1 đại cương về phương trình PI 23tr đặng việt đông image marked

Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.. Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương

Trang 1

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I – LÝ THUYẾT

A– KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn là mệnh đề chứa biến có dạng x f x( ) ( )=g x ( )1

trong đó f x( ) và g x( ) là những biểu thức của Ta gọi x. f x( ) là vế trái, g x( ) là vế phải của phương trình ( )1

Nếu có số thực sao cho x0 f x( )0 =g x( )0 là mệnh đề đúng thì được gọi là một nghiệm x0

của phương trình( )1

Giải phương trình( )1 là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập

nghiệm của nó là rỗng)

2 Điều kiện của một phương trình

Khi giải phương trình ( )1 , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số để x f x( ) và g x( ) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được) Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình)

3 Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

( )( )

Phương trình ( )2 là phương trình hai ẩn ( và ), còn x y ( )3 là phương trình ba ẩn (x y, và ).z

Khi x= 2, y= 1 thì hai vế của phương trình ( )2 có giá trị bằng nhau, ta nói cặp ( ) ( )x y; = 2;1

là một nghiệm của phương trình ( )2

Tương tự, bộ ba số (x y z; ; ) (= - 1;1;2) là một nghiệm của phương trình ( )3

4 Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có

các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

B – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1 Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

2 Phép biến đổi tương đương

Định lí

Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá 0trị khác 0.

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế

với biểu thức đó

3 Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình f x( )=g x( ) đều là nghiệm của phương trình f x1( )=g x1( )thì phương trình f x1( )=g x1( ) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x( )=g x( ).

Trang 2

Ta viết

( ) ( ) 1( ) 1( ).

f x =g x Þ f x =g x

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu

Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

Khi giải phương trình, không phải lúc nào ta cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là 2 2 2

x - ¹ Û x ¹ Û íï ¹ -ì ¹ïïïîx

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình 1+ 3- =x x -2 là:

A 2 < <x 3 B 2£ £x 3 C x < 3 D x >2

Lời giải Chọn B.

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là 3 0 3 2 3

Ví dụ 3: Điều kiện xác định của phương trình 1 2x 3 3x2 là:

A 2 < <x 3 B x ³ 23 C x < 3 D x ³ 32

Trang 3

Lời giải Chọn D.

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là

x x

Ví dụ 4: Điều kiện xác định của phương trình 4 2 3 1 là:

x x

Cách 1: Điều kiện xác định của phương trình là

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ)

Trang 4

Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình 1 3 24 là:

A x2 hoặc x 2 B x2 hoặc x 2 C x³ 2 hoặc x 2 D x2 hoặc x 2

Câu 14. Điều kiện xác định của phương trình 22 1 0 là

x x

Trang 5

Câu 16. Điều kiện xác định của phương trình 1 2 là:

x x

x x x

x x

Trang 6

D HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN

2 Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

Phương pháp giải

- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

- Nếu mọi nghiệm của phương trình f x( )=g x( ) đều là nghiệm của phương trình f x1( )=g x1( )thì phương trình f x1( )=g x1( ) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x( )=g x( ).

- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó Một số phép biến đổi thường sử dụng

 Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho

 Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho

 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho

 Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho

x x x

Trang 7

* 2 2

2x x 02x2 x 0 01

2

x x

Ví dụ 2: Phương trình x2 3x tương đương với phương trình:

Cách 1: Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T  0;3

Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây sai?

A x   2 1  x 2 1 B  

 

111

x x x





Ví dụ 4: Tìm để cặp phương trình sau tương đương m mx2-2(m-1)x m+ - =2 0 (1) và

Do hai phương trình tương đương nên x =1 là nghiệm của phương trình (2)

Thay x =1 vào phương trình (2) ta được

Trang 8

- + = Û ê =êë

Suy ra hai phương trình tương đương

Vậy m = 4 thì hai phương trình tương đương.

Ví dụ 5: Tìm để cặp phương trình sau tương đương m 2x2+mx- =2 0 (1) và

Do hai phương trình tương đương nên x =-2 cũng là nghiệm của phương trình (3)

Thay x =-2 vào phương trình (3) ta được ( )2 ( )

=-Phương trình (4) trở thành 3 2 ( ) (2 )

2x +7x + - = Û +4x 4 0 x 2 2x+ =1 02

12

x x

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN(có chia mức độ)

NHẬN BIẾT.

Câu 1. Cho phương trình x21 x–1x 1 0 Phương trình nào sau đây tương đương với phương

trình đã cho ?

