De mon Toan chon doi tuyen du thi HSG quoc gia nam 2019

Biết rằng mỗi vận động viên tham gia thi đấu ít nhất một trong các nội dung thi đấu này.. Theo thống kê của ban tổ chức cho thấy mỗi nội dung thi đấu có số vận động viên tham dự bằng nha[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA KỲ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN

NĂM HỌC 2018 – 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)Môn: TOÁN

Ngày thi: 04- 10- 2018

( Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)

Câu 1 (4,0 điểm) Cho hàm số f : R ⟶ R thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i) f không phải là hàm hằng;

ii) f(x2+2 yf (x ))=xf ( x+ y ), ∀ x , y ∈ R

a) Chứng minh rằng f x   0

khi và chỉ khi x 0

b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn các điều kiện trên.

Câu 2 (5,0 điểm) Cho dãy số  x n được xác định bởi:

1 2 1

2019 2018

2019 1

2 2019

n

x

n















a) Chứng minh rằng 1x n 2,   n 1

b) Chứng minh rằng dãy  x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Câu 3 (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Các đường cao

AD , BF ,CE của tam giác ABC đồng quy tại H ( D , F , E tương ứng nằm trên

BC ,CA , AB ) Đường thẳng AH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là K Gọi M là

trung điểm của BC Đường thẳng AM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là L Đường tròn đường kính AHcắt đường tròn O tại điểm thứ hai là T Đường thẳng qua H vuông góc

với AM tại P cắt BC KL, lần lượt tại Y X, Đường thẳng KL cắt đường thẳng BC tại Z .

Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm T , H , K , X cùng thuộc một đường tròn, bốn điểm T , Y , Z , X cùng thuộc

một đường tròn và đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ tiếp xúc đường tròn (O)

b) Đường tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ và đường tròn O

tại điểm T đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XHK.

Câu 4 (3,0 điểm) Tìm cặp các số nguyên (a b, ) sao cho:

2 2

1 1

b ab a b

a ab

   

  là một số nguyên

Câu 5 (3,0 điểm)

a) Một đại hội thể thao của phường Nam Cường có n vận động viên tham gia thi đấu ở 7 nội dung gồm: chạy 100 mét, đẩy tạ, bắn nỏ, đua xe đạp, bơi tự do 100 mét, nhảy cao, nhảy xa Biết rằng mỗi vận động viên tham gia thi đấu ít nhất một trong các nội dung thi đấu này Theo thống kê của ban tổ chức cho thấy mỗi nội dung thi đấu có số vận động viên tham dự bằng nhau và bằng

40 Ngoài ra cứ hai nội dung thi đấu bất kỳ thì có không quá 9 vận động viên tham gia thi đấu cả hai nội dung đó Chứng minh rằng n ≥120

b) Có 16 học sinh tham gia một kì thi, đề thi có n câu hỏi và mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn Biết rằng 2 học sinh bất kì có không quá 1 câu trả lời chung cho tất cả các câu hỏi Tìm giá trị lớn nhất của n Hãy chỉ ra một trường hợp để n đạt được giá trị lớn nhất đó

-

Hết -Ghi chú:

 Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

 Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI KỲ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN HƯỚNG DẪN CHẤM

THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

NĂM HỌC 2018 – 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN

Ngày thi: 4- 10- 2018

( Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang, 05 câu)

I Hướng dẫn chấm:

1 Cho điểm lẻ tới 0,25;

2 Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần, không làm tròn;

3 Chỉ cho điểm tối đa khi bài làm của thí sinh chính xác về mặt kiến thức;

4 Thí sinh giải đúng bằng cách khác cho điểm tương ứng ở các phần

II Biểu điểm:

Câu 1 (4,0 điểm)Cho hàm số f :    mà f không là hàm hằng và thỏa mãn điều kiện:

 

 2 2   , ,

f x  yf x xf x y x y 

a) Chứng minh rằng f x   0 khi và chỉ khi x  0

b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện trên

a)Giả sử hàm f thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Gọi P x y , 

là mệnh đề khi thay x, y vào điều kiện bài toán.

