On Thi TN THPT QG mon Toan Chu de 4: So phuc

Ôn thi TN THPT QG môn Toán 12 – Chủ đề 4: Số phức Gồm: 1. Số phức 2. Các phép toán số phức 3. Căn bậc hai số thực 4. Phương trình bậc hai trên tập số phức Có: Tóm tắt lý thuyết Các dạng toán Các ví dụ mẫu Bài tập tự luyện Đáp số và hướng dẫn

Ch đ 4 S PH C ủ ề Ố Ứ

a Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn i2   1

Kí hiệu z a bi 

 i: đơn vị ảo,  a: phần thực,  b: phần ảo.

Chú ý:

 z a 0i a   được gọi là số thực (a� �� �)

 z 0 bi bi   được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)

 0 0 0i  vừa là số thực vừa là số ảo

b Biểu diễn hình học của số phức.

 M(a;b) biểu diễn cho số phức z  z = a + bi

c Hai số phức bằng nhau Cho hai số phức z a bi   và z ' a ' b'i  với a, b,a ', b '��

a a '

z z '

b b '



�

�

d Cộng và trừ số phức z z '� a a '�   b b ' i� 

e Nhân hai số phức z.z 'aa ' bb '   ab ' a ' b i 

f Môđun của số phức z = a + bi là z  a2b2  OMuuuur

g Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi 

h Nghịch đảo của số phức z = a + bi : (z� 0) 1 2 2 2 2 2

z z z z z aa bb ab ba

i

j Một số chú ý:

 z z

 z  z

 z z 2a

 z z a  2b2  z2

 z z� z z �

 z z

z z

�

�



 z z� �z� z và z�z �z� z

j Số phức đối của số phức z = a + bi là: -z = -a-bi

k Căn bậc hai của số phức

 z 0 có một căn bậc hai là 0

 z a là số thực dương có 2 căn bậc 2 là �a

 z a là số thực âm có 2 căn bậc hai là � a i

m Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c là số thực cho trước, a 0).

Tính  b24ac

  0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt thực x ,1 2 b

2a

 � 



  0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x ,1 2 b i

2a



 0: Phương trình có 1 nghiệm kép là x b

2a

 

2 Một số dạng toán và ví dụ.

 Tìm số phức.

Ví dụ 1: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

A z   2 3i B z 3i C z   2 D z 3i

HD: Chọn B

Ví dụ 2: Cho hai số phức z1 5 7i và z2  2 3i Tìm số phức z z1 z2

A z  7 4i B z  2 5i C z    2 5i D z  3 10i

HD: z     z1 z2 5 7i (2 3 ) 7 4i   i Chọn A

Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (2 – i)(3z + 1) = (z + 2)(4 – 5i).

4 4

4 4

z   i C 3 15

4 4

z  i D 3 15

4 4

z  i HD: 6 3 i z    2 i 4 5i z  8 10i�6 3 i z  4 5i z  8 10i 2 i 6 9 3 15

i

i



�

Có thể kiểm tra đáp án bằng MTCT: MODE 2, nhập

Ví dụ 4: Tìm số phức z biết (1 2i) z z 4i 22 2   

A z 3 4i  B z  3 4i C z 3 4i  D z  3 4i

HD: Gọi z a bi a b  ( , �� Ta được ( 3 4 )()   i a bi )    a bi 2a 4b(4a4 )b i22 4 i

Có thể kiếm tra đáp số bằng MTCT, nhập:

Ví dụ 5: Cho số phức z a bi  ( ,a b�� ) thỏa mãn (1 i z)  2z  3 2i Tính P a b 

2

P B P 1 C P  1 D 1

2

P  HD: (1 )(i a bi ) 2( a bi ) 3 a b  (a b i)   3 2i 1; 3

� �

Ví dụ 6: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3i 5 và

4

z

z là số thuần ảo ?

HD: z a bi a b  , ( , �� Điều kiện ) a� và 4 b� 0

Ta có z 3i 5�a2 (b 3)225�a2 b2 6b16 (1)

z a bi a bi



   là số thuần ảo � a2 4a b 20 (2)

Thay (1) vào (2), ta được 4 3

2

b

a  thay vào (1): 13 2 6 0 0( 4)

4 b  b �b a (loại) hoặc 24

13

b  (nhận) Chọn C

 Tìm số phức liên hợp, môđun của một số phức đã cho.

