Giáo trình Xử lý tín hiệu số: Phần 2 - Đại học Thủy Lợi

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 của Giáo trình Xử lý tín hiệu số - Đại học Thủy Lợi sẽ cung cấp cho học viên các kiến thức về biến đổi Z, biến đổi Z ngược, phân tích hệ thống tuyến tính bất biến trong miền Z; phân tích tần số của tín hiệu và hệ thống; biến đổi fourier rời rạc (DFT): tính chất và ứng dụng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung giáo trình!

GIÁO TRÌNH

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Định nghĩa biến đổi 𝐳

Biến đổi 𝑧 của tín hiệu rời rạc 𝑥(𝑛) được định nghĩa như sau:

f Tín hiệu 𝑥6(𝑛) gồm một dãy vô hạn các giá trị khác không như sau:

2)

3, … }

Áp dụng công thức (3.1), ta có biến đổi 𝑧 của 𝑥(𝑛) như sau:

∞

𝑛=0

Đây là một chuỗi vô hạn và hội tụ tại:

𝑋6(𝑧) = 1

1 −12 𝑧−1

với điều kiện |1

2𝑧−1| < 1 Vậy biến đổi 𝑧 của 𝑥6(𝑛) là 𝑋6(𝑧) với MHT: |𝑧| >1

2

Từ ví dụ này ta dễ dàng thấy rằng MHT của tín hiệu hữu hạn là toàn bộ mặt phẳng 𝑧, có thể

loại trừ điểm 𝑧 = 0 và/hoặc 𝑧 = ∞ Nhìn theo quan điểm toán học, biến đổi 𝑧 chỉ đơn giản là một cách biểu diễn khác của tín hiệu 𝑥(𝑛) Như trong Ví dụ 3.1 ta có thể thấy các hệ số của 𝑧−𝑛

chính là giá trị của tín hiệu tại thời điểm n, số mũ của 𝑧 chính là các giá trị thời gian tương ứng

của các mẫu của tín hiệu

Miền hội tụ của biến đổi 𝒛

𝑧 là một biến số phức, các giá trị của nó được biểu diễn trên mặt phẳng phức 𝑧 với hai trục là: trục thực 𝑍𝑒[𝑧] và trục ảo 𝐼𝑚[𝑧] Như đã nói ở trên, miền hội tụ của biến đổi 𝑧 là tập hợp tất

cả các giá trị của 𝑧 làm cho 𝑋(𝑧) có giá trị hữu hạn Do đó, MHT của biến đổi 𝑧 là một miền biểu diễn trên mặt phẳng phức 𝑧

Do vậy, |𝑋(𝑧)| là hữu hạn nếu dãy 𝑥(𝑛)𝑟−𝑛 khả tổng tuyệt đối Như vậy, miền MHT của 𝑋(𝑧)

sẽ phụ thuộc vào khoảng giá trị của 𝑟 để cho dãy 𝑥(𝑛)𝑟−𝑛 là khả tổng tuyệt đối Ta biến đổi thêm (3.5) như sau:

Mặt khác để cho tổng chuỗi thứ hai của (3.6) có giá trị hữu hạn, nghĩa là:

phải tồn tại một giá trị 𝑟2 đủ lớn để cho dãy 𝑥(𝑛)

𝑟 𝑛 , 0 n là khả tổng tuyệt đối, nghĩa là |𝑧| >

𝑟2 Do vậy, MHT của tổng này sẽ gồm tất cả các điểm nằm ngoài đường tròn bán kính 𝑟2 như trong Hình 3-2(b)

Do đó, miền hội tụ của 𝑋(𝑧) là giao của hai miền hội tụ trên Vậy nếu 𝑟2 ≥ 𝑟1, hai miền hội

tụ không giao nhau, 𝑋(𝑧) = ∞, ∀𝑧, như vậy không tồn tại 𝑋(𝑧) Nếu 𝑟2 < 𝑟1, MHT của 𝑋(𝑧) sẽ

là miền vành khuyên như trong Hình 3-2(c)

Hình 3-2 Miền hội tụ của 𝐗(𝐳) và các thành phần nhân quả, phi nhân quả tương ứng

Như vậy, miền hội tụ trong Ví dụ 3.1f là miền nằm ngoài đường tròn bán kính 1

2 trong mặt phẳng phức 𝑧 Ta xét thêm ví dụ sau:

0, 𝑛 ≥ 0

− (1

2)𝑛, 𝑛 ≤ −1

Lời giải Từ định nghĩa (3.1) ta có:

𝑋(𝑧) = ∑ [− (1

2)

𝑛] 𝑧−𝑛

𝑥(𝑛) = − (1

2)

𝑛𝑢(−𝑛 − 1) 𝑧 ↔ 𝑋(𝑧) = 1

1 − 𝑎𝑧−1 với MHT: |𝑧| <1

2Như vậy MHT của biến đổi 𝑧 trên là miền nằm trong đường tròn bán kính 1

duy nhất Tuy nhiên, MHT của hai tín hiệu này lại khác nhau Như vậy, tín hiệu rời rạc 𝑥(𝑛)

