Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT NHIỀU ẩn nhóm ĐHSPHN image marked

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và ý nghĩa hình học của chú

Trang 1

CHƯƠNG 3 BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và ý nghĩa hình học của chúng

+ Nắm được phương pháp cộng đại số, phương pháp thế và phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình

+ Nắm được công thức tính định thức cấp hai để giải hệ phương trình

 Kĩ năng

+ Biết cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn và áp dụng một cách linh hoạt các phương pháp thế

để giải hệ phương trình

+ Tính thành thạo định thức cấp hai để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Biết cách giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số.

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng:

(1) trong đó a, b, c là các số đã cho, với

ax by c 

0

ab

Nếu có cặp số x y0; 0 sao cho ax0bx0 c thì

được gọi là một nghiệm của phương trình (1)

x y0; 0

Phương trình (1) luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của

phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường

thẳng ax by c 

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát

là:

a x b y c





Phương pháp giải:

Phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số

Khi a b 0 ta có phương trình 0x 0y c

Nếu c0 thì phương trình vô nghiệm; nếu thì phương trình vô số nghiệm.

0

c

Khi b0 phương trình ax by c  trở thành

(2)

  

Cặp số x y0; 0 là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M x y 0; 0 thuộc đường thẳng (2).

Ta có thể sử dụng định thức cấp hai để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

;

1 1

1 2 2 1

2 2

a b

;

1 1

1 2 2 1

2 2

x

c b

1 1

1 2 2 1

2 2

y

a c

Nếu D0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

x

y

D x D D y D

 





 



Nếu D0; D x 0; D y 0, hệ có vô số nghiệm Nếu D0; D x 0 hoặc D y 0 hệ vô nghiệm.

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

a x b y c z d







Phương pháp giải:

Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế

để khử dần ẩn đưa về giải hệ phương trình dạng tam giác

Ví dụ:

y z z







là hệ phương trình dạng tam giác.

Trang 3

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Phương pháp giải:

- Phương pháp thế

- Phương pháp cộng đại số

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

a x b y c z d







Tập nghiệm của

phương trình biểu

diễn trên mặt phẳng

tọa độ là đường

thẳng ax by c 

Phương trình

bậc nhất hai ẩn

ax by c 

a2 b2 0

x

1 2 2 1

y

NếuD0 thì hệ có nghiệm duy nhất x

y

D x D D y D

 





 



Nếu D0; D x 0; D y 0, hệ có vô số nghiệm Nếu D0; D x 0 hoặc D y 0 hệ vô nghiệm.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a x b y c





Trang 4

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số

nghiệm

Bước 1 Xác định hai nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình

trên trục số

3x2y6

Hướng dẫn giải

Tập nghiệm của phương trình 3x2y6 là đường thẳng

Vì hai cặp số   x y;  0; 3  và    x y;  2;0 là nghiệm của phương trình nên tập nghiệm là đường thẳng đi qua hai điểm 0; 3  và  2;0

Bước 2 Biểu diễn hai nghiệm trên hệ trục tọa độ

để vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của

phương trình

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cặp số nào sau đây không là nghiệm của phương trình x2y 3 0?

A 2t 3; t B 4 ; 2 3

2

t t

   

C t t; 3 D  4t 3;2t

Thay lần lượt từng cặp số vào phương trình ban đầu, ta có

Đáp án A 2t     3 2 t 3 0 0t0 đúng với mọi t.

Đáp án B 4 2 2 3 3 0 0 0 đúng với mọi t.

2

t  t    t

Đáp án C t2t        3 3 0 3t 9 0 t 3 (không đúng với mọi t).

Đáp án D   4t 3 2 2 t   3 0 0t0 đúng với mọi t.

Trang 5

Do đó các cặp số ở đáp án A, B, D là nghiệm của phương trình và cặp số ở đáp án C không là nghiệm của

phương trình

Chọn C.

