Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn...2 a Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian.. Góc và cung lượng giác...2
Trang 2CHƯƠNG VI
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 2
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2
1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn 2
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian 2
b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian: 2
2 Góc và cung lượng giác 2
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng .2
c) Hệ thức Sa-lơ 2
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI .3
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 3
1 Phương pháp giải .3
2 Các ví dụ minh họa .3
3 Bài tập luyện tập 7
Trang 3CHƯƠNG VI
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi
tắt là cung 1 rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian còn viết tắt là 1 rad
Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số
đo của cung và góc
b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:
Cung tròn bán kính có số đo R a(0£ £a 2p), có số đo a0 (0£ £a 360) và có độ dài là l
thì:
do đó
180
a
180
a a
Trang 4Đặc biệt: 1 180 , 10
180
p
æ ö÷
ç
=çç ÷÷÷ =
è ø
2 Góc và cung lượng giác.
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã
chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm)
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov, lần lượt cắt
đường tròn tại và Tia U V Om cắt đường tròn tại , tia M Om
chuyển động theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi
đó điểm cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.M
Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với
tia Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia
đầu là Ou , tia cuối là Ov Kí hiệu (Ou Ov, )
Điểm chuyển động theo một từ điểm đến trùng với M U
điểm thì ta nói điểm đã vạch nên một cung lượng giác điểm đầu , điểm cuối V M U
Kí hiệu là
Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600
(hay ), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 =7200 (hay 4p), quay theo
chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay góc -900(hay -p2), quay theo chiều
âm ba vòng bốn phần bảy(25 vòng) thì nói nó quay góc (hay
7
)…
Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou Ov, ) là số đo của cung lượng giác UVþ
c) Hệ thức Sa-lơ.
Với ba tia Ou Ov Ow, , tùy ý ta có:
Sđ(Ou Ov +, ) Sđ(Ov Ow =, ) Sđ(Ou Ow, )+k2p(k ZÎ )
Sđ(Ou Ov -, ) Sđ(Ou Ow =, ) Sđ(Ow Ov, )+k2p(k ZÎ )
Với ba điểm tùy ý U V W, , trên đường tròn định hướng ta có :
SđUV +þ SđVW =þ SđUW kþ + 2p (k ZÎ )
-+
u
v
m M
V O
U
Trang 5SđUV-þ SđUW =þ SđWV kþ + 2p(k ZÎ )
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC
LƯỢNG GIÁC.
1 Phương pháp giải
Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau:
Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo (hay a0 a rad) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng a0+k3600
(hay a+k2p rad, k ZÎ ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của Từ đó hai góc lượng k
giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p
2 Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc 720 ra rađian:
5p
b) Đổi số đo của các góc 6000 ra rađian:
3p
c) Đổi số đo của các góc -37 45'30''0 ra rađian:
d) Đổi số đo của góc 5 sau ra độ:
18p
Trang 6e) Đổi số đo của góc 3 sau ra độ:.
5p
f) Đổi số đo của góc -4sau ra độ:
A -2260 48'0 B -220 48'0 C -226 48'0 D -260 48'0
Lời giải:
a) Vì 10 nên
180p rad
= 720 72. 2 ,6000 600. 10 ,
180p 5p 180p 3p
60 60.60 120 120 180p
æ ö æ÷ ö÷ æ ö÷
- =- -çç ÷÷÷ -çç ÷÷÷ =çç ÷÷÷ = »
b) Vì nên
0
180
1rad
p
æ ö÷
ç
=çç ÷÷÷
è ø
5 5 180. 50 ,3 3 180. 108 ,
=çç ÷÷÷ = =çç ÷÷÷ =
0
æ ö÷ æ ö÷
- =-çç ÷÷÷ =-çç ÷÷÷
Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính 36m Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có
