Chứng minh rằng khoảng cách từ G đến AB ko phụ thuộc vào vị trí của các điểm M, N trên đoạn thẳng AB Bài 26Cho tam giác ABCAB < ACcó đường cao AH.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các[r]
Trang 1A/ KIEN THUC VA Ki NANG CAN NHG
Định lí 1 : Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh
của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua
Định nghĩa : Đường trung bình của tam giác là đoạn
thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
Định lí 2 : Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng
nửa cạnh ấy
3 Đường trung bình của hình thang
Định li 3 : Đường thang đi qua trung điểm một cạnh
bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua
trung điểm canh bên thứ hai
Định nghĩa : Đường trung bình của hình thang là đoạn
thẳng nối trung điểm hai cạnh bên eủa hình thang D Cc Định lí 4 : Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa
tổng hai đáy
Œ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho tam giác ABC vuông tại A M là trung điểm cạnh BC Về
MN AB tại N Chứng mỉnh rằng ÑN là trung điểm đoạn thẳng AB
9 Cho tam giác ABC eân tại A Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC
Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân
3 Cho hình thang ABCD (AB /CD) Gọi M,N, K lần lượt là trung điểm của các đoạn
thang AD, BC, AC Chứng minh rằng MK // AB ; M, N va K thang hang
4 Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G Gọi M,N
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng GB, GC
Chứng minh rang DE // MN, DE = MN
Œ BÀI TẬP TRẮC NGHIEM
ð Chọn eâu trả lời đúng :
Tinh x, y trén hinh bén trong dé AB // CD // EF // MN, AE
= EM = MD
A.x= l4 em ; y = 233 em
B x = 12 em; y = 22 cm
D x-= 14 em ; y = 34 em
Qi BAI TAP NANG CAO
6 Cho tam giác ABC vuéng tai A Vé AH : BC tại H Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AH, CH Chiing minh rang MN ¡ AB và BM : AN
1 Cho tam giác ABC Các điểm D, E lần lượt trên các cạnh BC, AB sao cho BD = CD,
BE = 2AE Goi M la giao diém ctia AD va CE Chitng minh rang MA = MD
8 Cho hinh thang vuéng ABCD
(A =D =90°) M la trung diém canh BC Chiing minh rang tam gide MAD can
9 Cho tứ giác ABCD e6 AD - BC Đường thẳng đi qua trung điểm M va N ciia cae
cạnh AB và CD cất AD và BC lần lượt ở E và E
Chiing minh rang AEM = MFB
2 BAI THI CHON HOC SINH GIOI TOAN
10 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm eủa AD, BC
Tìm điều kiện của tứ giác để EF = oc
Trang 2Bài l: Cho hình thang ABCD (AB//CD) M là trung điểm của AD,
N là trung điềm của BC Gọi I K theo thứ tự là giao điểm của MN với
BD, AC Cho biết AB = §em, CD = 16 Tinh d6 dai cac doan MI, IK, KN
HD: - MI, KN lan lwot 1a cac dwrong trung binh ctia nhitng A nao? ~Vi sao?
- Hay tinh MI, KN? (MI = 4cm, KN = 8cm)
- Dé tinh IK ta can tinh doan nao? Vi sao?
Bài 2: Cho A_ ABC các đường trung tuyến BD, CE Gọi M theo thứ tự là
trung điểm của BE, CD Goi I, K theo thứ tự là trung điểm của MN vớiBD, CE C/m rang MI = IK = KN
A
HD: - Hãy c/m tứ giác EDCB là hình thang
- MN như thế nào so với ED2 Vì sao? => MI// ED, KN//ED
=> MI= KN -ED = 7BC)
- Hay tinh MK? (MK = 2 BC)
_IK= MK -MI= 2BC - + BC = TBC
Vậy MI = IK =KN.
