PHƯƠNG TRÌNH một số ví dụ về hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI HAI ẩn (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨNDẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI.. Sử dụng phương pháp thế  Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia..

§5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

1 Phương pháp giải.

Sử dụng phương pháp thế

 Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia

 Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn

 Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này

ï = ïî

x y

ì =ïïí

ï ïîVậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )1; 3 và (5; 5- )

=-b) Hệ phương trình tương đương

4 13

4 1 3(4 1 ) 9

y x

-ïï =ïïï

-ïïïî

hoặc 2

x y

ì =ïïï

íï =ïïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là 11 ;3 và

Nhận xét: Từ cách giải của hệ phương trình trên ta thấy rằng nếu một hệ phương trình hai ẩn mà có một

phương trình bậc nhất hai ẩn(hoặc có thể biểu diễn ẩn này qua ẩn kia) thì ta dùng phương pháp thế

-íæ ö

ïïç - - + =÷÷

ïç ÷

ïçè ÷øïî

ì =ïïï

íï ïïîVậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )1;1 và 2; 3

é = Þ =êê

x

é =êê

-* Với x =0 thay vào (3) ta có: y + =2 2 0 vô nghiệm

* Với y 3x2 24 thay vào (3) ta được:

x

-=

2 2

 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.

 Giải hệ (I') ta tìm được S và P

 Tìm nghiệm ( )x y; bằng cách giải phương trình: X2-SX P+ =0

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).

 Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II)  ( , ) ( , ) 0 (3)

 Như vậy (II) 

( , ) 0

( , ) 0( , ) 0

 Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x y0; 0) thì (y x0; 0) cũng là một nghiệm của nó

2 2 2 2

ìï = ïïí

-ï = +ïïî

2

3030

23

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm

Thay x y= vào phương trình đầu ta được: x3+ = Û =x 0 x 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y =; 0;0

b) Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

x x

2 2 2

Với x y= : (1)Û3x3- - =x2 2 0Û -(x 1)(3x2+ + = Û =2x 2) 0 x 1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( )x y =; 1;1

Ví dụ 3: Tìm để hệ phương trình m 2 2 6 có nghiệm duy nhất

ìï + + = +ïí

ï + + =ïî

ï + ïî

S P

ì ïïí

=-ï =ïî

Khi 0 ta có suy ra là nghiệm của phương trình

x y xy

ì + ïïí

X

é =ê

ï + =ïî

S P

ì ïïí

=-ï =ïî

Khi 6 ta có suy ra là nghiệm của phương trình

x y xy

ì + =ïïí

ï =

X - X+ = Û =X

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y =; 3; 3

Vậy với m =21 thì hệ có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4: Cho ( )x y; là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 21 Tìm để nhỏ nhất

ì + = ïïí

Bài 3.56: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

- = - Û - + - = Û ê = -ë

* Với x y= Þ =x2 3xÛ =x 0,x=3

* Với x= - Þ = +1 y y2 3y 2(1- Û - - =y) y2 y 2 0 é =- Þ =êy y 21 x x 21

Û ê = Þ =-ëVậy nghiệm của hệ: ( ; ) (0;0), (3; 3), ( 1; 2), (2; 1)x y = - -

ï = - +ïî

.Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ

 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

 Khi x  0, đặt y tx= Thế vào hệ (I) ta được hệ theo và Khử ta tìm được phương trình bậc k x x

hai theo Giải phương trình này ta tìm được , từ đó tìm được k k ( )x y;

Lời giải:

Dễ thấy x =0 không thoả hệ

Với x ¹0, đặt y tx= , thay vào hệ ta được 22( 22 1) 1 (*)

(2 3 4) 3

ìï - + =ïí

ïîSuy ra 3(t2- + =t 1) 2t2- + Þ = ±3t 4 t 1

= Û ê =- Þ =-ë

=-= Û ê

ê =- Þ =êë

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là 1 ; 1 , 1 1; , 1; 1( ) và

ïî

Lời giải:

Dễ thấy x =0 không thoả hệ

Với x ¹0, đặt y tx= , thay vào hệ ta được

(m 16)k2 2(m 6)k m 6 0 * *( )

