Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 1: Những khái niệm cơ bản

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 1: Những khái niệm cơ bản cung cấp cho học viên các kiến thức về phương pháp số, các phương pháp không dùng máy tính cá nhân, lý do sử dụng phương pháp số; các nội dung chính trong môn học phương pháp số; mô hình toán hoá (Mathematical modeling); các định luận bảo toàn trong kỹ thuật; bốn lĩnh vực kỹ thuật sử dụng định luật bảo toàn;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

Bài 1:

Những khái niệm Cơ bản

Thời lượng: 3 tiết

Bộ môn Cơ sở - Thiết kế

1

Các khái niệm

Là các kỹ thuật mà các vấn đề toán học được phát biểu sao cho có thể giải quyết được bằng các phép tính số học Phương pháp số rất phù hợp với việc sử dụng

máy tính cá nhân (Personal Computer)

1 Phương pháp giải tích: đưa ra lời giải với công thức tường minh, chính

xác Nhưng hạn chế với các bài toán đơn giản, kích thước nhỏ, mô hình tuyến tính, v.v…

2 Phương pháp đồ thị: Đưa ra lời giải ở dạng đồ thị trực quan Tuy nhiên

kết quả của nó không thể đọc được một cách chính xác, và giới hạn ở các bài toán không gian 2 chiều hoặc 3 chiều

3 Phương pháp số nhưng tính bằng tay: Chậm, mất thời gian và công sức,

tẻ nhạt

1 Giải được các bài toán phức tạp về số lượng PT, độ phi tuyến, hình học

phức tạp mà không giải được bằng pp giải tích

2 Trong quá trình làm việc, ta thường xuyên sử dụng các phần mềm ứng

dụng phương pháp số Việc sử dụng tốt các phần mềm đó là dựa trên kiến thức nền cơ sở về các pp số này

3 Có nhiều vấn đề mà không thể xử lý bằng các gói phần mềm có sẵn Nếu

thành thạo phương pháp số và lập trình thì ta có thể tự thiết kế các chương trình của riêng mình để giải quyết vấn đề mà không phải mua các phần mềm đắt tiền

4 PP số là một công cụ hiệu quả để học về máy tính và lập trình máy tính

5 PP số là một phương tiện hiệu quả để củng cố sự hiểu biết về mặt toán

học Vì mục đích của phương pháp số là đưa toán học cao cấp về các phép toán số học cơ bản

3

Các nội dung chính trong môn học phương pháp số

Các nội dung chính trong môn học phương pháp số 5

Các nội dung chính trong môn học phương pháp số

Các nội dung chính trong môn học phương pháp số 7

Các nội dung chính trong môn học phương pháp số

Những nội dung sẽ học trong học phần

Phương trình đại số Hệ phương trình

Tích phân số Trị riêng và véctơ riêng

Phương trình vi phân thường

9

Mô hình toán hoá (Mathematical Modeling)

Một mô hình toán học được hiểu là một công thức hoặc phương trình thể hiện các tính năng thiết yếu của một hệ thống hoặc quá trình vật lý theo thuật ngữ toán học

Biến phụ thuộc = f(Các biến độc lập, Tham biến, Các hàm cưỡng bức)

- Biến phụ thuộc: là một đặc trưng phản ảnh ứng xử hoặc trạng thái của một hệ

thống

- Các biến độc lập: thường là có đơn vị, như biến thời gian, kích thước hình học mà

theo đó ứng xử của hệ thống được xác định

- Tham biến: các thông số phản ánh các thuộc tính (tính chất) hoặc thành phần của

hệ thống (thường là không đổi)

- Các hàm cưỡng bức: Là các tác nhân bên ngoài tác động vào hệ thống

(1)

- a (gia tốc của vật [m/s2 ]) chính là biến phụ thuộc, thể hiện ứng xử của hệ thống

