1 5 hệ phương trình 17tr đặng việt đông image marked

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta cĩ thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.. Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 5 hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn



HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:

 Định nghĩa:

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn và x y là hệ cĩ dạng 1 1 1 với

( ) :I a x b y c

a x b y c





(1) (2)

2 2

1 1

2 2

0 0

a b

  



 



Cặp số ( ; )x y o o đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ

 Cơng thức nghiệm: Quy tắc Crame.

0

D  Hệ cĩ nghiệm duy nhất D x, D y

hoặc

0

x

D  D  y 0 Hệ vơ nghiệm

0

D 

0

D D  Hệ cĩ vơ số nghiệm

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta cĩ thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số

 Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm ( ; )x y của hệ ( )I là tọa độ điểm M x y( ; ) thuộc cả 2 đường thẳng:

và

( ) :d a x b y c  ( ) :d2 a x b y c2  2  2.

Hệ cĩ nghiệm duy nhất và cắt nhau

Hệ vơ nghiệm và song song với nhau

 ( )I  ( )d1 ( )d2

Hệ cĩ vơ số nghiệm và trùng nhau

 ( )I  ( )d1 ( )d2

1 1

2 2

a b

a b c

a b c 12 12 12

a b c

a b c

Nghiệm duy nhất Vơ nghiệm Vơ số nghiệm

HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN

3

Chương

y

x O

1 ( )d

2 ( )d

O

y

x

1 ( )d

2 ( )d x

O

y

1 ( )d

2 ( )d

M

o

x

o

y

Trang 2

Hệ cĩ dạng: Một nghiệm của hệ là bộ 3 số thỏa cả 3

a x b y c z d





( ; ; )x y z o o o

phương trình của hệ Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt

ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình cĩ số ẩn ít hơn Để khử bớt ẩn, ta

cũng cĩ thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

§ 6 hệ phương trình bậc hai hai ẩn số



HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Dạng tổng quát:

dx exy fy gx hy i

  





(1) (2)

Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút theo (hoặc theo và thế

vào phương trình cịn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí và cho nhau thì hệ khơng thay đổi và trật tự

các phương trình cũng khơng thay đổi

Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến.



Đặt S x y P xy  , 

Giải hệ với ẩn S P, với điều kiện cĩ nghiệm ( ; )x y là S2  4 P

Tìm nghiệm ( ; )x y bằng cách thế vào phương trình X2 SX P  0.

 Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:

 x2 y2  (x y ) 2  2xy S 2  2 P  x3 y3  (x y ) 3  3 (xy x y S )  3  3 SP

 (x y ) 2  (x y ) 2  4xy S 2  4 P 

4 4 ( 2 2 2 ) 2 2 2 4 4 2 2 2

x y  x y  x y S  S P P

 x4 y4 x y2 2  (x2 xy y x 2 )( 2 xy y 2 )  

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí và cho nhau thì hệ phương trình khơng thay

đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia)

Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về



dạng (x y f x ) ( ) 0,  tức luơn cĩ x y

 Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

Dạng tổng quát:



a x b xy c y d





Phương pháp giải:

( )

d a x b xy c y d d i

d a x b xy c y d d



 



(1) (2)

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 (1) (2) (   a d a d x )   (b d b d xy c d c d y )   (  )   0.

cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x y,

Trang 3

 Lưu ý: Dạng ( ; ) với là các biểu thức đẳng cấp bậc

( ; ) ( ; )

m

f x y a

f x y f x y



 f x y f x y f x y m( ; ), ( ; ), ( ; )n k

thỏa mãn Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải Tức biến đổi hệ

, ,

m n k m n k 

và đây là phương trình đẳng cấp bậc

( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

m

a f x y

f x y f x y a f x y

a f x y a f x y

 





k.

x y







A.  2 2; 2 2 3    B.  2 2; 2 2 3   

C. 2 2;3 2 2   D. 2 2; 2 2 3  

Lời giải Chọn C

Ta có : y 1 2x   x 2 1  2x2   x 2 2   y 3 2 2

Câu 2. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm  ; : 2 3 5

4 6 10

x y



  



Lời giải Chọn A

Ta có : 4x6y102x3y5 Vậy phương trình có vô số nghiệm

Câu 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình: 3 4 1



  



23 23

17 7

23 23

17 7

23 23

4

x

y 

4

x

x 

23

x

23

y 

 

Câu 4. Tìm nghiệm  x y; của hệ : 0,3 0, 2 0,33 0

1, 2 0, 4 0,6 0





A. –0,7;0,6  B. 0,6; –0,7  C. 0,7; –0,6  D. Vô nghiệm

0, 2



0, 2



 x x    x 0,7   y 0,6

Câu 5. Hệ phương trình: 2 1 có bao nhiêu nghiệm ?



