GIÁO TRÌNH CƠ SỞ LÝ THUYẾT TOÁN 2

Kiến thức: Sinh viên phải nắm vững: Định nghĩa phép toán hai ngôi, các tính chất, phần tử đặc biệt của phéptoán hai ngôi.Bộ phận ổn định, phép toán cảm sinh.. Kỹ năng: Biết kiểm tra một

Phần I: Cấu trúc đại số

A Mục tiêu:

Chương I: Nhóm Phép toán hai ngôi ( 3 tiết)

1 Kiến thức: Sinh viên phải nắm vững:

Định nghĩa phép toán hai ngôi, các tính chất, phần tử đặc biệt của phéptoán hai ngôi.Bộ phận ổn định, phép toán cảm sinh

2 Kỹ năng:

Biết kiểm tra một tập hợp và một phép toán đã được học ở trường phổ thông có phải là một phép toán hai ngôi không và nếu là phép toán hai ngôi thì chỉ ra các tính chất , phần tử đặc biệt của mỗi phép toán đó

3 Thái độ:

- Có thái độ nghiêm túc với môn học

- Có liên hệ với thực tế chương trình môn Toán ở Tiểu học

B Chuẩn bị:

1. Giảng viên:

Kế hoạch giảng dạy, đề cương chi tiết học phần, đề cương bài giảng

- Tài liệu chính:

[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009

- Tài liệu tham khảo :

[2] Trần Diên iển và các tác giả – ác t p h p – NXBGD&

Phần tử xTy 

X gọi là cái hợp thành hay còn gọi là kết quả của phép toán T

thực hiện trên hai phần tử x và y Phép toán hai ngôi còn gọi tắt là phép toán

Như vậy, một phép toán hai ngôi T trên tập X là một qui tắc đặt tươngứng mỗi cặp phần tử (x,y) thuộc tập X x X một phần tử xác định duy nhất xTy thuộc X Thay cho kí hiệu T ta còn viết các kí hiệu khác như +, , ,  ,…

x + y được đọc là x cộng y và kết quả đó gọi là tổng của x và y

x.y (hay xy) được đọc là x nhân y và kết quả đó gọi là tích của x và y

là một phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên khác 0

5) Phép trừ là một phép toán hai ngôi trên Z vì ta có ánh xạ

( -) : Z x Z → Z(a,b) a – b

Tuy nhiên, phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên N,

b)Tính chất giao hoán: Phép toán T gọi là có tính chất giao hoán nếu

a,b X : aTb  bTa

Ví dụ: a Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên có tính chất giao hoán và kết

hợp

Thật vậy: a,b,c N ta có:

a + b = b + a (tính chất giao hoán của phép cộng)

a b = b a (tính chất giao hoán của phép nhân)

(a + b) + c = a + (b + c) (tính chất kết hợp của phép cộng)

( a.b).c = a (b.c) (tính chất kết hợp của phép nhân)

b Phép cộng và phép nhân thông thường các số trên Z, Q, R có tính chất giao hoán và kết hợp

c Phép trừ các số nguyên không có tính chất giao hoán và kết hợp Chẳnghạn

hạn

1 -2  2 – 1(1 – 2) – 3  1 – (2 – 3)

d Phép lũy thừa trên N* không có tính chất giao hoán và kết hợp Chẳng

* Định nghĩa: cho T là phép toán hai ngôi trên X.

Phần tử e'X ( e”  X ) gọi là phần tử trung hòa bên trái (phải) của phép toán T nều với mọi x X

e' T x = x ( x T e” = x )Phần tử e gọi là phần tử trung hòa của phép toán T nếu e vừa là phần tử trung hòa bên trái vừa là phần tử trung hòa bên phải, tức là với mọi xX

e’T e” = e’

Từ hai đẳng thức trên suy ra e’ = e”

Hệ quả: Phần tử trung hòa của một phép toán T, nếu có, là duy nhất.