Trang 3Bai 3: Cho hinh thanh ABCD (AB//CD, AB < CD) Goi M, N là lượt là
trung điểm của AD, CD Goi I, K là giao điểm của MN với BD và AC
C/m rằng IK = (CD - AB)
HD: - Cím MK là đường trung bình của A ACD => MK= 2DC
- C/m MI là đường trung bình của A ABD => MI= 2AB
- Tính hiệu MK - MI => IK = 2(CD - AB)
Bài 4: Cho BD là đường trung tuyến của A_ ABC, E là trung điểm của đoạn
thang AD, F là trung điểm của đoạn thẳng DC M là trung điểm của cạnh AB,
N là trung điểm của cạnh BC
C/m rằng:
a) ME // NF
b) ME = NF ù
E
Cho hình vẽ như hình bên Chứng minh rằng AI = IM
* Xét ABDC ta có :
e« MB=MC (gi)
e EB=ED (gt)
=> ME là Đường trung bình của ABDC_ (định nghĩa)
=> ME // CD hay ME // ID (định lí 2)
* Xét AAEMI ta có :
e DA=DE (gt)
se ME// DI (cmt)
=> AI = IM ( định lí 1) ( đpcm).
Trang 4- _ Hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E, F, K theo thứ tự lần lượt là trung điễm của AD, BC, BD Chứng minh ba điễm E, K, F thăng hàng
Ƒj_ `
* Xét hình thang ABCD có :
e EA=ED (gt)
e FB=EC (gt)
=> EF là Đường trung bình của hình thang
ABCD
=> EF // AB (1)
* Xét AABD ta có :
e EA=ED (gt)
e KB =KD (gt)
=> EK là Đường trung bình của AABD
=> EK//AB (2)
Từ(1) và (2):
=> EF trùng EK (cùng //AB)
Hay 3 diém E, K, F thang hang (đpcm)
Bai 7:
Cho hinh thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điễm của BC Đường thắng
EF cắt BD ở I, cắt AC ở K
a) Chứng minh rằng: AK = KC, BI = ID
b) Cho AB = 6cm, CD = 10cm Tinh cac dé dai El, KF, IK
Trang 5
a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID
* Xét hình thang ABCD, ta có :
e EA=ED (gt)
e FB=FC (gt)
=> EF là đường trung bình của hình thang ABCD
=> EF // AB // DC
* Xét AADC, ta có :
e EA=ED (gt)
e EF //DC (cmt) hay EK // DC
=> KA= KC
* Chứng minh tuong tu ta duoc: |B = ID
b) Tính các độ dài EI, KF, IK: biết AB = 6cm, CD = 10cm
Ta có :
El = AB/2 = 3cm (vì El là đường trung bình AABD)
EK = DC/2 = 5cm (vì EK là đường trung bình AADC)
Mặt khác : EK = ElI + IK =>lK = EK - El = 5 - 3 = 2cm
EF = (AB + DC)/2 = 8cm (vì EK là đường trung bình của hình thang ABCD)
Mà : EF = EK + KF => KF = EF - EK =8 - 5 = 3cm
Kết luận:
e El= 3cm
e KF=3cm
e IK=2 cm
Bài §: Tứ giác ABCD có AB=CD Chứng minh rằng đường thăng đi qua trung điểm của 2
đường chéo tạo với AB và CD các góc bằng nhau
Trong tir giac ABCD, A’, B', C’, D' thu tu la trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD,
ABC Chứng minh răng bốn đường thăng AA', BB', CC! DD' đồng quy
Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC Qua H kẻ đường thăng
vuông góc với HM, Cắt AB và AC theo thứ tự ở E và E
a) Trên tia đôi của HC, lây điểm D sao cho HD=HC Chứng minh răng E là trực tâm của tam giác DBH b) Chứng minh HE=HF
Bài l1: Tư giác ABCD cóa B và C năm trên đường tròn có đường kính là AD Tính độ dài CD
biết răng AD=8§, AB=BC=2
Cho tam giác ABC cân tại A, có AM là đường trung tuyên Kẻ MK vuông góc với AB ở K Từ A kẻ đường thăng vuông góc với CK, cắt MK ở I CMR: IM = IK
Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thăng nỗi trung điểm của hai đường chéo băng nửa hiệu hai đáy
Gial:
Trang 6D C
Gia su hinh thang ABCD co AB // CD, AB< CD
L K lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD, AC
Gọi F là trung điểm của BC
Trong tam giác ACB ta có:
K là trung điểm của cạnh AC
F là trung điểm của cạnh BC
Nên KF là đường trung bình của A BDC
= KF // AB va KF=S AB KF=S AB (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong tam giác BDC ta có:
I la trung điểm của cạnh BD
F là trung điểm của cạnh BC
Nên TF là đường trung bình của A BDC
= IF //CD va IF=5 CD IF=> CD (tính chất đường trung bình của tam giác)
FK // AB ma AB // CD nén FK // CD
FI//CD (chứng minh trên)
Suy ra hai đường thăng FI và FA trùng nhau
= I, K, F thang hang, AB < CD FK < FL nên K năm giữa I và F
IF =IK + KF
= IK=IF-KF=1/2CD-1/2AB=CD-AB/2
Hình thang ABCD co AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Cac đường phân giác của các góc ngoai dinh A va D cat nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cặt nhau tại N a) Chứng ninh răng MN // CD
b) Tính độ dài MN theo a, b, c, d (a, b, c, d có cùng đơn vị đo)
a) Gọi M'° và N' là giao điểm của tia AM va BN với CD Ta có:
Trang 7M^=A^2 (so le trong)
A*1=A%2 (gt)
M^=A^I
Nén A ADM’ can tại D
DM la phan giac cua ~ ADM!