  



A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số nghiệm

Lời giải Chọn D

Trang 4

Ta có : 1 2 1

3 6 3

Hệ phương trình có vô số nghiệm



x y

x z

y z

 







   



A. 1; 2; 2 2 B. 2;0; 2 C. 1;6; 2  D. 1; 2; 2 

Ta có : Thế y 4 2x vào phương trình y z  2 2 ta được     2x z 2 2

2 1 2 2

    





  



x z

Câu 7. Cho hệ phương trình Để giải hệ phương trình này ta dùng cách nào sau đây ?

8

x y



 



A. Thay y 8 x vào phương trình thứ nhất B. Đặt S x y P xy, 

C. Trừ vế theo vế D. Một phương pháp khác

Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai nên ta rút một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai

Câu 8. Hệ phương trình 9 có nghiệm là :

90

x y

 





A. 15;6 , 6;15    B. –15; –6 , –6; –15   

C.15; 6 , –6; –15    D. 15;6 , 6;15 , –15; –6 , –6; –15       

Ta có : y x 9x x 990 x29x90 0  x 15;x 6

    

x y







2

1

2

Ta có : y 2 1  2 1 x 2x 2 1   2 1  2 1 x2 2

1

x

    y 2

Câu 10. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm: 3 1



   



x my

A. m3 hay m 3 B. m3 và m 3

Trang 5

Lời giải Chọn B

9 3



m

Phương trình có đúng một nghiệm khi D   0 m 3

d m x y m 

 d2 : 3 –x y 1 0

A. m 2 B. m2 C. m2 hay m 2 D. Không có giá trị m

Ta có : Hai đường thẳng và d1 d2 trùng nhau khi

1



2

3 1

1 5

m m















2 2

m m

 



   

Câu 12. Để hệ phương trình : có nghiệm , điều kiện cần và đủ là :

x y S

x y P

 





A. S2 –P0 B. S2 –P0 C. S2 – 4P0 D. S2 – 4P0

Ta có : x y, là nghiệm phương trình X2SX P 0

Hệ phương trình có nghiệm khi  S24P0

30

x y x y

x y xy

  





A. có 2 nghiệm  2;3 và  1;5 B. có 2 nghiệm  2;1 và  3;5

C. có 1 nghiệm là  5;6 D. có 4 nghiệm        2;3 , 3; 2 , 1;5 , 5;1

Đặt S x y P xy,  S24P0

Hệ phương trình tương đương 11

30

S P SP

 



 

 S11S30S211S30 0 5; 6

 S S 

Khi S5 thì P6 suy ra hệ có nghiệm    2;3 , 3; 2

Khi S6 thì P5 suy ra hệ có nghiệm    1;5 , 5;1

Câu 14. Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi :

y x m



 



A. m 2 B. m  2 C. m 2hoặc m  2 D. m tùy ý

Ta có : 2  2

1



x x m 2x22mx m 2 1 0  *

Hệ phương trình có đúng nghiệm khi phương trình 1  * có đúng nghiệm 1

Trang 6

Câu 15. Hệ phương trình :     Có nghiệm là







2 2

;

13 1

2 2

Đặt u x y v x y  ,  

Ta có hệ 2 3 4

2 5

 



  

 2 5 2  v3v4  v 6   u 7

7 6

x y

  



   

1 2

x

2

y

  

Câu 16. Hệ phương trình: 1 0 có nghiệm là ?

x y

   





 



A. x 3;y2 B. x2;y 1 C. x4;y 3 D. x 4;y3

Ta có : x 1 2x 5 0 5 2 0 1 5 2

1 5 2

x

  



        

  x 2   y 1

Câu 17. Phương trình sau có nghiệm duy nhất với giá trị của m là : 3 2 1





C. m1 hoặc m 3 D. m1 và m 3

Ta có : Dmm  2 3 m22m3

Phương trình có nghiệm duy nhất khi D0  m1 và m 3

Câu 18. Cho hệ phương trình :   Để hệ này vô nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham

1





  



số là :m

2

m  m3

Ta có : Hệ trở thành  





 D m m   1 m m 4 3m

Hệ vô nghiệm D0 m 0

Thử lại thấy m0 thoả điều kiện

8

x y

  

 sau đây ?

A. x210x24 0. B. x216x20 0. C. x2 x– 4 0. D. Một kết quá khác

Trang 7

x y



 



A.  2;1 B.  3;3 C.    2;1 , 3;3 D. Vô nghiệm

y x x x x

 

 x x  x 2;x3

  

Câu 21. Hệ phương trình 2 21 có bao nhiêu nghiệm ?