* Ví dụ

- Số 0 là phần tử trung hòa của phép cộng thông thường trên N, Z, Q, R

- Số 1 là phần tử trung hòa của phép nhân thông thường trên N, Z, Q, R

- 0 là phần tử trung hòa bên phải của phép trừ trên Z, nhưng không là phần tửtrung hòa bên trái

b) Phần tử đối xứng:

*Định nghĩa : Cho T là một phép toán hai ngôi trên X có phần tử trung hòa là e,

xX Phần tử x’ X ( x” X) được gọi là phần tử đối xứng bên trái ( phải) của xnếu

x’ T x = e ( x T x” = e)Phần tử x’ được gọi là phần tử đối xứng của x nếu x’ vừa là phần tử đối xứng bên trái vừa là phần tử đối xứng bên phải của x, tức là

x’ T x = x T x’ = e

Nếu x có phần tử đối xứng thì x gọi là phần tử khả đối xứng

* Định lí: Nếu phép toán T trên X kết hợp, x’ là phần tử đối xứng bên trái của x,

x” là phần tử đối xứng bên phải của x thì x’ = x”

* Hệ quả: Nếu phép toán T kết hợp thì phần tử đối xứng của một phần tử nếu có

là duy nhất

Ví dụ:

- e là phần tử trung hòa của phép toán T thì e là phần tử đối xứng của chính nó

vì eTe  e

- Đối với phép cộng trên Z, Q, R, mọi phần tử x đều có phần tử đối xứng là -x

- Đối với phép nhân trên Q*, R*, mọi phần tử x đều có phần tử nghịch đảo là x-1

- Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có phần tử 0 là có phần tử đối xứng.Phần tử đối xứng của 0 là 0

- Đối với phép nhân các số tự nhiên, chỉ có 1 là có phần tử đối xứng Phần tử đốixứng của 1 là 1

- Đối với phép nhân các số nguyên chí có 1 và -1 là có phần tử đối xứng trong Z.Phần tử đối xứng của 1 là 1; phần tử đối xứng của -1 là -1

c Vài quy ước về cách gọi:

Nếu phép toán trên X là phép cộng (+) thì phần tử trung hòa thường gọi là phần

tử không, kí hiệu là 0x hoặc 0; phần tử đối xứng của x gọi là phần tử đối của x,

kí hiệu là –x

Nếu phép toán trên X là phép nhân (.) thì phần tử trung hòa thường gọi là phần

tử đơn vị, kí hiệu là 1x hoặc 1; phần tử khả đối xứng gọi là phần tử khả nghịch,phần tử đối xứng của x gọi là phần tử nghịch đảo của x, kí hiệu là x-1 Cũng nhưvới phép nhân số thông thường dấu (.) thường được bỏ đi

4. Tập con ổn định, phép toán cảm

sinh a.Định nghĩa:

Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X và A là một tập con của X A được gọi là tập con ổn định ( bộ phận ổn định) đối với phép toán T nếu với mọi x, y

A ta có xTy A

Phép toán T ở định nghĩa trên gọi là phép toán ổn định trên A

Nếu phép toán T ổn định trên A thì

T: AxA A, T(x,y) = xTy cũng là một ánh xạ, do đó cũng là một phép toán Trên A

Phép toán này trên tập A được gọi là phép toán cảm sinh bởi phép toán T trên X

b Ví dụ:

1 Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên đối với phép cộng và phép nhân.

Thật vậy: Kí hiệu 2N = 2a / a  N là tập các số tự nhiên chẵn

2N  N vì mọi số tự nhiên chẵn đều là số tự nhiên

 2a,2b 2N ; a,b N, ta có 2a + 2b = 2(a+b) = 2t 2N

2a.2b = 2(2ab) = 2q 2NVậy tập các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên đối với phép cộng và phép nhân

2 Tập các số tự nhiên là tập con ổn định của của tập các số nguyên Z đối với phép cộng và phép nhân Nhƣng nó không ổn định đối với phép trừ

3 Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép nhân nhƣng không là tập con ổn định đối với phép cộng

