cac chuyen de boi duong hoc sinh gioi lop 9 MOI 2021 2022 (CĐ 1 ĐẾN CĐ 8)

Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề 1. Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan Chủ đề 2. Tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức Chủ đề 3. Các dạng toán số học Chủ đề 4. Các dạng toán về phương trình Chủ đề 5. Các dạng toán về hệ phương trình Chủ đề 6. Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị Chủ đề 7. Đa thức Chủ đề 8. Hàm số Chủ đề 9. Hình Học Chủ đề 10. Tổ hợp Chủ đề 11. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Trang 1

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Dạng 1: Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan

A Bài toán

Bài 2: Cho biểu thức

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M

2) Tính giá trị của M, biết rằng và

Bài 3: Cho biểu thức:

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C

2) Tìm giá trị của biểu thức C khi

Trang 2

Bài 10: Cho biểu thức: Với

Bài 13: Tính giá trị biểu thức: , biết:

Trang 3

Bài 20: Cho So sánh với .

Bài 27: Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức

Bài 29:

1) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau 3 23

4 2 2 .2) Tìm điều kiện để biểu thức 3 2 1 2

Trang 4

a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P.

b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7

a) Rút gọn biểu thức P

b) Cho Tìm giá trị lớn nhất của P

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi

c) Tìm m để có giá trị của x thoả mãn

a) Rút gọn

b) Tính P khi

c) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên

ab Xét biểu thức P =

bxaxa

xax

b) Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P

a) Tìm để có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức

b) Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên

b) Tính giá trị của A biết rằng x,y là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 1 = 0

Bài 41: Cho biểu thức M =

a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.

Trang 5

b) Tính giá trị của M khi a = , b =

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P với

Bài 43: a)Rút gọn biểu thức 2  3 3

b) Tính giá trị của P tại a  2 3 3 1 2   3

Bài 46: Cho biểu thức: Với x  0, x  1.a) Rút gọn biểu thức P

Trang 6

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

1 Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P > 1

2 Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

Bài 55: Cho biểu thức A =

Trang 7

b) Tính giá trị của biểu thức A khi

Bài 68: Tính giá trị biểu thức

Bài 69: Cho biểu thức: P =

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên

và tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Tính giá trị của tại

Bài 73: Rút gọn biểu thức: , với

Trang 8

Bài 74: Rút gon biểu thức : A = , với a ≥ 0

Bài 75: Rút gọn biểu thức: A =

a) Tính giá trị của A với

b) Rút gọn B

c) Đặt P = B:A Tìm các giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên

Bài 77: Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết

Rút gọn biểu thức P Tìm các giá trị của x để .

Trang 9

Bài 85: Cho biểu thức , trong đó

c) Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên

Bài 91: Cho biểu thức P =

Trang 10

1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C

2) Tìm giá trị của biểu thức C khi

Lời giải

1) ĐKXĐ: ;

2) Với

Trang 11

Trang 19

Áp dụng vào bài toán ta có:

Trang 20

Bài 26: Cho biểu thức với

Trang 21

Bài 29:

1) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau

2) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa và rút gọn

Trang 22

B có giá trị nguyên khi

a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7

Trang 23

b) Theo Côsi, ta có:

Dấu bằng xảy ra   x = y =

Vậy: MaxP = 9, đạt được khi x = y =

Trang 24

Ta phải tìm m để phương trình (*) có nghiệm thoả mãn

TH1: Nếu m = 0 thì pt (*) có nghiệm là t = 0 (thoả mãn )TH2: Nếu m 0 thì pt (*) là phương trình bậc 2 ẩn x

Ta thấy P = để pt (*) có 2 nghiệm thoả mãn thì

Vì P = 1 do đó nếu một nghiệm là 2 thì nghiệm còn lại là

nếu một nghiệm là 3 thì nghiệm còn lại là

Trang 25

c) ĐK: :

Học sinh lập luận để tìm ra hoặc

Trang 26

Xét biểu thức P = a x a x b

xax

(1

ab

1)

xa

a - x =

1

)1

(1

xa

 P =

bb

b

bbb

ab

b

ab

b

ab

b

ab

3

111

1

13

111

1)

1(

1

11

)1(

2 2

43

12

2  

 Nếu b1  P =

b

bb

b

3

1

33

133

b

bb

2 b , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1

Vậy P

3

43

Trang 27

KL: Giá trị nhỏ nhất của P =

34

Để A là số nguyên thì x nguyên và phải bằng hoặc

- Nếu ( loại vì trái điều kiện (*))

Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì và

b) Tính giá trị của A biết rằng x,y là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 1 = 0

Lời giải

a) A=

Trang 28

Vậy A=

b) Do x và y là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 1 = 0 (1) nên theo định lí Vi–ét ta có:

x + y = 4; xy = 1 ⇒ x, y > 0; x ≠ y ⇒ x, y thỏa mãn ĐKXĐ của A

Mặt khác, ta có:

Bài 41: Cho biểu thức M =

a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.

b) Tính giá trị của M khi a = , b =

Trang 29

Bài 42: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P với

Trang 31

b) Tính giá trị của P tại a  2 3 3 1 2   3

Trang 33

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

Lời giải

a) ĐKXĐ: x 0

Trang 34

Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1

Trang 35

1 Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P > 1

2 Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2

Bài 55: Cho biểu thức A =

Với x không âm,khác 4

a,Rút gọn A

b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x không âm,khác 4

Trang 36

c,Tìm x để A là số nguyên

Lời giải

b) Ta giả sử:

Suy ra

Trang 37

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm để

Lời giải a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức

(thỏa mãn điều kiện) Vậy để thì

Rút gọn M và tìm x để M>1

Lời giải

*

Vậy M= với

Trang 39

b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6.

Trang 40

Bài 63: Cho biểu thức: Chứng minh là một số nguyên.

Trang 41

Bài 68: Tính giá trị biểu thức

và tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Giải:

Với điều kiện , ta có:

Ta có với điều kiện

Trang 42

Do nguyên nên suy ra (loại)

Vậy không có giá trị của để nhận giá trị nguyên

Tính giá trị của tại

Trang 44

a Tính giá trị của A với

Thay vào

Vậy thì

a b Rút gọn B

b Đặt P = B:A Tìm các giá trị nguyên của để P nhận giá trị nguyên

Mà Ư(-6)=

Mặt khác:

Kết hợp ĐKXĐ:

Kết luận: Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 77: Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết

Giải:

Trang 46

Với điều kiện thì:

Trang 48

Bài 83: Rút gọn biểu thức:

Lời giải

ĐKXĐ: x 0;

Rút gọn biểu thức P Tìm các giá trị của x để .

Lời giải

.Vậy thỏa mãn bài toán

Trang 49

Vì x nguyên, x > 2 nên x – 1 nguyên và x – 1 > 1

A nhận giá trị nguyên nên là ước lớn hơn 1 của 2 (nhận)Vậy với x = 5 thì A nhận giá trị nguyên

Trang 50

Trang 51

Học sinh lập luận để tìm ra hoặc

Bài 91: Cho biểu thức P =

a) Rút gọn P

Trang 52

b) Tính giá trị của P khi x =

Trang 53

B Lời giải

Bài 1: Quãng đường từ đến gồm đoạn lên dốc , đoạn nằm ngang , đoạn xuống dốc, tổng cộng dài Một người đi từ đến rồi đi từ về hết tất cả giờ phút.Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc ( cả đi lẫn về) là ; vận tốc xuốngdốc (cả đi lẫn về ) là ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang

Lời giải

Trang 54

s2 s1

Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống lần lượt là

Thời gian đi và về là:

Theo đề bài, ta có phương trinh:

Vậy quãng đường ngang là

2 Phương trình bậc hai và định lí Vi-et

Bài 3: Cho phương trình: ( là ẩn số; là tham số) Tìm điều kiện của

và để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất một nghiệm dương

Bài 4: Cho phương trình: , với là tham số Tìm để phương trình cóhai nghiệm phân biệt ; thỏa mãn ;

Bài 5: Cho phương trình với là tham số

Trang 55

1) Giải phương trình khi

2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ; ; ; thỏamãn điều kiện

Bài 6: Cho phương trình (ẩn ): Tìm giá trị của để phương

trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn

Bài 7: Tìm để phương trình: có 4 nghiệm phân biệt

Bài 8: Giải phương trình:

Bài 9: Cho phương trình , là tham số Tìm để phương trình

có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn

Bài 10: Cho phương trình , với là tham số Tìm tất cả các giá trị của

để phương trình có hai nghiệm , khác , (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 11: Cho phương trình

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Bài 12: Cho phương trình:

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm

b) Gọi là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 13: Cho phương trình , x là ẩn, m là tham số Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương

Bài 14: Cho hai số thức khác thỏa mãn

Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm

Bài 15: Do bị bệnh bại não nên tay chân của Cảnh (11 tuổi, bản Tà Ọt, xã Châu Hạnh, huyện

Quỳnh Châu, tỉnh Nghệ An) bị co quắp, không đi lại được từ lúc mới chào đời Lên 6 tuổi, nhìn bạn

bè cắp sách đến trường em cũng muốn mẹ cho đi học Thương con ham học, những ngày đầu Cảnhđược người thân cõng đến trường Ít ngày sau, chứng kiến cảnh người thân của bạn phải vất vả bỏ

bê công việc, Khanh đã quyết định cõng bạn vượt qua con đường dài 1,8 km nhiều sỏi đá để tớitrường

Lúc về, trên quãng đường dài 1,8 km, trời nắng, Khanh cõng bạn với vận tốc ít hơn lúc đi 0,2 m/s

Do đó, thời gian cõng bạn lúc về của Khanh chậm hơn lúc đi là 12 phút 30 giây Tính vận tốc lúc

cõng bạn đi của Khanh.

