phương án tối

ưu *

(4, 0, 1, 0, 0, 0, 7, 0)

x  Do tồn tại biến giả x7  7 0 nên bài toán ban

đầu không có phương án

Lịch sử qui hoạch tuyến tính: Ông A.N Kolmogorov nhà toán học xác

suất nổi tiếng thế giới người Liên Xô, là người đầu tiên nhận thức được mô

hình qui hoạch tuyến tính trước thế chiến thứ hai Vào năm 1945, một áp

dụng đầu tiên của QHTT do Stigler thực hiện vào bài toán khẩu phần ăn

Năm 1947, một bước tiến chủ yếu trong QHTT được thực hiện do Geogre

D Dantzig (nhà toán học làm việc cho cơ quan không lực Mỹ) khám phá ra

phép đơn hình (Simplex Method) Từ đó Dantzig cùng các nhà toán học

khác đã bổ sung, cải tiến phép đơn hình để phép đơn hình trở thành một

công cụ chủ yếu để tìm lời giải tối ưu của bài toán QHTT Ngày nay với sự

hỗ trợ của máy tính việc giải bài toán QHTT trở nên đơn giản Vì vậy việc

áp dụng bài toán QHTT trong thực tế ngày càng trở nên rộng rãi

Bài tập thảo luận 1.2: Các sinh viên hãy tìm hiểu xem ở Việt Nam và trên

thế giới phân chia kinh tế thành bao nhiêu ngành, mấy khu vực ( Các nước

phát triển so với các nước đang phát triển) Tìm hiểu đóng góp vào GDP của

ba khu vực kinh tế: Nông nghiệp - công nghiệp - dịch vụ vào kinh tế của Việt

Nam và một số nước trong năm 2015

1.16 1.17.

1.18 Cho bài toán bài toán quy hoạch tuyến tính:

a Chứng tỏ là phương án cực biên

b Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình

c Tìm phương án tối ưu có thành phần

d Tìm phương án tối ưu thỏa mãn điều kiện

1.19 Cho bài toán bài toán quy hoạch tuyến tính:

Giải cácbài toán quy hoạch tuyến tính sau:

a Giải bài toán bằng phương pháp đồ thị

b Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình

c Tìm phương án mà tại đó trị số hàm mục tiêu bằng

CHƯƠNG II. BẢNG VÀO RA ( INPUT-OUTPUT TABLE )

Mục tiêu chương 2: Sinh viên hiểu được các khái niệm, cấu trúc, ý nghĩa cơ bản của bảng I /O Ứng dụng bảng I/O để xây dựng được các bảng I/O đơn

giản của một số ngành kinh tế và phân tích các bài toán kinh tế

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA BẢNG VÀO RA

1 Một số khái niệm cơ bản của bảng I/O

Khủng hoảng tài chính Đông Á chính thức bắt đầu từ tháng 7/1997 với

sự sụp đổ của đồng bath Thái do các dòng vốn ồ ạt rút khỏi nước này Hiệu ứng lan tỏa khiến tiền tệ các quốc gia trong khu vực cũng lần lượt bị phá giá , lạm phát tăng, thất nghiệp gia tăng, tăng trưởng kinh tế suy giảm.Hàng loạt tập đoàn, công ty, đặc biệt về bất động sản phá sản, vỡ nợ Cuộc khủng hoảng đó dần hồi phục đầu năm 1999

Mười tám năm sau “ Bóng ma khủng hoảng 1997 ám ảnh châu Á”khiến hàng loạt Chính phủ lung lay, đồng tiền nội tệ các nước trên thế giới một lần nữa lại chịu sức ép giảm giá, nhiều công ty có thể phá sản Khởi điểm

là, 06 tháng đầu năm 2015 thị trường xuất khẩu Trung Quốc giảm 8,3%,tháng 7/2015 thị trường chứng khoán Trung Quốc lao dốc, tháng 8/2015 Ngân hàng Trung Quốc hạ giá đồng nhân dân tệ 4,6% làm cho tiền

tệ hàng loạt quốc gia trong khu vực cũng giảm giá theo Thị trường chứng

khoán toàn cầu lao dốc vì chính sách tiền tệ của Trung Quốc: VN-Index, HNX- Index, Nikke 225, Kospi, S&P/ASX200, phố Wall, DAX,…

Tại Việt Nam rất nhiều doanh nghiệp xuất khẩu thủy sản, nông sản, may mặc đã bắt đầu thấy rất khó khăn cho việc xuất khẩu của mình Làm thế nào

để thiệt hại về kinh tế là thấp nhất? Hàng tháng, quý, năm chúng ta dựa vào đâu để đưa ra các con số: chỉ số giá, tăng trưởng kinh tế? Chúng ta sẽ nghiên cứu bảng vào-ra trong chương 2 này để trả lời cho các câu hỏi đó

Trong chương 1 chúng ta đã nghiên cứu về bài toán tối ưu trong sản

xuất Ở Ví dụ 1.3, để sản xuất đầu ra n sản phẩm X j doanh nghiệp cần đầu vào aij (đơn vị) nguyên liệu b i (đơn vị nguyên liệu có thể là vật chất hoặc giá trị tiền tệ) được cho như bảng sau: