Đường tròn tâm
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN THI: TOÁN (CHUYÊN 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu)
-
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1: (3,0 điểm)
1) Cho biểu thức 1 1
1
P
x
.Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P
2) Cho ba số 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa mãn điều kiện 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 Chứng minh 𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐 3) Cho 𝑎 = 𝑥 +1
𝑥; 𝑏 = 𝑦 +1
𝑦; 𝑐 = 𝑥𝑦 + 1
𝑥𝑦; 𝐴 = 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2− 𝑎𝑏𝑐 với 𝑥, 𝑦 là các số thỏa mãn 𝑥𝑦 ≠ 0 Hãy chứng minh rằng giá trị biểu thức 𝐴 không phụ thuộc 𝑥, 𝑦
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Một người đi ô tô từ 𝐴 đến 𝐵 cách nhau 90𝑘𝑚 Khi đi từ 𝐵 trở về 𝐴 người đó tăng tốc
độ 5𝑘𝑚/ℎ so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút Tính vận tốc của ô
tô lúc đi từ 𝐴 đến 𝐵
b) Cho phương trình 𝑥2− 𝑚𝑥 + 𝑚 − 1 = 0 (1) (𝑥 là ẩn) Tìm tất cả các giá trị của 𝑚
để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2 sao cho biểu thức 𝐻 đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó:
𝐻 = 𝑥12+ 𝑚𝑥2 + (𝑥1𝑥2)2− 𝑚
điểm của 𝐵𝐶, 𝐼 là trung điểm 𝐴𝐻 Đường tròn tâm 𝐼 đường kính 𝐴𝐻 cắt 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 lần lượt tại
𝑀 và 𝑁 Gọi 𝐷 là giao điểm của 𝑂𝐴 và 𝑀𝑁 Chứng minh rằng:
a) 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶
b) Tứ giác 𝐵𝑀𝑁𝐶 nội tiếp
c) Tứ giác 𝑂𝐷𝐼𝐻 nội tiếp
d) 1
𝐴𝐷 = 1
𝐻𝐵 + 1
𝐻𝐶
a+1
b+1
c = 3
2 Chứng minh
a 2
√a 3 + 1 + 1+
b 2
√b 3 + 1 + 1+
c 2
√c 3 + 1 + 1≥ 3
Câu 5: (1,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (𝑥; 𝑦) thỏa mãn 𝑥2− 2𝑥𝑦 + 2𝑦2+ 4𝑦 − 13 = 0
b) Cho 𝑀 = 𝑎2018 + 𝑏2018+ 𝑐2018, 𝑁 = 𝑎2014+ 𝑏2014 + 𝑐2014 với 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các số nguyên dương Biết rằng 𝑀 chia cho 30 dư 21 Hãy tìm số dư khi chia 𝑁 cho 30
-HẾT -
Thí sinh không được sử dụng máy tính Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Giám thị 1 Giám thị 2
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN (CHUYÊN 2) Đáp án-thang điểm gồm 05 câu, 05 trang
-
1
P
x
Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P
Hướng dẫn chấm
Điều kiện xác định x 0,x 1
0,25
Ta có
P
x x
1 1
1
x x
0,25
𝑏3+ 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐
Hướng dẫn chấm
Câu 1.3(1,0 điểm) Cho 𝑎 = 𝑥 +1
𝑥 ; 𝑏 = 𝑦 +1
𝑦 ; 𝑐 = 𝑥𝑦 + 1
𝑥𝑦 với 𝑥, 𝑦 là các số thỏa mãn 𝑥𝑦 ≠ 0 Hãy chứng minh rằng 𝐴 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎𝑏𝑐 không phụ thuộc 𝑥, 𝑦
Hướng dẫn chấm
Ta có 𝑎 2 = 𝑥 2 + 1
𝑥 2 + 2; 𝑏 2 = 𝑦 2 + 1
𝑦 2 + 2; 𝑐 2 = 𝑥 2 𝑦 2 + 1
𝑎𝑏𝑐 = 𝑥2𝑦2+ 1
𝑥 2 𝑦 2 + 2 + 𝑥2+ 𝑦2 + 1
𝑥 2 + 1
Mà 𝑥2+ 1
𝑥 2 = 𝑎2− 2; 𝑦2+ 1
𝑦 2 = 𝑏2− 2; 𝑥2𝑦2+ 1
Nên 𝑎𝑏𝑐 = 𝑐 2 − 2 + 2 + 𝑎 2 − 2 + 𝑏 2 − 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 4
đó tăng tốc độ 5𝑘𝑚/ℎ so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút Tính vận tốc của ô tô lúc đi từ 𝐴 đến 𝐵
Hướng dẫn chấm
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 3Nội dung Điểm
Gọi vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là x (km/h), x > 0
Vận tốc của ô tô đi từ B trở về A là x 5 (km/h)
0,25
Thời gian ô tô đi từ A đến B là 90
x (h) Thời gian ô tô đi từ B trở về A là 90
x5 (h)
0,25
Đổi 15 phút = 1h
4 Thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút nên ta được phương trình 90 90 1
x x 5 4
0,25
⟺ 𝑥2+ 5𝑥 − 1800 = 0 ⟺ [𝑥 = −45 (𝑙𝑜ạ𝑖)𝑥 = 40 Vậy vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là 40 (km/h)
0,25
giá trị của 𝑚 để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2 sao cho biểu thức 𝐻 đạt giá trị nhỏ nhất với:
𝐻 = 𝑥12+ 𝑚𝑥2 + (𝑥1𝑥2)2− 𝑚
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2
0,25
Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: 1 2
1 2
x x m 1
Ta có 𝑥12 = 𝑚𝑥1+ 1 − 𝑚; 𝐻 = 𝑥12+ 𝑚𝑥2+ (𝑥1𝑥2)2− 𝑚 = 𝑚(𝑥1+ 𝑥2) + 1 − 𝑚 + (𝑚 − 1)2− 𝑚 = 2𝑚2− 4𝑚 + 2 = 2(𝑚 − 1)2 0,25
Do đó 𝐻 nhỏ nhất bằng0 khi và chỉ khi 𝑚 = 1 (thỏa mãn)
0,25
trung điểm của 𝐵𝐶, 𝐼 là trung điểm 𝐴𝐻 Đường tròn tâm 𝐼 đường kính 𝐴𝐻 cắt 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 lần lượt tại 𝑀 và 𝑁 Gọi 𝐷 là giao điểm của 𝑂𝐴 và 𝑀𝑁 Chứng minh rằng:
a) 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 𝐴𝐶
b) Tứ giác 𝐵𝑀𝑁𝐶 nội tiếp
c) Tứ giác 𝑂𝐷𝐼𝐻 nội tiếp
d) 1
𝐴𝐷 = 1
𝐻𝐵 + 1
𝐻𝐶
Hướng dẫn chấm
Trang 41)Ta có tam giác 𝐴𝐻𝐵 với đường cao 𝑀𝐻 nên 𝐴𝑀 𝐴𝐵 = 𝐴𝐻2 0,5
𝐴𝐶 = 𝐴𝑁
Lại chung góc 𝑀𝐴𝑁̂ Nên hai tam giác đồng dạng 0,25
Suy ra 𝐵𝑀𝑁̂ + 𝐵𝐶𝑁̂ = 1800 Từ đó suy ra tứ giác 𝐵𝑀𝑁𝐶 nội tiếp 0,25
𝐴𝐷 = 1
𝐻𝐵 + 1
𝐴𝐷 = 𝐻𝐵+𝐻𝐶
𝐻𝐵.𝐻𝐶 ⟺ 𝐴𝐷 𝐵𝐶 = 𝐻𝐵 𝐻𝐶
Do tứ giác 𝐷𝐼𝐻𝑂 nội tiếp nên hai tam giác 𝐴𝐷𝐼 và 𝐴𝐻𝑂 đồng dạng Suy ra
𝐴𝐷
𝐴𝐻 = 𝐴𝐼
𝐴𝑂
0,25
Hay 𝐴𝐷 𝐴𝑂 = 𝐴𝐻 𝐴𝐼, hay 𝐴𝐷.𝐵𝐶
2 = 𝐴𝐻.𝐴𝐻
2 , hay 𝐴𝐷 𝐵𝐶 = 𝐴𝐻2, hay
𝐴𝐷 𝐵𝐶 = 𝐻𝐵 𝐻𝐶
0,25
a+1
b+1
c = 3
2 Chứng minh
a2
√a3+ 1 + 1+
b2
√b3 + 1 + 1+
c2
√c3+ 1 + 1 ≥ 3
Hướng dẫn chấm
+Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có :
0,25
A
I M
N D
Trang 5√a3+ 1 = √a + 1√a2− a + 1 ≤ a2+2
2 , do đó
a2
√a 3 +1+1 ≥ 2a2
a2+4 = 2 − 8
a2+4≥ 2 − 8
4a = 2 −2
a (do 𝑎2+ 4 ≥ 4𝑎)
0,25 Tương tự: b2
√b 3 +1+1 ≥ 2 −2
𝑏; c2
√c 3 +1+1 ≥ 2 −2
𝑐
0,25 Suy ra
a2
√a3+ 1 + 1+
b2
√b3+ 1 + 1+
c2
√c3+ 1 + 1≥ 6 − 2 (
1
a+
1
b+
1
c) = 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2 (đpcm)
0,25
13 = 0.Hướng dẫn chấm
Δ′ = 𝑦2− 2𝑦2− 4𝑦 + 13 = 17 − (𝑦 + 2)2 Để phương trình có nghiệm
thì Δ′ ≥ 0
Suy ra (𝑦 + 2)2 ≤ 16 hay 𝑦 + 2 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
0,25
Xét 𝑦 = 0, 𝑥2 = 13, không thỏa mãn
Xét 𝑦 = 1, 𝑥2− 2𝑥 − 7 = 0, vô nghiệm nguyên
Xét 𝑦 = 2, 𝑥2− 4𝑥 + 3 = 0, 𝑥 = 1 hoặc 𝑥 = 3
Vậy có hai bộ (1; 2), (3; 2)
0,25
là các số nguyên dương Biết rằng 𝑀 chia cho 30 dư 21 Hãy tìm số dư khi chia 𝑁 cho
30 Hướng dẫn chấm
𝑀 − 𝑁 = 𝑎2014(𝑎4 − 1) + 𝑏2014(𝑏4− 1) + 𝑐2014(𝑐4− 1)
Ta có 𝑎2014(𝑎4− 1) = 𝑎2013 (𝑎2+ 1)(𝑎 − 1)𝑎(𝑎 + 1)
= 𝑎2013 (𝑎2− 4 + 5)(𝑎 − 1)𝑎(𝑎 + 1)
= 𝑎2013 (𝑎 + 2)(𝑎 − 1)𝑎(𝑎 + 1)(𝑎 − 2) + 5𝑎2013 (𝑎 − 1)𝑎(𝑎 + 1)
0,25
𝑎2013 (𝑎 + 2)(𝑎 − 1)𝑎(𝑎 + 1)(𝑎 − 2) chia hết cho 5 (do tích 5 số nguyên
liên tiếp), chia hếtcho 3 (có tích 3 số nguyên liên tiếp), chia hết cho 2 (có
tích hai số nguyên liên tiếp) Lại có 5𝑎2013 (𝑎 − 1)𝑎(𝑎 + 1) chia hết cho
0,25
Trang 630 vì (𝑎 − 1)𝑎(𝑎 + 1) chia hếtcho 3 (có tích 3 số nguyên liên tiếp), chia
hết cho 2 (có tích hai số nguyên liên tiếp)
Do đó 𝑎2014(𝑎4− 1) chia hết cho 30
Lập luận tương tự suy ra 𝑀 − 𝑁 chia hết cho 30 Do đó số dư của N chia
cho 30 là 21
-Hết - Ghi chú: Nếu thí sinh làm theo cách không giống đáp án vẫn cho điểm tương ứng theo các bước của đáp án