Suy ra: DM là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
=> AM=MM
'^=B^2 (so le trong)
B^1=B^2 (gÐ
Suy ra: '^=B^I nên A BCN' cân tại C
CN là phân giác của BCN^ -
Suy ra: CN là đường trung tuyên (tính chât tam giác cân)
= BN =NN’
Suy ra: MN là đường trung bình cua hinh thang ABN’M’
=> MN //MˆN' (tính chất đường trung bình hình thang)
Hay MN // CD
b) MN=AB+M'N’/2 (tinh chat duong trung binh cua hinh thang)
MN=AB+M'D+CD+CN'/2(1)
Ma M’D = AD, CN’ = BC Thay vao (1):
MN=AB+A D+CD+BC2=a+d+c+b/2
Bài 15:Cho 2 điểm A và B năm cùng phía đôi với đường thắng d Gọi C là trung điềm của AB Kẻ
AD,BE,CH cùng vuông góc với d Biệt AD=4, BE=ó, Tính CHÍ ?
: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc BC/ BD => DC Kẻ BH và CK cùng vuông góc với AD
CMR: BIEE CK
Bài 17: Cho tam giác ABC Gọi LK theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến đường phan giác các góc B và C
a, C/m: IK//BC
b, Tính độ dài IK theo các cạnh của tam giác ABC
Cho tam giác ABC Điểm D thuộc AC/ AD = AC, điểm E thuộc AB/ AE=1/3 AB Gọi M là
trung điểm của BC CMR: các đường thăng BD,CE, AM đông quy
Bài 19: Cho tam giác ae cân tại A, đường trung tuyến CD Trên tia đối của tia BA lây điểm K/
BK=BA CMR: CD =5 CK
Bài 20: Tam giác ABC a tai A, Duong cao AH Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của BH,AH CMR: CE vuông góc với AD
Bài 21: Cho tam giác ABC Gọi I là giao điểm các tia phân giác của các góc B và C, M là trung điểm của
BC B Biết góc BIM= 90 độ và BI =2 IM
a, Tính góc BAC
b, Vẽ IH vuông góc với AC CMR BA=3 IH
m Cho tam giác ABC có góc A =120 độ, AB=4,AC=6 Tính độ dài đường trung tuyến AM
: Cho điểm M thuộc đoạn thang AB Trên cùng một nửa mặt phăng bờ AB, vẽ các tam giác đều
AMC,BMD Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của AD,BC CMR: EFS CD
Bài 24 Cho tam giác ABC có BC=a, các đường trung tuyén BD, CE Lay cac diém M, N trén canh BC sao cho BN=MN=NC Goi I la giao diém cua AM va BD, K là giao điêm cua AN va CE Tinh d6 dai IK
Bài 25 Trên đoạn thăng AB lây các điểm M và N (M năm giữa A và N) Vẽ về một phía của AB các
7
Trang 8tam giác đều AMD, MNE, BNF Goi G là trọng tâm của tam giác DÈ Chứng minh rằng khoảng cách từ
G đến AB ko phụ thuộc vào vị trí của các điểm M,N trên đoạn thang AB
Bai 26)Cho tam giác ABC(AB < AC)có đường cao AH.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC,CA,AB
a)C/m NP la duong trung truc cua doan AH
b)C/m tir giac MNPH la hinh thang can
bài 27)Cho tam giác ABC có chu vi 20cm.Gọi O là một điểm năm trong tam giác;D,E,F lần lượt là trung điểm của OA;OB;OC.Tính chu vi tam giác DEF
bài 28)Cho A ABC co AM là trung tuyến.Gọi I là trung điểm của AM gọi D là giao điểm của BI à AC a)C/m AD=> DC b)So sánh độ dài BD và ID