Ví dụ 7: Tìm số phức liên hợp của số phức z i i (3 1)  .

A z  3 i B z   3 i C z  3 i D z   3 i

HD: z  3 i�z  3 i Chọn D

Ví dụ 8: Tính môđun của số phức z  1 5 i

HD:

2 2

z    Chọn A Có thể sử dụng MTCT, nhập

 Xác định phần thực, phần ảo của một số phức.

Ví dụ 9: Cho hai số phức z1 3 2i, z2  2 3 Tìm phần thực của số phức liên hợp củai

1 2 1 2 1 2

v z z z z z z

HD: Sử dụng MTCT, nhập:

6 2 7

v  i

� vì ,v v có cùng phần thực Trả lời A.

Ví dụ 10: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn (2i z)   3 4i

A Phần thực là 2

5, phần ảo là

11

5 i B Phần thực là 2

5, phần ảo là

11

5 .

C Phần thực là 2, phần ảo là 11 D Phần thực là 2

5, phần ảo là

11 5



HD: Giải phương trình bậc nhất đối với z, từ đó tìm được phần thực, phần ảo của z Trả lời B.

 Biểu diễn hình học, tập hợp biểu diễn điểm của số phức.

Ví dụ 11: Tìm điểm biểu diễn số phức z biết z  2 i 3

A M2; 3 B N 2; 3 . C P 2; 3 D Q2; 3

HD: z  2 i 3 Trả lời C

Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 (2 i z)  (3 2 )i z i Tìm tọa độ của điểm biểu diễn của số

phức liên hợp với z.

A 11; 5

M ��  ��

11 5

;

8 8

11 5

;

8 8

M �� ��

11 5

;

M ��  ��

HD: z x iy x y   , �� Thay vào ta được (2 2  x y ) (2y x i ) (3x2 ) ( 2y   x 3y Giải hệ ta1)i

ta được x11/ 8;y5 / 8

Có thể sử dụng MTCT bằng cách thử các phương án, nhập:

Kq = 0 thì chọn được Nếu không được thì bấm CALC nhập tiếp đến phương án B Chọn A

Ví dụ 13: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z  � 1 i 3

A Hình tròn tâm I1; 1 , bán kính  R 3 B Đường tròn tâm I1;1, bán kính R 9

C Hình tròn tâm I1;1, bán kính R 3 D Đường tròn tâm I1;1, bán kính R 3

HD: z x yi  , ( ,x y�� Ta được ) z1 � �i 3 (x  1) (y 1)i � �3 (x1)2 (y 1)2 �9 là hình tròn tâm ( 1;1),I  R 9 3 Trả lời C

Ví dụ 14: Cho các số phức z thỏa mãn z  4 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức (3 4 )

w  i z i là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó.

HD: w  (3 4 )i z i �w i   (3 4 )i z� w i  (3 4 )  i z  5.4 20  Tập hợp các điểm biểu diễn là đường tròn có bán kính r20 Chọn C

 Biết tìm các căn bật hai (phức) của một số thực bất kì Biết tìm nghệm (phức) của

phương trình bậc hai với hệ số thực Biết tìm nghiệm (phức) của các phương trình trùng phương với hệ số thực.

Ví dụ 15: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

A Trong �, căn bậc hai của –5 là 5i B Trong �, căn bậc hai của  là i 

C Trong �, căn bậc hai của 5 là 5 D Trong �, căn bậc hai của –1 là i�

HD: Mỗi số thực có hai căn bậc hai đối nhau Trả lời D

Ví dụ 16: Phương trình bậc hai với các nghiệm: 1 1 5 5

3

i

z   ,

2

1 5 5 3

i

z   là:

A z2 - 2z + 9 = 0 B 3z2 + 2z + 42 = 0 C 2z2 + 3z + 4 = 0 D z2 + 2z + 27 = 0

HD: Sử dụng MTCT, giải phương trình bậc 2 từng phương án Trả lời B

Ví dụ 17: Cho phương trình 3 2

0

z az   bz c Giả sử phương trình trên có hai nghiệm z1  và1 i

2 2

z  Tìm P a b c  

A P  1 B P 4 C P  7 D P  2

HD: Hai nghiệm z1  và 1 i z2 2

i ai b bi c

a b c

Chọn D

Ví dụ 18: Phương trình z46z225 0 có 4 nghiệm z z z z trên tập số phức � Tính1, , ,2 3 4

