100 bài tập PHƯƠNG TRÌNH QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH bậc 2 file word có lời giải chi tiết image marked

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2m-4x= -m 2 có nghiệm duy nhất.. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm duy nhất.. C

-b¹ ( )1 vô nghiệm0

a=

0

b= ( )1 nghiệm đúng với mọi x

Khi a¹0 phương trình ax b+ =0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

a

- ± D

=0

D = ( )2 có nghiệm kép

2

b x a

= 0

II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai

Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó

1 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối

Kết luận Vậy nghiệm của phương trình là 2

.3

3

x=

2 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa

về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn

Ví dụ 2 Giải phương trình 2x- = -3 x 2 ( )4

Giải Điều kiện của phương trình ( )4 là 3

2

x³Bình phương hai vế của phương trình ( )4 ta đưa tới phương trình hệ quả

bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị là nghiệm (hai vế

cùng bằng 2 1+ )

Kết luận Vậy nghiệm của phương trình ( )4 là x= +3 2

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 6 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m-4)x= -m 2 có nghiệm duy nhất.

để phương trình đã cho có nghiệm

-Vấn đề 2 SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 16 Phương trình ax2+ + =bx c 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

A a=0 B ì ¹ïïíïD =a 00 hoặc

ïî

0.0

a b

ì =ïïí

ï ¹ïî

0

a

ì ¹ïïí

ïD =ïî

Câu 17 Số -1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

A x2+ + =4x 2 0 B 2x2- - =5x 7 0.

C -3x2+ - =5x 2 0 D x3- =1 0

Câu 18 Nghiệm của phương trình x2- + =7x 12 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai

đồ thị hàm số nào sau đây?

Câu 27 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

có nghiệm duy nhất Tổng của các phần tử trong bằng:

7.2

9.2

Câu 28 Phương trình (m-1)x2+ - =6x 1 0 có hai nghiệm phân biệt khi:

Câu 29 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình

có hai nghiệm phân biệt

Câu 33 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [-20;20] để phương trình x2-2mx+144=0 có nghiệm Tổng của các phần tử trong S bằng:

Câu 38 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại

mÎí ýìïïï üïïï

3;1 4

Câu 39 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại

2

3x -2 m+1 x+3m- =5 0

A m=7 B m=3 C m=3; m=7 D mÎ Æ

Câu 40 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (x-1) (x2-4mx- =4) 0

ba nghiệm phân biệt

-Vấn đề 3 DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 41 Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a¹0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

P

ìD ³ïïí

ï >

ïî

0.0

P S

P S

P S

P S

Câu 46 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-5;5] để phương trình

có hai nghiệm âm phân biệt?

Câu 49 Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

có hai nghiệm dương phân biệt là:

Vấn đề 4 BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 51 Giả sử phương trình x2-(2m+1)x m+ 2+ =2 0 (m là tham số) có hai nghiệm là Tính giá trị biểu thức theo

x x

A m= -2 B m= -1 C m=1 D m=2

Câu 56 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2-2(m+1)x m+ 2+ =2 0 (m là tham số) Tìm m để biểu thức P=x x1 2-2(x1+x2)-6 đạt giá trị nhỏ nhất.

25.4

9.4

9.8

9.16

Vấn đề 5 TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 61 Nếu m¹0 và n¹0 là các nghiệm của phương trình x2+mx n+ =0 thì tổng bằng:

Câu 64 Cho hai phương trình x2-mx+ =2 0 và x2+ - =2x m 0 Có bao nhiêu giá trị của

để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là ?

Câu 65 Cho a b c d, , , là các số thực khác 0 Biết và c d là hai nghiệm của phương trình

và là hai nghiệm của phương trình Tính giá trị của biểu

thức S= + + +a b c d

A S= -2 B S=0 C 1 5 D

2

Vấn đề 6 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

Câu 66 Tập nghiệm của phương trình S 2 3 3 là:

x x

35

S m

mx

x - =+

Câu 76 Tập nghiệm của phương trình S 3x- = -2 3 2x là:

Câu 83 Phương trình 2x+ =1 x2- -3x 4 có bao nhiêu nghiệm?