4 Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh bởi phép cộng các số

tự nhiên

5 Phép cộng các số tự nhiên, phép cộng các số nguyên chẵn là phép toán làphép toán cảm sinh bởi phép cộng các số nguyên

D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận:

1.Thế nào là phép toán hai ngôi ? Liên hệ xem các phép toán cộng, trừ, nhân,chia trên các tập N, Z, Q, * phép toán nào là phép toán hai ngôi, phép toánnào không là phép toán hai ngôi Nếu là phép toán hai ngôi thì chỉ ra các tínhchất và tìm phẩn tử đặc biệt của mỗi phép toán đó

D: Xét các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên Tập Z

- Phép cộng, trừ, nhân là các phép toán hai ngôi vì ta có các ánh xạ chẳng hạn:(-) : ZxZ  Z

(a,b) a-b

Phép chia không là phép toán hai ngôi vì 3,4  Z nhƣng (3:4) Z

- Phép cộng, phép nhân có tính chất giao hoán và kết hợp Phần tử trung hòa của phép cộng là 0, của phép nhân là 1

- Phép trừ không có tính chất giao hoán, không có tính chất kết hợp và không cóphần tử trung hòa

- Đối với phép cộng thì a 

Z

có phần tử đối xứng là -a Z Đối với phép nhân

Q

chỉ có 1 và -1 là có phần tử đối xứng, phần tử đối xứng của 1là 1, của -1 là -1.

2 Các bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 17 ở [2] và bài 1.1, 1.2 ở [1]

2 Kỹ năng:

- Kiểm tra một tập hợp và một phép toán trên tập hợp đó là phép toán haingôi ; kĩ năng xét các tính chất và những phần tử đặc biệt của phép toán hai ngôi; kĩ năng xét tập con ổn định của một tập hợp đối với một phép toán

- Rèn kỹ năng giải toán

[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009

- Tài liệu tham khảo :

[2] Trần Diên iển và các tác giả – ác t p h p – NXBGD&

+ Phép cộng, nhân phép toán hai ngôi trên N, Z,

+ Phép trừ là phép toán hai ngôi trên Z, Q

+ Phép chia là phép toán hai ngôi trên *

( không là phép toán hai ngôi trên N, Z ,Q

+ 0 có phần tử đối xứng là 0 vì

 0 X

 0  0  0

+ Phép toán * không có tính chất giao hoán

vì a*b = a và b*a = b nên a*b  b*a

a,bY mà

+ Y không có phần tử trung lập đối với phép toán *

Bài 4 : Cho phép toán

T : N*

 N*

 N*

a, b+ T không có tính chất giao hoán vì 2,3,4 



+ T có tính chất giao hoán : x, y  R : x  y  x  y  xy  y  x  yx

 y * x .+ T có tính chất kết hợp:

x, y, z  R (x * y)* z  (x  y  xy)* z

+ CM  là phép toán 2 ngôi trên N

+  không có tính chất giao hoán

+  không có tính chất kết hợp

c) Cho quy tắc

a  b  a  b  ba,a,b Q \ 1++ CM  là phép toán 2 ngôi trên

Vậy tập các số nguyên chẵn là tập con ổn định của tập các số nguyên đối vớiphép cộng và phép nhân.

- Chứng minh tương tự với tập các số nguyên lẻ

Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép nhânnhƣng không ổn định đối với phép cộng.

- Tính chất giao hoán:

a,b  N : a b  UCLN(a,b)  UCLN(b, a)  b  a

Vậy * trên N có tính chất giao hoán

- Tính chất kết hợp:

a,b, c  N : (a b)  c  UCLN (a,b)  c

 UCLN ((a,b), c)  UCLN (a,(b, c))

 a UCLN (b, c)  a (b  c)

Vậy phép toán * có tính chất kết hợp

- Phép toán * không có phần tử trung hòa

Chứng minh tương tự: Phép toán có tính chất giao hoán,kết hợp, 1 là phần

tử trung hòa.chỉ có phần tử 1 là có phần tử đối xứng đối xứng của 1 là 1

D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận:

1 Xem lại các bài tập đã làm

2 Về nhà đọc tài liệu phần nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm con,đồng cấu nửa nhóm, đồng cấu vị nhóm, nửa nhóm sắp thứ tự

Chú ý các định nghĩa và ví dụ

I Mục tiêu:

1 Kiến thức: Sinh viên phải nắm vững:

- Định nghĩa nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm con

- Đồng cấu nửa nhóm, đồng cấu vị nhóm, các tính chất Nửa nhóm

[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009.

- Tài liệu tham khảo :

[2] Trần Diên iển và các tác giả – ác t p h p – NXBGD&

* (X,T) gọi là một nửa nhóm nếu phép toán T có tính chất kết hợp

* (X,T) gọi là một Vị nhóm nếu phép toán T kết hợp và có phần tử trunghòa

Nửa nhóm (vị nhóm) (X,T) gọi là nửa nhóm ( vị nhóm) giao hoán nếu phép toán

Từ (1) & (2) suy ra (xTy) T z = xT(yTz)

 Nếu X có hơn một phần tử thì nửa nhóm (X,T) không giao hoán Thật vậy, giả sử x, y  X,x  y, ta có xTy = x, yTx = y, tức là xTy  yTx

 Mọi y X đều là phần tử trung hòa bên phải Thật vậy, mọi x X ta có xTy = x nên y là phần tử trung hòa bên phải

 Nếu X có hơn 1 phần tử thì trong X không có phần tử trung hòa bên trái Thật vậy, với mọi y  X, chọn x  X, x  y Khi đó yTx = y  x nên y không là phần tử trung hòa bên trái

* Định lý 2: Cho x1, x2 , , xn là các phần tử của một nửa nhóm nhân giao hoán

Ở đây ta dùng kí hiệu x + (-y) = x – y, nếu y có phần tử đối.

là nửa nhóm con của (X,T).

Để chứng minh A là một nửa nhóm con của nửa nhóm X ta chỉ cần kiểm traphép toán trên X là ổn định trên A

Nếu X là một vị nhóm và nửa nhóm con A của X chứa phần tử trung hòa thì A làmột vị nhóm và đƣợc gọi là vị nhóm con của vị nhóm X

vị nhóm con của vị nhóm cộng các số nguyên Thật vậy,

+ mZ là bộ phận ổn định đối với phép cộng

mk ,mk mZ : mk  mk  m(k  k )mZ vì k  k  Z

+ mZ là bộ phận ổn định trong Z mà phép cộng trong Z có tính chất kết hợp  phép cộng trên mZ có tính chất kết hợp

+ 0  m.0mZ mà mk  m.0  m.0  mk  mk,mk mZ

vậy mZ là vị nhóm con của vị nhóm (Z,+)

- Xét tập R với phép toán

a*b = a + b – ab

và tập con S = [0,1] Với mọi a, b, c R ta có

(a*b)*c = (a + b – ab) *c = a + b – ab + c – (a + b - ab)c

= a + b +c – ab – ac – bc + abc Tương tự ta tính được a*(b*c) và ta có (a*b)*c = a*(b*c)

Vì phép toán * kết hợp nên (R,*) là một nửa nhóm

 a, b R, ta có a*b = a + b – ab = b + a – ba = b*a nên phép toán * giao hoán

 a R, ta có a*0 = a + 0 – a.0 = a và 0*a = 0 + a - 0.a = a

Do đó 0 là phần tử trung hòa của phép toán *

Vậy (R,*) là một vị nhóm giao hoán

Ta có a*b = a + b – ab = a(1 – b) + b Với mọi a,b S:

0  a(1 – b) + b  (1 – b) + b = 1  a*b S vậy phép toán * ổn định trên

S nên S là nửa nhóm con của (R,*) Do 0 S nên S là vị nhóm con của (R,*)

III Đồng cấu nửa

nhóm 1.Định nghĩa

Cho 2 nửa nhóm (X,*) và (Y, ) Một ánh xạ

f : X  Y gọi là một đồng cấu nửa nhóm nếu

f(x*y) = f(x) f(y) với mọi x, y X

Nếu X và Y đều là vị nhóm thì đồng cấu nửa nhóm gọi là đồng cấu vị nhóm Khi ánh xạ f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì đồng cấu f tương ứng gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

là đơn cấu từ (N,+) vào (N,.) Chú ý rằng f cũng là đơn cấu vị nhóm.

- Cho X là một nửa nhóm (vị nhóm) Khi đó ánh xạ đồng nhất

Ix : X X, Ix(x) = x với  x X là đẳng cấu nửa nhóm (vị nhóm)

- Cho A là một nửa nhóm con của X Khi đó ánh xạ

JA : A X, JA(x) = x với  x A

là đơn cấu nửa nhóm, gọi là phép nhúng chính tắc A vào X

3 Định lý

Cho f : (X,*)  (Y, ) là một đồng cấu nửa nhóm Khi đó

1) A là nửa nhóm con của X thì f(A) là nửa nhóm con của Y

2) B là nửa nhóm con của Y thì f-1(B) là nửa nhóm con của X

Chứng minh: D

1) Lấy tùy ý y1, y2  f(A) thì phải chứng minh y1 y2  f(A)

2) Lấy tùy ý x1, x2  f-1(B) cần chứng minh x1* x2  f-1(B)

thì nửa nhóm gọi là nửa nhóm sắp thứ tự nghiêm ngặt

Trên N hoặc Z ta có quan hệ thứ tự thông thường:

m  n nếu tồn tại k N sao cho m + k = n

Ta có  là quan hệ thứ tự toàn phần trên N và trên Z

2 Ví dụ:

- Mọi nửa nhóm con của một nửa nhóm sắp thứ tự là nửa nhóm sắp thứ tự.

D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận:

1.Chú ý cho học sinh các cấu trúc: Nửa nhóm sắp thứ tự, nửa nhóm sắp thứ tự nghiêm ngặt

2 bài tập 1.4 đến 1.7, 1.11 trang 22, 23 của [1]; 1,2, 3, 4 trang 33, 34 của [2]

3 về nhà đọc phần nhóm Chú ý phải nắm đƣợc định nghĩa và ví dụ

Nhóm - Bài tập ( 3 tiết)

A Mục tiêu:

1 Kiến thức:

- Sinh viên phải nắm vững định nghĩa nhóm, các tính chất của nhóm

- Giải các bài tập về Nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm con để củng

cố các kiến thức về Nửa nhóm, vị nhóm

2 Kỹ năng:

- Kiểm tra đƣợc một tập hợp và một phép toán trên tập hợp đó là

nửa nhóm, vị nhóm, nhóm

- Kiểm tra đƣợc một tập con của nửa nhóm ( vị nhóm) đã cho là

nửa nhóm con( vị nhóm con)

- Tài liệu chính:

[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009

- Tài liệu tham khảo :

[2] Trần Diên iển và các tác giả – ác t p h p – NXBGD&

Nhƣ vậy nhóm có thể định nghĩa trực tiếp nhƣ sau:

* Tập X cùng với phép toán nhân trên nó gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

2) Tồn tại 0x X (gọi là phần tử không) sao cho với mọi x X

* Mỗi phần tử aZ có phần tử đối xứng là –a Z sao

cho ( –a) + a = 0 và a + (-a) = 0

* Phép (+) các số nguyên có tính chất giao hoán:

2 Tính chất của các phần tử trong nhóm

Nếu a là một phần tử của 1 nhóm X thì ta định nghĩa



5x.e  5x



Bài

2 X 2n  1 | n  Z

Bài 4 Chứng minh rằng các tập và các phép toán tương ứng sau đây là những

nửa nhóm giao hoán

+ T có tính chất giao hoán : x, y  R : x  y  x  y  xy  y  x  yx  y * x .+ T có tính chất kết hợp:

x, y, z  R (x * y)* z  (x  y  xy)* z

Từ 1 &2 suy ra (x* y)* z  x*(y*

z) Vậy (R,*) là nửa nhóm giao

Vậy * có tính chất kết hợp Do đó (R*, *) là một nửa nhóm Nửa nhóm này

không giao hoán Vì:

Bài 6.