Bài 16: Giả sử là hai nghiệm của phương trình ( k là tham số) Tìm tất cảcác giá trị của k sao cho :

Trang 56

Bài 17: Cho phương trình x2 2(m1)x m 2 3 0 ( x là ẩn, m là tham số) Tìm m để phương

trình có hai nghiệm x , 1 x sao cho 2 2

x  x  x  mx 

Bài 18: Cho phương trình: Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm

với mọi m Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi m thay đổi.

Bài 19: Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x) Tìm các giá trị nguyên dương của m đểphương trình (1) có nghiệm nguyên

Bài 20: Cho phương trình: (m là tham số) Tìm m để

phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Bài 21: Cho phương trình: (Với m là tham số) Tìm m để phương trình đã cho có

hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 23: Tìm 2 số , cùng dấu thỏa mãn điều kiện: đạt giá trị nhỏ nhất sao

Bài 24: Cho phương trình: Tìm các giá trị của để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn và một nghiệm lớn hơn

Bài 25: Cho phương trình x2 + 4x – m = 0 (1) (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn .

Bài 26: Cho ba số thực dương phân biệt thỏa Xét ba phương trình bậc hai

Chứng minh rằng trong ba phươngtrình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm và có ít nhất một phương trình vô nghiệm

Bài 27: Cho phương trình ( m là tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:

Bài 28: Cho phương trình (1) (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm ; thỏa mãn:

Trang 57

Bài 29: Cho phương trình (ẩn x) Tìm tất cả các giá trị của m để

phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức có giá trị lớn nhất

Bài 30: Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn Chứng minh rằng phương trìnhsau luôn có nghiệm:

Bài 31: Cho hai phương trình: x2 - x + m + 1 = 0 (1)

x2 + (m + 2)x + 2m + 4 = 0 (2) (m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m = -3

b) Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm bằng -3 Tìm nghiệm còn lại.

c) Tìm m để phương trình (1) và (2) tương đương

Bài 32: Cho phương trình:

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm

b) Gọi là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 33: Cho phương trình ( là tham số)

a) Với giá trị nào của thì phương trình đã cho có hai nghiệm và sao cho

b) Với giá trị nào của thì phương trình đã cho có hai nghiệm và sao cho

Bài 34: Cho phương trình 5x² + mx – 28 = 0 (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình

có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 5x1 + 2x2 = 1

Bài 35: Cho phương trình x4 – 2(m – 2)x² + 2m – 6 = 0 Tìm các giá trị của m sao cho phương trình

có 4 nghiệm phân biệt

Bài 36: Cho phương trình x22m 2xm2 2m40 Tìm m để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2 x 2x x1x 151m

2 1

2 2

2 1

Bài 39: Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai

cạnh góc vuông của một tam giác vuông Tìm để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam

giác vuông đó bằng

Bài 41: Cho phương trình: (m là tham số) Với giá trị nào của m thìphương trình có hai nghiệm và sao cho ?

Trang 59

Áp dụng hệ thức Vi – et, ta có:

Giải phương trình ta được: (loại); (nhận)

Vậy

Bài 3: Cho phương trình: ( là ẩn số; là tham số) Tìm điều kiện của

và để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất một nghiệm dương

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương

phương trình có 2 nghiệm trái dấu hoặc phương trình có 2 nghiệm đều dương

TH1: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

TH2: Phương trình có 2 nghiệm đều dương

Vậy và trong 2 số , phải có ít nhất một số âm

Bài 4: Cho phương trình: , với là tham số Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt ; thỏa mãn ;

Trang 60

Giải phương trình ta được: ;

(nhận)Vậy là giá trị cần tìm

Bài 5: Cho phương trình với m là tham số

1) Giải phương trình khi

2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt ; ; ; thỏamãn điều kiện

Lời giải

1) Với , ta có phương trình:

Đặt , ta có phương trình:

Giải phương trình ta được: (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

2)

Đặt , ta có phương trình:

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt ; ; ;

phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

Trang 61

Giả sử ; là 2 nghiệm của phương trình thì theo Vi - ét ta có:

Giả sử 4 nghiệm của phương trình là: ; ; ;

Trang 62

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

Vậy với thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Bài 8: Giải phương trình:

Giải

ĐK: Với điều kiện biến đổi phương trình đã cho trở thành:

Chia cả hai vế của phương trình cho , ta được

(1)

Đặt

Thay vào (1) ta được hoặc (t/m)

Giải:

1)

Theo định lí Vi-ét ta có

(2)Đặt

Phương trình (2) trở thành

Trang 63

Ta có phương trình có 2 nghiệm:

(Nhận); (Loại, vì )+) Với

Vậy ; là giá trị cần tìm

Bài 10: Cho phương trình , với là tham số Tìm tất cả các giá trị của

để phương trình có hai nghiệm , khác , (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

Dấu bằng xảy ra khi

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Định dạng
Số trang	298
Dung lượng	13,28 MB