7 CUNG và góc LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ngọc huyền LB image marked

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để thực hiện các biến

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC

LƯỢNG GIÁC

Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số và phương trình lượng giác sẽ được đề cập tới trong sách Công Phá Toán 2 Ngoài ra, kiến thức chủ đề này là công cụ rất quan trọng đối với việc học vật lí sau này.

Đường tròn bán kính R có độ dài 2 R  và có số đo 360° chia đường tròn thành

- Cung có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 radian (cung 1 radian)

- Góc ở tâm chắn cung radian gọi là góc có số đo 1 radian (góc 1 radian viết tắt là

1 rad)

Nhận xét:

+ Cung độ dài có số đo 1 rad.R

+ Đường tròn có độ dài 2 R  có số đo 2 rad

+ Cung có số độ dài l có số đo 1 rad.

R

 

+ Cung có số đo rad có độ dài  l .R

c Liên hệ giữ độ và rad

Đáp án D.

Ví dụ 2: Cho đường tròn O R;  ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF Khi đó số sso

cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là:

Khi viết góc theo đơn vị

radian ta không viết chữ

rad sau số đo góc đó

Cung có độ dài có số đo 6 rad

- Đường tròn định hướng là đường tròn mà trên đó ta đã chọn một chiều là

dương, chiều ngược lại là chiều âm

- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ

là chiều âm

b Cung lượng giác

- Cho hai điểm A, B trên đường tròn định hướng M chạy trên đường tròn treo một chiều (chiều dương hoặc chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên một cung lượng giác điểm đầu là A, điểm cuối là B Kí hiệu AB

c Góc lượng giác

- Khi M đi từ A tới B thì OM quay từ OA tới OB Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB.

Kí hiệu OA OB, 

- Số đo góc lượng giác OA OB,  là số đo của cung lượng giác AB

- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn AB Nếu OM quay theo chiều dương từ

OA tới OB tạo ra góc thì cung  AB có số đo là k2k

Kí hiệu: sđ AB

Vậy:

Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ AB   k2k

Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ AB    k2k

d Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm O

bán kính R1, cắt Ox tại A 1;0 và A' 1;0 ; cắt Oy tại B 0,1 và B' 0,1 

Ta lấy A là điểm gốc của đường tròn đó.

e Biểu diện cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

- Để biểu diễn cung , ta xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho 

sđ AM 

+ Nếu  2  360, ta chọn điểm M sao cho AOM  (theo chiều dương)

+ Nếu  2, ta viết   k2 và ta chọn điểm M sao cho AOM 

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác M thuộc

Vì M thuộc góc phần tư thứ IV và  30AOM   nên đây là góc tính theo chiều âm

theo chiều dương là

Các cung có điểm cuối cùng trùng nhau là:

Chuyển đổi sang độ, phút, giây bằng máy tính.

Nhập biểu thức 5.180 vào máy tính, sau đó ấn ta được kết quả là A

Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M sao cho  150AOM   Tính

diện tích hình giới hạn bởi điểm O và AM có thể là:

Ví dụ 5: Trên đường tròn lượng giác, số tập hợp n điểm M M1, 2, ,M n thỏa mãn

n điểm đó tạo thành một đa giác đều là:

Ví dụ 6: Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác sđ AM có số đo

Hỏi M nằm ở goác phần tư thứ mấy?

thành 1 đa giác đều trên

đường tròn lượng giác là

Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sđ AM  Gọi

là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng này cắt

1

M

đường tròn tại D (D có tung độ không âm) và AOD0   Cung AM

có số đo        Khi đó số đo của cung lượng giác AM 1 là:

A. 2  k2 B. 2  k2 C.  2 k2 D.  2k2

Lời giải

Dễ thấy đường thẳng d là trục đối xứng của đường tròn nên M1 đối xứng với M qua d cũng thuộc đường tròn lượng giác.