Phép toán * trên X gọi là lũy đẳng nếu x*x = x với  x

Cho (X,*) là một nửa nhóm giao hoán lũy đẳng Trên X đặt

x  y nếu x*y = y

Chứng minh  là 1 quan hệ thứ tự trên X.

Kí hiệu P(X) là tập tất cả các tập con của X

a) Chứng tỏ (P(X),  ) là một vị nhóm giao hoán Tìm các phần tử khả đối xứng của vị nhóm này

b) Chứng tỏ (P(X),  ) là một vị nhóm giao hoán Tìm các phần tử khả đối xứng của vị nhóm này

D Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận:

[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009.

- Tài liệu tham khảo :

[2] Trần Diên iển và các tác giả – ác t p h p – NXBGD&

Cho X là tập các số nguyên lẻ Chứng minh rằng X là một vị nhóm con của

vị nhóm nhân các số nguyên Z nhƣng không là nửa nhóm con của nửa nhóm

x  y 

X =2a 1| a 

Z là tập các số nguyên lẻ.

Rõ ràng 1= 2.0+ 1 X ơn nữa  2a+1, 2b+1 X thì

(2a +1).(2b +1) = 2(2ab + a +b) + 1 = 2q +1  X (với 2ab + a + b = q)

Vậy X là vị nhóm con của vị nhóm nhân Z

X không là nửa nhóm con của nửa nhóm cộng Z Vì X không ổn định đối với phép cộng Chẳng hạn 5,7 thuộc X nhƣng 5 +7  X

Giải:

* Phép toán  có tính chất kết hợp vì với  m, n, t  Z

(m n)  t = (m + n - 1)  t = (m + n – 1) + t - 1

- Phần tử đối xứng của 1 là 2; của 2 là 1; của 0 là 0.

- Phép toán  có tính chất giao hoán

Vậy (A,  ) là một nhóm Aben

- Phép toán  có tính chất giao hoán 

Bài 13 Chứng minh rằng R \  1

 

với phép toán

x * y  x  y  2xy

(x  y)  z = (x + y - 2xy) z = x + y - 2xy + z – 2(x + y - 2xy)z

= x + y - 2xy + z – 2xz – 2yz + 4xyz

= x + y + z - 2xy – 2xz – 2yz + 4xyz

x  (y z)= x (y + z – 2yz) = x +(y + z – 2yz) – 2x(y + z – 2yz)

= x + y + z – 2yz – 2xy – 2xz + 4xyz

Vậy phép toán * có tính chất kết hợp

- Phần tử trung hoà:

tử trung hoà Thử lại thấy 0 là phần tử trung hòa

X  R*  R

với phép toán (a,b)*(c, d)  (ac,bc  d) là một nhóm

không giao hoán.(R là tập các số thực; R* là tập các số thực khác 0)

Giải:

+) Tính chất kết hợp

 (a,b), (c,d), (e,f)  R*  R ta có:

[(a,b)  (c,d)] (e,f) = (ac,bc  d)  (e,f) = (ace,(bc+d)e+f)

= (ace,bce + de + f) (1)

(a,b)  [(c,d) (e,f)] = (a,b)  (ce,de + f)= (ace,bce + de +f) (2)

Từ (1) & (2) suy ra phép toán trên có tính chất kết hợp

+) Tìm phần tử trung hòa: (a,b)*(x, y)  (a,b),(a,b) X

 (ax,bx  y)  (a,b)  ax 

nên phép toán * không giao hoán

Vậy (X,*) là nhóm không giao hoán

 a