Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 5: Sai phân số (Tính đạo hàm bằng phương pháp số)

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 5: Sai phân số (Tính đạo hàm bằng phương pháp số) cung cấp cho học viên các kiến thức về ý nghĩa của đạo hàm, các cách tiếp cận để tính sai phân số, xây dựng công thức tính sai phân số bậc 1, các công thức tính sai phân số, sai phân số từng phần, ứng dụng của việc tính sai phân số: dầm chịu uốn,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Khoa Công ngh ệ C ơ khí

Bài 5:

Sai phân số (Tính đạo hàm bằng pp số)

Thời lượng: 3 tiết

B ộ môn C ơ s ở - Thi ế t k ế

Nội dung bài học

Ý nghĩa của đạo hàm

Đạo hàm dùng để mô tả sự thay đổi của một đại lượng này phụ thuộc vào sự thay đổi của một đại lượng khác (có hướng hoặc vô hướng)

Vận tốc thể hiện quy luật phụ thuộc của

sự thay đổi giá trị tọa độ điểm, khi mà thời gian thay đổi

Gia tốc thể hiện quy luật phụ thuộc của

sự thay đổi giá trị vận tốc điểm, khi mà thời gian thay đổi

Vì sao phải dùng sai phân số

1) Khi hàm số được cho ở dạng biểu thức tường minh, thì đạo hàm của

nó có thể được tính bằng phương pháp giải tích (theo bảng đạo hàm) 2) Khi:

• Hàm số được xác định ở một số lượng hữu hạn các điểm rời rạc

• Hàm số ở dạng hộp đen (tức là một quy trình bên trong nội hàm,

nhưng cho phép xác định giá trị của hàm khi biết giá trị các tham biến đầu vào)

cần sử dụng các phương pháp số để tính đạo hàm

3) Sai phân số cũng được thường xuyên sử dụng khi giải các phương trình vi phân hoặc hệ phương trình vi phân

Các cách tiếp cận để tính sai phân số

f’(xi) được xấp xỉ bằng độ dốc của tiếp

tuyến với đường cong khớp tại điểm xi

Sai phân số phía trước (Forward)

Sai phân số phía sau (Backward)

Sai phân số trung tâm (Center)

Ví dụ

Tính sai phân số bậc 1 và bậc 2 của hàm số sau đây tại các điểm x=1.4 theo các cách phía

trước, phía sau, trung tâm với phương án ít và nhiều điểm So sánh với lời giải chính xác Cho

1.4 0.06455824515 0.0694611669

1 Phía trước – 2 điểm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0.0701521445 0.2

1 Phía trước – 3 điểm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 Phía trước – 3 điểm:

4 Phía trước – 4 điểm:

i i

f x y f x y f

i i

f x y f x y f

i i

i i

f x y f x y f x y f

Ứng dụng của việc tính sai phân số

EIx=104 kN.m2

Cho dầm AB có chiều dài L=8 m như hình vẽ Độ cứng chịu uốn EIx= 104

kN.m2 Từ thực nghiệm đo đạc được chuyển vị độ võng của dầm theo tọa

độ chiều dài z như trong bảng ở bên cạnh Yêu cầu bằng phương pháp sai

phân số hãy tính các đại lượng sau ở vị trí z=2 m:

Gọi v là chuyển vị độ võng của dầm Hàm v(z) là hàm tính độ võng của dầm tại

vị trí có tọa độ z tính từ đầu A của dầm Ta có các hệ thức sau:

1.a Sai phân số phía trước – dùng 2 điểm:

1.d Sai phân số phía trước – dùng 3 điểm:

( ) ( ) ( )2 4 ( )1 3 ( ) ( 0.101391e-2 +4) ( 0.1017674e-2) (3 0.935208e-3)

1.e Sai phân số phía sau – dùng 3 điểm:

( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) (1 2 3 0.935208e-3) (4 0.775729e-3) ( 0.561253e-3)

1.f Sai phân số trung tâm – dùng 4 điểm:

2.a Sai phân số phía trước – dùng 3 điểm:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

i i i i i i i i i i i

12 0.101391e-2 16 0.1017674e-2 30 0.935208e-3 16 0.775729e-3 0.561253e-3

3.a Sai phân số phía trước – dùng 4 điểm:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

i i i i i i i i i i i

3.b Sai phân số phía sau – dùng 4 điểm:

3.c Sai phân số trung tâm – dùng 4 điểm:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

i i i i i i i i i i i

3.d Sai phân số phía trước – dùng 5 điểm:

3.e Sai phân số phía sau – dùng 5 điểm:

3.f Sai phân số trung tâm – dùng 6 điểm:

2

3 0.772131e-3 14 0.927468e-3 24 0.101391e-2 18 0.1017674e-2 5 0.935208e-3 10

2 0.4 1.842890625

8 0.4 2.439492188

4.a Sai phân số phía trước – dùng 5 điểm:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

i i i i i i i i i i i

4.b Sai phân số phía sau – dùng 5 điểm:

4.c Sai phân số trung tâm – dùng 5 điểm:

i i i i i i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

i i i i i i i i i i i

4.d Sai phân số phía trước – dùng 6 điểm:

4.e Sai phân số phía sau – dùng 6 điểm:

4.f Sai phân số trung tâm – dùng 7 điểm:

6 0.927468e-3 12 0.101391e-2 39 0.1017674e-2 56 0.935208e-3 39 0.775729e-3 12 0.561253e-3 0.326595e-3 10

6 0.4 5215.402735

1) Cho biết lời giải chính xác của góc xoay θ(l=2)=–0.3089375003e–3 (rad) Tính

phần trăm sai số so với các phép tính sai phân số đã thực hiện.

2) Cho biết biểu đồ lực phân bố w cũng chính là hình vẽ dầm chịu tải trên thực

tế Vẽ lại biểu đồ lực cắt Qy và mômen uốn Mx để so sánh với các phép tính sai phân số đã thực hiện.

2) Lời giải chính xác của:

Q y (z=2)=12.44–5.2=2.44 kN

3) Lời giải chính xác của:

M x (z=2)=–10+0.5.(12.44+2.44).2=4.88 kN.m

Bảng so sánh kết quả

1 Để tính góc xoay tại z=2 thì sai phân số bậc nhất phía sau và trước với 2 điểm, phía sau

với 3 điểm đem lại kết quả không chính xác (Sai số > 5%)

2 Để tính nội lực mômen uốn tại z=2 thì chỉ có sai phân số bậc 2 trung tâm là đem đến kết

quả chính xác

3 Để tính nội lực lực cắt tại z=2 thì sai phân số bậc ba phía sau, phía trước với 4 điểm, phía

trước với 5 điểm đem lại kết quả không chính xác (Sai số > 5%)

4 Để tính tải trọng phân bố tại z=2 thì sai phân số bậc bốn phía trước (với cả 5 điểm hay 6

điểm), sai phân số trung tâm với 7 điểm đem lại kết quả không chính xác (Sai số > 5%)