Gọi giao điểm của d với  O là D y D 0

Vì M1 đối xứng với M qua d sđ AM sđ DM 1

Ví dụ 8: Chọn điểm A 1;0 làm điểm đầu cung lượng giác trên đường tròn

lượng giác Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo 27

4



A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ nhất

B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ hai

C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ ba

D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ tư

là điểm chính giữa cung phần tư thứ hai.

Cung có số đo 1 rad có độ dài là R20cm

Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn trên lượng giác Khẳng

định nào dưới đây là sai?

A. Điểm biểu diễn cung và cung    đối xứng qua trục tung

B. Điểm biểu diễn cung và cung   đối xứng nhau qua gốc tọa độ

C. Mỗi cung lượng giác được biểu diễn bởi một điểm duy nhất

D. Cung và cung  a k 2k có cùng điểm biểu diễn

C Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 268

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm

M sao cho 2 2 Khi đó diện tích

Câu 2: Trên đường tròn lượng giác, cho

Khi đó số đo cung là:

Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm

M thỏa mãn 3 2 Khi đó gọi lần

Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm

M thỏa mãn 7 2 , điểm N thỏa

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào

dưới đây không thuộc đường tròn lượng giác?

B. Góc lượng giác Ou Ov;  có số đo dương thì mọi góc lượng giác Ou Ov;  có số đo âm

C. Hai góc hình học uOv u Ov ; ' ' bằng nhau thì

số đo của các góc lượng giác Ou Ov;  và

sai khác nhau bội nguyên

Câu 9: Cho đường tròn bán kính R2m Khi

đó độ dài cung có số đo 30 là:

§2 Giá trị lượng giác của một cung.

Công thức lượng giác

A Lý thuyết và các dạng toán điển hình

I Giá trị lượng giác của cung α trên đường tròn lượng giác

1 Trên đường tròn lượng giác, cho cung AM có sđ

(còn viết



) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn M x y ;

Góc phần tưGiá trị lượn

g giác

2

2 2



1

  3 | |

4 Ý nghĩa hình học của tang và cotang

a Ý nghĩa hình học của tang

Kẻ tiếp tuyến t At' với đường tròn lượng giác

tại A.

Gọi T OM t At' Khi đó tan AT

Trục t At' gọi là trục tang

b Ý nghĩa hình học của cotang

Kẻ tiếp tuyến s Bs' của đường tròn lượng giác

2

12

Ví dụ 1: Cho sin 4 và Giá trị của là:

cos

325

Ví dụ 3: Giá trị sin6xcos6x bằng giá trị nào sau đây?

A. 1 2sin cos 2x 2 x B. sin4xcos4xsin cos2x 2x

1 sin cos

coscos

coscos

a a

Dấu “=” xảy ra sina 0 cosa 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

III Hệ thức liên hệ giữa các cung đặc biệt

1. Cung đối nhau ( và   )

0 B 1

Đáp án B.

Ví dụ 4: Cho ABC Khi đó đẳng thức nào sau đây là sai?

A. sinBsinA C  B. cosB C  cosA2C

LOVEBOOK.VN | 21

Ví dụ 4: Cho ABC, trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không đúng?

A. sin cos cos sin sin

C. cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1

D. sin2 sin2 sin2 2sin sin sin

2 Công thức nhân đôi

sin 2a2sin cosa a

cos 2acos asin a2cos a  1 1 2sin a

2

2 tantan 2

1 tan

a a

2

1 cos 2cos

2

1 cos 2tan

1 cos 2

1 cos 2cot

1 cos 2

a a

a a

a a

a a a

gần nhất với giá trị nào?

sin 2 cos 2 tan 2

Vì sin 5; thuộc góc phần tư thứ III nên

sin 2

2 sin

n n

x x

3 Công thức biến đổi tổng thành tích

Ví dụ 1: Biểu thức thu gọn của biểu thức sin sin 3 sin 5 là:

cos cos 3 cos 5

sin sin 5  sin 3

Ví dụ 2: Biểu thức nào sau đây phụ thuộc vào biến x?

B Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 268

Câu 1: Cho phương trình:

1213

1312

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị a thỏa mãn

9

89

29

169

n 



Câu 12: Cho sin 2 a b 5sinb

Khi đó giá trị 2 tan  là:

tan

a b a

34

Câu 14: Nếu tan và tan là 2 nghiệm của phương

trình x2px q 0 và cot và cot là 2 nghiệm

Câu 15: Cho ABC Tìm GTLN của biểu thức:

2

32

Câu 17: Cho ABC có tan sin22 Khi đó xác

tan sin

định dạng của ABC Chọn câu trả lời đúng nhất

Câu 19: Cho ABC có:

Câu 20: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A sinx5 lần lượt là a, b Khi đó tích a.b

Câu 23: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của A cos 2x 3 sin 2x1 Khi đó giá trị

Câu 26: Gọi M, m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức A sin2 x3sinx2 Khi đó tổng





21

p q



21

p q

2 23

13

Câu 42: Giá trị biểu thức cot 3tan khi

13

1913

2

Câu 44: Có bao nhiêu giá trị m để:

sin6 cos6  sin4 cos4 12sin2 cos2

Câu 46: Biểu thức được

79

Câu 49: Giá trị của biểu thức cos15 cos 45 cos 75  

là:

10

24

22

28

Câu 50: Giá trị Acot 30 cot 40 cot 50 cot 60

Câu 52: Thu gọn biểu thức sin sin 3 sin 5

cos cos 3 cos 5

Câu 55: Giá trị biểu thức:

n A

12

12018

Câu 57: ABC có sin 2cos cos Khi đó

BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III

Xem đáp án chi tiết tại trang 274

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các

Câu 2: Một đường tròn có bán kính 20cm Độ dài

Câu 3: Một cung thuộc đường tròn, cung đó có số đo

và dài Khi đó đường kính đường tròn đó là:

Câu 4: Một người đi xe đạp có đường kính bánh xe là

20cm Biết vận tốc xe đạp trên suốt quãng đường là

không đổi và bằng 18km/h Trong một thời gian bao

nhiêu lâu bánh xe quay hết 1 vòng? Chọn kết quả gần

nhất

A. 0,01 (s) B. 0,02 (s) C. 0,1 (s) D. 0,2 (s)

Câu 5: Cho đường tròn đường kính 5cm Khi đó số đo

của cung có độ dài bằng chu vi tam giác đều nội tiếp

Câu 8: Nếu góc lượng giác có số đo Ox Oz; 25

thì hai tia Ox và Oz:

4



Câu 9: Trên đường tròn định hướng gốc A cố định có

Câu 11: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) cho tam

Câu 12: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) có bao

Câu 13: Góc lượng giác Ou Ov;  có số đo góc là

Câu 15: Xét góc lượng giác OA OM;  trong đó

Khi đó M thuộc góc phần tư nào để

dấu M thuộc góc phần tư thứ I và III

D. Với mọi góc α làm cho tan xác định thì nó cũng

làm cho cot xác định

Câu 17: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác với

Khi đó có bao nhiêu điểm N với

D. M thuộc góc phần tư thứ III

Câu 19: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho điểm

Câu 20: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác gốc

A với hệ trục tọa độ Oxy Nếu sđ thì

12



Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức tanx5cotx

là:

Câu 22: Nếu tan và tan là hai nghiệm của

Câu 30: Cho cos18 cos 78 cos Giá trị dương nhỏ nhất của là:

3665

Câu 32: Có bao nhiêu cặp giá trị tan ;cotx x thỏa mãn tanxcotx10

54

Câu 34: cos sin 1 và thì

Câu 37: Cho cot 3 Khi đó

Câu 38: Cho tancot m với m 2 Khi đó

x

cos4

x

cos2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 7

I Cung và góc lượng giác

về độ lớn hình học thì bằng 

(với 180 uO180 và  là

độ lớn của góc nhỏ nhất khi quay

từ Ou đến Ov, nếu  0 thì độ lớn là  )