Ta có: 2 ( )2 ( ) luôn có nghiệm với mọi do đó hệ ban đầu có nghiệm

3 2+ + = + + > " Þk k k 1 2 0, k * x k

khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm ẩn .k

Với m =16 : Phương trình (**) trở thành44k+ = Û =-88 0 k 2 Vậy m =16 thỏa mãn

Với m ¹16: Phương trình (**) có nghiệm Û D ³'k 0

Lời giải:

Bài 3.59: Ta thấy x=0 không thoả hệ phương trình

Xét x ¹0 Đặt x ky= và thay vào hệ ta được: 3 22 5 22 4 2 22 2 38 (*)

54 417 145 0

14518

t

t

éê =ê

ê êêë

= Û ê =- Þ =-ëVới 145 thì (*) : Phương trình vô nghiệm

Bài 3.60: Dễ thấy x =0 không thoả hệ

Với x ¹0, đặt y tx= , thay vào hệ ta được ìïïíïx x22(3 2(1 2+ ++ +k k k 3 ) 172k) 11(*)2==

ïîSuy ra17 3 2( + +k k2) (=11 1 2+ +k 3k2)

éê ê

=-Û ê =êëThay vào (*) ta được:

ïî a) Tìm số nghiệm của hệ phương trình với m =1

( 4 1)(1 3 ) 4

ìï - + =ïí

ïî

2 2

Loại 1: Hệ phương trình có thể đưa về phương trình tích

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

x y

ìïï =ïïïíïï =-ïïïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 5; 3 và

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )0;1 , 5; 3 , 0; 1( ) và .

7 1318

x y

ìï

-ï =ïïï

íï

-ïï =ïïî

x y

ìïï =ïïïíïï =ïïïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là 7 13 7; 13 , 7 13 7; 13 , ;1 1 và

ï - =ïî

ìï ïïí

ï ïïî

66

3 62

x y

ìïï ïïïíïï

ï ïïî

=-Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( 3; 2 3), (- 3; 2 3- ), 6 3 6; và

2

2 2

(3) hoặc (4)

2 2

-ïîGiải hệ (3): ( ) 2 2 2

ì =ïïí

ï =ïîGiải hệ (4): Ta có , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và

thỏa mãn phương trình thứ hai của (4) do đó hệ phương trình (4) có nghiệm là x y= =0

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )0;0 và ( )2;1

Dễ thấy x =0 hoặc y =0 thì hệ phương trình vô nghiệm Xét xy ¹0 ta có

Hệ phương trình tương đương với ( )

8 4 2 1 0

2 2 ( )4

x

VN x

ê =êê

-=êë

ï + = +ïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( )x y =; 0;1

b) Cộng hai phương trình của hệ ta có

-ïîGiải hệ (3): ( )3 2 (3 2 ) (3 2 )2 3 3 2 9 6 0

3 2

3 2

y y

x x

1

3 2x

x

x x

y y

x y

ì =ïïí

ï ïî

=-Giải hệ (4): ( )4 2 (2 ) (2 )2 3 2

22

2 1 0

x

x x

y y

ì =ïï

Û íï =ïîVậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là ( )1;1 và (2; 1- )

có thể phân tích thành nhân tử Điều này có được khi (1 a)x2 (2y a y 7)x a y2 5y 9 3a 0

ïî

2 2

x y

ìï

-ï =ïï

Û íïïï = ïî

-Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là 2 2 ;2 2 và

 TH1: Với 3y- -x 2y= Û0 3y= x-2y: Dễ thấy khi y <0 thì phương trình vô nghiệm

Ta xét y ³0 ta có ( )1 Û9y2= -x 2y kết hợp với phương trình thứ hai của hệ thì

-ï + =ïî

Hệ phương trình (1') tương đương 2

Hệ phương trình (1") tương đương 2 hoặc

x y

ì =ïïí

ï ïîKết hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình vô nghiệm

=- TH2: Với 2y+ -x 2y= Û - =0 2y x-2y: Dễ thấy khi y >0 thì phương trình vô nghiệm

Ta xét y £0 ta có ( )2 Û4y2 = -x 2y kết hợp với phương trình thứ hai của hệ thì

ìï = ïïï

-í - +

ï =ïïïî

Hệ phương trình (2") tương đương với ( )