Ví dụ 2 Tập hợp các nghiệm của hệ phương trình 5 là tập hợp nào sau đây?

x y

 



  



x y

 

  



Tập hợp các nghiệm của hệ là một đường thẳng

Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho các hình sau

Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình x y  3 0?

Câu 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

Trang 6

A x2y4 B x2y 4 C  x 2y4 D x2y4.

Câu 3: Cặp số  x y; nào sau đây không là nghiệm của phương trình x y 3?

A t t; 3 B t3;t C 2t1;2t2 D t  5; t 2

Câu 4: Cặp số  x y, nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình x3y 4?

A 3x0 4; x0 B 3x0 2;x0 2 C 6x04;2x0 D 2 3 ;1 x0 x0

Câu 5: Tập hợp các nghiệm  x y; của hệ phương trình 2 3 4 là tập hợp nào sau đây?

x y



   



A Một đường thẳng. B Toàn bộ mặt phẳng Oxy.

Câu 6: Tập hợp các nghiệm  x y; của hệ phương trình 3 4 là tập hợp nào sau đây?

x y



   



Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình

Bài toán 1 Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số

- Sử dụng định thức cấp hai:

;

1 1

1 2 2 1

2 2

a b

;

1 1

1 2 2 1

2 2

x

c b

1 1

1 2 2 1

2 2

y

a c

Nếu D0 thì hệ có nghiệm duy nhất là

Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 1 (1)

3 2 2 (2)

x y







Từ (1) ta có y 1 2x

Thay vào (2) ta có 3x 2 1  2x2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

 x y; 2 2;3 2 2 

Trang 7

y

D

x

D

y

D

 





 



Nếu D0; D x 0; D y 0 hệ có vô số nghiệm

Nếu D0; D x 0 hoặc D y 0 hệ vô nghiệm

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Hệ phương trình 2 1 có bao nhiêu nghiệm?

x y



  



Ta có 1 2 1 nên hệ phương trình có vô số nghiệm

3 6 3

Chọn C.

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình:

6 5

3

9 10

1

x y

  





  



Điều kiện: x0;y0

Đặt ẩn phụ: u 1,v 1

1

5

u

v

 





Vậy hệ phương trình có nghiệm là    x y;  3;5

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 1 0

x y

   





 



Từ phương trình thứ hai, ta có y2x5

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

x







    



Trang 8

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   x y;  2; 1 .

Bài toán 2 Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bằng phương pháp cộng đại số và phương

pháp thế, khử bớt ẩn số để đưa về hệ phương

trình tam giác

Ví dụ: Giải hệ phương trình

3

x y z

  





    



Cộng hai vế phương trình thứ nhất và thứ hai ta

được:

0

x z





  

    

 Cộng hai vế phương trình thứ nhất và thứ ba ta được:

Vậy nghiệm của hệ là 1;3; 1 

Ví dụ mẫu

Ví dụ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất?

1 (1)

1 (2)

1 (3)

mx y

my z

x mz

 







Từ (2) suy ra z 1 my Thay vào (3) ta có: 2 1

1

mx y

 







Hệ có nghiệm duy nhất khi 12 1

1

m

m m



Trang 9

Câu 1: Hệ phương trình 2 3 5 có bao nhiêu nghiệm?

x y





Câu 2: Nghiệm của hệ phương trình 2 1 là

x y







A  2 2;2 2 3   B  2 2;2 2 3  

C 2 2;3 2 2  D 2 2;2 2 3 

Câu 3: Nghiệm của hệ phương trình   là

x y







2

  

1 1;

2

 

Câu 4: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  d1 :x2y1 và  d2 : 2x3y 5 là

A 13;7 B 13; 7  C 13;7 D 13; 7 

Câu 5: Hệ phương trình có nghiệm là

7 2 5 2

x y xy

   







A      x y;  3;2 ; 2;1 .B      x y;  0;1 ; 1;0 C      x y;  0;2 ; 2;0  D  ; 2;1 ; 1;2

2 2

x y    

   

   

Câu 6: Hệ phương trình 2 1 1 có bao nhiêu cặp nghiệm ?





Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình vô số nghiệm

1 2

mx y

 





Câu 8: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình 3 1 có đúng một nghiệm

x my

mx y m



   



A m3 hoặc m 3 B m3 và

Câu 9: Cho hệ phương trình  

1







Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình vô nghiệm?

Trang 10

A m0 B m1 hay m2.

2

m  m3

Câu 10: Cho hai đường thẳng d x1: m2y3; d mx y m2:   cắt d1 d2 khi nào?

Câu 11: Biết rằng hệ phương trình 3 2 có vô số nghiệm Tính giá trị của biểu thức

x ay

x y b





2 3

T  a b

A T 7 B T 10 C T  10 D T  7

Câu 12: Cho hệ phương trình 3

mx y

x my m

 



   



Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương trình có nghiệm nguyên là

A m0,m 2 B m1,m2,m3

C m0,m2 D m1,m 3,m4

Câu 13: Cho hệ phương trình  2 5

x my m







Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm của tham số m là

2 m

2

m

 

2

m

Câu 14: Nghiệm của hệ phương trình là

x y z



   



    



A 10;7;9 B 5; 7;8  C 10; 7;9  D   5; 7; 8

Câu 15: Bộ số x y z; ;   1;0;1 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

5

x y z

y z



    



   



x y z

   



   



   



2 2

x y z

  



   



    



4

x y z



   



   



Trang 11

Câu 16: Hệ phương trình có nghiệm là thì giá trị của biểu thức

x y

y z

z x



  



  



x y z0; ;0 0

là

F  x y  z

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ có đúng một nghiệm

3 1 0

x y

x y z

   

   





Câu 18: Nghiệm x y z; ;  của hệ phương trình là

9

1 27

x y z

xy yz zx

   



   





   



A 1;1;1 B 1;2;1 C 2;2;1 D 3;3;3

Dạng 3 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ 1 Hai vật chuyển động trên một đường tròn

có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì gặp cứ 20 giây lại gặp nhau Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi mật

Bước 1 Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Bước 2 Thiết lập hệ phương trình thể hiện

mối quan hệ giữa các ẩn

Gọi vận tốc của vật I là x m/s và vận tốc của vật

II là y m/s x y, 0;y x  Sau 20s hai vật chuyển động được quãng đường là

 

20 ,20 mx y

Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình

20x20y20

Sau 4 s hai vật chuyển động được quãng đường là

 

4 ,4 mx y

Vì nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình

Trang 12

Bước 3 Giải hệ phương trình.

Bước 4 So sánh nghiệm với điều kiện của ẩn

và kết luận bài toán

4x4y20

Từ hai phương trình trên ta có hệ phương trình:

x y





 Giải hệ phương trình ta được 3 thỏa mãn

2

x y







 

 Vậy vận tốc của hai vật là 3 m/s và 2 m/s

Ví dụ mẫu

Ví dụ Trong một kỳ thi, hai trường A và B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết quả là hai trường có

tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển Số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là bao nhiêu?

Gọi số thí sinh tham dự của trường A và trường B lần lượt là x y x y,  , *; ,x y350

Theo đề ra, ta có hệ phương trình

350

200

150 338

100 100

x y

 



(thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh dự thi của trường A là 200, trường B là 150 học sinh

Câu 1 Nhà trường phát thưởng cho học sinh khá, học sinh giỏi của hai lớp 10A và 10B Lớp 10A có 3

học sinh giỏi và 8 học sinh khá, lớp 10B có 4 học sinh giỏi và 5 học sinh khá Số vở phát thưởng cho hai lớp 10A, 10B lần lượt là 125 quyển và 110 quyển Hỏi mỗi học sinh khá và giỏi được thưởng bao nhiêu quyển vở? (Biết rằng phần thưởng cho mỗi học sinh khá ở hai lớp là như nhau và học sinh giỏi cũng thế)

A Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh khá 10 quyển.