T  z  z  z  z

A T 2 5 B T 4 5 C T 10 D T 20

HD: Đặt t , ta được phương trình z2 t2 6t 25 0 có hai nghiệm t1  3 4 ,i t2   , tức là3 4i

1,2 3 4 , 3,4 3 4

z    i z    suy ra i 2 2 2 2

z  z  z  z  �T  Trả lời B

 Biết tổng hợp các kĩ năng nói trên để giải toán số phức.

Ví dụ 19: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z z z  và 2 z  ?2

Trả lời A

HD: z x yi x y  ( , �� , ta được ) x2y2 x yi 2�(x4)2y2 4 và x2y2 4

suy ra 8x 16 0 Vậy x 2,y Chọn A.0

Ví dụ 20: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn

1

z z  và z 3 i m Tìm số phần tử của S.

HD:

Ví dụ 21: Gọi  là góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM, trong đó M là điểm biểu diễn số phức

(2 )(1 )

z i  Tính sin 2 i

Trả lời B

HD: z  nên (3;1)3 i M suy ra tan 1 sin 2 2 tan2 0,6





Có thể sử dụng MTCT, nhập

3 Bài tập tự luyện:

Câu 1: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A Số phức z = a + bi được biểu diễn bằng điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy

B Số phức z = a + bi có môđun là a2 b2

C Số phức z = a + bi = 0  � 

� 

�

a 0

b 0

D Số phức z = a + bi có số phức đối là z’ = a - bi

Câu 2: Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số phức:

A z’ = -a + bi B z’ = b - ai C z’ = -a - bi D z’ = a - bi

Câu 3: Cho số phức z = a + bi Số phức z2 có phần thực là :

Câu 4: Số phức z = 2 - 3i có điểm biểu diễn là:

Câu 5: Cho số phức z = 6 + 7i Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là:

Câu 6: Phần thực và phần ảo của số phức: z 1 3i  

Câu 7: Số phức liên hợp của số phức: z 1 3i   là số phức:

A z 3 i   B z    1 3i C z 1 3i   D z    1 3i

Câu 8: Mô đun của số phức: z 2 3i  

Câu 9: Cho số phức z   2 3i  2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A Phần thực bằng 7, Phần ảo bằng 6 2i B Phần thực bằng 7, Phần ảo bằng 6 2

C Phần thực bằng 7 và Phần ảo bằng 6 2 D Phần thực bằng 7 và Phần ảo bằng 6 2i

Câu 10: Cho số phức z    4 i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A Phần thực bằng -4 và Phần ảo bằng 1 B Phần thực bằng -4 và Phần ảo bằng i

C Phần thực bằng 1 và Phần ảo bằng -4 D Phần thực bằng 4 và Phần ảo bằng -1

Câu 11: Cho số phức z   5 2 i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A Phần thực bằng 5 và Phần ảo bằng 2 B Phần thực bằng 5 và Phần ảo bằng 2i

C Phần thực bằng 5 và Phần ảo bằng -2 D Phần thực bằng -5 và Phần ảo bằng -2

Câu 12: Cho số phức z i     2 4 i     3 2 i  Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A Phần thực bằng 1 và Phần ảo bằng 1 B Phần thực bằng 1 và Phần ảo bằng -i

C Phần thực bằng -1 và Phần ảo bằng -1 D Phần thực bằng -1 và Phần ảo bằng –i

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z iz- = + Tìm phần thực và phần ảo của 2 5i z

A Phần thực bằng -3 và Phần ảo bằng 4 B Phần thực bằng -3 và Phần ảo bằng -4

C Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng -4 D Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 4

Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z z- ) (1+ -i) 5z= - Tính môđun của 8i 1 z

Câu 15: Cho hai số phức: z 1   1 2 i, z 2   2 3 i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z 1  2 z 2

