LƯỢNG GIÁC một số CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word image marked

 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.. Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của

§3 MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Công thức cộng:

sin( ) sin cos sin cossin( ) sin cos sin coscos( ) cos cos sin sincos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )

1 tan tantan tantan( )

-

=

+

2 Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi.

sin 2a=2sin cosa a

2

1 cos 2cos

2

1 cos 2tan

1 cos 2

a a

a a

a a

a

-=+

=-

=+

3 Công thức biến đổi tích thành tổng.

1cos cos cos( ) cos( )

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

4 Công thức biển đổi tổng thành tích.

cos cos 2cos cos

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

1 Phương pháp giải.

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt

b)Tính giá trị lượng giác sau: sin180

b)Vì 540+360=900nên sin 540 =cos 360

Màcos 360 =cos 2.18( )0 = -1 2sin 182 0

-d) cot5 cot tan

c)

2sin sin

2cos cos

-d) sin sin5 sin7

Lời giải:

a) Cách 1: Ta có cos 202 30' cos 1800 = ( 0+22 30'0 )=-cos 22 30'0

Do đó sin 22 30'cos 22 30'0 0 1sin 450 2

2 33

33

sin 9 cos81 sin 81 cos9 sin 27 cos63 sin 63 cos 27

cos9 cos81+ cos 27 cos63+

Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng

 sin 3 cos 2 sin1 3cos 2sin( )

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) sin cos cos cos

1216

216

b) B =sin10 sin 30 sin 50 sin70o o o o

16

34

12

d) cos2 cos2 2 cos2 3

Lời giải:

2 4 62sin 2sin cos 2sin cos 2sin cos

b) Tính sin a b( + )

4

54

32

( ) ( )

sin sin cos cos 2sin sin 2cos cos 2

2 2 sin sin cos cos 2 2cos 0

b) Tính giá trị lượng giác sau sin

-Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A =4sin 45 cos12 cos 30 0 0-sin 540-sin 360

32cos 2sin sin 2cos cos cos 2cos cos

b) cos4 sin4

24p - 24p

d) sin10 sin 50 sin700 0 0

3+

0 0 0 1

sin10 sin 50 sin70

8

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A =cos 732 0+cos 472 0+cos73 cos 470 0

4

18

12

3+

b) B =sin 6 sin 42 sin 66 sin780 0 0 0

16

18

12

3+

c) cos cos4 cos5

12

3+

b) 0 0 0 0 0 0 0 0

sin12 sin 24 sin 48 sin 96 1

162cos6 2sin12 2sin 24 2cos 48

22

22

22

sin cos sin cos sin cos sin cos

Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25

14

18

b) cos 24o+cos 48o-cos84o-cos12o

32

12

14

18

c) cos cos2 cos3

14

18

Lời giải:

Bài 6.31: a) 1 b) c)

32

12

12

Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:

116

132

b) B =cos10 cos 50 cos700 0 0

8

38

116

132

c) C =sin 6 sin 42 sin 66 sin78o o o o

8

38

116

132

d) cos2 cos4 cos8 cos16 cos32

116

132

e) F =sin 5 sin15 sin 25 sin75 sin 85o o o o o

A 1 B C D

8

38

116

2512

Lời giải:

8

38

116

132

Bài 6.33: Tính A = +(1 tan1 1 tan 2 1 tan 450)( + 0) ( + 0)

Lời giải:

Bài 6.34: Đặt B=sin sin 2 sin 3 sin 999a a a a khi đó

999

2 sin 2 sin 4 sin1998

(sin 2 sin 4 sin 998 ) sin 2 1002 sin 2 1998

 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

110

210

b) Tính cos x

3 10

310

110

210

Ví dụ 2: Cho cos 4a+ =2 6sin2a với p a p2< < Tính tan 2a.

A tan 2a =-3 3 B tan 2a =-2 3 C tan 2a =- 3 D tan 2a = 3

7sin cos

sin cos 1 7 sin cos

sin cos 2sin cos 1 7 sin cos

sin cos cot

47

25-

b)Tính cos x

5

15

5

25-

=-Bài 6.36: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) sin(a b- ), cos(a b+ ), tan(a b+ ) khi sina 8 , tan 5 và a, b là các góc nhọn.

Lời giải:

Bài 6.36: a) 21 ; 140; 21 b) c)

221 221 220

(5 12 3)26

11-

Bài 6.37: Cho 2cos(a b+ =) cos cosa (p b+ ) Tính

Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 2 2

2

91

+-

21

m n mn

+

m n mn

+-

cos cos sin sin 1 tan tan tan tan

cos cos sin sin 1 tan tan

-38 2 311

7 1

+-

 DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG

PHỤ THUỘC VÀO BIẾN.

