On Thi TN THPT QG Mon Toan Chu De 9: Day So, Cap So Cong, Cap So Nhan

Ôn thi TN THPT QG môn Toán – Chủ đề 9: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Gồm: 1. Dãy số 2. Cấp số Cộng 3. Cấp số nhân Có: Tóm tắt lý thuyết Các dạng toán bám sát đề thi TN THPT QG Các ví dụ mẫu Bài tập tự luyện bám sát đề thi TN THPT QG Đáp số và hướng dẫn

Ch đ 10 ủ đề 10 ề 10 DÃY S , C P S C NG, C P S NHÂN Ố, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN ẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Ố, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN ỘNG, CẤP SỐ NHÂN ẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Ố, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

1 Tóm t t lí thuy t ắt lí thuyết ết

1.1 Ph ương pháp quy nạp toán học: ng pháp quy n p toán h c: ạp toán học: ọc:

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:

 BBước B1: BKiểm tra mệnh đề đúng với Bn B= B1.

 BBước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k  1), chứng minh rằng), chứng minh rằng

mệnh đề đúng với n = k + 1), chứng minh rằng.

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương

n p, ta thực hiện như sau

+ Ở bước 1), chứng minh rằng, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

+ ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1), chứng minh rằng.

1.2 Dãy số

a Định nghĩa

Dãy số là hàm số u có tập xác định là * (hay M 1, 2, ,m

Dạng khai triển: (u n ) là u 1), chứng minh rằng , u 2 , …, u n , …

1

u là số hạng đầu, u là số hạng tổng quát n

b Dãy số tăng, dãy số giảm:

 (u n ) là dãy số tăng  u n+1), chứng minh rằng > u n với  n  N*  u n+1), chứng minh rằng – u n > 0 với  n  N*

 n 1 1

n

u u



 với n  N* ( u n > 0).

 (u n ) là dãy số giảm  u n+1), chứng minh rằng < u n với n  N*  u n+1), chứng minh rằng – u n < 0 với  n  N*

n

u u



 với n  N* (u n > 0).

c Dãy số bị chặn

 (u n ) là dãy số bị chặn trên  M  R: u n  M, n  N*.

 (u n ) là dãy số bị chặn dưới  m  R: u n  m, n  N*.

 (u n ) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  u n  M, n  N*.

1.3 C p s c ng: ấp số cộng: ố ộng: 1.4 C p s nhân: ấp số cộng: ố

Định nghĩa

(u n ) là cấp số cộng  u n+1), chứng minh rằng = u n + d, n  N*

(d: công sai)

(u n ) là cấp số nhân  u n+1), chứng minh rằng = u n q với n  N* (q: công bội)

n

u u q 



Tính chất của các số

hạng

2

k

u   



với k  2

2

1 1

u u  u 

với k  2

Tổng n số hạng đầu tiên:

1

1 2

2

n

n u u

S u u  u  

= 2 1 ( 1) 

2

1 1

, 1 (1 )

, 1 1

n

n n

q









2 M t s d ng toán và ví d ộng: ố ạp toán học: ụ.

Dùng phương pháp quy nạp toán học

1.2 2.3 ( 1)

n

S

n n

 là:

1

n

n

1 2

n n





HD: Dùng MTCT kiểm tra vài số hạng đầu với đáp án Chọn B

Giả sử

1

n

n S

n





2 1

( 1)( 2) 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2



Số hạng tổng quát của dãy số, tổng các số hạng đầu của dãy số.

Ví dụ 2: Cho dãy số  u với n 1

1

2 2











u

u u Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :

A 1

 n

n

 n

n

HD: Chọn B Là cấp số nhân với 1

n

Ví dụ 3: Trong dãy số 1, 3, 2, … mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 3 bằng số hạng đứng trước nó trừ đi

số hạng đứng trước số hạng này, tức là u n u n1 u n2 với n ≥ 3 Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó Đáp số của bài toán là:

HD: Chọn A u100 u99 u98; u99 u98 u97; u98 u97  u96…u3 u2 u1  S100 u99u2

Mà u99 u98 u97 u96 u95 u94 u93   u3 3 Vậy S100   2 3 5

Cấp số cộng:

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng ( )u thỏa: n 5 3 2







u u Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

A u100 243 B u100295 C u100231 D u100 294 HD: Từ giả thiết bài toán, ta có: 1 1 1







1



Số hạng thứ 100 của cấp số: u100 u199d 295.

Ví dụ 5: Tìm x biết : x21,x 2,1 3 x lập thành cấp số cộng

A x4,x3 B x2,x3 C x2,x5 D x2,x1 HD: x21,x 2,1 3 x lập thành csc  x2  1 1 3x2(x 2) x2 5x  6 0 x2;x3

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình: mx4 2m1x2m 1 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

A m 9 B m1 C m 7 D m 9

HD: Chọn A

Đặt t x 2 4 3 3 2 91 101 2( 1), 2 18( 1)

10

2

2

m

Cấp số nhân:

Ví dụ 8: Cho cấp số nhân ( )u thỏa: n 4

2 27

u  và u3 243u8 Số 2

6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?