ìï = +ïïï

ï ïïïî

=-Kết hợp điều kiện suy ra trong trường hợp này hệ phương trình 11 5 5; 3 5 và

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )x y; là 11 5 5; 3 5 và

Vậy phương trình có nghiệm là ( ) ( )x y =; 2;1

Nhận xét: Việc nhân vào với -2 được "mò mẫm" như sau: Nhận thấy rằng đối với biến thấy có sự y

tương đồng về bậc trong hai phương trình có ở hệ do đó ta nhân với phương trình hai một số thực a

khác không rồi cộng vế với vế với phương trình đầu ta được

Ví dụ 6: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

Û - = - = Û íï =ïî

Thay x=1; y=2 vào hệ thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( )x y =; 1; 2

b) Phương trình thứ hai nhân với -3 rồi cộng vế với vế với phương trình thứ nhất ta được

Nhận xét: Các biến x y, trong mỗi phương trình độc lập với nhau do đó ta sẽ chọn bằng cách lấy a

phương trình thứ nhất(hoặc phương trình thứ hai) nhân với rồi cộng với phương trình thứ hai sao cho a

đưa về dạng phương trình (ax b+ )n= ±(a y b' + ')n

Loại 2: Hệ phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ.

Ví dụ 7: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

ì =ïïí

ï =ïî

x y y x y y

ìïï - =ïïïï

íïï - =ïïïïî

y z

ìïï ïïïíïï =-ïïïî

ïï - - + =ïïî

2 2

ab

ìï + =ïí

ì + =ïïí

ì + ïïí

y y

ïîTrừ vế với vế của hai phương trình (1) và (2) ta được

= Û ê = Þ =ëVới a=- -b 3 thay vào phương trình (1) suy ra ( )2 2 2 (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm ( )x y; là ( )0;0 và ( )1;0

Ví dụ 9: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

ï + + =ïî

ï + =ïî

43

ì ïïí

=-ï =ïî

Với 2 ta có suy ra là nghiệm của phương trình

a b ab

ì + =ïïí

+ï

ï ïî

³-.3

a b

ì =ïïí

ï ïî

=-5272

a b

ìïï ïïïíïï =ïïïî

=-Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ: ( ); 1 3 5; 3 , ;3 11 3, ; 2

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C 3 nghiệm D 4 nghiệm

13 36 0

4

x y u

y

éì =ïïêíêï

é = ïêî =ê

ì ³ïïí

ï ³ïî

ì + =ïïí

ï =ïîGiải hệ ta được nghiệm là ( ) (8,8 ; , 8 8 - )

ï + = +ïî

Lời giải:

Bài 3.65: Giả sử hệ có nghiệm · ( , ) (x y0 0 Þ y0-2,x0+2) cũng là nghiệm của hệ phương trình Vậy hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x0= -y0 2

Ûíï - =ïî Û = + Với , hệ có dạng:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi a = +2 6

Bài 3.66: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

-Û íïï = ïî

00

u v

ì =ïïí

ï =ïî

12

u v

ì =ïïí

ï =ïî

Từ đó giải được các nghiệm của hệ là ( ) ( ) (0;0 , 2;1 , 1; 2- - )

1232

a b

ìïï ïïïíïï =-ïïïî

y y x x

y y

ìïï + + =ïïï

Û íïï + + =ïïïî

a b

ì =ïïí

ï =ïî

512

a b

ì ïïí

=-ï =ïî

b) Ta thấy x =0 không là nghiệm của hệ nên ta biến đổi hệ trở thành

x y =

c) Nếu x =0 thay vào hệ Þ =y 0Þ = =x y 0 là một nghiệm của hệ

Với x ¹0 ta có hệ đã cho 2

2 2

x

ìïï + = ïïï

-Û íïï + = ïïïî

-2 2

Bài 3.68: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

b) Phương trình thứ hai của hệ tương đương với (6x2-12x+ +8) (9y2+12y+27) 35=

Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

Thử lại ta thấy thỏa

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( , ) ( 2,3),( 3,2)x y = - -

Bài 3.69: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

4

4

21

421

Ta thấy x=0 (y=0) không là nghiệm của hệ nên hệ đã cho tương đương với

4 44

2 116

x y

ïï =ïïï

ïï =ïïïî

DẠNG TOÁN 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương pháp giải.