- F (ngoại lực tác dụng vào vật [N]) chính là hàm cưỡng bức

- m (khối lượng của vật [kg]) chính là một tham biến phản ảnh thuộc tính của hệ

thống

 Trong mô hình toán này không có các biến độc lập vì chúng ta chưa đề cập đến chuyện gia tốc phụ thuộc vào thời gian hay không gian như thế nào Vì ở dạng đại số đơn giản, nghiệm của PT (2) có thể được lấy dễ dàng Tuy nhiên, các mô hình toán học khác của các hiện tượng vật lý có thể phức tạp hơn nhiều và không thể được giải chính xác hoặc đòi hỏi các kỹ thuật toán học phức tạp hơn so với biến đổi đại số đơn giản Để minh họa một mô hình phức tạp hơn thuộc loại này, đl II Newton được sử dụng để xác định vận tốc đầu cuối của một vật thể rơi tự do gần bề mặt trái đất

11

- F D , F U (ngoại lực tác dụng vào vật [N]) chính là các hàm cưỡng bức

- m (khối lượng của vật [kg]), c (hệ số cản của không khí [kg/s]), g=9,81 (gia tốc trọng

trường [m/s 2 ]) - các tham biến phản ảnh thuộc tính của hệ

- t (thời gian [s]) – biến độc lập

   

c t m

s 68.1 kg;

kg 12.5

s

g m c

Giá trị

cũ

Độ dốc

Cỡ bước

(5)

Nếu cho cỡ bước = 2, tức là: ti1   ti 2; i  0,1, 2, 3,

4

4 19.62 9.81 19.62 2 32.04

s 68.1

6

6 32.04 9.81 32.04 2 39.89

s 68.1

Lời giải

chính xác Lời giải số

Giá trị mới

Giá trị

cũ

Độ dốc

Cỡ bước (*)

   

? 0

Các định luận bảo toàn trong kỹ thuật

Độ thay đổi Giá trị khi tăng Giá trị khi giảm

 Tính toán các thay đổi theo thời gian (time-variable hoặc transient computation)

0 Giá trị khi tăng Giá trị khi giảm

Giá trị khi tăng Giá trị khi giảm

Tính toán trạng thái ổn định (Steady-state computation)

(6)

(7)

Mặc dù các phương trình (6) và (7) trông có vẻ đơn giản đến mức tầm thường, nhưng chúng lại thể hiện 2 cách cơ bản mà các định luật bảo toàn được sử dụng trong kỹ thuật Về sau là mối liên hệ giữa phương pháp số và kỹ thuật

Ví dụ cho Steady-State Computation

Dòng chảy ống 4 + Dòng chảy ống 3 = Dòng chảy ống 1 + Dòng chảy ống 2

Bốn lĩnh vực kỹ thuật sử dụng định luật bảo toàn

Các lò phản ứng Định luật

bảo toàn khối lượng

Lượng vào

Lượng

ra

Chênh lệch khối lượng

Tổng lực theo phương ngang (F H) = 0

Tổng lực theo phương dọc (F V) = 0

(9)

(10)

Bốn lĩnh vực kỹ thuật sử dụng định luật bảo toàn

Định luật bảo toàn động lượng

Định luật bảo toàn điện tích

Ô tô

Lực hướng

lên

Lực hướng xuống

Lực hướng lên

theo t

Lực hướng xuống

theo t

2

2

d x m

dt 

Mạch điện

Tổng điện tích mỗi nút (i) = 0

Định luật bảo toàn năng lượng

Các vấn đề kỹ thuật thực tế cần phải áp dụng PP số

1 Các bài toán phi tuyến và tuyến tính Phần lớn cơ học cổ điển

thường phải tuyến tính hóa các bài toán phi tuyến để thu được các lời giải giải tích tường mình Mặc dù điều này là hợp lý, nhưng thường có thể đạt được cái nhìn sâu rộng hơn nếu các vấn đề phi tuyến được kiểm tra bằng phương pháp số

tích các hệ thống có trên ba thành phần tương tác với nhau thường

là không khả thi Với máy tính và phương pháp số, các hệ thống đa thành phần thực tế hơn có thể được thực hiện phân tích

nhiều trong kỹ thuật Thường thì có những lựa chọn thay thế không

lý tưởng thực tế hơn nhưng đòi hỏi nhiều tính toán hơn Các phương pháp tiếp cận số gần đúng có thể tạo điều kiện thuận lợi cho việc áp dụng vào các bài toán không lý tưởng này

