Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I cung cấp cho học viên các kiến thức về phân loại đạo hàm (vi phân), phân loại phương trình vi phân, phương pháp đơn bước – tường minh, phương pháp Euler tường minh, phương pháp Euler ẩn tàng, phương pháp Taylor bậc hai, phương pháp Runge-Kutta bậc 2 (RK2), phương pháp Runge-Kutta bậc 3 (RK3),... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Khoa Công nghệ Cơ khí

Bài 7:

Phương trình trình vi phân thường bậc I

Thời lượng: 3 tiết

Bộ môn Cơ sở - Thiết kế

Nội dung bài học

9

phương

pháp

Phân loại đạo hàm (vi phân)

Phân loại phương trình vi phân

Phương trình đạo hàm riêng

Gồm 1 hoặc nhiều đạo hàm toàn phần của các hàm ẩn số theo nhiều biến độc lập

Phương trình vi phân thường

Gồm một hay nhiều đạo hàm

của các hàm ẩn số theo một biến độc lập

0

2

22

u

Khái niệm phương trình vi phân

- Phương trình vi phân (PTVP) là một phương trình mà chứa đạo hàm của

một hàm số chưa biết Nghiệm của PTVP chính là hàm số mà thỏa mãn PTVP đó

- PTVP mà chỉ có một biến số thì được gọi là Phương trình vi phân thường

(Ordinary Differential Equation - ODE)

x là biến độc lập; y là biến phụ thuộc

 Phương trình có chứa x, y, dy/dx

 PTVP thường bậc 1 là phương trình chứa

Phương trình vi phân đầy đủ

Bậc của phương trình vi phân

Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến

Một PTVP là tuyến tính nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa bằng 1 Không có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của

Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến

Một PTVP là phi tuyến nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa khác 1 Ngoài ra có thể có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của nó

Điều kiện phụ để giải PTVP

Nghiệm của phương trình vi phân:

Tất cả các hàm số trên là nghiệm của PTVP, chúng khác nhau ở các hằng

số c1, c2 Để xác định chính xác c1, c2 cần có thêm các điều kiện phụ:

Phân loại PTVP theo điều kiện phụ

Bài toán giá trị biên

(Boundary Value Problem)

• Các điều kiện thì không ở 1 điểm của biến độc lập

• Giải bài toán này khó hơn bài toán giá trị ban đầu

5 1 )

2 ( ,

1 )

0 (

e x

x



Bài toán giá trị ban đầu

(Initial Value Problem)

Khác nhau

tại mỗi điểm chính là độ dốc Tập hợp các

véctơ đó trong khoảng x Є [0; 4]; y Є [2; 6]

Với mỗi một điều kiện ban đầu ta có một

họ đường cong lời giải:

 Lời giải số của PTVP bậc I (2) là một tập hợp các điểm rời rạc mà xấp xỉ được hàm số

y(x) Khi PTVP được giải bằng phương pháp số thì đề bài phải giới hạn miền lời giải Ví

dụ x Є [a; b] Tùy thuộc vào phương pháp số được dùng để giải phương trình, số điểm giữa khoảng a và b có thể được xác định

 Ví dụ miền lời giải [a; b] có thể được chia ra làm n khoảng nhỏ đều nhau của biến độc

Phân loại phương pháp giải PTVP thường bậc I

Ước tính nghiệm ở một bước

cụ thể dựa trên các thông tin của một bước trước

Ước tính nghiệm ở một bước

cụ thể dựa trên các thông tin của nhiều hơn một bước trước

Lời giải số là một quy trình hoặc tính toán ước tính nghiệm của lời giải chính xác tại một tập hợp các điểm rời rạc Quá trình giải tăng dần theo từng bước Bắt đầu từ điểm mà giá trị ban đầu được đưa ra Sau đó sử dụng lời giải tại điểm đầu tiên để tính được lời giải tại điểm thứ hai gần đó Tiếp theo là lời giải tại điểm thứ ba, thứ tư, v.v…Ý tưởng sử dụng giá trị hàm số tại một vài điểm trước có thể đem đến một ước tính tốt hơn cho việc tìm lời giải

Phân loại phương pháp giải PTVP thường bậc I

Trong công thức tường minh, vế

phải của phương trình chỉ chứa

những giá trị đã biết:

 x i , x i+1, yi đều đã biết

y i+1 chưa biết và xuất hiện ở cả 2 vế Nếu F là hàm tuyến tính của y i+1 thì có thể đưa (4) về (3) Còn nếu là phi tuyến thì phải sử dụng kiến thức

giải phương trình phi tuyến để tìm y i+1 Các phương pháp ẩn ngầm đưa đến kết quả chính xác hơn so với các phương pháp tường minh nhưng đòi hỏi nhiều nỗ lực tính toán hơn

Phương pháp đơn bước – tường minh

Trong phương pháp đơn bước – tường minh,

ước tính nghiệm của lời giải số (x i+1 ,y i+1)

được tính từ lời giải đã biết (x i ,y i)