số đo là
a) 3
4p
b) 510
c) 1
3
Trang 7Lời giải:
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có nên
180
a
a) Ta có 36.3 27 84,8
4
b) Ta có 51.36 51 32,04
a
c) Ta có 36.1 12
3
Ví dụ 3: Cho hình vuông A A A A0 1 2 4 nội tiếp đường tròn tâm (các đỉnh được sắp xếp O
theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ) Tính số đo của các cung lượng giác
0 i
A Aþ A A iþ j i j, =0,1,2,3,4,i j¹
Lời giải:
Ta có nên sđ ,
0 0 0
0 1 2
2
A Aþ = +p k p
k ZÎ
0 2
0 3 2
0 3
3
A Aþ = - +p p k p= p+k p
k ZÎ
Như vậy sđ 0 2 , ,
2
A Aþ = +p k p
0,1,2,3
Theo hệ thức salơ ta có sđA A iþ j =sđA A0þ j - sđA A0þ i +k p2 ( ) 2 ,
2
O
A0
A1
Trang 8Ví dụ 4: Tìm số đo của góc lượng giác a (Ou Ov, ) với 0£ £a 2p, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a) 33
4p
4
4p
b) 291983
3 p
3
p
5
p
7
p
6
p
c) 30
Lời giải:
a) Mọi góc lượng giác (Ou Ov, ) có số đo là 33 2 ,
4p+k p k ZÎ
Vì 0£ £a 2p nên 0 33 2 2 , 0 33 2 2,
=-Suy ra 33 ( )4 2
b) Mọi góc lượng giác (Ou Ov, ) có số đo là 291983 2 ,
3 p k p k Z
Vì 0£ £a 2p nên 0 291983 2 2 , 0 291983 2 2,
Trang 9291983 291989 ,
Suy ra 291983 48664.2
c) Mọi góc lượng giác (Ou Ov, ) có số đo là 30+k2 ,p k ZÎ
Vì 0£ £a 2p nên 0 30 k2p 2 ,p k Z 0 15 k 1, k Z
p
15 k p 15 , k Z k 4
=-Suy ra a= + -30 ( )4 2p= - »30 8p 4,867
Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou Ov, ) có số đo Trong các số
7
p
-, những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu-,
29 ; 22 6; ; 41
7p 7 7p 7p
-tia cuối với góc đã cho?
7p 7p
7p 7
7 7p
7p 7p
Lời giải:
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do đó
7p æç p7ö÷ p
- - - = -çç ÷÷÷
è ø
7 æç p7ö÷ p
- - - =-çç ÷÷÷
è ø
6
7p- - =æçç p7ö÷÷÷ p
ç ÷
è ø
7p- - =æçç p7ö÷÷÷ p
ç ÷
è ø nên các số 29 ; 41 là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc
7p 7p
-đã cho
Ví dụ 6: Cho sđ(Ou Ov, )=a và sđ(Ou Ov', ')=b Chứng minh rằng hai góc hình học
bằng nhau khi và chỉ khi hoặc hoặc với , ' '
Trang 10Lời giải:
Ta có sđ(Ou Ov, )=a và sđ(Ou Ov', ')=b suy ra tồn tại a p a0, < £0 p, f p b0, < £0 p
và số nguyên k l0 0, sao cho a= +a0 k02 ,p b b= +0 l02p
Khi đó a0 là số đo của uOv và b0 là số đo của u Ov' '
Hai góc hình học uOv u Ov, ' ' bằng nhau khi và chỉ khi 0 0
é = ê
= Û ê =-ë hoặc với
Û b a- =k2p b a+ =k2p k ZÎ
3 Bài tập luyện tập.
Bài 6.0: a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 200.( chính xác đến 0,001)
a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 40 25'0 ( chính xác đến 0,001)
a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: -270.( chính xác đến 0,001)
A.-0,471 B -0,477 C -0,432 D -0,472
b) Đổi số đo của góc sau ra độ:
17p
A 10 35'58''0 B 10 3'58''0 C 10 6'58''0 D 10 35'8''0
b) Đổi số đo của góc sau ra độ: 2
7p
-A -51 24'7''0 B -5 24'9''0 C -51 4'9''0 D -51 24'9''0
b) Đổi số đo của góc sau ra độ: -5
A -286 28'4''0 B -286 2'44''0 C -28 28'44''0 D -286 28'44''0
Trang 11Lời giải:
Bài 6.0: a) 200 »0,349, 40 25' 0,705,0 » -270 »-0,471
b) 10 35'58'',0 2 51 24'9'', 50 286 28'44''0
=-Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo 39 và ( là số nguyên ) có thể cùng tia đầu,
7p
9
mp m
tia cuối được không?
Lời giải:
Bài 6.1: Giả sử hai góc có cùng tia đầu, tia cuối khi đó 39 2 ,
Hay 7 9.39 9.7 2 7( 18 ) 351 18 351 với
7
Vì vế trái là một số nguyên, vế phải là số thập phân nên dẫn tới vô lí
Vậy hai góc lương giác 39 và ( là số nguyên ) không thể cùng tia đầu, tia cuối
7p
9
mp m
Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính 25m Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có
số đo là
a) 3
7p
b) 490
Trang 12c) 4
3
Lời giải:
Bài 6.2: a) Ta có 25.3 33,66
7
b) Ta có 49.25 21,38
180 180
a
c) Ta có 25.4 33,333
3
Bài 6.3: Tìm số đo của góc lượng giác a0 (Ou Ov, ) với 0£ £a 360, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a) 3950
b) -10520
c) ( )0
20p
20p
Lời giải:
20p