Các vấn đề kỹ thuật thực tế cần phải áp dụng PP số (Tiếp)

4 Phân tích độ nhạy Những tính toán thủ công sẽ đòi hỏi rất nhiều thời gian và công sức để thực hiện thành công Điều này sẽ làm nản lòng các nhà phân tích nếu muốn thực hiện nhiều phép tính cần thiết để kiểm tra cách hệ thống đáp ứng trong các điều kiện khác nhau Các phân tích độ nhạy như vậy sẽ thuận lợi hơn khi các phương pháp số cho phép máy tính đảm nhận gánh nặng tính toán

5 Thiết kế Trong thiết kế chúng ta thường phải đánh giá hiệu suất của một hệ thống như một hàm số phụ thuộc vào các tham biến của nó Thông thường thì sẽ rất khó giải quyết các vấn đề thiết kế ngược - nghĩa là xác định các tham biến khi hiệu suất yêu cầu được chỉ định Các phương pháp số và máy tính thường cho phép thực hiện nhiệm vụ này một cách hiệu quả

23

Xấp xỉ và làm tròn số

Sai số có một tầm quan trọng trong việc đánh giá tính chính xác của lời giải Chúng ta đã xác định được vận tốc của người nhảy dù bằng 2 phương pháp: Giải tích chính xác và phương pháp số Mặc dù pp số đem lại các ước tính rất gần với lời giải chính xác, nhưng luôn có sự khác biệt (sai số) vì pp

số liên quan đến một phép tính gần đúng Trong trường hợp này chúng ta may mắn vì có sẵn lời giải giải tích chính xác, nó cho phép chúng ta tính được sai số một cách chính xác Nhưng trong đại đa số các bài toán kỹ thuật khác, chúng ta không thể có được lời giải giải tích thì không thể tính chính xác được các sai số liên quan đến các pp số

Trong trường hợp này, chúng ta chỉ có thể xấp xỉ hoá hoặc ước lượng sai

Xấp xỉ và làm tròn số Như vậy sai số là điều không thể tránh khỏi ở những phương pháp số Nhưng sai số có thể dẫn đến các lỗi Mà Sinh viên cũng như các kỹ sư luôn bằng mọi cách phải hạn chế sai sót trong công việc Bởi lẽ Khi làm bài kiểm tra hoặc làm bài tập về nhà, SV có thể bị phạt, điểm kém vì lỗi Nhưng khi hành nghề công việc, sai sót có thể gây tốn kém và đôi khi là thảm họa Nếu một cấu trúc hoặc thiết bị bị lỗi, có thể nguy hiểm đến tính mạng Mặc dù sự hoàn hảo là một mục tiêu đáng khen ngợi, nhưng hiếm khi đạt được Ví dụ: mặc dù thực tế là mô hình nhảy dù được phát triển từ định luật II Newton là một phép gần đúng tuyệt vời, nó sẽ không bao giờ dự đoán chính xác được cú rơi của người nhảy dù trong thực tế Một loạt các yếu tố như gió và những thay đổi nhỏ trong lực cản của không khí sẽ dẫn đến sai lệch so với dự đoán

Nếu những sai lệch này cao hoặc thấp một cách có hệ thống, thì chúng ta có thể cần phát triển một mô hình mới Tuy nhiên, nếu chúng được phân phối ngẫu nhiên và nhóm chặt chẽ xung quanh dự đoán, thì độ lệch có thể được coi là không đáng kể và mô hình được coi là phù hợp

Phép tính gần đúng số cũng đưa ra sự khác biệt tương tự trong phân tích Một lần nữa, câu hỏi đặt ra là: Sai số tiếp theo xuất hiện trong tính toán của chúng ta là bao nhiêu và nó có thể chấp nhận được không?

