Bài 2 tập hợp và các PHÉP TOÁN TRÊN tập hợp nhóm ĐHSPHN image marked

+ Thực hiện các phép toán giao hai tập hợp; hợp hai tập hợp; hiệu hai tập hợp, phần bù của một tập con + Dùng biểu đồ Ven để biểu diễn các phép toán trên tập hợp... LÍ THUYẾT TRỌNG TÂMTậ

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ BÀI 2 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được khái niệm tập hợp, tập con

+ Nắm được khái niệm hai tập hợp bằng nhau

+ Hiểu được các phép toán giao các tập hợp, hợp các tập hợp, phần bù trên tập hợp

 Kĩ năng

+ Cho tập hợp bằng hai cách

+ Thực hiện các phép toán giao hai tập hợp; hợp hai tập hợp; hiệu hai tập hợp, phần bù của một tập con

+ Dùng biểu đồ Ven để biểu diễn các phép toán trên tập hợp

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Tập hợp và các cách biểu diễn

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học,

không định nghĩa

Các cách xác định tập hợp

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của

tập hợp

Tập rỗng Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào Kí hiệu 

Mối quan hệ giữa các tập hợp

1 Tập hợp con

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của

tập hợp B thì A được gọi là tập hợp con của tập hợp B

Kí hiệu: AB hoặc BA

2 Hai tập hợp bằng nhau

Khi ABvà BA thì A và B là hai tập hợp bằng

nhau

Kí hiệu: A B.

Các tập con thường gặp của 

Khoảng

 a; b xa x b  

Đoạn

 a; b x a x b  

Nửa khoảng

a; b x a x b



a;  x a x 

; bx x b 

; b x x b

   



Ví dụ: tập các ước nguyên dương của 6

A 1; 2;3;6

A n 6 n

Ví dụ: Ax x2  x 1 0 

Tập A các nghiệm của phương trình

là tập rỗng.

2

x   x 1 0

Ví dụ: Ax x23x 2 0  và

là hai tập

2

x 3x 2 0

x 4



hợp bằng nhau Câu hỏi: “Hai tập hợp có cùng số phần tử

có bằng nhau không?”

Trang 3

Các phép tốn trên tập hợp

1 Giao của hai tập hợp

A B  x x A và x B  

x A

x B







2 Hợp của hai tập hợp

A B x x A hoặc x B

x A

x B







3 Hiệu và phần bù của hai tập hợp

A \ B x x A; x B  

x A

x B







Khi BA thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí

hiệu C B.A

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tập hợp và xác định tập hợp

Bài tốn 1 Xác định tập hợp

Phương pháp giải

 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng

định nghĩa

 Các cách xác định tập hợp

+) Liệt kê các phần tử:

Liệt kê các phần tử theo quy tắc

• Viết các phần tử của tập hợp giữa hai dấu { };

• Các phần tử cách nhau bởi dấu , hoặc ;

Ví dụ: Tập hợp A các số tự nhiên bé hơn 5

cĩ thể được viết bằng 2 cách dưới đây

+) Liệt kê các phần tử:

A 0;1; 2;3; 4

Trang 4

• Mỗi phần tử chỉ được viết một lần.

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

 Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu 

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần

tử của tập hợp

A x x 5 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho các tập hợp

a) Axx27x 6 x  240 ;

b) Bx2x 8 ; 

c) C2x 1 x và 2  x 4 ;

d) Dx(x2 10x21 x) 3x0 

Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử

Hướng dẫn giải

2





  

 Vậy A    6; 2; 1; 2 

2x 8 x 4 0;1; 2;3; 4

Vậy B0;1; 2;3; 4

c) Ta có x x  2; 1;0;1; 2;3; 4 

2 x 4





   

  





Suy ra C   3; 1;1;3;5;7;9 

3

x 3

x 7

x 10x 21 0

x 0

 

 







mà x là các số tự nhiên nên D0;1;3;7 

Ví dụ 2 Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng.

a) A{0;1; 2;3; 4;5;6}

b) B{0;5;10;15;20}

c) C{1;3;9; 27;81}

d) D     4; 3; 2; 1;0;1; 2;3; 4 

e) E1;3;5;7;9 

f) F{0;1; 4;9;16;25}

Trang 5

a) Ax x 6  

b) Bx x 5, x 20  

c) C3 n 4, nn  

d) Dx x 4 

e) Ex x làsốlẻnhỏhơn 10 

f) Fn n làsốtự nhiên nhỏhơn 6 2 

Bài tốn 2 Xác định các tập hợp con thường gặp của tập số thực

Phương pháp gỉải

Mội số tập con của tập hợp số thực

Đoạn a; b xa x b  

Khoảng  a; b

Khoảng ;a

Khoảng a;

xa x b  

x x a 

xa x 

Nửa khoảng a;b

Nửa khoảng a; b

Nửa khoảng  ;a

Nửa khoảng  a; 

xa x b  

xa x b  

x x a 

x x a 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho các tập hợp sau Hãy viết lại tập hợp dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

  

a) A x x 4 b) Bx x 8 

   

c) C x x 3 d) Dxx 1  

   

e) E x 1 x 8 f ) Fx    2 x 3 

 

a) ;4   ; 8   3; 

Trang 6

d)  1;  e) 1;8  f)  2;3 

Ví dụ 2 Viết lại các tập hợp sau dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn (nếu có thể):

a) A{0;1; 2;3; 4;5} b) Bx x 3 

c) C{3; 2 ; 1; }1 d) D    3; 2; 1;0;1 

Các ý a, c, d không viết được dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn

b) Ta có x        3 3 x 3 B  3;3 

Chú ý: A; C; D là các tập số tự nhiên liên tiếp (khác với định nghĩa khoảng, nửa khoảng, đoạn)

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho tập hợp X   2; 1;0;1; 2;3  Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng các phần tử của nó là

A x    2 x 3  B x    2 x 3 

C x    2 x 3  D x     2 x 1 6 

Câu 2: Cho tập hợp X 1 1 1 1; ; ; ; Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng

2 6 12 20

các phần tử của nó là

n n 1

1

n n 1

Câu 3: Cho tập hợp X 9; 3;1; 1 1; ; Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng

3 9

các phần tử của nó là

n

*

1

3

 

n

1

3

 

n

1

3

 

n

1

3

Câu 4: Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp Ax x 9   ta được

A A  ;9  B A  ;9  C A9; D A9;

Câu 5: Cho tập hợp Ax 2x 1 0   

Trang 7

A A  ;0  B A  ;0  C A   ; 1  D A ; 1

2

   

Câu 6: Cho các tập hợp Bx x 10   Hãy viết lại các tập hợp B dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn

A B  10;10  B B  10;10  C B  10;10  D B  ;10 

Câu 7: Cho tập hợp Ax x làước chung của 36 và120  là ước chung của 36 và 120} Các phần

tử của tập A là

A A1; 2;3; 4;6;12  B A1; 2;3; 4;6;8;12 

C A2;3; 4;6;8;10;12  D A1; 2;3; 4;6;9;12;18;36 

Câu 8: Các phần tử của tập hợp Ax2x25x 3 0   là

2

 

  

 

3

A 1;

2

 

  

 

Câu 9: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

A Ax x2 4 0  B Bx x22x 3 0  

C Cx x2 5 0  D Dxx2 x 12 0  

Câu 10: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

A Ax x2  x 1 0  B Bx x2 2 0 

C Cx(x33 x)( 2 l) 0 D Dxx x( 23)0

Dạng 2: Quan hệ giữa các tập hợp

Bài tốn 1 Tập hợp con

1 Để chứng minh AB

Lấy x A bất kì, sau đĩ chứng minh

x B

2 Xác định số tập con của một tập hợp A

cĩ n phần tử

Tập hợp cĩ n phần tử cĩ 2n tập hợp con

Ví dụ 1: Cho A1;3;5  Tập hợp A cĩ tất cả bao nhiêu tập con? Liệt kê các tập con của tập A

Tập hợp A cĩ 3 phần tử, do đĩ cĩ tất cả 238 tập hợp con

Các tập con của A bao gồm

            1 , 3 , 5 , 1;3 , 1;5 , 3;5 , 1;3;5 , 

Ví dụ 2: Cho hai tập hợp A2n 1, n ;

Chứng tỏ

B 4k 3, k  BA

Trang 8

Giả sử x B, x 4k 3, k    Khi đó ta có thể viết

x 2 2k 1 1.   Đặt n 2k 1  thì n và ta có x 2n 1,  suy ra x A. Như vậy x B  x A hay BA

Ví dụ mẫu

Ví dụ: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?

A  1;5 B  9 C  0;9 D 0;1;5 

Chọn B.

có hai phần tử nên có (tập con)

có một phần tử nên có (tập con) là và

có hai phần tử nên có (tập con)

có ba phần tử nên có (tập con)

Bài toán 2 Tập hợp bằng nhau

Để chứng minh A = B ta đi chứng minh

hoặc

AB và BA x, x A  x B Ví dụ 3 Cho các tập hợp A 3 k , k ,

   

Chứng minh rằng A = B

2

3

    

+) Chứng minh AB

Ta có     x A k0  sao cho x k ,0 suy ra

3

 

2

       

Vì k0 nên k0 1  Suy ra x B. Do đó AB (1) +) Chứng minh BA

sao cho suy ra

0

2

3

  

2

       

Vì k0  k0 1  Suy ra x A. Vậy BA (2)

Trang 9

Từ (1) và (2) suy ra A = B.

Câu 1: Cho A1; 2;3 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Câu 2: Cho tập hợp A1; 2;3; 4;5 Tập hợp A cĩ tất cả bao nhiêu tập con cĩ đúng 3 phần tử?

Câu 3: Cho tập hợp A a, b, c,d} Tập A cĩ mấy tập con?

Câu 4: Trong các tập sau đây, tập hợp nào cĩ đúng hai tập hợp con?

A  x; y B  x C  0; x D 0; x; y 

Câu 5: Cách viết nào sau đây là đúng?

A a a; b B  a  a; b C  a  a; b D aa; b 

Câu 6: Cho tập hợp Am; m 2 và B    1; 2  Điều kiện của m để AB là

A m 1 hoặc m 0. B  1 m 0.

C 1 m 2.  D m 1 hoặc m 2.

Câu 7: Cho A2;, Bm; Điều kiện cần và đủ của m sao cho B là tập con của A là

Câu 8: Cho hai tập hợp A 1;3 và Bm; m 1   Tìm tất cả giá trị của tham số m để BA

A m 1. B 1 m 2.  C 1 m 2.  D m 2.

Dạng 3 Xác định tập hợp và phép tốn trên tập số thực

Bài tốn 1 Phép tốn với tập hợp ở dạng liệt kê, tính chất đặc trưng.

A B x x A hoặc x B

A B  x x A; x B  

A \ B x x A; x B  

Ví dụ 1: Cho tập hợp A{1; 2;3;5 và B} 2;3;5;7;9 

Xác định các tập hợp A B; A B; A \ B; B / A. 

Cĩ tồn tại các tập hợp CAB, CBA hay khơng?

A B  1; 2;3;5;7;9

A B  2;3;5

 

A \ B 1

 

B \ A 7;9 Khơng tồn tại tập hợp CAB vì B khơng là tập hợp con của A Khơng tồn tại tập hợp CBA vì A khơng là tập hợp con của B

Ví dụ mẫu

Trang 10

Vi dụ 1 Cho hai tập hợp Axx210x 21 x  3x0, Bx   3 2x 1 5   

Xác định tập hợp X A B; A B; A \ B.  

Giải phương trình  2  3  2

3

x 3

x 7

x 10x 21 0

x 0

 

 





Mà x nên A  1;0;1;3;7 

Giải bất phương trình  3 2x 1 5     2 x 2 Mà x nên B  1;0;1 

Khi đĩ x A B    1;0;1;3;7 ; A B    1;0;1 và A \ B 3;7

Ví dụ 2 Cho tập A  1;1;5;8 , B: “Gồm các ước số nguyên dương của 16”

a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử

Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử

b) Xác định các tập hợp A B; A B; A \ B. 

a) Ta cĩ Axx 1 x 1 x 5 x 8        0 ; B 1; 2; 4;8;16 

b) Ta cĩ A B  1;8 , A B   1;1; 2; 4;5;8;16 , A \ B   1;5 

Ví dụ 3 Cho Ax x;x làước của12 , Bx x;x làước của16 

Hãy tìm

a) A B; b) A B; c) A \ B

Hướng dẫn giải

Ta cĩ A1; 2;3; 4;6;12 và B1; 2; 4;8;16 

a) A B 1; 2; 4 

b) A B 1; 2;3; 4;6;8;12;16 

c) A \ B3;6;12 

Bài tốn 2 Phép tốn với các tập hợp dạng nửa khoảng, khoảng, đoạn

Cách tìm A B; A B; A \ B.  Ví dụ: Cho các tập hợp Ax    3 x 2 ,

Xác định

B x 0 x 7  

Trang 11

Để tìm A B ta làm như sau

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm

đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số

• Tô đậm các tập A, B trên trục số

• Phần tô đậm chính là hợp của hai tập

hợp A B

Để tìm A B ta làm như sau

• Biểu diễn các tập A, B trên trục số (phần

nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ)

• Phần không bị gạch bỏ chính là giao

của hai tập hợp A, B

Để tìm A \ B ta làm như sau

• Biểu diễn tập A trên trục số (gạch bỏ

phần không thuộc tập A), gạch bỏ phần

thuộc tập B trên trục số

• Phần không bị gạch bỏ chính là A\ B.

a) A B; b) A B; c) A \ B

A 3; 2 , B 0;7 a) Ta có

Vậy A B   3;7  b) Ta có

Vậy A B 0; 2 

c) Ta có

Vậy A \ B 3;0

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xác định mỗi tập hợp số sau.

a) ;3   2; ; b) 1;5 3;7 ;

c) 2;3 \ 0;5 ;   d) 2; 2  1;3 

a) ;3     2;   2;3 

b) 1;5  3;7  1;7 

Trang 12

c) 2;3 \ 0;5    2;0 

d) 2; 2  1;31; 2 

Ví dụ 2 Cho các tập hợp:

A x x 3 , B  x1 x 5 ,C   x    2 x 4

a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn

b) Tìm A B, A B, A \ B. 

c) Tìm B C \ A C    

a) Ta có A  ;3 ; B1;5 ; C  2; 4 

b) Tìm A B.

Biểu diễn trên trục số:

Suy ra A B   ;5 

Tìm A B.

Suy ra A B  1;3

Tìm A \ B

Suy ra A \ B  ;1 

c) Bằng cách biểu diễn trên trục số, ta có

A C  2;3 và B C  2;5

Suy ra B C \ A C     3;5

Ví dụ 3 Tìm phần bù của các tập hợp sau trong 

Trang 13

a) A  12;10 

b) B    ; 2 2;

c) C3;  \ 5

d) Dx     4 x 2 5 

a) Ta có A  12;10  Vậy C A    ; 1210;

b) Ta có B    ; 2 2; Vậy C B   2; 2 

c) Ta có C3;  \ 5 Vậy C C   ;3   5

d)        4 x 2 5 6 x 3

Suy ra D  6;3  Vậy C D   ;63;

Bài toán 3 Tập hợp xác định bởi tham số

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xác định điều kiện của a, b để

a) A B   với Aa 1;a 2 và B   b; b 4  

b) EC D  với C  1; 4 ; D \3;3 và E  a; b

a) A B   với Aa 1;a 2 và B   b; b 4  

b) EC D  với C  1; 4 ; D \3;3 và E  a; b

Ta có C D       ; 3  1; 

a b

  



    

 



Chú ý: để hình dung cách làm có thể vẽ trên trục số như sau:

Để A B  thì tập B sẽ nằm trong phần bị gạch chéo

Chú ý: điều kiện a b để E là một đoạn

Ví dụ 2: Tìm m sao cho

Trang 14

a) A B  biết A  ;3 và B m;.

b) C D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó), biết Cm; m 2  và D  3;1 

a) Ta có A B   m 3.

b) C D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó) khi và chỉ khi

m 1

5 m 1





   

   



Ví dụ 3 Cho A  4;5 và B 2m 1; m 3 ,   tìm m sao cho

a) AB

b) BA

c) A B  

d) A B là một khoảng

a)

3 2m 1 4 m

m 3 5

m 2



    

 

b)

3



    

 

d) A B là một khoảng

Ví dụ 4 Cho hai tập khác rỗng Am 1; 4 , B    2; 2m 2 ,  với m

Xác định m để

a) A B  ; b) AB;

c) BA; d) A B   1;3 

Với Am 1; 4 , B    2; 2m 2 ,  khác tập rỗng, ta có điều kiện

 

2 m 5 *

Với điều kiện (*), ta có

Trang 15

a) A B     m 1 2m 2 m 3 So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu

A B  là 2 m 5.  

b) A B m 1 2 m 1 m 1 So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu

AB là 1 m 5. 

c) B A m 1 2 m 1 m 1 So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu

BA là 2 m   1

d) A B  1;3 m 1 1 0 m 1 (thỏa mãn (*))

  



 



Câu 1: Cho tập hợp Ax* 3x 2 10   khi đó

A C A 1; 2;3; 4  B C A 0;1; 2;3; 4 

C C A 1; 2;3  D C A 1; 2; 4 

Câu 2: Cho tập hợp Ax 2x2 3x 1 0 , B   x3x 2 9    Tập hợp A B là

2

 

 

Câu 3: Cho tập hợp E  4;5 ; F   ;0  Khi đó, tập E \ F là

A  ; 4 B ;5  C 0;5  D 4;0 

Câu 4: Cho Ax: x 2 0 , B   x: 5 x 0    Khi đó A \ B là

A 2;5  B 2;6  C 5; D 2;

Câu 5: Cho A  3; 2  Tập hợp C A là

C 2; D   ; 3 2;

Câu 6: Cho tập hợp A  ;3 ; B 1;5  Khi đó, tập A B là

A 1;3  B 3;5  C ;5  D ;1 

Câu 7: Cho hai tập hợp A  2;3 và B 1; Tìm A B.

A A B    2; . B A B 1;3  C A B  1;3 D A B  1;3

Câu 8: Cho A  4;7 , B     ; 2 3; Khi đó A B. là

A   4; 2 3;7  B   4; 2  3;7

C ; 23; D   ; 2 3;

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	0,96 MB