Bài 29: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM
a Lay điểm D thuộc AC sao cho DC=2AD , go1 1 1a giao diém cia BD&AM Chimg minh AI=MI
b Goil la trung điểm AM D là giao điểm của BI&AC Chứng minh DC=2AD
: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BE ,CD cắt nhau tại G Gọi LK theo thứ tự là trung điêm của BG, CŒ Chứng minh DE//IK
: tim x trong hình vẽ sau
Bài 33 : Cho tam giác ABC vuông tại B , góc A=60”, phân giác của góc A la AD , Goi M, N, I theo thứ
tự là trung điểm của AD, AC, CD
a Chứng minh BNMI là hình thang cân
b Tính các góc của hình thang cân trên
Bài 34 ; Cho tứ giác ABCD, gọi E,F,I theo thứ tự là trung điểm của AD,BC,CA , chứng minh ABCD 1a
hình thang khi LE,F thắng hàng
Bài 35 : Cho hình thang ABCD (AB//CD), Gọi E,F,I ,K theo thứ tự là trung điêm AD, BC,CA,BD tính
độ dài các đoạn thăng EK, KI,IF biết
a AB=12cm CD=16cm
b AB=8cm , CD=6cm
Bài 36 : Cho tam giác ABC , M&N theo thứ tư là trung điểm AB&AC , Trén tia đôi của tia Mn lây điểm
P sao cho NP=MN , chung minh
a Chung minh MP=BC
b CP//AB
c MB=CP
m : cho tam giác BAC, M là trung điểm của Be, I là trung điểm của AM chứng minh BD=2AD
:Cho A ABC, gọi M, N, P lân lượt là trung điểm AB, AC và BC Nối AP cắt MN tại I C/m I là
trung điểm chung của AP và MN
Trang 9Bài 39 :Cho AABC Trên các cạnh AB, AC lây D, E sao cho AD=E AB; AB=> AC DE cat BC tai F
chứng minh CF=S BC
Bài 40 : AABC vuông tại A có AB = 8; BC = I7 Vẽ vào trong AABC một tam giác vuông can DAB có
cạnh huyên AB Gọi E là trung điêm BC Tính DE
Bài 41: Cho hai điểm A và B năm cùng phía đối với đường thăng d Gọi C là trung điểm của AB
Ke AD, BE, CH vuông góc với d Cho biệt AD=4cm, BE=6cm Tinh CH
Bài 42: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM, Dià giao
điểm ctia CI va AB Chứng minh răng: AD = DB
Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho BD => DC Ké BH va CK vuông góc với
AD Chứng minh răng: BH CK
Bài 44: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm, AC=4cm Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho
CD =2cm Qua C kẻ đường thắng vuông góc với BC, cắt cạnh AC tại E Tính độ dài DE (cm)
Bài 45: Cho tam giác ABC Gọi I và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến đường
phân giác các góc B và C
a) Chứng minh răng : IK//BC
b) Tinh d6 dai IK theo các cạnh của tam giác ABC
Bài 46: Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB của A ABC Về phía ngoài tam giác, vẽ các đoạn thắng FK vuông góc và bằng FA, EG vuông góc và băng EA Chứng minh rằng:
a) AKFD =ADEG
b)_ ADKG là tam giác vuông cân
Bài 47: Cho AABC Các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạnh AC, AB sao cho
AD = AC, AE == AB Gọi M là trung điểm của BC
Chứng minh rằng các đường thăng BD, CE, AM đồng quy