Trong một phương trình mà có hai đại lượng có mối liên hệ với nhau thì ta đặt mỗi đại lượng ấy là một ẩn mới từ đó ta đưa về được hệ phương trình(dễ dàng giải được) có được từ mối liên hệ hai đại lượng đó và phương trình ban đầu Giải hệ phương trình từ đó tìm được nghiệm của phương trình ban đầu

u u u

é =êê

Û =

êê êë

Ta có hệ phương trình:

( )3

22

Vậy phương trình có nghiệm là x =2

Nhận xét : Khi gặp phương trình có chứa các đại lượng a f x f x+ ( ) ( ), và b f x- ( ) (hoặc b f x+ ( ) ) thì ta đặt u= a f x v+ ( ), = -b f x( ) (hoặcv= -b f x( ) ) và đưa về hệ phương trình ( )

(hoặc ( ) ) Giải hệ tìm được từ đó giải phương trình hoặc

ï - =ïî

ì = +ïïí

u v

ì ïïí

=-ï =ïî

31

u v

ì =ïïí

ï ïîVới 1 3

ï = +ïî

( )

12

ì = +

íï- =ïî2

-ê =êë

Vậy phương trình có nghiệm là x =1

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của phương trình sau

a) x2- + = -x 1 1 8x

ï + =ïî

+ = Û + = Û ê =- Þ =-ëVới x= -3 y ta có y2+2 3( - = Û - + =y) y y2 3y 6 0(vô nghiệm)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x =0 và x =-1

ï - =ïïî

Lấy (1) trừ (2) ta có:y3- = -t3 2t 2y

Khi gặp phương trình có thể đưa về dạng ta đưa về hệ đối xứng loại 2 bằng

-cách đặt t= f x y( ), =n af x b( )- ta có hệ t n n b ay

ìï + =ïí

ï + =ïî

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình sau

ï + = +ïî

ï + - =ïî

Vậy phương trình có hia nghiệm là x =-1 và x - -= 714 7

Chú ý: Đây là phương trình bằng sau khi đặt u f x v g x= ( ), = ( ) đưa về hệ hương trình còn ẩn mà có x

thể đưa về phương trình tích Sau khi tìm được nghiệm cần tìm u v, để kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện ẩn phụ hay không

Ví dụ 5: Tìm số nghiệm của phương trình sau

Do đó (*) Û =x y, thay vào phương trình (1) ta được 2x3+ = Ûx2 3 2x3+ - = Û =x2 3 0 x 1

Suy ra phương trình có nghiệm x =1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1

ï + =ïî

ì =ïï

Û íï =ïî 32

x y xy

ì = +ïïí

- + = Û ê =ë

Suy ra hệ phương trình (**) có nghiệm ( )x y; là ( )1; 2 và ( )2;1

Thử x=1,x=2 vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là x=1,x=2

 Với 2 hệ vô nghiệm.Vậy phương trình đã cho có hai ngiệm

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: 3 17 ; 5 13.

ï + =ïî

(I)Û = = Û =a b 1 x 1 là nghiệm của phương trình đã cho

b) ĐKXĐ: x £3 2

Đặt a=3 2 x , - 2 a³0 Þ = - Û + =a3 2 x2 a3 x2 2

Mặt khác từ phương trình ban đầu Þ =a 2- Û + =x3 x3 a2 2

Vậy ta có hệ phương trình: 33 22 2 trừ hai phương trình của hệ ta được

2

ìï + =ïí

ï + =ïî

- = Ûíï + - =ïïî Û =Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1

Bài 3.73: Tìm số nghiệm của phương trình sau: (4 3 3)3 3 3(1)

ï - + =ïî

Xét x ¹0 phương trình tương đương với ( )3 23 2

x- + + =x x x x- - -x

î

ï + + =ïî

Vậy phương trình có nghiệm là x =2

b) Phương trình đã cho tương đương với 33x+ + + = +4 2x 3 (x 1)3

ï + = +ïî

Trừ hai phương trình của hệ, vế theo vế, ta được

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x=1,x=-2