1 Phương pháp giải.

Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái

có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác làm cho biểu thức xác định thì a

a) sin4 cos4 3 cos 4

1 sin 2 sin cos 2sin cos

1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos

2

2 cos 2cos

42sin

é æç ö÷ù

Û + + - = ê - ççè + ÷÷÷øú

2 2 1 cos 1 cos 1 1 cos

֍

- ççè + ÷÷÷ø

Þ

Ví dụ 3: Chứng minh rằng

a) sin(a b+ ).sin(a b- =) sin2a-sin2b

b) cot cot 2 với

Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức sau:

a) cos 2cos 2 cos 3

sin sin 2 sin 3

-A.cot 2a B.-2 tan 2a C. 1 sin2 D.

2sin2

=

2sin2

2sin2

Ta có sin 2a+sin 2b=2sin(a b+ ) ( )cos a b

-Mà sin(a b+ =) 2cos( )a b- Þsin2(a b+ =) 4cos2( )a b- nên

2sin cos cos 2 sin

2sin 1 sin 1 2sin sin

Lưu ý: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được cos 3a=4cos3a-3cosa,

, hai công thức này được gọi là công thức nhân ba3

sin 3a=3sina-4sin a

a a

Bài 6.41: Cho sin 2sin( ), Chứng minh

sintan

-Bài 6.42: Chứng minh các hệ thức sau:

a) 4 cos sin( 3a a-sin cos3a a)=sin 4a

Lời giải:

Bài 6.42: a) VT=4sin cos cosa a( 2a-sin2a)=2sin 2 cos 2a a=sin 4a=VP

b) 2 sin cos( sin cos )

tan tan2cos cos

c) cos cos 3 cos 5 cos7

sin sin 3 sin 5 sin7

-d)

2

2

2cos 2sin 2 sin

6 2cos 4sin cos cos 2sin

Bài 6.45: Chứng minh các hệ thức sau:

a) Nếu 2 tana=tan(a b+ ) thì sinb=sin cos(a a b+ )

b) Nếu 2 tana=tan(a b+ ) thì 3sinb=sin(2a b+ )

c) Nếu tan(a b+ ).tanb=-3 thì cos(a+2 ) 2cosb + a=0

d) Nếu 3sin(a b+ =) cos( )a b- thì 8sin2(a b+ =) cos 2 cos 2a b

Lời giải:

Bài 6.45: a) 2 tana=tan(a b+ Þ) tana=tan(a b+ -) tana

sintan

cos( )cos

b a

Theo câu a) ta có sinb=sin cos(a a b+ ) suy ra 3sinb=sin(2a b+ )

c) tan(a b+ ).tanb=- Þ3 sin(a b+ )sinb=-3cos(a b+ )cosb

8 1 cos 2 cos 2 cos 2

16sin 2cos 2 cos 2

Hay 8sin2(a b+ =) cos 2 cos 2a b ĐPCM

Bài 6.46: Chứng minh rằng sin sin2 sin4 cos cos5 cos7 3

n n

Bài 6.49: Chứng minh rằng a) tanx=cotx-2cot 2x

b) 1.tan 12.tan 2 1 tan 1 cot cot

3 tan 3 tan3tan tan

( ) ( )

0 0

0

sin sink k 1 = k - k+

+

Do đó sin10 0 0 sin10 0 0 sin100 0

sin1 sin 2 +sin 2 sin 3 + +sin(n 1) sinn

cos1 cos 3 2 cos 3 cos 5 89 cos177 cos179

cos1 cos 3 cos177 89cos179

cos1 cos 3 cos177 cos89 cos91 89cos1

- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết.

- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc

- Sử dụng kết quả sina £1, cosa £1 với mọi số thực a

2 Các ví dụ điển hình.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 0 thì

2

p a

cos sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2

sina sin 2a a sina 2sin cosa a

Vì 0 sin 0 nên

cos 02

a p

4sin cos 4sin cos

+ Nếu 1£ £t 2: (*)Ût t5( )3- + - + >1 t t( )1 1 0 đúng vì t t5( )3- ³1 0,t t( )- ³1 0.Vậy bất đẳng thức (*) đúng suy ra ĐPCM.

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:

Ta có A= -2 2sinx- -(1 2sin2x)=2sin2x-2sinx+1

Đặt t=sin ,x t £1 khi đó biểu thức trở thành A=2t2- +2t 1

Xét hàm số y=2t2- +2t 1 với t £1

Bảng biến thiên:

t -1 21

12

Từ bảng biến thiên suy ra maxA =5 khi t =-1 hay sinx =1

x x

x

p ìïï >

< < Þíïïî >

Theo bất đẳng thức Côsi ta có tanx+cotx³2 tan cotx x=2

Bài 6.54: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức B=cos 2x+ +1 2sin2x

A maxB =3,minA = 3 1- B maxB =2,minA = 3 2

-C maxB =2,minA = 3 1- D maxB =3,minA = 3 3

-Lời giải:

Bài 6.54: Ta có B=cos 2x+ + -1 1 cos 2x=cos 2x+ -2 cos 2x

Đặt t= 2 cos 2- xÞcos 2x= -2 t2, vì - £1 cos 2x£ Þ £ £1 1 t 3

Bài 6.55: Chứng minh rằng cos (sinx x+ sin2x+ £2) 3

Lời giải:

Bài 6.55: Ta có:

Bài 6.56: Ta có P=2sinx+2sin cosx x=2sin 1 cosx( + x)

Vì cos sin và nên

a) sin sin sin 4cos cos cos

b) sin2 A+sin2B+sin2C=2(1 cos cos cos )+ A B C

c) sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sin sin sinA B C

Mặt khác trong tam giác ABC ta có A B C p+ + = Þ A B+ = -2 p2 2C

Suy ra sin cos , sin cos

= +2 cos 2cos cosC A B=2(1 cos cos cos )+ A B C =VPÞ ĐPCM

c) VT=2sin(A B+ ) (cos A B- +) 2sin cosC C

Vì A B C+ + = Þp cosC=-cos(A B+ ), sin(A B+ =) sinC nên

2sin cos 2sin cos 2sin cos cos

VT= C A B- - C A B+ = Céê A B- - A B+ ùú

ĐPCM.

( )

2sin 2sin sinC é A B ù 4sin sin sinA B C VP

Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông ta đều có:

a) tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C

b) cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1

Suy ra ( )* tan tan tan tan tan tan tan( ) tan

Hay cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1 ĐPCM

Ví dụ 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) cos cos cos 3

2 2

A+ B+ C£ + = Þ

b) Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Nếu 0£ £x p, 0£ £y p thì sin sin sin

c) Vì ABC là tam giác nhọn nên tanA>0, tanB>0, tanC>0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tanA+tanB+tanC³3 tan tan tan3 A B C

Theo ví dụ 2 ta có tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C nên

b) cos cos cos sin sin sin

Do các vế đều không âm nên nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

(cos cos )(cos cos )(cos cos ) sin2 sin2 sin2

a) sin sin sin 3 3

Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 với mọi dương ta có

Nhận xét: Cho tam giác ABC và hàm số f

 Để chứng minh ( ) ( ) ( ) 3 Ta đi chứng minh

Bài 6.58: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) sinC=sin cosA B+sin cosB A

b) sin tan tan ( , 90 )0

cos cos

c) cot cos cot cos ( 90 )

Bài 6.58: c) VT = VP = tanA d) Khai triển cos

çè ø cos cosB2 C2 =sin A2 +sin sinB2 C2

 sin cos cos sin2 sin sin sin

Bài 6.59: Cho tam giácABC Chứng minh:

a) tanA+tanB+tanC ³3 3, " DABC nhọn

b) tan2 A+tan2B+tan2C ³ " D9, ABC nhọn

c) tan6 A+tan6B+tan6C³81, " DABC nhọn

d) tan2 tan2 tan2 1

Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tanA+tanB+tanC=tan tan tanA B C và BĐT Cô–si

d) Sử dụng a2+ + ³ + +b2 c2 ab bc ca và tan tan tan tan tan tan 1

Bài 6.70: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

1 cos cos cos+ A B C³ 3 sin sin sinA B C

Lời giải:

Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

3

(sin A+sin B+sin )(sinC A+sinB+sin ) 3 sinC ³ Asin sin 3 sin sin sinB C A B C

hay (sin2 A+sin2B+sin )(sin2C A+sinB+sin ) 9sin sin sinC ³ A B C

Mặt khác: sin sin sin 3 3 nên

2

Do đó 1 cos cos cos+ A B C³ 3 sin sin sinA B C ĐPCM

Cách 2: Theo ví dụ 1 ta có sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sin sin sinA B C và

cos 2A+cos 2B+cos 2C= -3 2 sin A+sin B+sin C

3 4(1 cos cos cos )A B C 1 4cos cos cosA B C

-Do đó bất đẳng thức tương đương với

4 1 (cos 2- - A+cos 2B+cos 2 )C ³ 3(sin 2A+sin 2B+sin 2 )C

là ba góc của một tam giác do đó bất đẳng thức (*) đúng

1 (cos cos cos )

Bài 6.72: Cho DABC Chứng minh rằng x2-2(cosB+cos )C x+ -2 2cosA³ "0 x.

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải:

Bài 6.72: Ta thấy VT của BĐT là một tam thức bậc hai có hệ số a = >1 0 Do đó để

chứng minh ta chỉ cần chứng minh: D £0 Ta có:

2' (cosB cos )C 2(1 cos )A

4sin2 cos2 1 4sin2 sin2 0.

Bài 6.73: Cho DABC nhọn Chứng minh bất đẳng thức sau:

Đẳng thức xảy ra khi nào ?2

(tan tan ) 4 2 tan 0