Nên tâm N của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFM, suy ra N thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AM cố định Bài 6 2đ.. b Chứng minh t[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN NINH SƠN NĂM HỌC: 2018 – 2019
Khóa thi ngày: 12/01/2019
Môn : TOÁN - Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1
(4đ) Giải phương trình: x
2x 2 = 9 – 5x
Điều kiện: x
9 1
5
x
1; đặt t = 2x 2, với t 0 0,5
t2 = 2x – 2 x =
2 2 2
t
0,5
Khi đó, phương trình đã cho trở thành:
2 2 2
t
.t = 9 – 5
2 2 2
t
0,5
t3 + 5t2 + 2t – 8 = 0 (t – 1)(t2 + 6t + 8) = 0 1,5 2
2; 4
6 8 0
Vì t 0, nên chọn t = 1 2x 2 = 1 x =
3
Bài 2
(3đ)
Cho các số thực a, b, c Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì
a2 b2 c22 2a4 b4 c4
(a2 + b2 + c2)2 = 4(ab + bc + ac)2 0,5
a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2a2c2 + 2c2b2
= 4 (a2b2 + a2c2 + c2b2 + 2a2bc + 2abc2 + 2acb2) = 4 [a2b2 + a2c2 + c2b2 + 2abc(a + b + c)]
= 4 (a2b2 + a2c2 + c2b2) vì a + b + c = 0
0,5
a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2a2c2 + 2c2b2 0,5
2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2)2 (đpcm) 0,5
Bài 3
(3đ)
Cho tam giác ABC có AB = AC = b, BC = a Đường phân giác của góc B cắt AC tại E, đường phân giác của góc C cắt AB tại I Tính độ dài đoạn thẳng IE theo a, b
Trang 2B C
A
1,0
Ta có: BE là phân giác của tam giác ABC, nên:
CI là phân giác của tam giác ABC, nên:
Mà: AB = AC
IB EC IE // BC
.
BC IA IE
AB
2
IA
Vậy: IE =
ab
Bài 4
(3đ)
Cho phương trình: (m – 1)x 2 – 2mx + m + 2 = 0 (1)
(x là ẩn số, m là tham số) Tìm những giá trị của m để phương
trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn hệ thức
1 2
2 1
5 0 2
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi:
' 2
( 1).( 2) 0
1,5
Khi đó: x1 + x2 =
2 1
m
m ; x1.x2 =
2 1
m m
Ta có:
2 2
1 2
1 2 1 2
2 1
5
2
0,5
2
2 2
1 1
m m
;
(TMĐK)
0,25
Trang 3Bài 5
(5đ) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OA lấy điểm I (I khác O và A), qua I vẽ đường thẳng vuông góc
với AB, đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại D Gọi E là
một điểm bất kỳ trên đoạn ID (E khác I và D) Tia AE cắt nửa
đường tròn tại C Tia BC cắt tia ID tại F.
d
O
A
E C F
1,0
a) Chứng minh: BA BI = BC BF
Ta có: AC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,5 Xét hai tam giác vuông ACB và FIB có chung 0,5
( )
AB IB BC BF
b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp AEF nằm trên
một đường thẳng cố định khi E di động trên đoạn thẳng ID.
Lấy điểm M đối xứng với B qua I thì M cố định và tam giác
Mà: CAB BFI (vì ACB FIB) Suy ra: CAB MFI 0,5
Nên tâm N của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cũng là tâm
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFM, suy ra N thuộc đường
Bài 6
(2đ)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: P = a + b + c +
3
a b c
Trang 4Ta có: P =
2
3(a + b + c) + 3
a b c
+
3
Vì a, b, c > 0 và abc = 1, nên áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
a + b + c 3 abc3 = 3 0,25
Và 3
a b c
+
3
Do đó: P
2
Học sinh giải cách khác mà kết quả đúng thì vẫn cho điểm tối đa