Chứng minh: BD là tia phân giác của góc EDK.. định lý Pytago..[r]
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 8 Bài 1: (4 điểm) Cho ΔABC vuông tại A và phân giác BD (D ¿ AC) Biết AB = 5cm, BC = 13cm Tính độ dài các đoạn thẳng DA, DC
Bài 2: (6 điểm) Cho ΔABC nhọn (AB < AC), vẽ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh: ΔABD ∽ ΔACE
b) Chứng minh: A ^D E= A ^BC
c) Gọi K là giao điểm của AH và BC Chứng minh: BD là tia phân giác của góc EDK
d) Chứng minh: BH.BD + CH.CE = BC2
BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) Cho ΔABC vuông tại A và phân giác BD (D ¿ AC) Biết AB = 5cm, BC = 13cm Tính độ dài các đoạn thẳng DA, DC
Giải:
Ta có: ΔABC vuông tại A
⇒BC 2=AB 2+AC 2 (định lý Pytago)
⇔132=52+ AC2
⇔ AC2=169−25=144
⇒ AC= √ 144=12cm
Ta có: BD là phân giác của A ^BC
⇒DA
BA=
DC
BC (tính chất phân giác)
⇔DA
5 =
DC
13 =
DA+DC
5+13 =
AC
18 =
12
18=
2
3 (tính chất tỉ lệ thức)
Do đó:
DA
5 =
2
3⇒DA=
2
3 5=
10
3 cm
DC
13 =
2
3⇒DC=
2
3 13=
26
3 cm
Trang 2Xét ΔABD và ΔACE có:
^A : chung
B ^D A=C ^E A=900 (vì BD ¿ AC, CE ¿ AB)
⇒ ΔABD ∽ ΔACE (g.g)
b) Chứng minh: A ^D E= A ^BC
Giải:
Xét ΔADE và ΔABC có:
^A : chung AD
AB=
AE
AC (vì ΔABD ∽ ΔACE (câu a))
⇒ ΔADE ∽ ΔABC (c.g.c)
⇒ A ^D E=A ^BC (1) (2 góc tương ứng)
c) Gọi K là giao điểm của AH và BC Chứng minh: BD là tia phân giác của góc EDK
Giải:
Trang 3Ta có: ΔABC có BD và CE là 2 đường cao cắt nhau tại H
⇒ H là trực tâm của ΔABC
Vì AK qua H nên AK là đường cao thứ ba
Xét ΔCKA và ΔCDB có:
^C : chung
C ^K A=C ^D B=900 (vì AK ¿ BC, BD ¿ AC)
⇒ ΔCKA ∽ ΔCDB (g.g)
Xét ΔCDK và ΔCBA có:
^C : chung CK
CA=
CD
CB (vì ΔCKA ∽ ΔCDB (cmt))
⇒ ΔCDK ∽ ΔCBA (c.g.c)
⇒C ^D K =C ^B A (2) (2 góc tương ứng)
Từ (1) và (2) ⇒ A ^D E=C ^D K (3)
Ta có: E ^D H =900− A ^D E (2 góc phụ nhau)
=900−C ^D K (do (3)) =K ^D H (2 góc phụ nhau)
⇒ BD là tia phân giác của góc EDK
d) Chứng minh: BH.BD + CH.CE = BC2
Giải:
Trang 4Xét ΔBKH và ΔBDC có:
^B1 : chung
B ^K H=B ^D C=900
⇒ ΔBKH ∽ ΔBDC (g.g)
⇒BH
BC=
BK
BD⇔BH BD=BK BC (4)
Xét ΔCKH và ΔCEB có:
^C1 : chung
C ^K H=C ^E B=900
⇒ ΔCKH ∽ ΔCEB (g.g)
⇒CK
CE=
CH
CB⇔CH CE=CK BC (5)
Lấy (4) + (5) ta được:
BH BD+CH CE=BK BC +CK BC
= BC (BK +CK )
= BC BC
= BC2