được xác định duy nhất một biểu thức biến đổi 𝑧, là 𝑋(𝑧) và miền hội tụ của nó Do đó, khái

niệm "biến đổi 𝑧" của một tín hiệu bao gồm cả biểu thức toán và miền hội tụ của nó Từ Ví dụ 3.1f ta thấy rằng (1

2)𝑛𝑢(𝑛) là dãy nhân quả và có MHT là miền bên ngoài đường tròn bán kính 1

2, trong khi MHT của dãy phản nhân quả − (1

2)𝑛𝑢(−𝑛 − 1) nằm bên trong đường tròn bán kính 1

2 Tiếp theo, chúng ta xét một dãy vô hạn hai phía trong ví dụ dưới đây:

𝑥(𝑛) = {𝑎1

𝑛

𝑎2𝑛

với 𝑛 ≥ 0với 𝑛 < 0

Từ định nghĩa (3.1), biến đổi 𝑧 của 𝑥(𝑛):

𝑙=1

Ta có, tổng chuỗi lũy thừa thứ nhất sẽ có giá trị hữu hạn nếu |𝑎1𝑧−1| < 1 hay |𝑧| > |𝑎1| MHT của tổng chuỗi lũy thừa thứ hai là |𝑎2−1𝑧| < 1 hay |𝑧| < |𝑎2| Vậy, MHT của 𝑋(𝑧) sẽ là giao của hai miền trên Tùy thuộc vào các giá trị của 𝑎1 và 𝑎2 ta có các trường hợp như sau:

Trường hợp 1: |𝒂𝟐| ≤ |𝒂𝟏| Trong trường hợp này hai miền hội tụ không chồng lên nhau, Hình 3-3(a) Do đó không có giá trị của 𝑧 cho cả hai chuỗi luỹ thừa cùng hội tụ Vậy trong trường hợp này 𝑋(𝑧) không tồn tại

Trường hợp 2: |𝒂𝟐| > |𝒂𝟏| Trong trường hợp này, miền hội tụ là miền vành khăn giao của hai miền hội tụ như trong Hình 3-3(b) Ta có:

𝑥(𝑛) = 𝑎1𝑛𝑢(𝑛) + 𝑎2𝑛𝑢(−𝑛 − 1) 𝑧 ↔ 𝑋(𝑧) = 1

1 − 𝑎1𝑧−1− 1

1 − 𝑎2𝑧−1với MHT là |𝑎1| < |𝑧| < |𝑎2|

Hình 3-3 MHT của biến đổi z trong Ví dụ 3.3

Ta thấy MHT của tín hiệu vô hạn hai phía là một hình vành khuyên trên mặt phẳng 𝑧

Từ các ví dụ trên, ta thấy rằng MHT của tín hiệu phụ thuộc vào dạng của nó (tín hiệu hữu hạn hay vô hạn) và cả tính chất của tín hiệu (tín hiệu nhân quả, phản nhân quả, tín hiệu vô hạn

cả hai phía) Chúng tôi tổng kết MHT của các dạng tín hiệu trên trong Bảng 3-1

Bảng 3-1 Họ các tín hiệu và MHT tương ứng của chúng Tín hiệu MHT

Tín hiệu hữu hạn

Phản nhân quả Toàn bộ mặt phẳng 𝑧 ngoại trừ 𝑧 = ∞

Hai phía Toàn bộ mặt phẳng 𝑧 ngoại trừ 𝑧 = 0 và 𝑧 =

∞

Tín hiệu vô hạn

Phản nhân quả |𝑧| < 𝑟1

Biến đổi 𝑧 được định nghĩa trong (3.1) được gọi là biến đổi 𝑧 hai phía Chúng ta có công

thức biến đổi z một phía được định nghĩa như sau:

Biến đổi z ngược

Ngược lại, với phép biến đổi 𝑧 của tín hiệu, ta có phép biến đổi 𝒛 ngược Nếu chúng ta có

dạng biểu diễn trên miền 𝑧 của tín hiệu là 𝑋(𝑧), cần xác định tín hiệu biểu diễn miền thời gian 𝑥(𝑛) Công thức biến đổi 𝑧 ngược được được xây dựng theo định lý Cauchy, công thức quan trọng trong lý thuyết số phức, như sau:

12𝜋𝑗∮ 𝑧

𝑛−1𝑑𝑧𝐶

∮ 𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1𝑑𝑧𝐶

≡ ∮ ∑ 𝑥(𝑘)

∞

𝑘=−∞

𝑧𝑛−1−𝑘𝑑𝑧𝐶

(3.10)

với 𝐶 là ký hiệu đường kín nằm trong miền hội tụ của 𝑋(𝑧), chiều ngược chiều kim đồng hồ Đổi chỗ phép lấy tích phân và tổng chuỗi, công thức (3.10) trở thành:

∮ 𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1𝑑𝑧𝐶

≡ ∑ 𝑥(𝑘)

∞

𝑘=−∞

∮ 𝑧𝑛−1−𝑘𝑑𝑧𝐶

(3.11)

Hình 3-4 Đường cong kín của tích phân trong (3.10)

Áp dụng định lý Cauchy:

12𝜋𝑗∮ 𝑧

𝑛−1−𝑘𝑑𝑧𝐶

= {1 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 𝑘

với 𝐶 là đường cong kín bất kỳ chứa gốc tọa độ Thế vào (3.11) ta được

∮ 𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1𝑑𝑧𝐶

(3.14)

Mặc dù công thức (3.14) là công thức định nghĩa để xác định tín hiệu 𝑥(𝑛) từ 𝑋(𝑧), tuy nhiên ta thường không sử dụng công thức này để tìm biến đổi z ngược của tín hiệu Phần sau, chúng ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp tìm biến đổi 𝑧 ngược hiệu quả và đơn giản hơn

TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z

Biến đổi 𝑧 là một công cụ rất mạnh trong nghiên cứu tín hiệu và hệ thống rời rạc Điều này xuất phát từ nhiều tính chất rất quan trọng mà biến đổi này có được Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu các tính chất đó

Tính tuyến tính Nếu

𝑥1(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋1(𝑧) với MHT1

và

𝑥2(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋2(𝑧) với MHT2 thì

𝑥(𝑛) = 𝑎1𝑥1(𝑛) + 𝑎2𝑥2(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋(𝑍) = 𝑎1𝑋1(𝑧) + 𝑎2𝑋2(𝑧) (3.15) với 𝑎1 và 𝑎2 là các hắng số bất kỳ MHT của biến đổi 𝑧 (3.15) là giao của hai MHT thành phần Việc chứng minh tính chất này từ công thức định nghĩa tương đối đơn giản người đọc hoàn toàn

có thể thực hiện được

Tính chất tuyến tính này có thể tổng quát hóa trong trường hợp có nhiều tín hiệu Nghĩa là, biến đổi 𝑧 của một tổ hợp tuyến tính các tín hiệu miền thời gian được xác định bằng tổ hợp tuyến tính biến đổi 𝑧 của các tín hiệu thành phần

𝑥(𝑛) = 3𝑥1(𝑛) − 𝑥2(𝑛) Theo (3.15), biến đổi 𝑧 của tín hiệu 𝑥(𝑛) là:

𝑋(𝑧) = 3𝑋1(𝑧) − 𝑋2(𝑧)

𝑍{𝑎1𝑛𝑢(𝑛)} = 1

1 − 𝑎1𝑧−1= 1

1 − 𝑒𝑗𝜔 0𝑧−1, 𝑀𝐻𝑇: |𝑧| > |𝑎1| = |𝑒𝑗𝜔0| = 1 tương tự:

𝑍{𝑎2𝑛𝑢(𝑛)} = 1

1 − 𝑎2𝑧−1 = 1

1 − 𝑒−𝑗𝜔 0𝑧−1, 𝑀𝐻𝑇: |𝑧| > |𝑎2| = |𝑒−𝑗𝜔0| = 1 vậy

Lời giải

Nếu ta đặt:

𝑥1(𝑛) = (1

2)

𝑛𝑢(𝑛)

Ta thấy 𝑥(𝑛) là tín hiệu trễ của tín hiệu 𝑥1(𝑛) hai đơn vị thời gian:

𝑥(𝑛) = 𝑥1(𝑛 − 2) Theo Ví dụ 3.1f, ta có:

2 nên ta không cần phải thêm trường hợp này

Nhân với một dãy lũy thừa

Nếu

𝑥(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋(𝑧), MHT: 𝑟1 < |𝑧| < 𝑟2Thì

𝑎𝑛𝑥(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋(𝑎−1𝑧), MHT: |𝑎|𝑟1 < |𝑧| < |𝑎|𝑟2 (3.19) với a là hằng số bất kỳ, a có thể là số thực hoặc số phức

𝑛=−∞

= 𝑋(𝑎−1𝑧)

Với MHT của 𝑋(𝑧) là 𝑟1 < |𝑧| < 𝑟2, vậy MHT của 𝑋(𝑎−1𝑧) là:

𝑟1 < |𝑎−1𝑧| < 𝑟2hoặc

|𝑎|𝑟1 < |𝑧| < |𝑎|𝑟2

VÍ DỤ 3.7

Tìm biến đổi z của các tín hiệu sau

1 − (2𝑧)−1, 𝑀𝐻𝑇: |𝑧| >1

2Vậy

𝑥1(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋1(𝑧) = 1

1 −12 𝑧−1

, 𝑀𝐻𝑇: |𝑧| >1

2Đáp án này trùng với kết quả của Ví dụ 3.1f

Miền thời gian ngược

Nếu

𝑥(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋(𝑧) MHT: 𝑟1 < |𝑧| < 𝑟2thì

ở đây ta đã đổi biến 𝑙 = −𝑛 MHT của 𝑋(𝑧−1) là:

𝑟1 < |𝑧−1| < 𝑟2, hay tương đương 1

𝑟 2 < |𝑧| < 1

𝑟 1

chú ý rằng MHT của 𝑥(𝑛) là nghịch đảo so với 𝑥(−𝑛) Có nghĩa là nếu 𝑧0 thuộc MHT của 𝑥(𝑛) thì 1/𝑧0 nằm trong MHT của 𝑥(−𝑛)