Xét P0,0 ta được f 0  0

0,5

Giả sử tồn tại a 0 sao cho f a   0

Xét P a y , 

ta được f a 2 af a y   f a y   f a    0, y 0,5

Suy ra f y   (mâu thuẫn vì f không là hàm hằng).0, y

b)Xét P x x ,  ta được f x 2  2xf x   xf 0   0 x2  2xf x    0, x 0,5

Kết hợp với f 0  ta được 0   2,

x

f x  x

Thử lại thỏa mãn Vậy có một nghiệm hàm là   2,

x

f x  x

Câu 2 (5,0 điểm) Cho dãy số  x n được xác định bởi:

1 2 1

2019 2018

2019 1

2 2019

n

x

n













a) Chứng minh rằng 1x n 2,  n 1

b)Chứng minh rằng dãy  x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

a) Ta chứng minh bằng quy nạp:

-Với n=1 , khẳng định đúng

-Ta có x k+1=1+ 1

2019 k+

x k(2−x k)

2 >1 do x k(2−x k)≥ 0 vì 1≤ x k ≤ 2 0,5

-Mặt khác x k+1−2= 1

2019 k−

1

2−

1

2−

x k(2−x k)

¿2−2019 k

2019 k −

2 k <0 Do đó x k+1 ≤2

Vậy khẳng định cũng đúng khi n=k +1

Theo nguyên lý quy nạp, suy ra điều phải chứng minh

0,5

b)

n

x

n



0,5

1

n

x

n





Mà ta chứng minh được với 1x n 2 thì

2

1

n

1

n

x 

Do đó

1

n

0,5

Ta có bổ đề quen thuộc sau: (thí sinh không chứng minh thì trừ 0,25)

Bổ đề: Cho hai dãy số dương  a n

,  b n

và số q 0,1 sao cho

a  qa b  n Khi đó, nếu limb  n 0 thì lima  n 0

0,5

Câu 3 (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Các đường cao

AD , BF ,CE của tam giác ABC đồng quy tại H ( D , F , E tương ứng nằm trên

BC ,CA , AB ) Đường thẳng AH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là  K Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng AM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là  L Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là  T Đường thẳng qua H vuông

góc với AM tại P cắt BC KL lần lượt tại ,, Y X Đường thẳng KL cắt đường thẳng BC tại Z

Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm T , H , K , X cùng thuộc một đường tròn, bốn điểm T , Y , Z , X cùng thuộc một đường tròn, và đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ tiếp xúc đường tròn (O)

b) Đường tiếp tuyến chung của đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ và đường tròn

O tại điểm  T đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XHK.

C

D

K

L M

E

X Z

Y

T

x

Q

O

F H

P

a) Tứ giác THKX nội tiếp (do  TKX THX TAL  ) (*) 0,5

Ta có YP YH YD YM YB YC.  .  . nên Y thuộc trục đẳng phương của (O) và (AH) Do

đó, Y, T, A thẳng hàng.

0,5

Suy ra YTH  900 hay tứ giác YTHD nội tiếp suy ra  TYZ THD

Tứ giác THKX nội tiếp (theo (*)) suy ra  TXZ THK

Do đó, TYZ TXZ hay tứ giác TYXZ nội tiếp đường tròn  w

0,5

Giả sử tiếp tuyến của (w) tại T cắt BC tại Q Ta có xTA YTQ TXY  

Mà TXY TKA   xTA TKA Do đó, Tx là tiếp tuyến của (O) tại T.

Vậy hai đường tròn    O , w tiếp xúc nhau

0,5

b) Theo chứng minh trên tứ giác XTHK nội tiếp.

Có T, H, M thẳng hàng và ME, MF là tiếp tuyến của (AH) 0,5

Có TQ là tiếp tuyến của (O) tại T nên KQ là tiếp tuyến của (O) hay QT = QK. 0,5

Mà BC là trục đối xứng của HK suy ra QH = QK

Câu 4 (3,0 điểm) Tìm cặp các số nguyên (a b, ) sao cho:

2 2

1 1

b ab a b

a ab

   

  là một số nguyên

Ta có

a ab b ab a b a ab

0,5

a ab a b a b

TH1: a b 0 thì luôn thỏa mãn hay a a, 

với a nguyên là nghiệm. 0,25

TH2: a b  1 0 cũng luôn thỏa mãn hay a, 1  avới a nguyên cũng là

nghiệm

0,25

TH3:a b 1

Khi đó (*) trở thành a2 ab    1 a 1 2 |  a 0; 2;1; 3   Khi đó (a b , )