Câu 7: Đáp án A



2550 360 7 30   uOv 30

Có thể dùng máy tính để tìm ra góc cần tìm Ví dụ như ở trên, ta

nhập vào màn hình biểu thức

2550R360 " "

được kết quả là 7, R30, nghĩa

là số dư khi chia 2550 cho 360 là

Cách làm chung: Nhân hoặc chia

cả tử và mẫu với một giá trị phù hợp để xuất hiện tan ,sin , 

phương trình 2 ẩn sin ,cosa a Từ

đó tính được sin ,cosa a

2sin cos

9

8sin 2 4sin cos

sin 2cot cot cot cot 22

cot 2 cot 2cot cot 2

2

S

a a

sin 2 2 sin 2sin 2

sin 22sin

.4sin2

a b



cot cot ;cot cot

cot cot cot cot

tan tan tan tan

.tan tan tan tan

21

Khi đó thay vào đẳng thức đã cho

cos cos

sin

sin sin

sin

2cossin

A C

tanxcotx  tanx  cotx

(vì tan ,cotx x cùng dấu)

2 tan cotx x 2

(Bđt AM-GM)Dấu " " xảy ra

5

x

f x x

x

f x x

Nhận xét: Với biểu thức trong dấu

giá trị tuyệt đối là A, cho a, b là



+ a 0 min của hàm số đạt tại

, max của hàm số đạt tại

2

b t a



max tại đó

+ a 0 max của hàm số đạt tại

, min của hàm số đạt tại 1

trong 2 đầu mút, đầu mút nào gần

mứt nào làm cho hàm số lớn hơn

thì đạt max, còn lại là min Ví dụ

ở câu 15, min của hàm số đạt tại

tại 1, khi đó maxA5 Còn ở

câu 16 4 2 1, khi đó max,

tan tan

p q

p q

Vậy không có giá trị m thỏa mãn

yêu cầu bài toán

sau đó tính biểu thức cần tính ở đề bài và thử 4 đáp án, đáp án nào có kết quả trùng với biểu thức cần tính thì chọn

Ví dụ như ở trên, đầu tiên nhập

Rồi ấn Khi đó đã gán cos15  A(để chế

độ tính độ), lần lượt nhập vào màn hình:

x A

cos 3cos 2sin

2

3cossin cos

3cos

1 3sin cos

1sin

x

x x

Ấn máy tính: Nhập kiến thức trên

vào máy với x là một góc bất kì,

nếu nhiều goác ra cùng một kết

có góc thỏa mãn

2

2 2

tancos

a

a A

a a

cos 12sin cos

P m m

1sin cos

a a

a a

2sin 3 cos 2 sin 3

tan 3

= =

tính Thông thường những biểu

thức này thường có công thức

tổng quát Khi đó công thức đúng

Nếu    60A B C    thì thỏa mãn

1sin

B

B C C

đều

Vậy ABCđều

III Đề kiểm tra chủ đề 7

726 =

Nhận xét: Số k cứ tăng lên (hoặc

giảm đi) 8 đơn vị thì điểm M trùng với A (bắt đầu từ k0, sau

Vậy có 8 điểm M thỏa mãn

tan cot    1 0 tan ,cot 

cùng dấu trên từng khoảng xác

định

Câu 16: Đáp án D

Giả sử với   0 sin 0;

cos 1tan  0 cot

không xác định

Câu 17: Đáp án D

+ Nếu M không trùng với A và A'

có duy nhất 1 điểm N thỏa

Theo đề bài sin 0;cos 0

M thuộc góc phần tư thứ II.

tan tan

p q

x x

2cos sin

1cos sin

23cos sin

1cos

sin 7sin 7

a a

x x

Gọi tiếp tuyến chung của hai