25

Các nguyên nhân gây nên sai số

Lỗi cắt ngắn là sự chênh lệch được đưa ra bởi thực tế

là các phương pháp số có thể sử dụng các phép gần đúng để biểu thị chính xác các phép toán và đại lượng

Các lỗi gián tiếp

- Sai sót trong các bước

tính

- Lỗi xây dựng mô hình

toán, lỗi công thức

- Dữ liệu, dữ kiện bài toán

không chính xác

Chữ số có nghĩa (significant figures)

Đồng hồ tốc độ và quãng đường

- Nhìn trực quan ta thấy xe chạy với tốc độ gần 49

km/h

- Nếu tốc độ được ước tính đến một chữ số thập

phân, thì có người sẽ nói là 48,8 km/h, có người nói 48,9 km/h, v.v…  Đây được xem như là giá trị gần đúng

- Sẽ là không có cơ sở để có thể nói tốc độ xe là

48,8642138 km/h

- Đồng hồ đo quãng đường cung cấp 6 chữ số Ta

chỉ biết là xe đã đi ít hơn 87324,5 km/h trong suốt thời gian làm việc đã qua của nó

- Chữ số thứ bảy (số 5) hoặc cao hơn nó (số 4) là

không chắc chắn

Chữ số có nghĩa của một số là những chữ số có thể được sử dụng một cách

tự tin

27

Chữ số có nghĩa (significant figures)

Chúng tương ứng với số lượng các chữ số nhất định cộng với một chữ số ước lượng

 Thông thường người ta đặt chữ số ước lượng ở một nửa vạch chia nhỏ nhất trên thiết bị đo

- Đối với đồng hồ tốc độ, hai chữ số nhất định là 48

- Do chữ số ước lượng ở một nửa vạch chia nhỏ nhất, nên vạch chia nhỏ nhất của

đồng hồ tốc độ là 1 km/h Một nửa của nó là 0,5 km/h Như vậy, số đọc đồng hồ tốc độ sẽ bao gồm ba chữ số: 48,5

- Tương tự, một nửa vạch chia nhỏ nhất của đồng hồ quãng đường là ở giữa 0,4

và 0,5 km, tức là số giữa sẽ là (0,4+0,5)/2 = 0,45 Như vậy, số đọc đồng hồ quãng đường sẽ bao gồm bảy chữ số: 87324,45

Chữ số có nghĩa (significant figures)

- Số 0 luôn không phải là chữ số có nghĩa vì chúng có thể cần thiết chỉ để

xác định vị trí dấu thập phân Ví dụ như các số 0,00001845, 0,0001845 và 0,001845 đều có bốn chữ số có nghĩa là 1845

- Khi các số không ở cuối được sử dụng với số lượng lớn, không cần biết là

có bao nhiêu số không, miễn là nếu có, thì chúng đều là chữ số có nghĩa

Ví dụ: ở mệnh giá số 45.300 có thể có ba, bốn hoặc năm chữ số có nghĩa, tùy thuộc vào việc các số 0 được biết với độ tin cậy hay không Sự không chắc chắn như vậy có thể được giải quyết bằng cách sử dụng ký hiệu khoa học, trong đó 4,53 × 10 4 , 4,530 × 10 4 , 4,5300 × 10 4 chỉ ra rằng con số được biết đến tương ứng là ba, bốn và năm con số có nghĩa

29

Độ chính xác (accuracy) và độ hội tụ (precision)

Các sai số liên quan đến cả tính toán và đo đạc có thể

được đặc trưng bởi độ chính xác và độ hội tụ của

chúng:

- Độ chính xác (accuracy) thể hiện sự gần bằng giữa

giá trị được tính toán hoặc giá trị được đo đạc so với

giá trị thực

trị được tính toán so với nhau hoặc của các giá trị

được đo đạc so với nhau

Độ chính xác (accuracy) và độ hội tụ (precision)

Chiều gia tăng độ chính xác

31

Định nghĩa sai số (Error Definitions)