A Phần thực bằng -3 và Phần ảo bằng 8 B Phần thực bằng -3 và Phần ảo bằng -8

C Phần thực bằng 8 và Phần ảo bằng -3 D Phần thực bằng 8 và Phần ảo bằng 3

Câu 16: Cho hai số phức: z 1   2 5 i, z2   3 4 i Môđun của số phức z z1. 2 bằng

A z z1 2 =5 29 B z z1 2 =3 29 C z z1 2 =5 17 D z z1 2 =3 28

Câu 17: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

2 10 0

z  z   Tính giá trị của biểu thức

| | | |

A  z  z

Câu 18: Cho z1 3 i z, 2  2 i Tính z1z z1 2

A 10 B 10 C 100 D 20

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn 5( )

2 (1) 1

z i

i

 Tính môđun của số phức    1 z z2

Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn: 2(1 2 )

1

i

i



 Tìm môđun của số phức    z 1 i

Câu 21: Gọi z z z z1, , ,2 3 4là bốn nghiệm của phương trình z4 z3 2z26z 4 0 trên tập số phức tính

S

3

5

4

4

S

Câu 22: Cho số phức z thoả mãn điều kiện 2 3 3

2

z  i  (1) Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

z thỏa mãn (1) là một đường tròn Bán kính r của đường tròn đó là:

2

3

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn (1i z i)(  ) 2z2i Tìm môđun của số phức w z 22z 1

z

Câu 24: Biết phương trình 2 6 25 0





z có hai nghiệm z và 1 z Tính 2 z 1 z2 .

A z1  z2 10 B z1  z2 3 C z1  z2 4 D z1  z2 7

Câu 25: Cho số phức z (1 2 )(2i i)2.Tính môđun của số phức z.

Câu 26: Cho số phức (1i)z(2 i)2 2 3z.Tính môđun của số phức z.

Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z z- ) (1+ -i) 5z= - Tìm phần thực và phần ảo của số8i 1 phức z.

A Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 B Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i

C Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng -2 D Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng -2i

Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3i z   Tìm số phức liên hợp của 2i 3 z

10 10

10 10

10 10

10 10

z   i

Câu 29: Cho hai số phức z1 1 4 ,i z2  1 i Tìm mô đun của số phức w thỏa 2

1 2

Câu 30: Cho số phức z i Tìm số phức w z 2z1

A w    1 3 i B w   1 3 i C w   1 3 i D w    1 3 i

Câu 31: Cho số phức z = a + bi Số phức z2 có phần thực là :

Câu 32: Số phức z = 2 - 3i có điểm biểu diễn là:

Câu 33: Cho hai số phức: z1  3 5 ; i z2  3 Tính i 1

2

z

z bằng

Câu 34: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện

z  i  là:

A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đoạn thẳng D Một hình vuông

Câu 35: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện

z i    là:z 2 3i

A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một Parabol D Một hình vuông

Câu 36: Tập hợp nghiệm của phương trình i.z 2017 i 0 là:  

A {1 2017i} B {1 2017i} C { 2017 i} D {1 2017i}

Câu 37: Tập nghiệm của phương trình (3 i).z 5 0    là :

A 3 1

2 2i

3 1

2 2i

3 1

2 2i

�  �

3 1

2 2i

�  �

�

Câu 38: Tìm hai số phức có tổng và tích lần lượt là -6 và 10.

A -3-i và -3+i B -3+2i và -3+8i C -5 +2i và -1-5i D 4+4i và 4-4i

Câu 39: Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn: z 2z    Tính môđun của số7 3i z

phức: w 1 z z   2

Câu 40: Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn: z 3z    Tính môđun của số11 6i z

w 1 z z  

Câu 41: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tập hợp các điểm M(z) thoả mãn

điều kiện sau đây: z  =2 là một đường tròn:1 i

A Có tâm   và bán kính là 21; 1 B Có tâm 1; 1 và bán kính là 2

C Có tâm 1;1 và bán kính là 2 D Có tâm 1; 1 và bán kính là 2

Câu 42: Tính số phức sau :  15

1

z i

Câu 43: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tập hợp các điểm M(z) thoả mãn

điều kiện sau đây: 2 z   là một đường thẳng có phương trình là:z i

A 4x 2  y 3 0 B 4x 2 y 3 0 C 4x 2 y 3 0 D 2x  y 2 0

Câu 44: Tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: |

z + z +3|=4 là hai đường thẳng:

2

x và 7

2

x B 1

2

x  và 7

2

x  C 1

2

x và 7

2

x  D 1

2

x  và 7

2

x

Câu 45: Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 i 10 và z z25.

