c Tiếp hai trục tọa độ và qua A1; 2 Gọi Ia; b là tâm đường tròn và R là bán kính đường tròn... Trường THPT Dương Háo Học.[r]
Trang 1Mục lục
1.1 Lý thuyết 2
1.1.1 Phương trình đường tròn 2
1.1.2 Điều kiện tiếp xúc 2
1.1.3 Phương trình tiếp tuyến 3
1.2 Một số bài toán 3
1.2.1 Một số bài toán về lập phương trình đường tròn 4
1.2.2 Một số bài toán về tiếp tuyến của đường tròn 7
1
Trang 2ĐƯỜNG TRÒN
1.1 Lý thuyết
1.1.1 Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là
(C) : (x − a)2 + (y − b)2 = R2
* Dạng khai triển của phương trình đường tròn
(C) : x2+ y2 − 2ax − 2by + c = 0 Với
Tâm I(a; b) và bán kính R = √
a2+ b2− c
* Dạng khai triển khác của phương trình đường tròn
(C) : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Với
a = A
−2; b =
B
−2; c = C Tâm I(a; b) và bán kính R = √
a2+ b2− c
1.1.2 Điều kiện tiếp xúc
Cho đường tròn (C) :
( Tâm I(a; b) Bán kính R và đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 Điều kiện để đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn (C) là
d(I; ∆) = R ⇔ |Aa + Bb + C|
√
A2 + B2 = R
* Đặc biệt:
Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R Khi đó
Trang 3Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề đường tròn
- Nếu (C) tiếp xúc trục Ox thì R = |b|
- Nếu (C) tiếp xúc trục Oy thì R = |a|
- Nếu (C) tiếp xúc hai trục tọa độ thì thì R = |a| = |b|
1.1.3 Phương trình tiếp tuyến
Cho đường tròn (C) tâm I(a; b) và điểm M (x0; y0) ∈ (C) Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M Khi đó
∆ :
(
Qua M (x0; y0)
vtpt −→n ≡−IM = (x→
0− a; y0− b) ⇔ (x0 − a)(x − x0) + (y0− b)(y − y0) = 0
* Cách khác:
- Nếu (C) : (x − a)2+ (y − b)2 = R2 và M (x0; y0) ∈ (C) thì phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
(x0 − a)(x − a) + (y0− b)(y − b) = R2
- Nếu (C) : x2+ y2 + Ax + By + C = 0 và M (x0; y0) ∈ (C) thì phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
x0x + y0y +A
2(x + x0) +
B
2(y + y0) + C = 0
1.2 Một số bài toán
Bài toán 1.2.1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình đường tròn
a) x2+ y2− 2x − 2y − 2 = 0 b) x2+ y2− 2x − 4y + 9 = 0
c) −x2− y2− 2x − 2y + 7 = 0 d) 2x2+ y2− 2x − 2y − 2 = 0
Lời giải
a) x2+ y2− 2x − 2y − 2 = 0
Ta có
a = −2
−2 = 1; b =
−2
−2 = 1; c = −2 Xét
a2+ b2− c = 12+ 12− (−2) = 4 > 0
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có
( Tâm I(1; 1) Bán kính R =√
a2 + b2− c = 2 b) x2+ y2− 2x − 4y + 9 = 0
Ta có
a = −2
−2 = 1; b =
−4
−2 = 2; c = 9 Xét
a2+ b2− c = 12+ 22− 9 = −4 < 0
Trang 4Vậy phương trình đã cho không là phương trình đường tròn
c) −x2− y2− 2x − 2y + 7 = 0 ⇔ x2+ y2 + 2x + 2y − 7 = 0
Ta có
a = 2
−2 = −1; b =
2
−2 = −1; c = −7 Xét
a2+ b2 − c = (−1)2+ (−1)2− (−7) = 9 > 0
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có
( Tâm I(−1; −1) Bán kính R =√
a2 + b2− c = 3 d) 2x2+ y2− 2x − 2y − 2 = 0 đây không phải là phương trình đường tròn
Bài toán 1.2.2 Xác định tham số m để phương trình sau là phương trình đường tròn a) x2+ y2− 2mx − 4y + 5m = 0 b) x2+ y2− 2mx − 2(m + 1)y + 2m − 1 = 0 Lời giải
a) x2+ y2− 2mx − 4y + 5m = 0
Ta có
a = −2m
−2 = m; b =
−4
−2 = 2; c = 5m Xét
a2+ b2− c = m2+ 22− 5m = m2− 5m + 4
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì
a2+ b2− c > 0 Hay
m2 − 5m + 4 > 0 ⇔ m > 4
m < 1
Vậy m > 4
m < 1 thì phương trình đã cho là phương trình đường tròn
b) x2+ y2− 2mx − 2(m + 1)y + 2m − 1 = 0
Ta có
a = −2m
−2 = m; b =
−2(m + 1)
−2 = m + 1; c = 2m − 1 Xét
a2+ b2− c = m2+ (m + 1)2− (2m − 1)
= m2+ m2+ 2m + 1 − 2m + 1
= 2m2+ 2 > 0 ∀m ∈ R Vậy ∀m ∈ R thì phương trình đã cho là phương trình đường tròn
1.2.1 Một số bài toán về lập phương trình đường tròn
Bài toán 1.2.3 Lập phương trình đường tròn, biết
a) Tâm I(2; 2) bán kính R = 3
b) Có tâm I(1; 2) và đi qua A(3; 1)
Trang 5Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề đường tròn
c) Có đường kính AB biết A(1; 3), B(−3; 1)
d) Đường tròn qua ba điểm A(−1; −1), B(2; 2), C(1; 3)
e) Có tâm I(1; 1) và tiếp xúc d : 3x + 4y − 12 = 0
Lời giải
a) Tâm I(2; 2) bán kính R = 3
(C) :
( Tâm I(2; 2) Bán kính R = 3 ⇔ (x − 2)2+ (y − 2)2 = 9 b) Có tâm I(1; 2) và đi qua A(3; 1)
Ta có −→
IA = (2; −1) ⇒ IA =p22+ (−1)2 =√
5
(C) :
( Tâm I(1; 2) Bán kính R = IA =√
5 ⇔ (x − 1)2+ (y − 2)2 = 5
c) Đường tròn qua ba điểm A(−1; −1), B(2; 2), C(1; 3)
Gọi (C) : x2+ y2+ Ax + By + C = 0
Theo giả thuyết ta có
(C) :
A(−1; −1) ∈ (C)
B(2; 2) ∈ (C)
C(1; 3) ∈ (C)
⇔
(−1)2+ (−1)2− A − B + C = 0
22+ 22+ 2A + 2B + C = 0
12+ 32+ A + 3B + C = 0
⇔
−A − B + C = −2 2A + 2B + C = −8
A + 3B + C = −10
⇔
A = 0
B = −2
C = −4
Vậy (C) : x2+ y2− 2y − 4 = 0
d) Có đường kính AB biết A(1; 3), B(−3; 1)
Gọi I là trung điểm AB
Suy ra I(−1; 2)
Ta có −→
AB = (−4; −2) ⇒ AB =p(−4)2+ (−2)2 = 2√
5
(C) :
Tâm I(−1; 2) Bán kính R = AB
2 =
√
5 ⇔ (x + 1)2+ (y − 2)2 = 5
Bài toán 1.2.4 Lập phương trình đường tròn, biết
a) Đi qua hai điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm nằm trên trục hoành
b) Đi qua hai điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm nằm trên d : x + y + 2 = 0
Lời giải
a) Đi qua hai điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm nằm trên trục hoành
Vì tâm I nằm trên trục hoành nên I(a; 0)
Phương trình đường tròn có dạng
(C) : (x − a)2+ y2 = R2
Trang 6Theo giả thuyết ta có
(
A(3; 1) ∈ (C)
B(5; 5) ∈ (C) ⇔
( (3 − a)2+ 12 = R2
(5 − a)2+ 52 = R2 ⇔
(
a2− 6a + 10 = R2 (1)
a2− 10a + 50 = R2 (2)
Lấy (1) − (2) ta được
4a − 40 = 0 ⇔ a = 10
Từ (1) suy ra
a2− 6a + 10 = R2 ⇔ 102− 6.10 + 10 = R2 ⇔ R2 = 50 Vậy
(C) : (x − 10)2+ y2 = 50 b) Đi qua hai điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm nằm trên d : x + y + 2 = 0
Gọi
(C) : x2+ y2− 2ax − 2by + c = 0 với a2+ b2− c > 0 Theo giả thuyết ta có
A(0; 1) ∈ (C)
B(1; 0) ∈ (C)
I(a; b) ∈ d
⇔
1 − 2b + c = 0
1 − 2a + c = 0
a + b + 2 = 0
⇔
−2b + c = −1
−2a + c = −1
a + b = −2
⇔
a = −1
b = −1
c = −3 Vậy
(C) : x2+ y2+ 2x + 2y − 3 = 0 Bài toán 1.2.5 Lập phương trình đường tròn biết
a) Có tâm I(3; 4) và tiếp xúc trục Ox
b) Có tâm I(3; 4) và tiếp xúc trục Oy
c) Tiếp hai trục tọa độ và qua A(1; 2)
Lời giải
a) Có tâm I(3; 4) và tiếp xúc trục Ox
( Tâm I(3; 4) Bán kính R = |4| = 4 ⇔ (x − 3)2+ (y − 4)2 = 16 b) Có tâm I(3; 4) và tiếp xúc trục Oy
( Tâm I(3; 4) Bán kính R = |3| = 3 ⇔ (x − 3)2+ (y − 4)2 = 9 c) Tiếp hai trục tọa độ và qua A(1; 2)
Gọi I(a; b) là tâm đường tròn và R là bán kính đường tròn
Do đường tròn tiếp xúc hai trục tọa độ nên
|a| = |b| = R
Vì (C) qua A(1; 2) nên a > 0; b > 0 ⇒ a = b = R Do đó
(C) : (x − a)2+ (y − a)2 = a2
Trang 7Trường THPT Dương Háo Học Chuyên đề đường tròn
Mặt khác A(1; 2) ∈ (C)
Ta có
(1 − a)2 + (2 − a)2 = a2 ⇔ 1 − 2a + a2+ 4 − 4a + a2 = a2
⇔ a2− 6a + 5 = 0
⇔ a = 1
a = 5 Vậy có hai đường tròn (x − 1)2+ (y − 1)2 = 1 và (x − 5)2+ (y − 5)2 = 25
1.2.2 Một số bài toán về tiếp tuyến của đường tròn
Bài toán 1.2.6 Cho (C) : x2+ y2− 2x − 8y − 8 = 0 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết
a) Tiếp tuyến của (C) tại M (4; 0)
b) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k = 3
c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x − y = 0
d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x − 4y = 0
Lời giải
a) Tiếp tuyến của (C) tại M (4; 0) là
d : x0x + y0y − (x + x0) − 4(y + y0) − 8 = 0 ⇔ 4x + 0.y − (x + 4) − 4(y + 0) − 8 = 0
⇔ 3x − 4y − 12 = 0
b) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k = 3
Đường tròn (C) có tâm I(1; 4) bán kính R = 5
Đường thẳng ∆ có hệ số góc k = 3 Khi đó
∆ : y = 3x + b ⇔ 3x − y + b = 0
Để ∆ là tiếp tuyến của (C) thì
d(I; ∆) = R ⇔ |3.1 − 4 + b|
p32+ (−1)2 = 5 ⇔ |b − 1| = 5√
10
⇔ b − 1 = 5√10
b − 1 = −5√
10 ⇔ b = 1 + 5√10
b = 1 − 5√
10 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm ∆ : 3x − y + 1 + 5√
10 = 0 và ∆ : 3x − y + 1 − 5√
10 = 0 c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x − y = 0
Đường tròn (C) có tâm I(1; 4) bán kính R = 5
Gọi ∆ là đường thẳng song song với d : x − y = 0
Suy ra
∆ : x − y + c = 0
Để ∆ là tiếp tuyến của (C) thì
d(I; ∆) = R ⇔ |1 − 4 + c|
p12+ (−1)2 = 5 ⇔ |c − 3| = 5√
2
⇔ c − 3 = 5√2
c − 3 = −5√
2 ⇔ c = 3 + 5√2
5 + c = 3 − 5√
2
Trang 8Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm ∆ : x − y + 3 + 5√
2 = 0 và ∆ : x − y + 3 − 5√
2 = 0 d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x − 4y = 0
Đường tròn (C) có tâm I(1; 4) bán kính R = 5
Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc với d : x − y = 0
Suy ra
∆ : x + y + c = 0
Để ∆ là tiếp tuyến của (C) thì
d(I; ∆) = R ⇔ |1 + 4 + c|
√
12+ 12 = 5 ⇔ |c + 5| = 5√
2
⇔ c + 5 = 5√2
c + 5 = −5√
2 ⇔ c = −5 + 5√2
5 + c = −5 − 5√
2 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm ∆ : x + y − 5 + 5√
2 = 0 và ∆ : x − y − 5 − 5√
2 = 0 Bài toán 1.2.7 Cho (C) : x2+ y2− 2x − 8y − 8 = 0 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng d : 2x + y + 1 = 0 một góc 450
Lời giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; 4) bán kính R = 5
Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tyến của (C)
Đường thẳng d có hệ số góc k = −2
Do tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng d : 2x + y + 1 = 0 một góc 450 nên
tan 450 = |k1− k|
|1 + k1k| ⇔ |k1+ 2|
|1 − 2k1| = 1 ⇔ |k1+ 2| = |1 − 2k1|
⇔ k1 + 2 = 1 − 2k1
k1 + 2 = −(1 − 2k1) ⇔
"
k1 = −1
3
k1 = 3
* Với k1 = −1
3 Gọi ∆ : y = −
1
3x + m ⇔ x + 3y − 3m = 0
Để ∆ tiếp xúc với (C) thì
d(I, (C)) = R ⇔ |1 + 3.4 − 3m|
√
12+ 32 = 5 ⇔ |13 − 3m| = 5√
10
⇔ 13 − 3m = 5√10
13 − 3m = −5√
10 ⇔
m = 13 − 5
√ 10 3
m = 13 + 5
√ 10 3 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm x + 3y − 13 + 5√
10 = 0 và x + 3y − 13 − 5√
10 = 0
* Với k1 = 3 Gọi ∆ : y = 3x + n ⇔ 3x − y + n = 0
Để ∆ tiếp xúc với (C) thì
d(I, (C)) = R ⇔ |3.1 − 4 + n|
p32+ (−1)2 = 5 ⇔ |n − 1| = 5√
10
⇔ n − 1 = 5√10
n − 1 = −5√
10 ⇔ n = 1 + 5√10
n = 1 − 5√
10 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm 3x − y + 1 + 5√
10 = 0 và 3x − y + 1 − 5√
10 = 0