B Học sinh giỏi 18 quyển, học sinh khá 12 quyển.

C Học sinh giỏi 17 quyển, học sinh khá 11 quyển.

D Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh khá 8 quyển.

Câu 2 Hiện tại tuổi mẹ của Nam gấp 3 lần tuổi của Nam, 5 năm trước tuổi mẹ Nam gấp 4 lần tuổi Nam

Hỏi mẹ Nam sinh Nam lúc bao nhiêu tuổi?

Câu 3 Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hỏa biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu

máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây

A Vận tốc của tàu là 21 m/s và chiều dài đoàn tàu là 147m.

Trang 13

B Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145m.

C Vận tốc của tàu là 21 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145m.

D Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 147m.

Câu 4 Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitơric Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100 lít dung dịch 50% axit nitơric?

A 80 lít dung dịch loại 1 và 20 lít dung dịch loại 2.

B 20 lít dung dịch loại 1 và 80 lít dung dịch loại 2.

C 30 lít dung dịch loại 1 và 70 lít dung dịch loại 2.

D 70 lít dung dịch loại 1 và 30 lít dung dịch loại 2.

Câu 5 Có hai loại quặng sắt: quặng sắt A chứa 60% sắt, quặng sắt B chứa 50% sắt Người ta trộn một lượng quặng loại A với một lượng quặng loại B thì được hỗn hợp chứa 8 sắt Nếu lấy tăng hơn lúc đầu

15

là 10 tấn quặng loại A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì được hỗn hợp quặng chứa 17

30 sắt

Câu 6 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể Nếu để chảy

một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ Thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể lần lượt là

A 4 giờ 30 phút và 6 giờ 30 phút.

B 4 giờ và 6 giờ.

C 5 giờ 30 phút và 7 giờ 30 phút.

D 5 giờ và 7 giờ.

Câu 7 Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây Mỗi em lớp

10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng Mỗi em học sinh lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn Cả ba lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

A 10A có 40 em, 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em.

B 10A có 45 em, 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em.

C 10A có 45 em, 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em.

D 10A có 43 em, 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.

Trang 14

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

Dạng 1 Phương trình bậc nhất hai ẩn

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 5 Chọn A

Ta có 2 3 4 2 3 4 Suy ra tập nghiệm của hệ là một đường thẳng

x y



   



Câu 6 Chọn A.

Ta có 3 4

x y



  



Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của hai đường thẳng Dễ thấy hai đường thẳng cắt nhau nên tập nghiệm của hệ là một điểm

Dạng 2 Giải và biện luận hệ phương trình

11 - D 12 - A 13 - A 14 - D 15 - C 16 - B 17 - C 18 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 5 Chọn D.

Đặt S  x y P xy S,   2 4P0

7

2 , 5

2

S P

S P SP

  



 



X  X    X  X 

Khi 1; 5 (loại)

2

S  P

2

X  X    X  X 

Vậy hệ phương trình có nghiệm  ; 2;1 ; 1;2

x y    

    

Câu 6 Chọn B.

Điều kiện: x y, 1

Ta có 2x y 1 1 2x 2y y 1 x 1 0 2x y y x



Trang 15

x y

2





2

x y    x y x y, 1 Vậy hệ phương trình vô nghiệm

1

y mx



1

m m



 



1

y

 





0

2 1

0

3 3

m

m m







Câu 10 Chọn C.

Hai đường thẳng d x1: m2y3; d mx y m2:  

cắt khi hệ có nghiệm duy nhất, nghĩa là hay

1

d d2 x m 2y 3

mx y m





 



1

m m





 m 1





3

10

10 3 0

3

a a

b

 



 



3 10 7

T    

Ta có D m 21, D x  m 1, D y 2m2 m 3

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	643,55 KB