5

x y

 





 



Ta có : y 1 x 2  2

x x

    2x22x 4 0   x 1;x2 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

2 3

13

3 2

12

x y

  





  



x y  1; 1

x y 1; 1

x  y

2 3

13

3 2

12

x y

  





  



1 2 1 3

x y

 



 

 



,

x y

Câu 23. Hệ phương trình 2 210 có nghiệm là:

58

x y

 





7

x y





 



7 3

x y





 



3 7

x y





 



7 3

x y





 



Đặt S x y P x,  y S 24P0

Ta có : 2 10 (nhận)

2 58

S







Khi đó : x y, là nghiệm của phương trình X210X 21 0  X 7;X 3

Trang 8

Vậy nghiệm của hệ là    7;3 , 3;7

2

1

ax y a

x ay

  



 



A. a1 B. a1 hoặc a 1 C. a 1 D. Không có a

Ta có : D a 21, D x a31 ,D y  a a2

Hệ phương trình vô nghiệm  D   0 a 1

Hệ phương trình vô số nghiệm

1



a D x D y 0 

Hệ phương trình vô nghiệm

1

 

a D x  2 

Câu 25. Nghiệm của hệ phương trình :

9

1 1 1

1

27

x y z

xy yz zx

   



   





   



A. 1;1;1  B. 1; 2;1  C. 2; 2;1  D. 3;3;3 

Ta có : 1 1 1 1

là nghiệm của phương trình

, y, z

Vậy hệ phương trình có nghiệm 3;3;3

Câu 26. Hệ phương trình 2 2 5 có nghiệm là :

5

x y xy

  







A.  2;1 B.  1; 2 C.    2;1 , 1; 2 D. Vô nghiệm

Đặt S x y P x,  y S 24P0

Ta có : 2 5

 







S P

S P S225S5S22S15 0   S 5;S3

(loại)

   

S P

(nhận)

  

S P

Khi đó : x y, là nghiệm của phương trình X23X   2 0 X 1;X 2

Vậy hệ có nghiệm    2;1 , 1; 2

7 2 5 2

x y xy

   







A.   3; 2 ; 2;1   B.    0;1 , 1;0 C.    0; 2 , 2;0 D. 2;1 ; 1; 2

Trang 9

Đặt S x y P x,  y S 24P0

Ta có : là nghiệm của phương trình

7 2 5 2

  







S P SP

,



X X X X

Khi 1; 5 (loại)

2

S P

Khi 5; 1 thì là nghiệm của phương trình

2



X X X X

Vậy hệ phương trình có nghiệm 2;1 ; 1; 2

Câu 28. Hệ phương trình 2 2 5 có nghiệm là :

7

x y xy

  







A.  2;3 hoặc  3; 2 B.  1; 2 hoặc  2;1

C.  2; 3 hoặc  3; 2  D.  1; 2 hoặc  2; 1 

Đặt S x y P x,  y S 24P0

Ta có : 2 5

7



 







S P

S S25S7S2 S 12 0  S 3;S  4 Khi S  3 P 2 thì x y, là nghiệm của phương trình X23X   2 0 X 1;X 2 Khi S  2 P 3 (loại)

Vậy hệ có nghiệm là  1; 2 hoặc  2;1

3( ) 28

x y xy

  







A.    3; 2 , 2;3 B.  3; 7 , 7; 3    

C.   3; 2 ; 3; 7    D.     3; 2 , 2;3 , 3; 7 , 7; 3      

Đặt S x y P x,  y S 24P0

Ta có : 2 11

 







S P

S P S S2211S3S 28S25S50 0  S 5;S  10 Khi S  5 P 6 thì x y, là nghiệm của phương trình X25X   6 0 X 2;X 3 Khi S   10 P 21 thì x y, là nghiệm của phương trình

210X 21 0  X  3;X 7

X

Vậy hệ có nghiệm     3; 2 , 2;3 , 3; 7 , 7; 3      

3 3

3 8





A.  11; 11 ; 11; 11    B. 0; 11 ; 11;0   

Trang 10

C.  11;0  D.  11;0 

Ta có :

3 3

3 8





3 3   5 5

x y x y x y x   2xy y 250





 

 xy

x y

Khi xy thì x311x  0 x 0;x  11

2

x

Vậy hệ có nghiệm  11; 11 ; 11; 11   

Câu 31. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình:

2 2

5 2







A.  3;3 B.     2; 2 ; 3;1 ; 3;6  

C.      1;1 , 2; 2 , 3;3 D.  2; 2 , 1; 2 , 6;3     

Ta có :