A x 1 0 B x 1 0 C x2 1 0 D x–1x 1 0

Trang 9

Câu 2. Hai phương trình được gọi là tương đương khi

A Có cùng tập xác định B Cả A, B, C đều đúng

C Có cùng dạng phương trình D Có cùng tập hợp nghiệm

THÔNG HIỂU.

Câu 3. Khi giải phương trình x2  5 2 x  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước : Bình phương hai vế của phương trình 1  1 ta được:

A Đúng B Sai ở bước 1 C Sai ở bước 2 D Sai ở bước 3

Câu 4. Phương trình x2 3x tương đương với phương trình:

x x x







là đúng?

A Phương trình ( )1 và ( )2 là hai phương trình tương đương

B Phương trình ( )2 là hệ quả của phương trình ( )1

C Phương trình ( )1 là hệ quả của phương trình ( )2

Câu 7. Cho phương trình 2x2 x 0 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không

phải là hệ quả của phương trình  1 ?

2x x 0 2 0

1

x x

x

x x



Trang 10

Bước : 3    x 3 x 4

Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là:4 T  3; 4

Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 2 B Sai ở bước 1 C Sai ở bước 4 D Sai ở bước 3

Câu 9. Khi giải phương trình 5 4 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

03

x

x x

x

x x



Bước : 3    x 5 x 4

Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là:4 T  5; 4

Câu 10 Khẳng định nào sau đây sai?

A 3x  2 x 38x24x 5 0 B x 3 2   x 3 4

 22 2

x x x

Câu 12. Khi giải phương trình x 2 2x3 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Câu 13. Tậpnghiệm của phương trình x x là:

x  

A T  1 B T   1 C T   D T  0

Trang 11

Câu 14. Khi giải phương trình 1 2 3 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

x x

Bước :Vậy phương trình có tập nghiệm là:4 T   2

Câu 15. Cho phương trình 2x2 x 0 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là

hệ quả của phương trình đã cho?

1

x x x

2x x  x5 0

C 2x3x2 x 0 D 4x3 x 0

Câu 16. Khi giải phương trình 3x2 1 2x1 1 , ta tiến hành theo các bước sau:

 2 2

3x 1 2x1 2 

Bước : Khai triển và rút gọn 2  2 ta được: 2 hay

x  x  x x–4

Bước : Khi 3 x0, ta có 3x2 1 0 Khix 4, ta có 3x2 1 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 0; –4

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A Sai ở bước 1 B Đúng C Sai ở bước 2 D Sai ở bước 3

Trang 12

Câu 21. Khẳng định nào sau đây là sai?

1

x x

Trang 13

 Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

 Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho

Thử x=3 vào phương trình ta thấy thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm x=3

Cách 2: Giải theo pp trắc nghiệm

Cách 3: (Giải theo Casio nếu có)

Ví dụ 2: Tập nghiệm của phương trìnhx x  x1 là

Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3: Tập nghiệm của phương trình x2x23x20 là

A S   B S  1 C S  2 D S  1; 2

Lời giải.

Chọn C.

Trang 14

Vậy phương trình có nghiêmx=2

Vậy phương trình có nghiêm x = 2

Trang 15

Câu 8. Cặp số x y; nào sau đây là nghiệm của phương trình 3x2y7.

S    

 

213

S    

 

213

223

Câu 15. Số nghiệm của phương trình x21 10 x231x240 là

Trang 16

A 2 B 0 C 4 D 1.

Câu 21. Nghiệm của phương trình 1 1 là:

x x

Trang 17

Câu 33. Phương trình  x2 6x 9 x3 27 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 34. Số nghiệm của phương trình: x4x23x20là:

A Có nghiệm duy nhất B Có ba nghiệm

C Có hai nghiệm D Vô nghiệm

Câu 35. Nghiệm của phương trình 3x + =1 1 là:

0

x x

B Phương trình có nghiệm duy nhất khi m ¹ 0

C Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi m ¹ 0

D Phương trình vô nghiệm "m

Câu 45. Phương trình 1 0 có nghiệm khi m thỏa

1 1

x m x

 

Trang 18

D HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN

III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI

Trang 19

B4 : Vậy (1) có hai nghiệm x1 1và 2 5

x x

Trang 20

Câu 21: Tập nghiệm của phương trình 2 4 là

Trang 21

A 0 B C D

2

x x

Trang 22

Câu 13:Cho phương trình 2x2  x 0 Tìm phương trình không phải là phương trình hệ quả của phương

A Phương trình (1) và phương trình (2) là hai phương trình tương đương

B Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1)

C Phương trình (2) vô nghiệm

D Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình (2)

Câu 15:Phương trình 3  x 5 5x 10 2 x5 tương đương với phương trình nào sau đây?

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	328,69 KB