Trong đó:

h – cỡ bước

trong khoảng từ x i đến x i+1

Lời giải chính xác

Phương pháp Euler tường minh

Lời giải chính xác





Phương pháp Euler tường minh

Phương pháp Euler tường minh

Phương pháp Euler tường minh

Phương pháp Euler tường minh

Lời giải chính xác

Phương pháp Euler tường

0 0.5 0.5 , 3 0.5 1.2 7

3 3.5

3.757798698 1.6

e y

0.5 0.5 1.0

3.757798698 3.5

3.969164044 1.6

x x h

e y

1.0 0.5 1.5

3.969164044 3.5

3.875539109 1.6

x x h

e y

1.5 0.5 2.0 , 3.875539109 0.5 1.2 7 3.875539109 3.5

3.622737397 1.6

e y

2.0 0.5 2.5 , 3.622737397 0.5 1.2 7 3.622737397 3.5

3.297512707 1.6

x x h

e y

2.5 0.5 3.0 , 3.297512707 0.5 1.2 7 3.297512707 3.5

2.950316572 1.6

x x h

e y

3.0 0.5 3.5 , 2.950316572 0.5 1.2 7 2.950316572 3.5

2.609436684 1.6

x x h

e y

3.5 0.5 4.0 , 2.609436684 0.5 1.2 7 2.609436684 3.5

2.289760266 1.6

x x h

e y

Phương pháp Euler tường

minh (h=0.5)

Phương pháp Euler ẩn tàng

(h=0.5)

Phương pháp Taylor bậc cao

Phương pháp Taylor bậc hai

Phương pháp Taylor bậc hai

 

  

Phương pháp Taylor bậc hai

0.3 1.0

2 2 2 3

3

, 0.84 4.160748698 4.375 0.25394919 4.160748698 0.5 0.25394919 4.033774103

1.0 0.5 1.5

y x

 

 

- Phương pháp Euler Cải tiến

1 2, 11

, 0

1 2

k f x y a

x x

1

0.5 0.58 1.05 i 3.5 i

x x

2

0.5 0.5 1.0 0.58 3.937102202 1.05 3.5 4.174582668

0.5 0.58 0.7 i 1.75 i

x x

x x

0.3 0.25 2,0 0 0 1,0

1) Tạo file hàm số xác định hàm dy/dx = f(x,y):

dydx = -1.2*y + 7*exp(-0.3*x);

- Giải bằng một trong số các câu lệnh có sẵn của MATLAB, ví dụ như ode45

- Giải bằng lời giải chính xác

- Nhập vào MATLAB lời giải bằng tay mà ta đã tính dựa trên 1 trong số 9 phương pháp đã học

- So sánh kết quả giữa lời giải chính xác và MATLAB

- So sánh kết quả giữa lời giải chính xác và lời giải tay

tspan = [0:0.5:4]; % Mien cua bien doc lap:Tu a den b voi buoc h

y0 = 3; % Gia tri ban dau cua ham phu thuoc y

[x,yMATLAB] = ode45(@DiffEq,tspan,y0) % Su dung ham ode45

yExact = exp((-6/5)*x).*((70/9)*exp((9/10)*x) - 43/9) % Loi giai chinh xac

% Nhap ket qua tinh tay theo mot trong so 9 phuong phap, vi du PP Euler tuong minh

y_ExEuler = [3;4.7;4.892477918;4.549854940;4.051640506;3.541496929;3.06988170 6;2.650946492;2.285160719]

% Tinh sai so giua loi giai chinh xac va MATLAB

error_Exact_MATLAB = abs((yExact - yMATLAB)./yExact)*100

% Tinh sai so giua loi giai chinh xac va mot trong so 9 pp ma ta giai tay, vi du PP Euler tuong minh

error_Exact_ExEuler = abs((yExact - y_ExEuler)./yExact)*100

% Ve do thi ham loi giai chinh xac

x = [0:0.01:4]; %Chia nho lai khoang x de ve do thi cho muot

yExact = exp((-6/5)*x).*((70/9)*exp((9/10)*x) - 43/9);

plot(x,yExact, 'b' ) hold on

scatter(tspan,yMATLAB, 'k' ) %ve cac diem loi giai cua MATLAB

Véctơ x Véctơ lời giải y theo câu

lệnh ode45 của MATLAB Véctơ lời giải chính xác

Véctơ lời giải theo 1

trong số 9 phương

pháp số tính bằng tay

Sai số giữa lời giải chính xác và lời giải bằng câu lệnh của MATLAB

Sai số giữa lời giải chính xác và lời giải tính bằng tay theo 1 trong số 9 pp

Bài toán kỹ thuật

Cho ống nước chảy vào bể nước hình trụ có bán kính R tank Cùng ngay tại thời điểm đó thì ở dưới đáy bể, nước cũng

được thoát ra bởi một vòi ống tròn có bán kính r hole Cho biết quy luật dòng chảy nước vào bể có dạng:

Cho biết ở thời điểm ban đầu t0 =0 thì nước trong bể đang ở

độ cao h0 Hãy tính độ cao của bể nước ở thời điểm t* (s) kể

từ khi bắt đầu Cho biết khối lượng riêng của nước là ρ

Để giản lược tính toán, ta chấp nhận giản lược sau của độ

cao h khi tính dòng chảy ra khỏi bể:

- Dòng chảy ra ở vòi ống dưới đáy bể:

s

2

A   r

- Độ biến thiên khối lượng nước trong bể:

- Khối lượng của nước trong bể khi có độ cao h:

dt h

máy tính CASIO chứ không được dùng MATLAB hay Excel hỗ trợ vì để luyện tập khi đi thi cuối kz) Chú {: bước lặp bằng

0.5 Khảo sát thời gian t Є [0;10]  20 điểm

3) Lập bảng tính tay so sánh lời giải chính xác và lời giải số theo

mẫu (Slide 22/26/32/36/40/43/47/50/54):

4) Sử dụng Code MATLAB như theo mẫu ở Slide 56 để kiểm

nghiệm lại và in kết quả, vẽ đồ thị so sánh kết quả (Slide 57)

Phương pháp Euler tường