PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẩn TRONG căn bậc HAI (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI.Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình.. Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau... Đối chiếu với điều kiện x ³4 và điều kiệ

DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI.

Loại 1: Bình phương hai vế của phương trình.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của phương trình sau

Đối chiếu với điều kiện x ³4 và điều kiện xác định suy ra chỉ có x =7 là nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm là x =7

Nhận xét: Từ các lời giải các bài toán trên ta suy ra đối với các dạng phương trình sau ta

có thể giải bằng cách thực hiện phép biến đổi tương đương:

11

x

x x

x x

ì ³

Ûíïêïêï = ±ëïî = Ûêë =

Vậy phương trình có nghiệm là x =0 và x =1

2

11

Vậy phương trình có nghiệm là x =1 và x = -2 2

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2+mx+ = +2 2x 1 có hai nghiệm phân biệt

x

ìïï ïï

ïïî

Phương trình đã cho có hai nghiệm Û(*)có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc

Loại 2: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp.

Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp;

Với A, B không đồng thời bằng không.

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình

2 2

Phương trình (*)Û =x 1(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1

c) Phương trình được viết lại như sau: 33 x- =2 x2+ -15 x2+8

Vì x2+ -15 x2+ >8 0 nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 33 x -2 hay

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1.

Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình

02

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =0 và x =- +5 13

b) Ta thấy không là nghiệm của phương trình

Vì t³ Þ =0 t 2, thay vào ta có x2+ =3x 2

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm 1 và

-ê =êë

Vậy phương trình có hai nghiệm 1 22

x x

=-Với 2 ta có

3

33

Dễ thấy x =0 không là nghiệm của phương trình

Xét x ¹0 Khi đó phương trình tương đương với

42

x x

Vậy phương trình có nghiệm là 3 2 2

Vậy phương trình có nghiệm là x =1

Vậy phương trình có nghiệm là 5

-¥

Phương trình (1) có nghiệm phương trình (1') có nghiệm Û t ³ 23

- = yæ ö÷ç =ç ÷13÷ 13

ç ÷Bảng biến thiên

Lưu ý: Khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ , đối với loại toán không chứa tham số thì

có thể không nêu điều kiện(hoặc điều kiện "lỏng") của ẩn phụ vì sau khi tìm được nghiệm ẩn phụ rồi chúng ta phải thay lại để giải Nhưng với bài toán chứa tham số thì

chúng ta cần phải nêu điều kiện "chặt" đối với ẩn phụ.

Loại 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ví dụ 10: Tìm số nghiệm nguyên của phương trình 3 x+ =3 3x2+ -4x 1

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

Nhận xét:Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là biến đổi phương trình ban đầu thành

Vậy làm thế nào để tách được phương trình mà thỏa mãn các điều kiện trên và việc tách

ra như thế có là duy nhất?.Để trả lời được câu hỏi này ta thực hiện theo các bước như sau:

Đến đây việc giải pt như đã trình bày ở trên

Ví dụ 11: Tìm số nghiệm của phương trình sau 60 24- x-5x2 = + -x2 5x 10

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

-Vậy pt ban đầu có hai nghiệm x1=- -2 14,x2 =- -3 13

Ví dụ 12: Tìm số nghiệm của phương trình (x+3) (4-x)(12+ = -x) 28 x

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

x x

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

b) Ta dự đoán được nghiệm x = ±1, và ta viết lại phương trình như sau:

Bài 3.35: Tìm số nghiệm của phương trình

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

t t

ìïï =ïïï

Û íïï =ïïïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D Vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm là x = -8 13.

Bài 3.38: Tìm số nghiệm của phương trình 2 3 2

3

5

x x

ì ï

Suy ra phương trình có nghiệm là x 3 1; 3 2 5 1; 3 2 5

DẠNG TOÁN 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.

Loại 1: Đưa về phương trình tích.

1 Phương pháp giải

Để giải phương trình f x =( ) 0 ta phân tích f x( )= f x f x f x1( ) ( ) ( ) 2 n khi đó

( )

( ) ( ) ( )

1 2

000

+ Nếu phương trình f x =( ) 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a0

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì phương trình f x =( ) 0 có một

* Để phân tích f x( ) ta sử dụng lược đồ Hooc-ne như sau:

Nếu f x( ) có nghiệm là x = x0 thì f x( ) chứa nhân tử ( – x x0) tức là :

a) Phương trình tương đương với (x+2)(x2- + =5x 4) 0

êê =êëVậy phương trình có nghiệm là x=-2,x=1 và x =4

b) Phương tình tương đương với (x+1 3) ( x4-16x3+32x2-27x+ =6) 0

) 0

x x x

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của phương trình :x4-4x3-10x2+37x- =14 0

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

Lời giải:

Đối với phương trình này ta không nhẩm được nghiệm nguyên hay hữu tỉ

Bây giờ ta giả sử phương trình trên phân tích được thành dạng

=-ïïí

ïïï ïïî

=-Suy ra b1=-2;b2 =-7;a1=-5;a2 =1

Do đó phương trình tương đương với (x2-5 2 x + )( x2+ - =x 7) 0

Vậy phương trình có nghiệm là x =1 và x =-3

b) Phương trình tương đương với x4-2x2+ -1 2(x2- + =2x 1) 0

Vậy phương trình có nghiệm là { 2 2 3; 2 3 2 }

hai nghiệm dương phân biệt khác 3

2

' 000

P S

Điểm quan trọng nhất trong đối với phương trình dạng này là phát hiện ẩn phụ

có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1

b) Ta thấy x =0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương

é =ê

Cách giải:Xét x =0 xem có phải là nghiệm của phương trình không

Với x ¹0 ta chia hai vế phương trình cho ta có pt: x2 2 2

2

x x

Vậy phương rình có nghiệm là x =-4 và x =1

b) Phương trình tương đương với 4(x2+17x+60)(x2+16x+60)=3x2(*)

Ta thấy x =0 không phải là nghiệm của phương trình

Xét x ¹0, chia hai vế cho ta có x2

y

y

éê =ê

ê êêë

Cách giải: Kiểm tra xem x =0 có là nghiệm của phương trình hay không

Xét x ¹0 chia hai vế cho ta được x2 x a b ab x c d cd m

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =-2.

b) Vì x =-1 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế cho x +3 1 ta được:

Với m ¹-1 phương trình (**) là phương trình bậc hai.

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm không âm

 TH1: Phương trình (**) có hai nghiệm không âm

m

ìï - + ³ïï

b) Với m =-1 phương trình (*) trở thành 4 2 1 0 1 suy ra

2

không thỏa mãn

Với m ¹-1 phương trình (**) là phương trình bậc hai

Phương trình (*) bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm dương phân biệt

a) Tìm số nghiệm của phương trình khi m =6

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

- + = Û ê =ë

Với t =1 thì x + = Û + - = Û =- ±2x 1 x 2x 1 0 x 1 2

Với t =6 thì x2+ = Û + - = Û =- ±2x 6 x2 2x 6 0 x 1 7

Vậy phương trình có nghiệm là x =- ±1 2 và x =- ±1 7

b) Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

Suy ra để phương trình có nghiệm là m £0

Chú ý: Phương trình trên là phương trình có thể đưa về dạng

và cách giải là đặt và đưa về phương

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

x

- = +

Suy ra x=3,x=-1 là nghiệm của phương trình đã cho.

c) Ta thấy x =0 không là nghiệm của phương trình nên