Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 2: Phương trình và hệ phương trình đại số phi tuyến

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 2: Phương trình và hệ phương trình đại số phi tuyến cung cấp cho học viên các kiến thức về khái niệm phương trình đại số tổng quát; một số bài toán kỹ thuật đưa về phương trình phi tuyến; các cách tiếp cận để giải phương trình đại số phi tuyến; các phương pháp “bủa vây”;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Bài 2:

Phương trình và hệ phương trình đại số phi tuyến

Thời lượng: 6 tiết

Khái niệm phương trình đại số tổng quát

(2)

2

2 1,2

2

0

40

Một số bài toán kỹ thuật đưa về phương trình phi tuyến

- PP đồ thị

- PP chia đôi đoạn

- PP vị trí sai

- PP vòng lặp điểm cố định đơn giản

Newton-Raphson

- PP dây cung

Các phương pháp “bủa vây”

( )

2 0.146843

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -10

0 10 20 30 40 50 60

MATLAB

c=14:0.1:16

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

14.78

Các phương pháp “bủa vây”

( )

f x

Vùng tìm kiếm 1 Vùng tìm kiếm 2

Vùng tìm kiếm 3 Vùng tìm kiếm 4

Vùng tìm kiếm 5

1 4

Ví dụ cần giải phương trình f(x)=0 trên đoạn [0; 1]

Nếu |a – b| > ε

thì đến bước 2 còn không thì đến bước 3

Bước 3: Hội tụ In kết quả nghiệm x* = α;

f(x*) = f(α)

Các phương pháp “bủa vây”

Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 trong khoảng [a, b] bằng pp chia

đôi đoạn với 5 vòng lặp

Nếu đề yêu cầu cần thực hiện số vòng lặp sao cho sai số ước lượng của

nghiệm không vượt quá ε:

2

log 2

Ưu điểm:

Các phương pháp “bủa vây”

Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 trong khoảng [a, b] bằng pp vị trí

sai cho đến khi sai số ước lượng của nghiệm nhỏ hơn ε=0.001

( ) 0.2 0.8 [ ] [ ]

2; , 2, 6

x x

f x = e − e− − a b =

plot(x,f, '-b' , 'linewidth' ,2),grid on

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 -1

Các phương pháp “bủa vây”

điểm đầu và cuối trên

khoảng [a,b] của hàm

số cắt với đồ thị hàm số

f(x) tại 1 điểm C, thì khi

này điểm x0 sẽ có khẳ

năng không cố định là a hay b mà sẽ hoán đổi

liên tục, tuy nhiên bài toán sẽ không hội tụ

mà phân ly.

Các phương pháp “bủa vây”

Có nhiều tình huống hàm số mà tốc độ hội tụ của nghiệm theo phương pháp vị trí sai là rất chậm

Công thức (7) cho phép dự đoán được điểm tìm

kiếm nghiệm tiếp theo x i+1, khi biết được điểm

tìm kiếm trước đó x i.

Các phương pháp mở

Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 bằng pp vòng lặp điểm cố định đơn giản với điểm khởi đầu x0 = 1 cho đến khi sai số ước lượng của nghiệm nhỏ hơn ε=0.001

Hội tụ Phân kỳ

Mô hình đơn điệu

Mô hình xoắn ốc

thể không có một hàm g(x) để sử dụng phương pháp vọng lặp điểm cố định

• Trong trường hợp có nhiều nghiệm, một hàm lặp có thể mang lại một

nghiệm, trong khi một hàm khác mang lại các nghiệm khác

• Có thể xác định trước sự hội tụ hay phân kỳ cho một hàm g(x)

Phương pháp lặp điểm cố định hội tụ nếu, trong vùng lân cận của điểm cố

định, đạo hàm của g(x) có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 (còn được gọi là liên

tục Lipschitz):

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp)

i

x i

x i

Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp)

2

0.5071

9

0.44

51

x

e e

g x

e

e g

Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý: Ví dụ (Tiếp)

Lựa chọn phương án hàm số g(x) hợp lý

Bước 1: Chọn g(x) = x + f(x) hoặc g(x) = x – f(x)

Bước 2: Tính đạo hàm g’(x) = 1 + f’(x) hoặc g’(x) = 1 – f’(x)

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm g’(x) và so sánh tương quan của đồ thị đó so với 2

đường y=±1 trong khoảng [a;b]

Bước 4: Từ đó điều chỉnh hàm g’(x) = 1 ± α.f’(x) để sao cho đồ thị hàm

( ) ( )

sẽ cắt trục hoành tại điểm x1 Với

điểm x1 ta lại làm như ở bước x0 lúc đầu Cứ như vậy đến khi nào cách

biệt giữa x i+1 và x i nhỏ hơn một sai số cho phép.

(9)

thì:

x0 = xi

đến bước 2 còn không thì đến bước 3

f(x*) = f(xi)

( )

f x

( )

f x

ta xác định 2 điểm tương ứng

trên đồ thị là f(x1) và f(x2 ) Nối chúng tạo thành dây cung cắt

trục x tại điểm x3 Tiếp tục xác

định điểm tương ứng của x3trên đồ thị là f(x3 ) Lại vẽ dây

cung nối 2 điểm f(x2) và f(x3 ) cắt

trục x tại điểm x4 Tiếp tục như vậy đến khi thu được điểm gần với nghiệm của phương trình.