3.2

Câu 86 Phương trình ( )2 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 90 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình

có đúng hai nghiệm phân biệt?

Câu 93 Tổng các nghiệm của phương trình (x-2 2) x+ = -7 x2 4 bằng:

Câu 94 Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?

2 4 2

22

x x

= -

Câu 98 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

có đúng hai nghiệm lớn hơn 2

m m

m m

Chọn B.

Câu 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx m- =0 vô nghiệm

A mÎ Æ B m={ }0 C mÎ + D mÎ 

Lời giải Phương trình viết lại mx=m

Phương trình đã cho vô nghiệm khi 0 Chọn A

0

m

m m

ì =

íï ¹ïî

Câu 3 Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m2-5m+6)x=m2-2m vô nghiệm

A m=1 B m=2 C m=3 D m=6

Lời giải Phương trình đã cho vô nghiệm khi

2 2

2

30

m

ìéï =ïêïï

Lời giải Phương trình viết lại (m2-5m+6)x= -m 1

2

.3

m

ìéï =ï

m m

Lời giải Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m- ¹ Û ¹4 0 m 2 Chọn D.

Câu 7 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình

có nghiệm duy nhất ?

(m2-9)x=3m m( -3)

Lời giải Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2- ¹ Û ¹ ±9 0 m 3

có 19 giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn B

Lời giải Phương trình viết lại (3m2- -m 2)x= -1 m.

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2

x m

=Yêu cầu bài toán 1 (thỏa mãn ) Chọn D.

Lời giải Phương trình viết lại (m2-4)x=3m-6

22

m m

m m

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m¹ -2 Chọn B

Câu 13 Cho phương trình (m2 – 3m+2)x m+ 2+4m+ =5 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc 

A m= -2 B m= -5 C m=1 D Không tồn tại.

Lời giải Phương trình đã cho nghiệm đúng với " Î x hay phương trình có vô số nghiệm

Câu 14 Cho phương trình (m2-2m x) =m2-3m+2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình đã cho có nghiệm

m

A m=0 B m=2 C m¹0; m¹2 D m¹0

Lời giải Phương trình đã cho vô nghiệm khi

2 2

0

02

m

ìéï =ïêïï

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m¹0 Chọn D.

Câu 15 Cho hai hàm số y=(m+1)x+1 và y=(3m2-1)x m+ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau

ï

Vấn đề 2 SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 16 Phương trình ax2+ + =bx c 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

A a=0 B ì ¹ïïíïD =a 00 hoặc

ïî

0.0

a b

ì =ïïí

ï ¹ïî

0

a

ì ¹ïïí

ïD =ïî

Lời giải  Với a=0 Phương trình trở thành bx= -c Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi b¹0

 Với a¹0 Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi D =0

 Đáp án D Ta có ( )- - = - ¹1 1 2 0.

Chọn B.

Câu 18 Nghiệm của phương trình x2- + =7x 12 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai

đồ thị hàm số nào sau đây?

Phương trình vô nghiệm khi D < Û + < Û <-¢ 0 m 2 0 m 2. Chọn B.

Câu 21 Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn phương trình k 2x kx( - - + =4) x2 6 0 vô nghiệm là?

Do đó, số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là k k=2 Chọn C.

Câu 22 Phương trình (m– 2)x2+2 – 1 0x = có nghiệm kép khi:

A m=1; m=2. B m=1 C m=2 D m= -1

Lời giải Phương trình đã cho có nghiệm kép khi 2 0 2

11

1 0

m m

 Với m=0 Khi đó, phương trình trở thành 4 6 0 3 Do đó, là một giá

ï ¢D =ïî

-ï

Ûíïïî + + = Ûíïêïïêïëîêêï = - Û =

-Câu 26 Phương trình 2(x2- =1) x mx( +1) có nghiệm duy nhất khi:

Lời giải Phương trình viết lại (2-m x) 2- - =x 2 0

 Với 2- = Û =m 0 m 2 Khi đó, phương trình trở thành - - = Û = -x 2 0 x 2 Do đó,

Câu 27 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

có nghiệm duy nhất Tổng của các phần tử trong bằng:

9.2

Lời giải  Với m=2, phương trình trở thành 2 3 0 3 Do đó là một

Câu 29 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình

có hai nghiệm phân biệt

ì Î

íï Î ïî

-

Có 5 giá trị nguyên của m thỏa

mãn yêu cầu bài toán Chọn A.