Lời giải Đặt 𝑥1(𝑛) = 2𝑛𝑢(𝑛), như vậy 𝑥(𝑛) = 𝑛𝑥1(𝑛), với 𝑥1(𝑛) = 𝑎𝑛𝑢(𝑛)

Đầu tiên, ta xác định biến đổi 𝑧 của tín hiệu 𝑥1(𝑛)

𝑥1(𝑛) = 2𝑛𝑢(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋1(𝑧) = 1

1 − 2𝑧−1 𝑀𝐻𝑇: |𝑧| > 2

Vậy, áp dụng tính chất (3.22), ta được

𝑥(𝑛) = 𝑛𝑥1(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋(𝑧) = −𝑧𝑑𝑋1(𝑧)

2𝑧−1(1 − 2𝑧−1)2 𝑀𝐻𝑇: |𝑧| > |2| (3.23)

Tích chập của hai chuỗi

Nếu

𝑥1(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋1(𝑧)

𝑥2(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋2(𝑧) thì

𝑥(𝑛) = 𝑥1(𝑛) ∗ 𝑥2(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋(𝑧) = 𝑋1(𝑧)𝑋2(𝑧) (3.24) MHT của 𝑋(𝑧) là miền giao MHT của 𝑋1(𝑧) và 𝑋2(𝑧)

Chứng minh Tích chập của hai tín hiệu 𝑥1(𝑛) và 𝑥2(𝑛) được xác định như sau:

Phép tương quan của hai tín hiệu

Nếu

𝑥1(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋1(𝑧)

𝑥2(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋2(𝑧) thì phép tương quan hai tín hiệu trong miền 𝑧 như sau

Cũng như trường hợp của tính chất tích chập, với tính chất này ta có thể dễ dàng tính tương quan chéo hai tín hiệu bằng cách nhân hai biểu thức biến đổi 𝑧 của hai tín hiệu tương ứng trong công thức (3.25) sau đó thực hiện biến đổi 𝑧 ngược để thu được kết quả

Lời giải Từ tính chất tương quan (3.25), ta có:

𝑅𝑥𝑥(𝑧) = 𝑍{𝑟𝑥𝑥(𝑙)} = 𝑋(𝑧)𝑋(𝑧−1)

Từ ví dụ trên ta đã có:

𝑋(𝑧) = 1

1 −12 𝑧−1

, 𝑀𝐻𝑇: |𝑧| >1

2Vậy

Phép nhân hai dãy

Nếu ta có hai tín hiệu và biến đổi 𝑧 của chúng như sau

𝑥1(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋1(𝑧)

𝑥2(𝑛) 𝑧 ↔ 𝑋2(𝑧) Phép nhân hai tín hiệu chuyển sang miền số phức 𝑧 như sau:

𝑥1(𝑛) = 1

2𝜋𝑗∮ 𝑋1(𝑣)𝐶

𝑣𝑛−1𝑑𝑣 Thế vào phương trình 𝑋(𝑧) ở trên và đổi thứ tự của hai phép tổng chuỗi Ta có:

𝑋(𝑧) = 1

2𝜋𝑗∮ 𝑋1(𝑣)𝐶

𝑋(𝑧) = 1

2𝜋𝑗∮ 𝑋1(𝑣)𝐶

𝑋2(𝑧

𝑣) 𝑣

−1𝑑𝑣

chính là kết quả cần chứng minh Để tìm MHT của 𝑋(𝑧), giả sử 𝑋1(𝑣) hội tụ khi 𝑟1𝑙 < |𝑣| <

𝑟1𝑢 và 𝑋2(𝑧) hội tụ khi 𝑟2𝑙 < |𝑧| < 𝑟2𝑢, vậy MHT của 𝑋2(𝑧/𝑣) là

𝑟2𝑙 < |𝑧

𝑣| < 𝑟2𝑢Vậy MHT của 𝑋(𝑧) là miền sau

Bảng 3-2 Các tính chất của Biến đổi 𝒛

Tính chất Miền thời gian Miền 𝒛 MHT

Tích chập 𝑥1(𝑛) ∗ 𝑥2(𝑛) 𝑋1(𝑧)𝑋2(𝑧) Giao của MHT1 và

MHT2 Tương quan 𝑟𝑥1𝑥2 = 𝑥1(𝑙) ∗ 𝑥2(𝑙) 𝑅𝑥1𝑥2(𝑧) = 𝑋1(𝑧)𝑋2(𝑧−1) Giao của MHT1 và

MHT2

Nhân hai tín

2𝜋𝑗∮ 𝑋1(𝑣)𝐶

Bảng 3-3 Một vài biến đổi 𝒛 thông dụng

−1(1 − 𝑎𝑧−1)2 |𝑧| < |𝑎|

10 (𝑎𝑛𝑠𝑖𝑛𝜔0𝑛)𝑢(𝑛) 𝑎𝑧

−1𝑠𝑖𝑛𝜔0

1 − 2𝑎𝑧−1𝑐𝑜𝑠𝜔0+ 𝑎2𝑧−2 |𝑧| > |𝑎|

BIỂU DIỄN DẠNG HỮU TỈ CỦA BIẾN ĐỔI 𝒛

Về mặt tổng quát, biến đổi 𝑧 của tín hiệu sẽ có dạng phân thức hữu tỷ với tử số và mẫu số

là hai đa thức của 𝑧−1 (hay 𝑧) như sau:

𝑘=0

∑𝑁 𝑎𝑘𝑧−𝑘 𝑘=0

(3.28)

Nếu 𝑎0 ≠ 0 và 𝑏0 ≠ 0, chúng ta loại trừ số mũ âm của z bằng cách rút các số hạng 𝑏0𝑧−𝑀 và

𝑎0𝑧−𝑁 ra ngoài như sau:

𝑘=1

∏𝑁 (𝑧 − 𝑝𝑘)𝑘=1

(3.30)

Với 𝑧𝑘 là các nghiệm đơn hoặc nghiệm kép của đa thức 𝐵(𝑧), 𝑝𝑘 là các nghiệm đơn hoặc nghiệm kép của đa thức 𝐴(𝑧)

Trong phần này, ta sẽ khảo sát thêm một số tính chất quan trọng của biến đổi 𝑧 dạng hữu tỷ này

Các điểm cực và điểm không (poles and zeros)

Các điểm cực và điểm không là các điểm nằm trên mặt phẳng số phức 𝑧, có ý nghĩa đặc biệt đối với dạng biểu diễn không gian của 𝑋(𝑧) Ta có khái niệm điểm cực và điểm không như sau:

• Các điểm không của 𝑋(𝑧) là các giá trị của 𝑧 làm cho 𝑋(𝑧) = 0

• Các điểm cực của 𝑋(𝑧) là các giá trị của z mà tại đó 𝑋(𝑧) = ∞

Như vậy, với dạng hữu tỷ trong (3.30), 𝑋(𝑧) có:

• 𝑀 điểm không tại 𝑧 = 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑀 (nghiệm của đa thức tử số)

• 𝑁 điểm cực tại 𝑧 = 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑁 (nghiệm của đa thức mẫu số)

• |𝑁 − 𝑀| điểm không (nếu 𝑁 > 𝑀) hay |𝑁 − 𝑀| điểm cực (nếu 𝑁 < 𝑀) tại 𝑧 = 0

• Các điểm cực hay điểm không cũng có thể xuất hiện tại 𝑧 = ∞ Điểm không tồn tại với 𝑧 =

∞ nếu 𝑋(∞) = 0 và điểm cực tồn tại với 𝑧 = ∞ nếu 𝑋(∞) = ∞ Nếu chúng ta đếm số các điểm cực và các điểm không tại không và tại vô cực thì thấy rằng 𝑋(𝑧) chắc chắn có số điểm cực và không là bằng nhau

Sơ đồ biểu diễn vị trí các điểm cực và điểm không trên mặt phẳng số phức 𝑧 được gọi là

Giản đồ cực – không, với các điểm cực được đánh dấu bằng dấu (×) và các điểm không được đánh dấu (○) Nếu điểm cực hoặc điểm không bậc cao thì số bậc sẽ được ghi bên cạnh vị trí điểm cực và điểm không tương ứng

Hình 3-5 Giản đồ cực – không của tín hiệu hàm mũ nhân quả 𝐱(𝐧) = 𝐚𝐧𝐮(𝐧)

𝑋(𝑧) =(𝑧 − 𝑧1)(𝑧 − 𝑧2) … (𝑧 − 𝑧𝑀−1)

𝑧𝑀−1

có 𝑀– 1 điểm không và 𝑀– 1 điểm cực, với các vị trí được chỉ ra như trên Hình 3-6 với trường hợp 𝑀 = 8 Chú ý miền hội tụ của 𝑋(𝑧) là toàn bộ mặt phẳng 𝑧 ngoại trừ 𝑧 = 0 bởi vì tồn tại

𝑀 − 1 điểm cực tại gốc tọa độ

Hình 3-6 Giản đồ cực không của tín hiệu hữu hạn 𝐱(𝐧) = 𝐚𝐧 𝐯ớ𝐢 𝟎 ≤ 𝐧 ≤ 𝐌 − 𝟏 (𝐚 > 𝟎),

𝑋(𝑧) = 𝐺(𝑧 − 𝑧1)(𝑧 − 𝑧2)

(𝑧 − 𝑝1)(𝑧 − 𝑝2) = 𝐺

𝑧(𝑧 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0)(𝑧 − 𝑟𝑒𝑗𝜔 0)(𝑧 − 𝑟𝑒−𝑗𝜔 0), 𝑀𝐻𝑇: |𝑧| > 𝑟

Hình 3-7 Đồ thị cực- không cho Ví dụ 3.14

𝑋(𝑧) = 𝐺(𝑧 − 𝑧1)(𝑧 − 𝑧2)

(𝑧 − 𝑝1)(𝑧 − 𝑝2) = 𝐺

𝑧(𝑧 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0)(𝑧 − 𝑟𝑒𝑗𝜔0)(𝑧 − 𝑟𝑒−𝑗𝜔0), 𝑀𝐻𝑇: |𝑧| > 𝑟 Biến đổi biểu thức, ta được