Các sai số được sinh ra từ việc sử dụng các phép tính gần đúng để biểu diễn các phép toán và đại lượng chính xác Chúng bao gồm:

Định nghĩa sai số (Error Definitions)

Giả sử khi đo chiều dài

của một cây cầu và một

đinh tán ta thu được

(b) sai số tương đối

1) Sai số thực tuyệt đối:

a) Của chiều dài cây cầu: E tcau  10000 9999 1 cm  

dinhtan

10 9 1 cm

t

b) Của chiều dài đinh tán:

2) Sai số thực tương đối :

a) Của chiều dài cây cầu:

E

Cả cây cầu và đinh tán đều có cùng sai số thực tuyệt đối là 1 cm, tuy nhiên sai số thực tương đối của cầu chỉ là 0.01%, trong khi đinh tán là 10% Do đó việc đo chiều dài cây cầu là đạt yêu cầu còn của đinh tán thì cần đo lại

33

Sai số gần đúng (xấp xỉ) tương đối (Approximate Percent Relative Errors)

- Ở Slide trước, khái niệm sai số thực tuyệt đối cũng như tương đối có chỉ

số “t” ở dưới, là vì chúng ta có được giá trị thực chính xác của nó Tuy nhiên trong các tình huống thực tế, chúng ta không có được những Giá trị thực Trong phương pháp số, giá trị thực chỉ có thể biết khi có được những lời giải tường minh ở dạng giải tích, và điều đó chỉ có ở những hệ thống đơn giản

- Trong những tình huống không có giá trị thực để so sánh, thì chúng ta

phải sử dụng ước tính tốt nhất về giá trị thực, tức là giá trị gần đúng của chính nó

εa

Giá trị gần đúng x 100% (17)

Sai số gần đúng

Sai số gần đúng (xấp xỉ) tương đối (Approximate Percent Relative Errors)

- Vấn đề ở chỗ tìm được giá trị gần đúng tốt nhất trong nhiều tình huống

không có thông tin về giá trị thực là bất khả thi Vì không có cơ sở để đánh giá nó là giá trị gần đúng tốt nhất hay không

- Trong phương pháp số, chúng ta thường sử dụng phương pháp vòng lặp

(Iterative Method) Trong tình huống này thì giá trị gần đúng ở vòng lặp hiện tại được tính dựa trên giá trị gần đúng của vòng lặp trước đó Quá trình này được thực hiện lặp đi lặp lại để tính toán liên tiếp nhằm hướng tới các giá trị gần đúng hơn qua mỗi vòng lặp

- Như vậy thì khái niệm sai số gần đúng tương đối có ý nghĩa trên từng vòng

Sai số gần đúng (xấp xỉ) tương đối (Approximate Percent Relative Errors)

- Ở mỗi vòng lặp thì sai số gần đúng tương đối có thể mang dấu “–“ hoặc dấu

“+” Tuy nhiên điều đó không quan trọng

- Chúng ta thường sẽ quan tâm đến việc giá trị tuyệt đối của sai số đó có nhỏ

hơn sai số cho phép định trước ε s hay không:

i

- Nếu (19) được thoả mãn thì kết quả nằm trong mức chấp nhận được

- Nếu muốn kết quả các sai số được tính đến n chữ số có nghĩa, ta có công

thức để tính sai số cho phép định trước ε s như sau:

Sai số gần đúng (xấp xỉ) tương đối (Approximate Percent Relative Errors)

Trong toán học một hàm số có thể được phân tích thành một dãy vô hạn, ví dụ:

1

n x

n càng lớn thì giá trị của hàm e x sẽ càng chính xác hơn Hãy tính giá trị của số e0.5

với n bắt đầu từ 0 cho đến khi sai số gần đúng tương đối nhỏ hơn sai số cho phép định trước ε s Với mỗi bước tính hãy tính đồng thời ε t và ε a Cho biết giá trị thực

e0.5 =1.648721…và các sai số được tính đến 3 chữ số có nghĩa

1) Tính sai số cho phép định trước ε s :