Câu 30 Phương trình (m2+2)x2+ -(m 2)x- =3 0 có hai nghiệm phân biệt khi:

A 0< <m 2 B m>2 C mÎ  D m£2

Lời giải Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

2 2 00

m

ìï + ¹ïí

m m

m

ì ¹ïï

Lời giải Phương trình tương đương với x2 = -m

Do vế trái của phương trình không âm nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Lời giải Nếu m=0 thì phương trình trở thành 1 0= : vô nghiệm.

Khi m=/0, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2 0

D = - ³ Û ê ³ëKết hợp điều kiện m=/0, ta được é <m m 04

êê ³ë

Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán Chọn A.

Câu 37 Biết rằng phương trình x2- + + =4x m 1 0 có một nghiệm bằng Nghiệm còn lại 3của phương trình bằng:

- + = Û ê =ë

Câu 38 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại

2 1

;

12

Câu 39 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại

m x x

m

x x

m x

Câu 40 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (x-1) (x2-4mx- =4) 0

ba nghiệm phân biệt

Vấn đề 3 DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 41 Phương trình ax2+ + =bx c 0 (a¹0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

P

ìD ³ïïí

ï >

ïî

0.0

Lời giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D >0

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Do x1 và x2 cùng dấu nên x x1 2>0 hay

P S

P S

Lời giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D >0

Khi đó, gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 Do x1 và x2 là hai nghiệm âm nên

S P

P S

P S

Lời giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D >0

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Do x1 và x2 là hai nghiệm dương nên

S P

Lời giải Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D >0

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Do x1 và x2 là hai nghiệm trái dấu nên

trái dấu khi và chỉ khi P<0 Chọn C.

Câu 45 Phương trình x2-mx+ =1 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi:

0

m

m m

Câu 46 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-5;5] để phương trình

có hai nghiệm âm phân biệt?

ì Î

íï Î ïî

-

m

mãn yêu cầu bài toán Chọn A.

Câu 47 Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx2+ + =x m 0 có hai nghiệm âm phân biệt là:

m S

m P

ì ¹ïï

m

m

Î Î

-ì ¹

ïï

Chọn A.

Câu 49 Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

có hai nghiệm dương phân biệt là:

1

1

m a

P

m

ì - ¹ïï

Vấn đề 4 BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 51 Giả sử phương trình x2-(2m+1)x m+ 2+ =2 0 (m là tham số) có hai nghiệm là Tính giá trị biểu thức theo

Câu 52 Giả sử phương trình x2- - =3x m 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x x1, 2 Tính giá trị biểu thức 2( ) 2( ) theo

x x

ì + =ïïí

-ïîThay vào P, ta được P= - - - -32 2( m) ( )m 3 5= m+9. Chọn B.

Câu 53 Giả sử phương trình 2x2-4ax- =1 0 có hai nghiệm x x1, .2 Tính giá trị của biểu thức T= -x1 x2

2

.3

-Để phương trình có hai nghiệm 3

Để PÎ  thì ta phải có (2m+1) là ước của 5 , suy ra 2m+ = Û =1 5 m 2

Thử lại với m=2, ta được P=1: thỏa mãn Chọn D.

Câu 56 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2-2(m+1)x m+ 2+ =2 0 (m là tham số) Tìm m để biểu thức P=x x1 2-2(x1+x2)-6 đạt giá trị nhỏ nhất

³-Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi m=2: thỏa ( )* Chọn C.

Câu 57 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình 2x2+2mx m+ 2- =2 0 (m là tham số) Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P=2x x1 2+ + -x1 x2 4

.2

25.4

9.4

m

x x

ì + = ïïïï

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi m=12: thỏa ( )* Chọn C.

