TÍCH vô HƯỚNG hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu h h h a, ,b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam

§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

4 Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h h h a, ,b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; là nửa chu vi

Hình 2.6

= pr

= p p a p b p c( - )( - )( - ) (công thức Hê–rông)

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác.

1 Phương pháp.

 Sử dụng định lí côsin và định lí sin

 Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu

tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác

êêëTheo công thức tính đường trung tuyến ta có

Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD =1 Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn

B

Hình 2.8

Bài 2.58:

0 2

-Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB=3, AC=7, BC=8.

a) Tính diện tích tam giác ABC

A S =5 3 B S =6 3 C S =4 3 D S =3 3b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Bài 2.59: a) Áp dụng công thức Hê - rông ta có S= p p a p b p c( - )( - )( - =) 6 3

b) Áp dụng công thức tính diện tích và suy ra

4

abc S R

-A B =1200,A =450,C =150 B C =1200,B =450,A =150

C A =1200,C =450,B =150 D A =1200,B =450,C =150

b) Cho a =2 3 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

N P

I A

Hình 2.22

Từ (1) và (2) suy ra b, c là nghiệm của phương trình x2-20x+100 0= Û =x 10

Vậy b c= = Þ D10 ABC đều

Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB=10, AC=4 và A =600

a) Tính chu vi của tam giác

10 4

A

B

C H

D C

a) Giả sử tam giác cân tại đỉnh A Đặt  B C a a= = Þ <900

Ta có sin cos cos cos 1 22

góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh.

Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin ; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn

-Suy ra A =1200

1 Phương pháp giải.

 Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành

vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng

 Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki,…)

a) Trên tia đối của tia AC lấy D thỏa AD AB c= = suy ra tam giác BDA cân tại A và

= 2 (1 cos ) 2 (1 )

24 ( )( ) ( )

Gọi I là trung điểm của BD suy ra AI BD^

Trong tam giác ADI vuông tại I, ta có

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến

kẻ từ B và C vuông góc với nhau là b2+ =c2 5a2

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi tam giác GBC

Hình 2.10

sin sin cos sin cos cos cos

tam giác ABC nhọn.

b) 2sin2A=tan tanB CÛ2sin cos cos2A B C=sin sinB C

Bài 2.72: Gọi S là diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) S=2 sin sin sinR2 A B C

b) S Rr= (sinA+sinB+sin )C

Do đó 1 sin 1 sin 1 sin

.tan sin cos 2 2

tan sin cos .

-Suy ra(c2+ -b2 a2)tanA=(c2+ -a2 b2)tanB

Bài 2.76 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Chứng minh rằng

Bài 2.78 Cho tam giác ABC Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh rằngr

-= 2cotA=cotB+cotCÛ + =b2 c2 2a2

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có

Tương tự ta có CD2 =BC2+BD2-4S MBC.cot ,a AD2=AC2+CD2-4S MCA.cota

Cộng vế với vế suy ra cot 2 2 2 cot cot cot

Bài 2.82 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

Lời giải:

Bài 2.82: C1: Gọi D là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp ( );Ir tam giác với BC Suy

ra cot cot , tương tự ta có

Xây dựng các biểu thức tương tự và cộng lại suy ra đpcm

C2: ( )cot ( )cot ( )cot 0

( )( )

Điều này luông đúng Vậy ta có đpcm

Bài 2.83: Cho hình bình hành ABCD có AC=3AD Chứng minh rằng cot 4

Bài 2.84: C1: Áp dụng công thức diện tích Hêrông và bất đẳng thức cauchy

C2: Áp dụng định lí côsin và công thức tính diện tích ta có

Sử dụng định lí côsin; sin; công thức đường trung tuyến; công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác

Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn sin sin sin Chứng minh rằng tam giác

Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) sina A b+ sinB c+ sinC h= + +a h b h c

b) 2 2 2 2

cos cos 1 (cot cot )

2sin sin

p a p b p c S

r

p p

p

+ +

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = hay tam giác ABC đều

Bài 2.88: Cho tam giác ABC Tìm góc A trong tam giác biết các cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức:

Bài 2.89: Cho DABC thoả mãn điều kiện: Chứng minh rằng

ABC

Dđều

Vậy tam giác ABC đều

Bài 2.90: Trong tam giác ABC, chứng minh rằng nếu diện tích tính theo công thức

thì tam giác ABC đều

Vậy DABC vuông tại A

Bài 2.91: Cho DABC thỏa mãn: 1 cossin 2 2 2 Chứng minh rằng tam giác

-

Û = - Ûê = +êë Û D

Bài 2.93: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau và có

Chứng mình rằng tam giác cân

công thức đường trung tuyến suy ra b2+ =c2 5a2.

Từ 2 giả thiết trên suy ra b c a= = 5

Bài 2.94: Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi sin sin

Lời giải:

Bài 2.95: Ta có tan tan ( )( ) ( )( )