41 bài toán vận dụng (8 – 9 – 10) chủ đề lũy thừa – mũ – logarit

Từ phương trình * chúng ta có thể cô lập m và ứng dụng hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình thỏa đề bài... Hướng dẫn giải Điều.[r]

Cau 1:

Cau 2:

Cau 3:

PHAN CUOI: BAI TOAN VAN DUNG (8.9.10)

Chủ đề 2 LŨY THỪA - MŨ - LOGARIT

(SGD VĨNH PHÚC)Đạo hàm của hàm số y= log 5 |3x—]| 1a:

(NGUYÊN KHUYẾN TPHCM) Bất phương trình 2.5"? +5.2" <133.10" c6 tap

nghiệm la S$ =[a;b] thi b—2a bang

Hướng dẫn giải

Ta có: 2.5”? 3.5.2"? <133AÍ10' ©50.5' +20.2' <133410* chia hai vế bất phương trình

cho 5” ta được : s0+^°2 < TT =501.204 2] ciaa( (1)

phuong trinh cho “ hoae

(NGUYÊN KHUYỂN TPHCM) Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn

3log, (1+ Va +a) > 2log, Ja Tim phần nguyên của log, (2017a)

Suy ra hàm số ƒ() luôn giảm trên khoảng [1;+=)

Nên ¿=4 là nghiệm duy nhất của phương trình /(z)=0

(NGUYÊN KHUYẾN TPHCM) Biết x2 là một nghiệm của bất phương trình

2log, (23x—23) > log (x? +2x+15) (*) Tập nghiệm 7 của bất phương trình (®) là:

(T.T DIEU HIEN) Tim m dé phuong trình:

(m—1)1og? (x-2) +4(m—5)log, —st4m=4= 0 có nghiệm trên âm

4—4r° son oh dang hikn tra

f'(t)=——; 20 Vre[-11] > Ham sé dong bién trén doan [-11]

cô lập m rối tim max, min hàm số

(LẠNG GIANG SỐ 1) Số các giá trị nguyên dương để bất phương trình 3x + 2sn+* >33"* có nghiệm là

Suy ra các giá trị nguyên dương cần tìm” = l

Câu 7: (LÝ TỰ TRỌNG - TPHCM) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương

Cau 9: (CHUYEN PHAN BOI CHAU) Cho ham sé f (x)=

Cách 2.Sử dụng tính chất f(x)+f(I-x)=1 cua ham sé f (x)=

Cau 11: (THTT - 477) Cho n>1 là một số nguyên Giá trị của biểu thức

Câu 12: (CHUYÊỀN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn

2*+2” =4 Tìm giá trị lớn nhất P_ của biểu thức P= (2x + y)(2y? + x)+9xy

Khi đó P= (2x + y)(2y° +x)+9xy = 2(x° + y)+4#?y? +10xy

P= 2(x+ y)| (+ y) —3xy | +(2xy) +10xy

< 4(4-3xy)+4x°y* +10xy =164+2x*y? + 2xy(xy-1) <18

Vay P.,, =18khi x=y=1

Cau 13: (CHUYEN PHAN BOI CHAU) Tim tat ca cae gia tri cha m dé phuong trinh

(7 ~ 3/5 } + m(7 435 } = 2° só đúng hai nghiệm phân biệt.

Cau 16:

Ta thấy „=0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp ham số hoặc dùng BĐT để chứng

minh nghiệm =0 là duy nhất

Với „=0—=_—l1—=x”—42x+I=0 , phương trình này vô nghiệm

Xét |3] +22 | =| 5 5

Ta thấy ¿=1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng

minh nghiệm ¿=1 là duy nhất

Với u=0>t=3> x° -V2x-3=0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa

x40: x42

BINH LUAN

Cho f(x)=g(x)(1) néu f(x), g(x)d6i nghich nhau nghiém ngat hoadc g(x) =const

va ƒ(x) tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất

(CHUYỂN THÁI BÌNH) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

sau có hai nghiệm thực phân biệt: log,(1—xˆ)+log,(x+m—4)=0

3 A.=<m<0 B.5<m< ce C.5<m<#k, D.CÍ<m<2

log;(—xˆ)+log,(x+m—4)=0 ©

3

log,(—x°) =log,(x+m-—4) lI-x =x+m-4

Yêu cầu bài toán<> f (x) =X +x+m—5=0 có 2 nghiệm phân biệt e &' 1)

Cách 1: Dùng định lí về dấu tam thức bậc hai

Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình ƒ (x)=0 có hai nghiệm thỏa:

—l<x<x,<l

a.f (-1)>0 a.f (1) >0 m—5>0 21

©4A>0 <©4m—3>(U_ <>5<m<—

5 21—4m >0

1<><l

Cách 9: Với điều kiện có nghiệm, tìm các nghiệm của phương trình ƒ (x) =Oréi so

sánh trực tiếp các nghiệm với | va —1

Cau 17:

Cach 3: Ding đồ thi

Đường thắng y=-—n cắt đồ thi ham sO y=x?+x-—5 tai hai điểm phân biệt trong

khoảng (—1;1) khi và chỉ khi đường thắng y=_—n cắt đồ thị hàm số y= x?+x—5 tại

hai điểm phân biệt có hoành độ e (-1; 1)

Cach 4: Dung dao ham

Sau khi dua vé phuong trinh x° +.x+m—5=0, ta nhap phuong trinh vao may tinh

* Giải khi zm=-—0,2: không thỏa >loại A, D

* Giải khi zz=5: không thỏa —loại B

ge) log, (x7 —2x+ 3) = 4h" log, (2|x —m|+ 2) có đúng ba nghiệm phân biệt là:

>m= 5 thay vao PT (4) thoa man

+) PT (4) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biét cua PT(3)

>m= 5° thay vao PT (3) thoa man

+) PT (4) có hai nghiệm phân biệt và PT (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau

1 (4)<> x=+V2m-1 dis <m<> Thay vao PT (3) tim dudc m=1

Câu 18:(QUẢNG XƯƠNG I Tất cả các giá trị của m để bất phương trình

Câu 19: (QUẢNG XƯƠNG I) Trong các nghiệm (x;y) thỏa mãn bất phương trình

log ›(2x+ y)>1 Giá trị lớn nhất của biểu thức 7 =2x+ y bằng:

TH1: (; y) thỏa mãn (T khi dé 0<T=2x+y<x4+2y <1

TH2: (x; y) théa man (I) x2 +2y?<2x+y eo (x—1? +(2y-— ¬ Khi đó

6° +(3—m)2* -m=0 cé nghiém thuộc khoảng (0;1)

f'(x)=

Suy ra 0<x<l© /(0)< /(xz)</#()©2<7(s)<4 vì /(0)=2./()=4

Cau 21:

Cau 22:

Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng (0;1) khi zme(2;4)

( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Tìm m để bất phương trình

1+log, (x? +1) > log, (mx? +4x+m) thoa man véi moi xeR

( CHUYEN QUANG TRUNG LAN 3)Cho ham số y= l=

hàm số đồng biến trên khoảng (1;2)

e Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2)<>

Su dung (a")'=u'a" Ina va phuong phap ham s6 nhu cac bài trên

Cau 23: (CHUYEN BAC GIANG) Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm s6 y=a’",

y=?', y=log,x

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

A c<a<b B.a<c<b C b<c<a D a<b=c

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị

đường y=x nên loại D

(CHUYÊN BẮC GIANG) Biết rằng phương trình (x—2) 9“ ”'=4.(x—2}` có hai

e Suyra x, =5 và x, =6 Vậy 2x—1; =2.5-6=-I

(CHUYÊN KHTN L4) Cho x,y là số thực dương thỏa mãn Inx+ln y>In(xŸ + y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P=x+ y

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B

Từ Inx+In y >In(3” + y}© xy> + + y Ta xét:

Nếu 0< x<Il thì y>xy>x“+y<©0>xˆ mâu thuẫn

Nếu x>l thì xy>x+y© y(x-l)>x oye

Vậy P=x+y>x+ x

X

Cau 26:

Cau 27:

(CHUYEN KHTN L4) Tim tap hop t&t ca cac tham sé m sao cho phương trình

Ae! _ 2” 2? 4 3m—2=0 c6 bốn nghiệm phân biệt

A (—cl) B (-c0;1)U(2;400) C [2:-400) D (2;+=)

Hướng dẫn giải

Đặt /=22 (t=)

Phương trình có dạng: 7” -2mw +3m—2=0(C*)

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

<>phương trình (Š) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

foe xtlog, x° -3= m(log, x" -3) có nghiệm thuộc |32;+œ) ?

2

A.me[Lx3 | B.me| V3) C.me| -1;V3) D me (-V3;1)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x>0 Khi đó phương trình tương đương:

log? x—=2log; x—3 =rm(log; x—3)

Dat t=log, x với x>32—>log,x>log,32=5 hay />5

pe tlez nye fle ;—3 \r-3 B

suy ra l<m< V3 Vậy phương trinh cé6 nghiém véi 1<m< V3

BINH LUAN

t+1

Chúng ta có thể dùng hàm số để tìm max, min của hàm số ¥ = \ r—3 ==

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số móm để bất phương trình

log, (7x + 7) = log, (mx? +4x+ m) Wxec ÌR.