Câu 58 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2-2(m-1)x+2m2-3m+ =1 0 (m là tham số) Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P= + +x1 x2 x x1 2

4

9.8

9.16

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi m=14: thỏa mãn ( )* Chọn C.

Câu 59 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2-mx m+ - =1 0 (m là tham số) Tìm

x x m

ì + =ïïí

Suy ra P£ " Î 1, m Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi m=1. Chọn B.

Câu 60 Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2-mx m+ - =1 0 (m là tham số) Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức

x x m

ì + =ïïí

Vấn đề 5 TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 61 Nếu m¹0 và n¹0 là các nghiệm của phương trình x2+mx n+ =0 thì tổng bằng:

Lời giải Gọi x0 là nghiệm của phương trình x2-2mx+ =1 0 Điều kiện: x0¹0

Suy ra là nghiệm của phương trình

-Câu 64 Cho hai phương trình x2-mx+ =2 0 và x2+ - =2x m 0 Có bao nhiêu giá trị của

để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là ?

Lời giải Gọi x0 là một nghiệm của phương trình x2-mx+ =2 0

Suy ra 3 x- 0 là một nghiệm của phương trình x2+ - =2x m 0.

giá trị của m cần tìm Chọn D.

Câu 65 Cho a b c d, , , là các số thực khác 0 Biết và c d là hai nghiệm của phương trình

và là hai nghiệm của phương trình Tính giá trị của biểu

Lời giải Vì c d, là hai nghiệm của phương trình x2+ + =ax b 0 suy ra c d+ = -a

Vì a b, là hai nghiệm của phương trình x2+ + =cx d 0 suy ra a b+ = -c

Khi đó S= + + + = - + - = - = - = -a b c d c 2c c 2c 2c 2.1 2. Chọn A.

Vấn đề 6 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

Câu 66 Tập nghiệm của phương trình S 2 3 3 là:

x x

Lời giải Điều kiện x=/1

Khi đó phương trình 3 3 3( 1) 3 thỏa điều kiện

x x

x x

ì ¹ïïí

ï ¹ ïîPhương trình tương đương

Câu 70 Tập nghiệm của phương trình S ( 2 1) 1 trong trường hợp là:

11

S m

m x

é =êê

mx

x - =+

Lời giải

30

Suy ra có tất cả 18 số nguyên m thỏa yêu cầu Chọn B.

Câu 76 Tập nghiệm của phương trình S 3x- = -2 3 2x là:

Do đó, phương trình có vô số nghiệm Chọn D.

Câu 78 Tập nghiệm của phương trình S 2x- = -1 x 3 là:

x

ì ³ïïï

Lời giải Phương trình

8 08

40

2

1717

64

Câu 82 Tổng các nghiệm của phương trình x+ =2 2x-2 bằng:

Lời giải Phương trình ( )2 ( )2 2

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm Chọn A.

Câu 85 Tổng các nghiệm của phương trình 2x- +5 2x2- + =7x 5 0 bằng:

2

7.2

3.2

x

ìïï =ï

Vậy phương trình cĩ bốn nghiệm là x= -3, x= -2, x=0, x=1. Chọn D.

Câu 87 Tổng các nghiệm của phương trình 4x x( - =1) 2x- +1 1 bằng:

= Û = Û ê =êë loạithỏa

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Û ( )* có nghiệm duy nhất t=0.

Với t=0 là nghiệm của phương trình ( )* Þ - + - = Û =02 0 m 1 0 m 1

Thử lại, thay m=1 vào phương trình ( )* , thấy phương trình có 2 nghiệm t=0 và t=1:

Không thỏa mãn Chọn D.

Câu 90 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình

có đúng hai nghiệm phân biệt?

 m= -1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ 

Vì 2 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là , khi

x m

=+

Thay x=2 vào phương trình ta được 2.2 3- = -2 3 (sai)

Thay x=6 vào phương trình ta được 2.6 3- = -6 3 (đúng)

Vậy x=6 là nghiệm của phương trình

Câu 92 Tập nghiệm S của phương trình x2- = -4 x 2 là:

A S={ }0;2 B S={ }2 C S={ }0 D S= Æ