2 2

5 2







 x y x y   70 Khi xy thì x23x0x0;x3

Khi y 7 x thì x27x140 (phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm  3;3

2 2

6 6

  





 



Ta có :

2 2

6 6

  





 



x y   y

 x y x y    1 0 Khi xy thì x2     x 6 0 x 3;x2

Khi y 1 x thì x2  x 7 0 (phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  3; 3 và  2; 2

2 2

3 3





Trang 11

Ta có :

2 2

3 3





 



x y  x yX

 x y x y    1 0 Khi xy thì x22x0x0;x2

Khi y 4 x thì x24x 4 0  x 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm    0;0 , 2; 2

Câu 34. Cho hệ phương trình x y2 24 2 Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 





A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m

B. Hệ phương trình có nghiệm m  8

C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m 2

D. Hệ phương trình luôn vô nghiệm

Ta có : x y2 24 2

 





 



4  P m

2

m

P 

 

 

S  P m  m 

16





 

trình là ?

2

y

x 

2

y

x 

2

y

x 

2

y

x 



2

y

x  1

2

y

13

x y 3

5

x y

Lời giải Chọn

Ta có :

16





 

 3x24xy2y217y2 x2 65x264xy15y2 0

hay

13x 5y5x 3y 0

13

x y

5

x y

Câu 36. Cho hệ phương trình : 3 Các giá trị thích hợp của tham số để hệ phương

2 1

mx y

 



   

trình có nghiệm nguyên là :

A. m0,m–2 B. m1,m2,m3

C. m0,m2 D. m1, m–3,m4

Ta có : D m 21 , D x  m 1, D y 2m2 m 3

Hệ phương trình có nghiệm 1 , 2 1



y

D m D m

Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi m0;m 2

Trang 12

Câu 37. Các cặp nghiệm  x y; của hệ phương trình : 2 3 là :







A.  1;1 hay 11 23; B. hay

19 19

C. 1; 1  hay 11 23; D. hay

19 19

Khi x y, 0 thì hệ trở thành 2 3 11; y 19 (loại)



  



x

Khi x y, 0 thì hệ trở thành 2 3 19, 23 (loại)

  

  



Khi x0,y0 thì hệ trở thành 2 3 (nhận)



  



x y  x 1;y 1 Khi x0,y0 thì hệ trở thành 2 3 (nhận)

  



  



;

Câu 38. Nghiệm của hệ phương trình : 2 2 5 là:

6

xy x y

x y y x

  





A.    1; 2 , 2;1 B.   0;1 , 1; 0  C. 0; 2 , 2;0   D. 2;1 , 1; 2

Đặt S x y P x,  y S 24P0

Ta có : 5

6

 





P S PS

là nghiệm của phương trình ,

 S P X25X   6 0 X 2;X 3

Khi S2,P3 (loại)

Khi S3,P2 thì x y, là nghiệm phương trình X23X  2 0  X 1;X 2

Vậy nghiệm của hệ là    1; 2 , 2;1







A.  1; 2 , 2; 2  B.  2;1 , 3; 3  C. 2;3 , 3, 2 D.

;1 , ; 3

 

Ta có :





2 2

2

4 14

2



 

x

2 2

x

2 2

4

x

2

1 2

x x





 

   x 1;x  2

Trang 13

Vậy cặp nghiệm dương của hệ phương trình là  1; 2 , 2; 2 

27





 



Lời giải Chọn

Ta có : x33x y33yx y x   2xy y 23xy0

    2 230

 x y x xy y 2 2

3 0





 

 xy

x y

Khi xy thì hệ có nghiệm 6 27 6 27

;

Khi x2xy y 2  3 0 x2y2  3 x y, ta có x6y6 27

x2 y2x4 x y2 2 y4 27

3 xy  3 xy 3x y  27

(vô lí)

 2

0 9

xy xy





 

 



Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm





  

A. 1 B. Vô nghiệm C. 2 D. 3

Điều kiện : ,x y1

Ta có : 2 1 1





  

 2x2y y 1 x 1 0 2 

y x

x y

y x



  

x y

Khi xy thì 2x x  1 1 x  1 1 2x

 2

1 2

1 1 2

x

 



 

   

1 2

x x

 

 



 

2

y x 2 2 1 2 3

x y x y x y, 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  0;0

x y m

  





 (I) Hệ có vô số nghiệm khi m 1

(II) Hệ có nghiệm khi 3

2

m

(III) Hệ có nghiệm với mọi .m

Các mệnh đề nào đúng ?

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Chỉ (III) D. Chỉ (I) và (III)

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	351,06 KB