A z  hoặc 3 4i z5 B z   hoặc 3 4i z 5

C z 3 4i hoặc z5 D z 4 5i hoặc z3

Câu 46: Cho số phức z = a + bi Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A z + z = 2bi B z - z = 2a C z.z = a2 - b2 D 2 2

z  z

Câu 47: Cho số phức z = 5 – 4i Số phức đối của z có điểm biểu diễn hh trên mp(oxy) là:

Câu 48: Cho số phức z = 6 + 7i Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn hh trên mp(oxy) là:

Câu 49: Cho số phức z = a + bi với b  0 Số z – z luôn là:

Câu 50: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = 2 + 3i

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung

C Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O

D Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

Câu 51: Cho số phức z = a + bi ; a,  R Để điểm biểu diễn của z nằm trong hình tròn tâm O bán kính R =

2 (hình 3) điều kiện của a và b là:

A a + b = 4 B a2 + b2 > 4 C a2 + b2 = 4 D a2 + b2 < 4

Câu 52: Thu gọn z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i) ta được

A z = 1 + 2i B z = -1 - 2i C z = 5 + 3i D z = -1 - i

Câu 53: Thu gọn z =  2

2 3i ta được:

A z = 7 6 2i  B z = 11 - 6i C z = 4 + 3i D z = -1 - i

Câu 54: Thu gọn z = (2 + 3i)(2 - 3i) ta được:

Câu 55: Thu gọn z = i(2 - i)(3 + i) ta được:

Câu 56: Số phức z = (1 + i)3 bằng:

Câu 57: Nếu z = 2 - 3i thì z3 bằng:

Câu 58: Số phức z = (1 - i)4 bằng:

Câu 59: Cho số phức z = a + bi Khi đó số phức z2 = (a + bi)2 là số thuần ảo trong điều kiện nào sau đây:

Câu 60: Điểm biểu diễn của số phức z = 1

2 3i là:

;

13 13

Câu 61: Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 - 3i là:

A z 1 = 1 3

i

i

4 4 C z 1 = 1 + 3i D z 1 = -1 + 3i

Câu 62: Cho số phức z = 1 3

i

  Số phức (z)2 bằng:

A 1 3

i

i

Câu 63: Cho số phức z = 1 3

i

  Số phức 1 + z + z2 bằng:

i

Câu 64: Cho số phức z = a + bi Khi đó số 1 

z z

2  là:

Câu 65: Cho số phức z = x + yi  1 (x, y  R) Phần ảo của số z 1

z 1



 là:

A

 2 2

2x



2y



xy

x 1 y D  2 2

x y



Câu 66: Cho hai số phức z = x + yi và u = a + bi Nếu z2 = u thì hệ thức nào sau đây là đúng:

A

2 2 2

2

2xy b

�

�



2 2

2xy b

�



2 2 2

2

x y b

�

�

 

x y a 2xy b

 

�

�

Câu 67: Tìm giác trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 1

3 2

i z i

Câu 68: Tìm các số phức z thỏa mãn điều kiện

2

0 1

iz



A z 1 3i B z5 C z  21 3 21i D

3

i

z

Câu 69: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện 2

z  z z z ?

Câu 70: Trong C, phương trình (i+z)(z - 2 + 3i) = 0 có nghiệm là:

A z i

z 2 3i



�

� 

z 2i

z 5 3i



�

� 

z 2 3i

 

�

� 

z 3i

z 2 5i



�

� 

�

Câu 71: Trong C, phương trình 4

1 i

z 1 

 có nghiệm là:

Câu 72: Tìm hai số phức biết rằng tổng của chúng bằng 4 - i và tích của chúng bằng 5(1 - i).

A z 3 i;z 1 2i    B z 3 2i;z 5 2i    C z 3 i;z 1 2i    D z 1 i;z 2 3i   

Câu 73: Trong C, phương trình z4 - 6z2 + 25 = 0 có nghiệm là:

Câu 74: Trong C, phương trình z4 - 1 = 0 có nghiệm là:

Câu 75: Cho số phức z thoả mãn z 3 4i  5 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P z 22  Tính môđun của số phức z i2 w M mi 

A w  2315 B w  1258 C w 3 137 D w 2 309