BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1

Các hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định.d.. Khảo sát tính liên tục một hàm số thường là hàmghép trên tập xác định, ta chỉ cần khảo sát tại các điểmghép... Các hàm sơ cấp liên tục trên

GIẢI TÍCH 1

HOÀNG HẢI HÀBÁCH KHOA TPHCM17th June 2013

CHƯƠNG I: DÃY SỐ

I Các phép toán về giới hạn dãy

Hai dãy an, bn có lim an = a, lim bn = b thì:

I Các phép toán về giới hạn dãy

Hai dãy an, bn có lim an = a, lim bn = b thì:

II Phương pháp tính giới hạn

II Phương pháp tính giới hạn

So sánh bậc các VCL

lnα << nβ << an, (a > 1) << n!, α, β > 0

Thay tương đương VCL

phép cộng nếu không bị triệt tiêu

số mũ α

Ta có đẳng thức sau: Nếu an, bn, cn, dn lần lượt là cácVCL, và an ∼ cn, bn ∼ dn, thì: liman

bn = lim

cn

dn.

 2008n

n

n

Biến đổi thành các giới hạn cơ bản

n

√

e limn→∞

n

√

Bài 1: Tính các giới hạn dãy sau

a limn→∞

n sin n

n2 + cos4n

b limn→∞

2n + 3−n2.2−n + 3n

c limn→∞

5.2n− 3.5n+2100.2n+ 4.5n

d lim(n78 − n67ln2n)

d limn→∞

(n + 1)4 − (n − 1)4(n2 + 1)2 − (n2 − 1)2

e limn→∞

(2 + n)100 − n100 − 200n99

n98 − 10n2 + 1

f limn→∞

ln(n2 − n + 1)ln(n10+ n + 1)

g limn→∞

(1 + n)n(3 + n)n+1(4 + n)n+2

(2 + n)3n+3

n limn→∞

 n2 − n + 1

n2 + n + 1

n

o limn→∞



2n+ 32.2n + 1

n

(1 + n)n(3 + n)n+1(4 + n)n+2

(2 + n)3n+3

n limn→∞

 n2 − n + 1

n2 + n + 1

n

o limn→∞



2n+ 32.2n + 1

n

Tìm α để các giới hạn dãy sau nhận giá trị hữu hạn:

CHƯƠNG II: HÀM SỐ

II Giới hạn

Giới hạn một phía

Giới hạn bên phải: lim

x →x 0 +f (x ) = f (x0+)Giới hạn bên trái: lim

x →x 0 −f (x ) = f (x0−)Chú ý: Giá trị lim

x →x 0

f (x ) tồn tại khi và chỉ khi:

f (x0+) = f (x0−) = A

Bậc của VCB

α(x ) là VCB bậc k tại x0 nếu lim

x →x 0

α(x )(x − x0)k = A 6= 0

CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

b Tổng các VCB khác cấp sẽ TĐ vô cùng bé cấp thấpnhất

CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

b Tổng các VCB khác cấp sẽ TĐ vô cùng bé cấp thấpnhất

lim

x →x 0

f = A THÌ αf ∼ Aβ

Công thức tính giới hạn dành cho dạng 0

Các tương đương thức cơ bản khi x → 0

Tìm hàm g (x ) = Axn sao cho f ∼ g khi x → 0

Áp dụng tương đương VCB tính các giới hạn sau

5 lim

x →1

ex2+x − e2xcosπx26

lim

x →02x + 2arctan3x + 3x2ln(1 + 3x + sin2x ) + xex

CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG LỚN TƯƠNG ĐƯƠNG

b Tổng các VCL khác cấp sẽ TĐ vô cùng lớn cấp CAOnhất

CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG LỚN TƯƠNG ĐƯƠNG

CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG LỚN TƯƠNG ĐƯƠNG

CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG LỚN TƯƠNG ĐƯƠNG

b Tổng các VCL khác cấp sẽ TĐ vô cùng lớn cấp CAOnhất

Tìm tương đương thức g = Axn khi x → x0 với các hàm

√

x + 2 − 2√x + 1 +√x, x0 = +∞

c f = √x2 + 1 − x , x0 = ±∞

TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁCH THAY TƯƠNG ĐƯƠNG

c Các hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định.