A.me(2;5] B.me(-2;5] C.me[2;5) D.me[-2;5)

Hướng dẫn giải

Bất phương trình tương đương 7x“ +7>mv+4x+in>0, VxelR

(7-m)x`—4x+7—-m>0 (2)

¥ m=7: (2) không thỏa VxelR

¥ m=0: (8) không thỏa VxelR

Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2;3) thuộc tập nghiệm

của bất phương trình log, (x? +1) > log, (x? +4x+m)-1 (1)

A.me[-12;13] B me[12;13] C.me[-13;12] D.me[-13;-12]

x=3

©(x- ).L -(x-2)log, |= 1—(x-2)log, 3

(x=2)log,3 =1 Oe 3 2

x=log,2+2 x=log,2+log,9 x =log,18

Cau 32: Phuong trinh 3°** +3°° +3** +3** =10' 6 tong cac nghiệm là ?

Véi y=3 3° =30 [x=]

4s 1 „1

Với ya? =sela=-l

Câu 33: Phương trình 3''+2x (4 +1)- 4.3'—5 =0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?

Hướng dẫn giải

3*+2x(3'+1)-4.3'—=5=0 ©(3”'—1]+2x(3'+1)—(4.3'+4)=0

=©(3'-1)(3'+1)+(2x-4)(3'+1)=0 ©(3'+2x—5)(3'+1)=0 ©3*+2x—5=0

Xét ham sé f(x)=3'+2x-5 , tacé: f(1)=0

f'(x)=3'n3+2>0;VxeR Do dé ham s6 f(x) déng bién trén R

Vậy nghiệm duy nhất của phuong trinh la x=1

BÌNH LUẬN

Có thể đặt /= 3” >Ø sau đó tính delta theo *

Câu 34: Gọi x,,x, là hai nghiệm của phương trình 27*2= 2U #9 27t *) ~2°841 Khi do,

tong hai nghiém bang?

3+-/10

x, =—4/log,

2 Vay tong hai nghiém bang 0

CAu 35: Với giá trị của tham số 7 thì phương trình (m+1)16”=2(2m—3)4” +6m+5=0 có

hai nghiệm trái dấu?

A.4<m<-l B Không tổn tại m C -l<m<Š D -l<m<~Š,

BINH LUAN

=4” <Sx=log„/

Tìm mối quan hệ nghiệm giữa biến cũ và mới, do nên 0<#<1<¿,thì

0</<l—=log,f<0

phương trình có hai nghiệm trái dấu

Câu 836: Với giá trị nào của tham sé m thì phương trình 4'-m.2*"'+2m=0 có hai nghiệm

Do phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn 2" >0 só thể có nghiệm 2” <0 (vô l0

nên khi giải ra tham số =4 thì phải thử lại

Câu 37: (CHUYỂN VINH - L2)Tìm tất cả các giá trị của tham số m dé hàm số

Cau 38:

Cau 39:

1

Hàm số y= 5 xác định trên khoảng (0;+œ) khi và chỉ khi hàm

(CHUYÊN VINH - L2)Tìm tất cả các giá trị của tham số ø để phương trình

x— —— =m có ha1 nghiệm phân biệt

khi va chi khi m>-1

(TIEN LANG — HP)Cho bén ham sé y=(V3) (1), »-() (2) y=4* (3),

y -(+ (4) có đồ thị là 4 đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua

phải là (C¡).(C;).(C;).(C„) như hình vẽ bên yẠ (CG)

zm là tham số ) Tìm zm để phương trình có hai nghiệm x,, x; thỏa mãn x,.x, =3 Mệnh đề nào

sau day dung ?

Đặt ; =log,x Khi đó phương trình (1) => c[m+3 ]rtm==0 (2)

Phương trình đã cho có hai nghiệm x,,x, thoa man x,.x, =3 log, x,.x, =1

> log, x, +log, x, =14,4+4, =1

(VỚI ¡ =log, x, và 7, =log, x, )

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (2)

Ta có ty 1© 2=1e|mt2 ]=Lom=5

Cau 41:

Vay 0<m< là mệnh đề đúng

(CHUYÊN LƯƠNG THẺ VINH - L2) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m đề phương trình 3 =mmx+1 có hai nghiệm phân biệt?

Ta thấy y=x+1 luôn đi qua điểm cố định (0: 1) nên

+Nếu „=0: phương trình có nghiệm duy nhất

+ Nếu <0 :y=zmx+1 là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y=3'

tại một điểm duy nhất

+ Nếu m>0 :Để thỏa mãn ycbt thì đường thắng y =mx+1 phải khác tiếp tuyến của

đồ thị hàm số y=3' tại điểm (0; 1), tức là ømzIn3

~ |Jm>0

Vậy m # ln 3