 0,1 ; 2,3 ; 1,0 ; 3;4   

0,25

TH4 a b 0 và a b 1,a b 1. Ta có

2

a b a b







0,5

Nên

(*)  a ab2  1| a b   1

 a2 ab 1 |a2 ab 1 a b  1

 a2ab1|a b a   1

Suy ra a2 ab  1 | a –1 (**)

0,25

+) a 1 (thỏa mãn) hay (1, b) với b nguyên là nghiệm.

+) a 1, từ (**) suy ra a a b    1 a 1

0,25

Vì a b 0 và a b 1,a b 1 nên a b  Khi đó2 0,5

2 2

2a  1  a b a 1 a ab  1 a ab   1 a 1

 2a   1 a 1

Giải bất phương trình trên ta được a 0; 1; 2   

Thử lại ta sẽ được các nghiệm cần tìm

Câu 5a (1,5 điểm) Một đại hội thể thao của phường Nam Cường có n vận động viên tham gia thi đấu ở 7 nội dung thi đấu: chạy 100 mét, đẩy tạ, bắn nỏ, đua xe đạp, bơi tự do 100 mét, nhảy cao, nhảy xa Biết rằng mỗi vận động viên tham gia thi đấu ít nhất một trong các nội dung thi đấu này Theo thống kê của ban tổ chức cho thấy mỗi nội dung thi đấu có số vận động viên tham dự bằng nhau và bằng 40 Ngoài ra cứ hai nội dung thi đấu bất kỳ thì có không quá

9 vận động viên tham gia thi đấu cả hai nội dung đó Chứng minh rằng n ≥120

Với vận động viên thứ j ký hiệu a j

là môn thi đấu vận động viên đó tham gia Ta lập bảng có 7 hàng và n cột Ô ( ; )i j của dòng i , cột j được đánh dấu ´ nếu vận

động viên j tham gia nội dung i

0,25

Tổng số các dấu ´ nếu tính theo cột là a1+a2+ + a n,và tổng này là 7.40=280

nếu tính theo dòng (vì mỗi nội dung thi đấu có đúng 40 vận động viên tham gia)

0,25

Bây giờ ta tính S là số cặp ( , )´ ´ theo cùng cột Trên cột j có

2

j

a

C

cặp, cho nên số

S các cặp ( , )´ ´ theo cột là

n

(1)

0,25

Thay a1+a2+ + a n =280 và áp dụng bất đẳng thức quen thuộc

2

n

-2

280 140 2

S

0,25

Mặt khác, với mỗi cặp 2 dòng, chỉ nhiều lắm có 9 cột có cặp ( , )´ ´ trên 2 dòng

này, cho nên tổng số các cặp ( , )´ ´ cùng một cột trên tất cả C72 cặp 2 dòng không

vượt quá 9C72 cặp ( , ).´ ´

Ta có bất đẳng thức: 9C72³ S

0,25

Thay vào (*), ta có ³

-2 2

7

280

2

C

n

và có

+

2 2 7

280

119.

2(9 140)

n

C

Vậy n³ 120.

0,25

Câu 5b (1,5 điểm) Có 16 học sinh tham gia một kì thi, đề thi có n câu hỏi và mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn Biết rằng 2 học sinh bất kì có không quá 1 câu trả lời chung cho tất cả các câu hỏi Tìm giá trị lớn nhất của n Hãy chỉ ra một trường hợp để n đạt được giá trị lớn nhất đó

Ta đếm số bộ ( , , )A B C mà học sinh , A B có cùng lựa chọn C

Đếm theo lựa chọn Ta đặt , , ,a b c d là số học sinh chọn đáp án 1,2,3,4 ở câu hỏi i i i i i

1



 i  i  i  i

n

i

với a ib c i  id i 16.

2

Suy ra S24n

Từ đó ta có n5.

0,25

Chứng minh n = 5 thỏa mãn từ đó suy ra giá trị lớn nhất của n là 5.

Dưới đây là một cách:

1,0

-