d Khảo sát tính liên tục một hàm số( thường là hàmghép) trên tập xác định, ta chỉ cần khảo sát tại các điểmghép

c Các hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định.

d Khảo sát tính liên tục một hàm số( thường là hàmghép) trên tập xác định, ta chỉ cần khảo sát tại các điểmghép

c Các hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định.

d Khảo sát tính liên tục một hàm số( thường là hàmghép) trên tập xác định, ta chỉ cần khảo sát tại các điểmghép

c Các hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định.

d Khảo sát tính liên tục một hàm số( thường là hàmghép) trên tập xác định, ta chỉ cần khảo sát tại các điểm

Tìm giá trị a, b để các hàm sau là hàm liên tục trên tập

Tìm giá trị a, b để các hàm sau là hàm liên tục trên tập

Tìm giá trị a, b để các hàm sau là hàm liên tục trên tậpxác định

CHƯƠNG III: ĐẠO HÀM

HÀM SỐ

I Các phép toán đạo hàm và vi phân

Cnkf(k)gn−k

I Các phép toán đạo hàm và vi phân

Cnkf(k)gn−k

I Các phép toán đạo hàm và vi phân

0(x )]0t

x0(t)

Đạo hàm cấp cao

n

Các công thức đạo hàm cấp cao cơ bản

Giả sử f (x ), g (x ) có đạo hàm với mọi x Tính đạohàm của:

a y = f (x )g (x ), f (x ) > 0

b y = f (ex)ef (x )

Tính df (x0):

x + ln

x − 1x

, x0 = −1

Đối với các dạng vô định còn lại, muốn dùng L’Hopitale,phải biến đổi về hai dạng trên trước.

√2x + 3√lnx

II KHAI TRIỂN TAYLOR

Định nghĩa

Hàm f (x ) liên tục trên [a, b] và khả vi đến cấp n-1 Tồn

tại f(n)(x0) với x0 ∈ [a, b] Khai triển Taylor của f (x) đến

k + o((x − x0)n)

Trong đó: o((x − x0)n) là phần dư Peano

II KHAI TRIỂN TAYLOR

Định nghĩa

Hàm f (x ) liên tục trên [a, b] và khả vi đến cấp n-1 Tồntại f(n)(x0) với x0 ∈ [a, b] Khai triển Taylor của f (x) đếncấp n tại x0 là :

k + o((x − x0)n)

Trong đó: o((x − x0)n) là phần dư Peano

Khai triển Maclaurint các hàm sơ cấp đến cấp n:

1 ex = 1 + x + x2

x33! + +

n x2n+1(2n + 1)! + o(x

2n+1)

5 shx (sinhx ) = x + x

3

x55! + +

x2n+1(2n + 1)! + o(x

+ o(x2n+1)

Khai triển TAYLOR trong lân cận x0 đến cấp n cáchàm số sau:

THỰC HIỆN KHAI TRIỂN MACLAURINT ĐẾN CẤP n:

5 y = sin(arctanx), n = 4

Tìm bậc các vô cùng bé sau khi x → 0

1 y = (1 + x2)sinx − arctanx

2 y = ln(√1 + 2x − ln(1 + x ))

3 y = ln(1 + sinx ) − tanx

4 y = tanx − xex2

ÁP DỤNG KHAI TRIỂN MACLAURINT ĐỂ TÍNH GIỚIHẠN HÀM SỐ:

Dạng thường gặp để tính là I = lim

x →0

f (x )

g (x ) với dạng vôđịnh 0

0Khai triển Maclaurint cả tử và mẫu đến bậc bé nhất:

x →0

arctanx − arcsinxtanx − sinx

CHƯƠNG IV: KHẢO SÁT

HÀM SỐ

CỰC TRỊ HÀM SỐ

1 TXĐ

KHÔNG TỒN TẠI Tập hợp những điểm này gọi là ĐIỂMNGỜ

3 Lập BBT để khảo sát cực trị: Sắp các ĐIỂM NGỜ trênBBT và xét dấu y0(x0) Nếu qua x0, y’ đổi dấu từ + sang

- thì tại đó hàm đạt cưc đại Ngược lại, hàm đạt cực tiểu.Qua x0 y’ không đổi dấu thì hàm không có cực trị tại đó.Hoặc:

Xét dấu y00(x0) Nếu y00(x0) > 0 hàm đạt CT Nếu

y00(x0) < 0 hàm đạt CT Các dấu còn lại của y00 hàm

b = lim

x →∞(y − ax )

b = lim

x →∞(y − ax )

Tính lồi lõm, điểm uốn

Tìm điểm uốn

Giải nghiệm y” hoặc điểm y” không tồn tại

Xét dấu y” qua các điểm trên, nếu qua x0, y” đổi dấuthì là điểm uốn

Tính lồi lõm

Hàm y=f(x) lồi trên khoảng (a,b) nếu trên đó, f”(x)<0,

và ngược lại, hàm lõm

KHẢO SÁT TIỆM CẬN CÁC HÀM SỐ SAU:

1 y = x +√4x2 + 1

2 y = (x + 3)e

1x

x + 4

CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN

BẤT ĐỊNH

II Tích phân hữu tỷ

Q(x )dx , với degP(x ) < degQ(x )

1 Phân tích mẫu thành tích các nhân tử chứa các nhị

thức và tam thức bậc 2 vô nghiệm

2 Giả sử ta có: Q(x ) = (x − a)(x − b)s1(ax2 + bx + c)

II Tích phân hữu tỷ

Q(x )dx , với degP(x ) < degQ(x )

1 Phân tích mẫu thành tích các nhân tử chứa các nhịthức và tam thức bậc 2 vô nghiệm

2 Giả sử ta có: Q(x ) = (x − a)(x − b)s1(ax2 + bx + c)

Tính các tích phân hữu tỷ sau

III TÍCH PHÂN HÀM LƯƠNG GIÁC

R R(sinx, cosx)dx

Đặt t = tanx

Trường hợp đặc biệt

1 R(−sinx , cosx ) = −R(sinx , cosx ), ⇒ t = cosx

2 R(sinx , −cosx ) = −R(sinx , cosx ), ⇒ t = sinx

3 R(−sinx , −cosx ) = R(sinx , cosx ), ⇒ t = tanx

III TÍCH PHÂN HÀM LƯƠNG GIÁC

R R(sinx, cosx)dx

Đặt t = tanx

Trường hợp đặc biệt

1 R(−sinx , cosx ) = −R(sinx , cosx ), ⇒ t = cosx

2 R(sinx , −cosx ) = −R(sinx , cosx ), ⇒ t = sinx

3 R(−sinx , −cosx ) = R(sinx , cosx ), ⇒ t = tanx

IV Tích phân vô tỷ cơ bản

x + 2

x +√3

x + 2Z

x

4

px3(4 − x )

TP EULER

R R(x,√ax2 + bx + c)dxPhương pháp 1: Lượng giác

Phương pháp 2: Euler tổng quát.

a + t nếu a > 02

√

c nếu c > 03

√

ax2 + bx + c = (x − x1)t nếu x1 là nghiệm của tamthức bậc 2

Tính các tích phân vô tỷ sau:

5Z

0

dx

√2x2 + 2x + 5

1Zp

x2 + 2x + 5dx

(x + 2)dx

√

Z(x + 2)p2x2 − x + 1dx

2Z

1

e2x

√

e2x + ex

3x2 + 5Z

dx

x√1 − ln2x

CHƯƠNG VI TÍCH PHÂN

SUY RỘNG

I Tích phân suy rộng loại 1

f (x )dx , trong đó, hàm f(x) không có điểm

kỳ dị giữa [a, +∞] được gọi là tpsr loại 1 Định nghĩatương tự cho :

aR

I Tích phân suy rộng loại 1

f (x )dx , trong đó, hàm f(x) không có điểm

kỳ dị giữa [a, +∞] được gọi là tpsr loại 1 Định nghĩa

Tiêu chuẩn so sánh

Xét hai tích phân sr loại 1: I=

+∞

Ra

f (x )dx , J=

+∞

Ra

g (x )dx ,trong đó f (x ), g (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [x0, +∞), x0 ≥ a Xét:

IV Tích phân vô tỷ bản

3x2 + 5Z

dx

x√1 − ln2x

CHƯƠNG... (x − x1< /sub>)t x1< /sub> nghiệm tamthức bậc

Tính tích phân vơ tỷ sau:

5Z