1 1

(10)

Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 trong khoảng bằng phương pháp dây cung với x1 = 15, x2 = 14, ε=0.001

1

1 1

kỳ, nếu biết góc α, hãy tính

góc φ=θ 2 , θ 3 , θ 4

( ) ( )

là x0 =1

f = @(x) ((5/2)*cos(x)+cos((1/3)*pi-x)-8/3);

fplot(f, [0, 2*pi], 'm-','Linewidth',2)

title('Do thi ham

f(x)=(5/2)*cos(x)+cos((1/3)*pi-x)-8/3')

xlabel('x'),ylabel('f(x)'),grid on

Hệ phương trình đại số phi tuyến

1010

i i

i

x x

Hệ phương trình đại số phi tuyến

Điều kiện 1: Các hàm số sau liên tục xung quanh điểm nghiệm:

Hệ phương trình đại số phi tuyến

Giải hệ phương trình sau với điểm khởi đầu Thực hiện 10 vòng lặp Tính chuẩn hoá sai số ước lượng của véctơ nghiệm và của véctơ hàm số.

1

0 0 2

, 2 sin 0.5 0

, 2, 2 , 2 cos 0.5 0

2 cos 0.5 ,

1) Bước 1: biến đổi hệ phương trình

f1 = @(x,y) 2*x - sin(0.5*(x - y));

f2 = @(x,y) 2*y - cos(0.5*(x - y));

fimplicit(f1,[-5 5 -5 5], 'm-' , 'Linewidth' ,2),grid on

hold on

fimplicit(f2,[-5 5 -5 5], 'k-' , 'Linewidth' ,2),grid on

Hệ phương trình đại số phi tuyến

2) Bước 2: Tính các đạo hàm riêng:

2 cos 0.5 ,

2 , 2, 2

Hệ phương trình đại số phi tuyến

Biến đổi hệ phương trình (11) thành hệ phương trình có dạng:

2

10 10

i i

i

x x

( ) ( )

1

0 0 2

, 2 sin 0.5 0

, 2, 2 , 2 cos 0.5 0

Hệ phương trình đại số phi tuyến

2 cos 0.5 ,

2 , 2, 2

9 -0,160490847 0,493101636 2,87859E-05 1,72137E-07 5,87458E-05 8,86337E-05

10 -0,16050524 0,493102146 7,0569E-06 4,21754E-08 1,4402E-05 2,17294E-05

Phương pháp vòng lặp Gauss-Seidel có tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp vòng lặp điểm cố định đơn giản

Hệ phương trình đại số phi tuyến

, ,

y i

y

x i

,

1 1

,

2 2

,

2 2

x

f x y f

y

f x y f

x

f x y f

f f

Hệ phương trình đại số phi tuyến

Giải hệ phương trình sau với điểm khởi đầu Thực hiện 10 vòng lặp Tính chuẩn hoá sai số ước lượng của véctơ nghiệm và của véctơ hàm số.

1

0 0 2

, 2 sin 0.5 0

, 2, 2 , 2 cos 0.5 0

2 2

2 2

i i y

x i

Hệ phương trình đại số phi tuyến

× +

x y z

k ky

x y z

k kz

hàm số tại mỗi vòng lặp.

( ) ( )

, , 4 2 3 9 8 4 0 , , 6 4 4 6 4 39 0 , , 0, 3, 2 , , 3 4 8 9 2 20 0

1) Vẽ đồ thị để xem trực quan nghiệm là giao điểm của 3 bề mặt:

f1 = @(x,y,z) -4*x.^2 + 2*y.^2 + 3*z.^2 + x.*y + 9*x.*z + 8*z - 4;

f2 = @(x,y,z) -6*x.^2 - 4*y.^2 + 4*z.^2 + 6*x.*y - 4*y.*z - z + 39;

f3 = @(x,y,z) - 3*y.^2 + 4*x.*y - 8*y.*z +9*y - 2*z + 20;

interval = [-5 5 -5 5 -5 5];

fimplicit3(f1,interval, 'FaceColor' , 'm' , 'EdgeColor' , 'k' , 'FaceAlpha' ,.9), hold on

fimplicit3(f2,interval, 'FaceColor' , 'g' , 'EdgeColor' , 'k' , 'FaceAlpha' ,.9), hold on

fimplicit3(f3,interval, 'FaceColor' , 'y' , 'EdgeColor' , 'k' , 'FaceAlpha' ,.9), hold on

scatter3(0,3,2,200, 'filled' , 'MarkerEdgeColor' , 'k' , 'MarkerFaceColor' ,[0 75 75])

MATLAB

5 4-3

3 2-2

1 0 -1

-1 0

-2 -31

5 -4 -5

2 3 4 5

-5 -5

-4 5 -3

4 -2

0 -1

3 0

2 1

1 2

0 3

-1

4 5

-2

( 0, 3, 2 )

Điểm khởi đầu

2) Bước 2: Tính các đạo hàm riêng:

a) Phương án 1: ( )

( ) ( )

2) Bước 2: Tính các đạo hàm riêng:

a) Phương án 3: ( )

( ) ( )

0

0

0

Có xu hướng hội tụ.

(−1, 2,1)

Có xu hướng hội tụ.

1) Bước 1: Tính đạo hàm riêng của các hàm số và ma trận Jacobian:

b) Trong khoảng tìm kiếm là [3;4]

f = @(x) exp(0.2*x) - exp(-0.8*x) - 2 x0 = 15;

sol = fzero(f,x0)

a) Với điểm khởi đầu x0

sol = 3.603732449186166

b) Với khoảng tìm kiếm: f = @(x) exp(0.2*x) - exp(-0.8*x) - 2x0 = [3 4];

sol = fzero(f,x0)

Hàm MATLAB giải phương trình đa thức bậc cao

Hàm MATLAB giải Hệ phương trình đại số phi tuyến

x0 = [2,2];

x = fsolve(fun,x0)