HD: Gọi q là công bội của cấp số Theo giả thiết ta có:

3

1

5

1

2

27

1

2 243

243





u q

u q





6561 là số hạng thứ 9 của cấp số.

3 Bài t p t luy n ập tự luyện ự luyện ện

Câu 1: Cho cấp số cộng  u có n u4 12;u14 18 Tìm u1, d của cấp số cộng?

A. u120,d 3. B. u122,d3. C u121,d 3. D. u1 21,d 3.

1

5







 



u

Số hạng tổng quát của dãy số trên là?

A  1

2





n

5 2



 

n

5 2



 

n

n n

5

2

 

n

u

S n

n n

 Khi đó công thức của S(n) là?

2





n

S n

1





n

S n

2 1





n

S n

2

 n

S n

Câu 4: Cho CSC có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên lần lượt là 100 và 10 Khi đó

tổng của 110 số hạng đầu tiên là?

Câu 5: Xác định x để 3 số 1 x x, ,12 x lập thành một CSC

A Không có giá trị nào của x B x=2 hoặc x= -2 C x=1 hoặc -1 D x=0

Câu 6: Cho CSN có u13;q2 Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?

Câu 7: Một người đem 100.000.000 đồng đi gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là

Câu 8: Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100(đơn vị nghìn đồng) Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên10% Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên10% Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai lần tăng giá là bao nhiêu

Câu 9: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép 1%/tháng.

Gửi được hai năm 3 tháng người đó có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về Số tiền người đó rút được là bao nhiêu triệu đồng?

A 100.[(1,01)26 −1] B 101.[(1,01)27 −1] C 100.[(1,01)27 −1] D 101.[(1,01)26 −1]

Câu 10: Cho cấp số cộng u u u1, , ,2 3 u n có công sai d 0 Khi đó dãy số u u u1, , 3 5 (các số hạng của cấp số đó theo thứ tự có chỉ số lẻ)

A Không là cấp số B Là cấp số cộng với công sai 2d

C Là cấp số nhân với công bội d D Là cấp số nhân với công bội 3d

Câu 11: Cho , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a2c2 2ab2bc2ac B. a2 c2 2ab2bc 2ac

C. a2c2 2ab2bc 2ac D. a2 c2 2ab 2bc2ac

Câu 12: Cho , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số

cộng ?

A. 2 , ,b a c 2 2 B. 2 , 2 , 2 b  a  c C. 2 , ,b a c D. 2 ,b a c  ,

Câu 13: Cho dãy số 1; b; 2

2



Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?

A. b1 B. b1 C. b2 D. Không có giá trị nào của b.

Câu 14: Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây Biết rằng người ta trồng hết 4950

cây Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu

Câu 15: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 2 3 5

4 6

10 26







u u u

u u Tính tổng S u 5u7u2011.

Câu 16: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 7; ; 11; x y Khi đó tính xy

Câu 17: Cho dãy số  u thỏa mãn n logu1 2 log u1 2logu10 2logu10 và u n12u n với mọi

1

n  Giá trị nhỏ nhất của n để u  n 5100 bằng

Câu 18: Gọi S  1 11 111 111 1   ( n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây

81

n



B 10 10 1

81

n

81

n

n



n

n

    



Câu 19: Xác định m để: Phương trình x3 3x2 9x m 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

A m16 B m11 C m13 D m12 Câu 20: Xác định m để: Phương trình x4 2m1x22m 1 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

A m2 hoặc 4

9



9



m

C m4 hoặc m2 D m3 hoặc m1

4 H ướng dẫn và đáp số ng d n và đáp s ẫn và đáp số ố

11 C 12 B 13 D 14 B 15 C 16 B 17 B 18 D 19 B 20 B

Câu 9. Cuối tháng 1 người đó có: 1+1.0,01=1(1+0,01) triệu

Đầu tháng 2 người đó có: 1(0,01+1)+1 =1,01+1 triệu

Cuối tháng 2 người đó có (1,01+1).(1+0,01)=1,012+1,01

Tương tự cuối tháng 3 người đó có: 1,013+1,012+1,01

Đến cuối tháng thứ 27 người đó có: 1,0127+1,0126+ +1,01=U

Ta có: 1,01U=1,0128+1,0127+ +1,012

Lấy 1,01U-U=1,0128 -1,01 Suy ra U=100(1,0128-1,01)= 101[(1,01)27-1] (triệu đồng)

Câu 11. , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

Câu 12. Ta có , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a c 2b

  b c  a  b   c   a  2 , 2 , 2b  a  c lập thành một cấp số cộng

Câu 15.



u d u d u d  u1 1,d 3;u5  u1 4d  1 12 13

Ta có u u5, , ,7 u2011 lập thành CSC với công sai d 6 và có 1003 số hạng nên

1003

2 1002.6 3028057

2

Câu 17.

Câu 19 Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó:x1x3 2x x2, 1x2x3  3 x2 1 Thay vào phương trình ta có : m 11

Với m11 ta có phương trình : 3 2

Ba nghiệm này lập thành CSC Vậy m 11 là giá trị cần tìm

, 0

tx t