−1− 𝑧−2

với một điểm không tại 𝑧1 = 1 và hai điểm cực tại 𝑝1, 𝑝2 = 0.9𝑒±𝑗𝜋/4 , ta có đồ thị biểu diễn

|𝑋(𝑧)| như Hình 3-8 với hai đỉnh nhọn là hai điểm cực, phần lõm xuống ứng với điểm không

Vị trí điểm cực và trạng thái miền thời gian cho tín hiệu nhân quả

Vị trí điểm cực có quan hệ chặt chẽ với đặc tuyến miền thời gian của tín hiệu tương ứng Dựa vào các biến đổi z trong Bảng 3-3 chúng ta sẽ xét vị trí các điểm cực của tín hiệu nhân quả

trong ba trường hợp: điểm cực nằm trong vòng tròn đơn vị |𝑝𝑘| < 1, điểm cực nằm ngoài vòng tròn đơn vị |𝑝𝑘| > 1 hoặc điểm cực nằm trên đường tròn |𝑝𝑘| = 1 (Vòng tròn đơn vị là vòng tròn nằm trên mặt phẳng 𝑧, có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 1)

Hình 3-8 Đồ thị |𝐗(𝐳)| của biểu thức biến đổi 𝐳 (3.31)

Xét tín hiệu hàm mũ nhân quả một điểm cực thực dưới đây:

Các trường hợp trên được minh họa trong Hình 3-9

Ta xét tiếp một tín hiệu nhân quả với một điểm cực thực kép có dạng:

𝑥(𝑛) = 𝑛𝑎𝑛𝑢(𝑛) 𝑧 ↔ X(z) = 𝑎𝑧

−1(1 − 𝑎𝑧−1)2 MHT: |z| > |a|

biến đổi 𝑧 của tín hiệu trên được lấy trong Bảng 3-3 Cũng xét các trường hợp tương tự như với tín hiệu trên ta có sự tương quan giữa vị trí điểm cực kép với hình dạng miền thời gian của tín hiệu như trong Hình 3-10

Hình 3-9 Hình dạng miền thời gian của tín hiệu nhân quả có một điểm cực đơn

Hình 3-10 Hình dạng miền thời gian của tín hiệu nhân quả có điểm cực thực kép (𝐦 =

𝟐)

Hình 3-11 Dạng của tín hiệu nhân quả có cặp điểm cực liên hợp phức

Hình 3-11 minh họa trường hợp tín hiệu có cặp điểm cực liên hợp phức Theo Bảng 3-3, tín hiệu này có dạng hàm mũ hình sin Khoảng cách 𝑟 từ điểm cực đến gốc tọa độ quyết định đường bao của tín hiệu sin (đường nét đứt trong hình), và góc 𝜔0 ảnh hưởng đến tần số của tín hiệu

Từ hình ta có thể thấy rằng biên độ của tín hiệu tăng dần nếu 𝑟 > 1, không đổi nếu 𝑟 = 1, và giảm dần nếu 𝑟 < 1

Trường hợp cuối cùng trong Hình 3-12 với tín hiệu nhân quả có một cặp điểm cực kép nằm trên đường tròn đơn vị Cũng giống như trường hợp Hình 3-10, tín hiệu tăng dần do điểm cực bậc 2 (cặp điểm cực kép) nằm trên đường tròn Tín hiệu có dạng hàm mũ hình sin vì điểm cực

Hàm truyền đạt của hệ thống tuyến tính bất biến thời gian

Chương 2 ta có mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống tuyến tính bất biến thời gian như sau:

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) Với tính chất của tích chập của biến đổi 𝑧, mối quan hệ trên chuyển sang miền 𝑧 như sau:

Mặt khác, 𝐻(𝑧) là biến đổi 𝑧 của đáp ứng xung ℎ(𝑛)

𝐻(𝑧) = ∑ ℎ(𝑛)𝑧−𝑛

∞

𝑛=−∞

(3.34)

𝐻(𝑧) được gọi là hàm truyền đạt của hệ thống

Đặc biệt, với hệ thống được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, ta sử dụng công thức (3.33) để xác định hàm truyền đạt của hệ thống như sau:

𝑦(𝑛) = − ∑ 𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘)

𝑁

𝑘=1

+ ∑ 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘)𝑀

∑𝑀 𝑏𝑘𝑧−𝑘 𝑘=0(1 + ∑𝑁 𝑎𝑘𝑧−𝑘

𝑘=0

(3.37)

Như vậy, 𝐻(𝑧) bao gồm 𝑀 điểm không và một điểm cực bậc 𝑀 tại 𝑧 = 0 Khi này, hệ thống

được gọi là hệ thống toàn không Hệ thống toàn không là hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn

(FIR) hay còn được gọi là hệ thống trung bình dịch chuyển (MA)

• Trường hợp thứ hai, nếu 𝑏𝑘= 0 với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑀, hàm truyền đạt của hệ thống như sau:

𝐻(𝑧) = 𝑏0

1 + ∑𝑁 𝑎𝑘𝑧−𝑘 𝑘=1

= 𝑏0𝑧

𝑁

∑𝑁 𝑎𝑘𝑧𝑁−𝑘 𝑘=0

Trong trường hợp này 𝐻(𝑧) gồm có 𝑁 điểm cực và một điểm không bậc 𝑁 tại gốc tọa độ 𝑧 = 0 Giá trị của các điểm cực này phụ thuộc vào các tham số hệ thống {𝑎𝑘} Nếu bỏ qua các điểm

không tại gốc tọa độ, hệ thống này được gọi là hệ thống toàn cực và là hệ thống có đáp ứng

xung vô hạn (hệ thống IIR)

Ta có ví dụ minh họa sau:

2 và một điểm không tại gốc tọa độ Sử dụng Bảng 3-3 chúng

ta có biến đổi z ngược ta được đáp ứng xung của hệ thống như sau:

ℎ(𝑛) = 2(1

2)

𝑛𝑢(𝑛)

BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

Trong phần 3.1.2, chúng ta có công thức biến đổi z ngược sau

𝑥(𝑛) = 1

2𝜋𝑗∮ 𝑋(𝑧)𝑧

𝑛−1𝑑𝑧𝐶

trong đó 𝐶 là đường kín chứa gốc toạ độ, nằm trong miền hội tụ của 𝑋(𝑧) Để đơn giản, ta thường lấy 𝐶 là đường tròn nằm trong miền hội tụ của 𝑋(𝑧) trên mặt phẳng 𝑧 Tuy nhiên, trong thực tế người ta thường ít sử dụng công thức định nghĩa để xác định biến đổi 𝑧 ngược của tín hiệu

Hai phương pháp khác thường được sử dụng để tính biến đổi ngược là:

1 Phân tích thành chuỗi luỹ thừa của 𝑧 và 𝑧−1

2 Phương pháp khai triển phân số từng phần

Phương pháp sử dụng công thức định nghĩa

Trong phần này chúng ta sử dụng định lí Cauchy để tìm biến đổi 𝑧 ngược trực tiếp từ tích phân đường

Định lý Cauchy Với 𝑓(𝑧) là một hàm của biến phức z và C là đường kín nằm trong mặt

phẳng z Nếu đạo hàm 𝑑𝑓(𝑧)/𝑑𝑧 tồn tại bên trên và trong đường C và nếu 𝑓(𝑧) không có điểm

cực tại 𝑧 = 𝑧0 thì:

12𝜋𝑗∮

𝑓(𝑧)

𝑧 − 𝑧0𝑑𝑧𝐶

= {𝑓(𝑧0)

0 nếu 𝑧0

nằm trong miền 𝐶 nếu 𝑧0 nằm ngoài miền 𝐶 (3.39) Tổng quát, nếu đạo hàm bậc (𝑘 + 1) của 𝑓(𝑧) và 𝑓(𝑧) không có điểm cực tại 𝑧 = 𝑧0 thì:

1

2𝜋𝑗∮

𝑓(𝑧)(𝑧 − 𝑧0)𝑘𝑑𝑧

𝐶

= {

1(𝑘 − 1)!

𝑖=1

] 𝑑𝑧𝐶

2𝜋𝑗∮

𝐴𝑖

𝑧 − 𝑧𝑖𝑑𝑧𝐶

𝑛

𝑖=1

= ∑ 𝐴𝑖𝑛

Phân thức 𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1 có 𝑘 điểm cực nằm trong đường cong kín 𝐶, gọi 𝐴𝑖, với 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘 là thặng dư của các điểm cực đó, ta có:

𝑥(𝑛) = 1

2𝜋𝑗∮ 𝑋(𝑧)𝑧

𝑛−1𝑑𝑧𝐶

= ∑ 𝐴𝑖𝑘

𝑖=1

= ∑(𝑧 − 𝑧𝑖)𝑋(𝑧)𝑧𝑛−1|𝑧=𝑧𝑖𝑘

2𝜋𝑗∮

𝑧𝑛

𝑧 − 𝑎𝑑𝑧𝐶

trong đó C là đường tròn có bán kính lớn hơn |𝑎| Sử dụng công thức (3.41)với 𝑓(𝑛) = 𝑧𝑛, ta

𝑥(−1) = 1

2𝜋𝑗∮

1

𝑧2(𝑧 − 𝑎)𝑑𝑧𝐶

= 0 Nếu tiếp tục thực hiện với 𝑛 ≤ −3, ta thấy 𝑥(𝑛) = 0 với 𝑛 < 0 Như vậy:

𝑥(𝑛) = 𝑎𝑛, 𝑛 ≥ 0 hoặc

𝑥(𝑛) = 𝑎𝑛𝑢(𝑛)

Biến đổi Z ngược bằng cách phân tích thành chuỗi lũy thừa

Ý tưởng của phương pháp này như sau: có biến đổi z, 𝑋(𝑧) với miền xác định, khai triển 𝑋(𝑧) thành chuỗi như sau:

VÍ DỤ 3.17

Tìm biến đổi 𝑧 ngược

1 −12 𝑧−1Với

a Khi MHT nằm bên ngoài đường tròn, tín hiệu 𝑥(𝑛) là tín hiệu nhân quả Do đó, ta cần phân tích 𝑋(𝑧) thành một chuỗi lũy thừa với số mũ âm của 𝑧 Thực hiện phép chia tử số của 𝑋(𝑧) cho mẫu số:

Như vậy với miền hội tụ |𝑧| >1

𝑥(𝑛) = (1

2)

𝑛𝑢(𝑛) Chú ý rằng mỗi bước của phép chia, ta sẽ loại bỏ phân tử có số mũ nhỏ nhất của 𝑧−1

b Trong trường hợp MHT bên trong đường tròn, tín hiệu 𝑥(𝑛) là tín hiệu phản nhân quả Ta cần tìm một chuỗi lũy thừa với số mũ dương của 𝑧 Ta thực hiện phép chia như sau:

𝑥(𝑛) = {… , −16, −8, −4, −2, 0

↑} hay ta có thể biểu diễn như sau:

𝑥(𝑛) = −2𝑛𝑢(−𝑛 − 1)

Có thể thấy rằng mỗi một bước chia, ta sẽ loại bỏ thành phần có số mũ nhỏ nhất của 𝑧 Chú ý

về cách chia các đa thức tử số cho đa thức mẫu số trong trường hợp tín hiệu không nhân quả: ta viết các phần tử của đa thức theo thứ tự số mũ của 𝑧−1 giảm dần

Từ Ví dụ 3.17, ta thấy phương pháp trên không cho ta câu trả lời về tín hiệu 𝑥(𝑛) khi 𝑛 lớn bởi vì phép chia này khá dài dòng, ngoại trừ 𝑥(𝑛) đơn giản Tuy nhiên, ưu điểm của phương pháp này là nó cho ta giá trị trực tiếp của 𝑥(𝑛) nên phù hợp trong trường hợp ta chỉ cần xác định giá trị vài mẫu đầu tiên của tín hiệu

Biến đổi nghịch đảo bằng phương pháp khai triển phân số từng phần

Ý tưởng của phương pháp này như sau: chúng ta phân tách 𝑋(𝑧) thành một tổ hợp tuyến tính của các phân thức {𝑋𝑘} như sau:

𝑋(𝑧) = 𝛼1𝑋1(𝑧) + 𝛼2𝑋2(𝑧) + ⋯ + 𝛼𝑘𝑋𝑘(𝑧) (3.44) với 𝑋1(𝑧), … , 𝑋𝑘(𝑧) là các phân thức cơ bản có dạng sẵn trong bảng cặp biến đổi 𝑧 và dễ dàng

từ đó suy ra được 𝑥1(𝑛), … , 𝑥𝑘(𝑛) tương ứng Sau đó, áp dụng tính tuyến tính của biến đổi 𝑧 ta xác định được 𝑥(𝑛) như sau

𝑥(𝑛) = 𝛼1𝑥1(𝑛) + 𝛼2𝑥2(𝑛) + ⋯ + 𝛼𝑘𝑥𝑘(𝑛) (3.45) Phương pháp này được sử dụng với 𝑋(𝑧) có dạng phân thức hữu tỷ trong (3.28) Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử rằng 𝑎0 = 1, (3.28) được biểu diễn lại như sau:

𝑋(𝑧) được gọi là ở dạng chính tắc khi và chỉ khi 𝑎𝑁 ≠ 0 và 𝑀 < 𝑁 Điều này nghĩa là 𝑋(𝑧)

có số điểm không hữu hạn ít hơn số điểm cực hữu hạn

Vậy nếu trong trường hợp 𝑋(𝑧) không chính tắc (tức là 𝑀 ≥ 𝑁), ta luôn luôn có thể đưa 𝑋(𝑧)

về dạng:

𝑋(𝑧) = 𝐵(𝑧)

𝐴(𝑧)= 𝑆(𝑧) +

𝐵′(𝑧)𝐴(𝑧)trong đó, 𝑆(𝑧) là một đa thức bậc 𝑀 − 𝑁 của 𝑧−1, còn 𝐵′(𝑧)

Lời giải Ta thấy rằng bậc của tử số (với 𝑧−1) là 3, bậc của mẫu số là 2, vậy phân thức này chưa

chính tắc, ta cần phải thực hiện phép chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số để hạ bậc của tử số Chú ý, ta thực hiện phép chia hạ bậc nên đa thức trên tử và đa thức dưới mẫu cần viết ngược lại,

phép chia được thực hiện đến khi nào bậc của số dư nhỏ hơn bậc của đa thức dưới mẫu, trong trường hợp này ta dừng lại khi bậc của số dư là 1 Kết quả như sau:

𝑋(𝑧) = 1 + 2𝑧−1+

1

6 𝑧−1

1 +56 𝑧−1+16 𝑧−2Tổng quát, các hàm hữu tỷ không chính tắc (𝑀 ≥ 𝑁) có thể được biễu diễn như sau:

Như vậy, chúng ta chỉ cần quan tâm đến biến đổi 𝑧 ngược của phân thức 𝐵1 (𝑧)

𝐴(𝑧) đã ở dạng chính tắc

Bước 2 Khai triển 𝑿(𝒛) thành dạng phân số tối giản

𝑿(𝒛) có các điểm cực đơn Giả sử rằng tất cả các cực 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑁 khác nhau (cực đơn) Vậy ta có khai triển (3.50) thành phân thức tối giản như sau: