Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 2 - ThS. Nguyễn Thị Phương Thảo

Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 2 - ThS. Nguyễn Thị Phương Thảo cung cấp cho học viên các kiến thức về hệ thống và tín hiệu rời rạc thời gian; tín hiệu rời rạc thời gian; hệ thống rời rạc thời gian; hệ thống tuyến tính bất biến; phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Hệ thống và tín hiệu

rời rạc thời gian

Bài giảng: Xử lý tín hiệu số

Chương 2 Tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian

1. Tín hiệu rời rạc thời gian

2. Hệ thống rời rạc thời gian

3. Hệ thống tuyến tính bất biến

4. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

2.1 Tín hiệu rời rạc thời gian

… − 2 − 1 0 1 2 3 4 5 …

… 0 0 0 1 4 1 0 0 …

 Biểu diễn dưới dạng dãy:

Gốc thời gian (𝑛 = 0) của một tín hiệu hoặc dãy vô hạn được chỉ thị bởi ký hiệu ↑ như sau:

𝑥 𝑛 = 0,1,4,1,0

2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản

Một số dạng tín hiệu cơ bản thường xuyên xuất hiện và đóngvai trò quan trọng

a Dãy xung đơn vị: ký hiệu 𝛿(𝑛)

Dãy xung đơn vị bằng 1 với 𝑛 = 0 và bằng 0 với mọi n cònlại

Biểu diễn bằng đồ thị

b Dãy nhảy đơn vị: ký hiệu là 𝑢 𝑛

Dãy nhảy đơn vị bằng 1 với 𝑛 ≥ 0 và bằng 0 với n còn lại.Biểu diễn bằng đồ thị

2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản

c Dãy chữ nhật: ký hiệu là rectN 𝑛

rectN 𝑛 = 1 𝑣ớ𝑖 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1

0 𝑣ớ𝑖 𝑛 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖Dãy chữ nhật bằng 1 với 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 và bằng 0 với n còn lại.Biểu diễn bằng đồ thị

2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản

d Dãy dốc đơn vị: ký hiệu là 𝑢𝑟(𝑛)

Dãy dốc đơn vị bằng 𝑛 với 𝑛 ≥ 0 và bằng 0 với 𝑛 còn lại.Biểu diễn bằng đồ thị

2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản

2.1.1 Một vài tín hiệu cơ bản

e Dãy hàm số mũ là dãy có dạng

𝑥(𝑛) = 𝑎𝑛 với mọi n (a là số thực)

2.1.2 Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian

 Phân tích đặc điểm của tín hiệu có ý nghĩa quan trọng trong việclựa chọn và sử dụng các công cụ toán học để xử lý tín hiệu

 Mục tiêu của phần này là phân loại tín hiệu dựa trên một số đặcđiểm nhất định

a) Dãy năng lượng và dãy công suất

- Năng lượng của một tín hiệu:

𝐸 =

𝑛=−∞

+∞

𝑥 𝑛 2

- Năng lượng của tín hiệu có thể hữu hạn hoặc vô hạn

- Nếu E là hữu hạn (có nghĩa là 0 < E < ∞), thì x(n) được gọi là

dãy năng lượng

2.1.2 Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian

a Dãy năng lượng và dãy công suất (tiếp)

- Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc thời gian được xác định như sau:

𝑃 = lim

𝑁→∞

1 2𝑁 + 1

- Nếu P hữu hạn (và khác 0), tín hiệu được gọi là tín hiệu công suất.

 Tín hiệu x(n) tuần hoàn với chu kỳ N (N>0) khi và

chỉ khi

x(n + N) = x(n) với mọi n

 Giá trị nhỏ nhất của N được gọi là chu kỳ cơ bản

 Nếu không tồn tại giá trị nào của N thỏa mãn công

thức trên thì tín hiệu x(n) là dãy không tuần hoàn

2.1.2 Phân loại tín hiệu rời rạc thời gian

b Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn

 Một tín hiệu 𝑥(𝑛) bất kỳ đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của 2 tín hiệu chẵn và lẻ

c Dãy chẵn và dãy lẻ (tiếp)

2.1.3 Một số phép toán

a) Dịch tín hiệu trên miền thời gian(trễ hay tới trước): dịch tín

hiệu 𝑥(𝑛) trên miền thời gian bằng cách thế biến số độc lập

2.1.3 Một số phép toán

b) Phản xạ (đối xứng) tín hiệu : thế biến độc lập 𝑛 thành

− 𝑛, ta thu được tín hiệu 𝑥(−𝑛) lấy đối xứng với

Ví dụ: Vẽ đồ thị biểu diễn tín hiệu 𝑥(−𝑛) và 𝑥(−𝑛 + 2), với 𝑥(𝑛) như sau

2.1.3 Một số phép toán

c) Phép co giãn thời gian

Thay biến số độc lập của tín hiệu 𝑥(𝑛) bằng 𝑎𝑛, với

𝑎 là số nguyên, ta được tín hiệu 𝑥(𝑎𝑛)

Ví dụ: Cho tín hiệu 𝑥(𝑛) như hình dưới, vẽ đồ thị biểu diễn tín hiệu 𝑦(𝑛) =

𝑥(2𝑛)

2.1.3 Một số phép toán

d) Phép cộng, phép nhân và co giãn biên độ dãy: c ác

phép toán tác động lên biên độ của tín hiệu

 Phép co giãn biên độ của tín hiệu theo hằng số A được thực

hiện bằng cách nhân giá trị của mỗi mẫu tín hiệu với A

𝑦 𝑛 = 𝐴𝑥 𝑛 − ∞ < 𝑛 < +∞

 Phép cộng hai tín hiệu 𝑥1(𝑛) và 𝑥2(𝑛) thu được tín hiệu

𝑦(𝑛), với mọi giá trị của 𝑦(𝑛) tại một thời điểm bằng tổnggiá trị của 2 tín hiệu tương ứng

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2 𝑛 − ∞ < 𝑛 < +∞

 Phép nhân hai tín hiệu cho ta một tín hiệu có giá trị các

mẫu bằng tích giá trị hai mẫu tương ứng

𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 − ∞ < 𝑛 < +∞

Ví dụ: cho hai tín hiệu 𝑥1 𝑛 = {1,2,3,4} và 𝑥2 𝑛 = 𝑟𝑒𝑐𝑡4(𝑛 + 1) Tính:

a. 3𝑥1 𝑛

b. 𝑥1 𝑛 + 2𝑥2(𝑛)

c. 𝑥12(𝑛)

d. 𝑥1 𝑛 𝑥2(𝑛)

2. Cho tín hiệu 𝑥1(𝑛) và 𝑥2(𝑛) như hình dưới đây, xác định và

biểu diễn các t/h sau dưới dạng đồ thị

3. Biểu diễn các tín hiệu trong câu 2 theo

2.2 Hệ thống rời rạc thời gian

 Một thiết bị thực hiện các tác động lên tín hiệu rời rạc

ta gọi đó là hệ thống rời rạc thời gian

 Tín hiệu vào x(n) gọi là kích thích của hệ thống

 Tín hiệu ra y(n) gọi là đáp ứng của hệ thống

 Ký hiệu 1 hệ thống

𝑦(𝑛) = 𝑇[𝑥(𝑛)]

Hệ thốngrời rạc thời gian

Tín hiệu vào Tín hiệu ra

2.2.1 Mô tả vào – ra của hệ thống

 Mỗi hệ thống sẽ được đặc trưng bởi một mô tả toán học cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra

VD: Các hệ thống được mô tả như sau:

2.2.2 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối

2.2.2 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối

 Bộ nhân 2 tín hiệu

y(n) = x1(n).x2(n)

 Bộ trễ tín hiệu y(n) = x(n-1)

 Bộ tới trước y(n) = x(n+1)

Ví dụ

 Sử dụng các khối cấu trúc cơ bản được giới thiệu ở trên, biểu diễn hệ thống rời rạc thời gian được mô tả bằng mối quan hệ vào-ra sau

2.2.3 Phân loại hệ thống

 Hệ thống tĩnh (hay hệ thống không có nhớ) là hệ thống

mà tín hiệu ra chỉ là hàm của tín hiệu vào mà không có

trễ hay tới trước

Ví dụ: hệ thống nào dưới đây là hệ thống tĩnh hoặc hệ thống động

2.2.3 Phân loại hệ thống

Ví dụ: các hệ thống sau, xét xem hệ thống có bất biến không

2.2.3 Phân loại hệ thống

c Hệ thống tuyến tính và phi tuyến

 Hệ thống là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng:

x1(n)

x2(n)

Hệ thống tuyến tính

Ví dụ: xét tính tuyến tính của các hệ thống sau đây

a. 𝑦 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛

b. 𝑦 𝑛 = 𝑥2 𝑛

c. 𝑦 𝑛 = 𝐴𝑥 𝑛 + 𝐵

d. 𝑦 𝑛 = 𝑒𝑥 𝑛

2.2.3 Phân loại hệ thống

d Hệ thống nhân quả và hệ thống phi nhân quả

Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu như đầu ra

của hệ thống tại mọi thời điểm n chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào quá khứ và hiện tại [vd: 𝑥(𝑛), 𝑥(𝑛 − 1), 𝑥(𝑛 − 2), …] mà không phụ thuộc tín hiệu đầu vào tương lai [vd: 𝑥(𝑛 + 1), 𝑥(𝑛 + 2), …]

Về mặt toán học: hệ thống nhân quả khi:

2.3 Hệ thống tuyến tính bất biến

2.3.1 Hệ thống TTBB và đặc trưng của hệ thống: tích chập

2.3.2 Tính chất của tích chập

2.3.3 Ghép nối các hệ thống TTBB

2.3.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ thống

2.3.5 Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn và vô hạn

2.3.1 Hệ thống TTBB và đặc trưng của

hệ thống: tích chập

 Là hệ thống xử lý tín hiệu số có tính tuyến tính và bất biến thời gian.

 Phân tích hệ thống TTBB

 Yêu cầu: cho tín hiệu 𝑥(𝑛) đi qua hệ thống, xác định tácđộng của hệ thống lên tín hiệu, từ đó xác định đáp ứng racủa hệ thống

 Phương pháp: tách tín hiệu 𝑥(𝑛) thành tổng của nhiều tínhiệu thành phần Cho các tín hiệu thành phần này đi qua hệthống để thu được đáp ứng ra tương ứng Tổng hợp các kếtquả đó, ta có đáp ứng ra 𝑦(𝑛)

b Tích chập

 Một tín hiệu 𝑥(𝑛) bất kỳ đều có thể được biểu diễn như sau:

 Trong đó: 𝑥(𝑘) là giá trị tín hiệu tại thời điểm 𝑛 = 𝑘

k x n

 Đáp ứng xung của hệ thống TTBB đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống

 Tích chập thể hiện mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra Để xác định đáp ứng ra đối với một tín hiệu vào bất kỳ, ta chỉ cần thực hiện tích chập trên

b Tích chập (tiếp)

 Đảo Lấy đối xứng ℎ(𝑘) qua trục tung ta được ℎ(−𝑘).

 Dịch chuyển Dịch ℎ(−𝑘) đi 𝑛0 mẫu về phía bên phải (trái) nếu 𝑛0

dương (âm), ta được h(n o -k)

 Nhân Nhân 𝑥(𝑘) với ℎ(𝑛0 − 𝑘) được dãy tích 𝑣𝑛0(𝑘) ≡

𝑥 𝑘 ℎ(𝑛0 − 𝑘)

 Tổng Cộng tất cả các xung của 𝑣𝑛0 𝑘 , ta được 𝑦(𝑛0).

Thực hiện bằng đồ thị

y(0) = 1

y(1) = 1 + 2/3 = 5/3

y(2) = 1 + 2/3 + 1/3 = 2

y(3) = 1 + 2/3 + 1/3 = 2

y(4) = 2/3 + 1/3 = 1

y(5) = 1/3

Ví dụ: Tính đáp ứng ra của các hệ thống TTBB và t/h vào như sau:

2.3.2 Tính chất của tích chập

đơn vị 𝛿(𝑛) là thành phần đơn vị trong tính chập

𝑥(𝑛) ∗ 𝛿(𝑛) = 𝑥(𝑛) Nếu dịch 𝛿(𝑛) đi 𝑘 mẫu (𝛿(𝑛 − 𝑘 )), dãy chập cũng

bị dịch chuyển k mẫu

𝑥(𝑛) ∗ 𝛿(𝑛 − 𝑘 ) = 𝑥(𝑛 − 𝑘)

2.3.3 Ghép nối các hệ thống TTBB

a) Hai hệ thống mắc nối tiếp tương đương với một hệ

thống có đáp ứng xung bằng tích chập hai đáp ứng xung của hai hệ thống thành phần

2.3.3 Ghép nối các hệ thống TTBB

b) Hai hệ thống mắc song song tương đương với một

hệ thống có đáp ứng xung bằng tổng đáp ứng xung của hai hệ thống thành phần

Ví dụ: Tính đáp ứng xung của hệ thống nối tầng

2.3.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ

 Ta thấy, ℎ 𝑛 = 0 với 𝑛 < 0 (không có 𝛿(𝑛 + 𝑘))

 Do đó, hệ thống TTBB nhân quả khi đáp ứng xung 𝒉(𝒏) =

𝟎 với 𝒏 < 𝟎

 Hệ thống nhân quả là hệ thống duy nhất thực hiện được vềmặt vật lý

a) Hệ thống TTBB nhân quả

 Khái niệm dãy nhân quả, dãy phản nhân quả, dãy hai phía:

 𝑥(𝑛) nhân quả khi 𝑥 𝑛 = 0 với 𝑛 < 0

 y(𝑛) nhân quả khi y 𝑛 = 0 với 𝑛 < 0

 𝑥(𝑛) phản nhân quả khi 𝑥 𝑛 = 0 với 𝑛 > 0

 y(𝑛) phản nhân quả khi y 𝑛 = 0 với 𝑛 > 0

 𝑥 𝑛 , 𝑦(𝑛) là dãy không nhân quả hay dãy hai phía nếu không thỏa mãn hai trường hợp trên.

 Hệ quả: cho tín hiệu 𝑥(𝑛) đi qua một hệ thống TTBB nhânquả, ta được đáp ứng ra 𝑦(𝑛) Nếu 𝑥(𝑛) nhân quả thì 𝑦(𝑛)cũng nhân quả

2.3.4 Tính nhân quả và ổn định của hệ

thống TTBB

a) Hệ thống TTBB nhân quả

 Tiêu chuẩn ổn định của hệ thống nói chung:

2.3.5 Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn (FIR) và

vô hạn (IIR)

 Các hệ thống tuyến tính bất biến thành hai loại:

 Hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn

 Hệ thống có đáp ứng xung vô hạn

2.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

2.4.1 Phương trình SP TT HSH

2.4.2 Hệ thống đệ quy và hệ thống không đệ quy 2.4.3 Giải phương trình SP TT HSH

2.4.4 Thực hiện hệ thống rời rạc

𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑣ớ𝑖 𝑎0 = 1

2.4.2 Hệ thống đệ quy và hệ thống không đệ quy

 Hệ thống không đệ quy: hệ thống có đáp ứng ra chỉ phụ thuộc vào tín

𝑏𝑘𝑥(𝑛0 − 𝑘)

 Hệ thống đệ quy là hệ thống có đáp ứng ra 𝑦(𝑛) không chỉ phụ thuộc t/h vào mà còn giá trị quá khứ của đầu ra

 Hệ thống đệ quy có đáp ứng xung vô hạn: IIR

 Đáp ứng ra của hệ thống tại thời điểm 𝑛0, 𝑦(𝑛0) không thể xác định được ngay lập tức mà phải tính toán qua các giá trị trước đó của

𝑦(𝑛0)

2.4.2 Hệ thống đệ quy và hệ thống không đệ quy

Ví dụ:

 Cho hệ thống đệ quy như sau:

2 𝑥 𝑛 + 3𝑦 𝑛 − 1

a. Biết hệ thống nhân quả, xác định đáp ứng xung ℎ(𝑛)

b. Cho tín hiệu 𝑥 𝑛 = 𝑟𝑒𝑐𝑡3(𝑛) đi qua hệ thống xác

định đáp ứng ra 𝑦 𝑛 của tín hiệu trên.

2.4.3 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

 Khảo sát các hệ thống TTBB được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng:

 Hệ thống không đệ quy: sử dụng tích chập và các phươngpháp thông thường đã học (ví dụ đã trình bày)

 Hệ thống đệ quy: phương pháp thế (ví dụ đã trình bày) vàphương pháp tổng quát (phần sau), phương pháp gián tiếp (chương 3)

2.4.3 Giải phương trình SP TT HSH

Phương pháp tổng quát:

 Mục đích: xác định đáp ứng ra 𝑦(𝑛), 𝑛 ≥ 0 của hệ thống tương ứng với đầu vào 𝑥(𝑛), 𝑛 ≥ 0 và một tập các điều kiện đầu đã biết.

 Nghiệm tổng quát 𝑦(𝑛) là tổng của hai thành phần:

𝑦(𝑛) = 𝑦ℎ(𝑛) + 𝑦𝑝(𝑛)

 𝑦ℎ(𝑛) là nghiệm thuần nhất

 𝑦𝑝(𝑛) là nghiệm riêng

a Tìm nghiệm thuần nhất (tiếp)

Ví dụ

1. Cho hệ thống được mô tả bởi PTSPTTHSH sau:

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 1

2 𝑦(𝑛 − 1)

a. Xác định nghiệm thuần nhất của hệ thống trên.

b. Xác định nghiệm riêng của hệ thống trên biết tín hiệu vào

𝑥 𝑛 = 𝑢 𝑛

c. Xác định nghiệm tổng quát của hệ thống trên với điều kiện

vào là 𝑦 −1 = 0.

 Một số dạng của 𝑦𝑝(𝑛) được liệt kê ở bảng sau đây:

BẢNG 2.1 Dạng chung của Nghiệm riêng ứng với một số dạng tín hiệu vào Tín hiệu vào 𝑥(𝑛) Nghiệm riêng 𝑦𝑝(𝑛)

A (hằng số) K

𝐴𝑛𝑀 𝐾0𝑛𝑀 + 𝐾1𝑛𝑀−1 + ⋯ + 𝐾𝑀𝐴𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛

𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑛 𝐾1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 + 𝐾2𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑛

b Ngiệm riêng (tiếp)

 Các hệ số K được xác định bằng cách thế 𝑦𝑝(𝑛) và

𝑥 𝑛 vào phương trình SPTTHSH.

 Thế một giá trị của 𝑛 vào phương trình sao cho không

có thành phần nào bị triệt tiêu để tính 𝐾

2.4.4 Thực hiện hệ thống rời rạc

a Hệ thống không đệ quy

𝑦 𝑛 =

𝑘=0 𝑀

𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)

𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)

Ví dụ

1. Cho tín hiệu 𝑥(𝑛) = 0.5𝑛 𝑢(𝑛) qua hệ thống có

𝑦 𝑛 = 2𝑦 𝑛 − 1 + 2𝑥 𝑛

a. Vẽ sơ đồ hệ thống,

b. Tính đáp ứng xung (biết rằng hệ thống là nhân quả)

c. Cho 𝑥(𝑛) qua hệ thống, tính đáp ứng ra của tín hiệu

(5 xung đầu tiên)

Tổng kết chương 2

 Mô tả và biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian

 Một số tín hiệu cơ bản

 Phân loại tín hiệu

 Dãy năng lượng, dãy công suất

 Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn

 Dãy chẵn và dãy lẻ

 Một số phép toán: trễ, cộng, nhân 2 tín hiệu…

 Hệ thống rời rạc thời gian

 Biểu diễn hệ thống dưới dạng sơ đồ khối

 Phân loại hệ thống

 Hệ thống động, hệ thống tính

 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến

 Hệ thống bất biến và hệ thốngbiến thiên thời gian

 Hệ thống nhân quả và hệ thống phi nhân quả

Tổng kết chương 2

 Hệ thống tuyến tính bất biến thời gian (LTI System)

 Đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n)

 Tích chập

 Tính chất của tích chập và hệ thống LTI

 Các tính phân phối và giao hoán của tích chập

 Đáp ứng xung của hệ thống LTI song song và nối tiếp

 Tính nhân quả và ổn định của hệ thống LTI

 Hệ thống LTI mô tả dưới dạng phương trình sai phân tuyếntính hệ số hằng

 Tính đáp ứng ra (đáp ưng xung) bằng phương pháp thế

 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối