CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số học

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số học

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

III Dạng 3: Số học

1 Số nguyên tố, hợp số, số chính phương, lập phương

A Bài toán

Bài 1: Tìm các số nguyênk để k4 8k323k226k10 là số chính phương.

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:

a , b sao cho a2 b2 là số nguyên tố.

Bài 4: Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy

với xxyy là số chính phương.

Bài 5: Tìm tất cả các cặp số a b; 

nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

1) ,a b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của ,a blà 1.

Bài 7: Tìm các số nguyên dương n sao cho n4n31 là số chính phương.

Bài 8: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố , ,a b c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện

20abc30(ab bc ca  ) 21 abc

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương

Bài 10: Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố

Bài 11: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n4+ 4n là hợp số.

Bài 12: Tìm x nguyên dương để 4x314x29x6 là số chính phương

Bài 13: cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n nguyên dương Chứng minh trong dãy có ít

nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên

Bài 14: Tìm n ¿ N* sao cho: n4 +n3+1 là số chính phương.

Bài 15: Tìm các số tự nhiên n sao cho An22n 8 là số chính phương

Bài 16: Bài 1: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x y z; ; 

sao cho

20192019

Bài 17: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số thỏa mãn nếu ta cộng thêm vào mỗi chữ

số của A thêm 1 đơn vị thì ta được số chính phương B cũng có 4 chữ số.Tìm hai số A B;

Bài 18: Tìm số nguyên tố p thỏa mãn

Bài 20: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C=2019n+2020 là số chính phương

Bài 21: Cho n N * Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì n chia hết cho 40

Bài 22: Tìm các số nguyên tố p, q thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) p q p2  chia hết cho p2q

ii) pq2qchia hết cho q2 p

Bài 23: Chứng minh rằng số có dạng A n  6 n4  2 n3 2 n2 không phải là số chính

phương, trong đó n N n  ,  1

Bài 24:

a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì

5 29 30

Bài 26: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào

chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàngchục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương

Bài 27: Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a = 2 ; b =

5

3

25

3

a) Chứng minh rằng với n ≥ 1 ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn)

b) Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên

c) Chứng minh Sn – 2 = Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là sốchính phương

Bài 28: Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố

Bài 29 : Cho x 1  3 2  3 4 Chứng minh rằng: P x 3 3x2 3x 3 là một số chínhphương

Bài 30:

a) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng p =, với m là số tự nhiên

b) Tìm số nguyên tố p sao cho là số nguyên tố

Bài 31: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính

phương thì n là bội số của 24

Bài 32: Tìm số tự nhiên n để n18 và n41 là hai số chính phương.

Bài 33: Cho A a 2015b2015c2015d2015, với a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn

Bài 35: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn

Chứng minh rằng là số chính phương

Bài 36: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2  17 là một số chính phương.

Bài 37: Tìm các số nguyên tố và số nguyên dương thỏa mãn phương trình

Bài 38: Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của

152

15

Bài 41: Tìm số các số nguyên n sao cho Bn2 n 13 là số chính phương

Bài 42: Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn  2 2   2

2

+(1ab)2  4ab

Chứng minh 1 ab là số hữu tỉ

Bài 43: Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương

Bài 44: a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn

Bài 46: Tìm x nguyên dương để 4x314x29x6 là số chính phương

Bài 47: Cho a, b, c ¿ Q; a, b, c đôi một khác nhau

Bài 48: Tìm số tự nhiên n để: A n 2012n20021 là số nguyên tố

Bài 49: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x2   x 6 là một số chínhphương

Bài 50: Cho A = n6n42n32n2 (với n N , n > 1) Chứng minh A không phải là sốchính phương

Bài 51: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 là một số chính phương.17

Bài 52: Chứng minh rằng: 370 4901370 4901 là một số nguyên.

Bài 53: Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn p a 3b3 với a b, là hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh rằng : Nếu lấy 4 p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được số

là bình phương của một số nguyên lẻ

 

Vậy k = 1 hoặc k = 3 thìk48k323k226k10 là số chính phương

Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn:

a2 + b2 + c2 = (a + c)2 – 2ac + b2 = (a + c)2 – b2 = (a+c – b)(a+c+b)

Vì a2 + b2 + c2 là số nguyên tố và a+c – b<a+c+b

Þ a+b – c = 1 Þ a + b + c = a2+ b2 + c2 (1)

Mà a, b, c nguyên dương nên a a2, b b2, c c2 (2)

Từ (1) và (2) Þ a = b = c = 1, thử lại: Thỏa mãn, kết luận

Bài 3: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của Ađều tồn tại hai số phân biệt

a , b sao cho a2 b2 là số nguyên tố.

Giải:

2) Ta xét tập T gồm các số chẵn thuộc tập A Khi đó | | 8T = và với a , b thuộc T

ta có a2+b2 , do đó k³ 9

Xét các cặp số sau:

A={ }1; 4 È{3; 2 È} {5;16 È} {6;15 È} {7;12 È} {8;13 È} {9;10 È} {11;14}

Ta thấy tổng bình phương của mỗi cặp số trên đều là số nguyên tố

Xét T là một tập con của A và | | 9T = , khi đó theo nguyên lí Dirichlet T sẽ chứa

ít nhất 1 cặp nói trên

Vậy kmin =9

Bài 4: Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy

với xxyy là số chính phương.

Giải

a) Ta có: xxyy11 0x y là số chính phương nên

1111

00

nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

1) ,a b đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của ,a blà 1.

Nếu ;a b cùng lẻ thì ab1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý) Do đó không mất tính tổngquát, giả sử a chẵn b lẻ a2.

Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab 1 4b1 và ab 1 2b1 chia hết cho 3

Giả sử tồn tại bộ số ( , n, p)m thỏa mãn yêu cầu đề bài Dễ thấy 0 m  , n p Phương trình

đã cho có thể được viết lại thành

mn A p

, (1)trong đó A m2018m2017nm2017n2  mn2017n2018

Nếu A không chia hết cho p thì từ (1), ta có A  và1

p  , mâu thuẫn Vậy A chia hết cho p

Do m   nên từ (1) suy ra m n n 1  chia hết cho p Khi đó, ta có

Do A chia hết cho p và 0 m  p nên từ kết quả trên, ta suy ra 2019 chia hết cho

p , hay p 2019 Từ đây, dễ thấy m và n khác tính chẵn lẻ, hay m  n.

Bây giờ, ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng\   3 673 3 673 2018

Vậy không tồn tại các số , ,m n p thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 7: Tìm các số nguyên dương n sao cho n4n31 là số chính phương.

Với n thì 2 A25 thỏa mãn bài toán.

Bài 8: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố , ,a b c đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện

(19;7;2),(23;7;2),(29;7; 2),(31;7;2), (37; 7;2),(41;7;2),(13;11;2),(7;5;3) và các hoán vịcủa nó

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương

Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2 Vậy n 4 + 4 n là hợp số

Bài 12: Tìm x nguyên dương để 4x314x29x6 là số chính phương

Bài 13: cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n nguyên dương Chứng minh trong dãy có ít

nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên

Lời giải

-Nếu n là lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên bài toán chứng minh xong

-Nếu n không là lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên, ta luôn tìm được 1 số nguyên dương ksao cho 2  2

1

k  n k

.Vì n nguyên dương và n k 2 n k21, vậy ta có:

Vậy trong dãy luôn có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên.

Bài 14: Tìm n ¿ N* sao cho: n4 +n3+1 là số chính phương

ì - =ïï

2 2 2 ( )2 2 2 ( )2 2 ( )( )

x +y +z = +x z - xz+y = x z+ - y = + +x y z x z+ - y

Vì x+ +y z là số nguyên lớn hơn 1 và x2+y2+z2 là số nguyên tố nên

Bài 17: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số thỏa mãn nếu ta cộng thêm vào mỗi chữ

số của A thêm 1 đơn vị thì ta được số chính phương B cũng có 4 chữ số.Tìm hai số A B;

Bài 18: Tìm số nguyên tố p thỏa mãn

Khi đó thay vào (1) ta có: p p 24 pk pk 6    p2pk26k 4 0 

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn p, điều kiện cần để tồn tại nghiệm của PT là:

k k 24k 16  k 4

Bài 20: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho C=2019n+2020 là số chính phương

Lời giải

Với mọi số tự nhiên a thì a khi chia cho 8 chỉ có các số dư là 0; 1; 4.2

Số 2019 chia 8 dư 3; 2020 chia 8 dư 4 Suy ra 2019nº 3 (mod 8)n

- Nếu n chẵn thì n=2 ,k kÎ  Þ 2019nº 32kº 1 ( mod 8)

Þ Cº 5 ( mod 8)

Þ C không thể là số chính phương.

- Nếu n lẻ thì n= + Î  Þ 2k 1,k 2019nº 32 1k+º 3.32kº 3 ( mod 8)

Þ Cº 7 ( mod 8)

Þ C không thể là số chính phương.

KL: Không tồn tại n thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 21: Cho n N * Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì n chia hết cho 40

Nếu n chia cho 5 dư 1 thì 2n + 1 chia cho 5 dư 3 ( vô lí )

Nếu n chia cho 5 dư 2 thì 3n + 1 chia cho 5 dư 2 ( vô lí )

Nếu n chia cho 5 dư 3 thì 2n + 1 chia cho 5 dư 2 ( vô lí )

Nếu n chia cho 5 dư 4 thì 3n + 1 chia cho 5 dư 3 ( vô lí )

Vậy

5 (2)

n

Vì (5, 8) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 40

Bài 22: Tìm các số nguyên tố p, q thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

Mà p, q là hai số nguyên tố nên p2,q3(thỏa mãn bài toán)

Bài 23: Chứng minh rằng số có dạng A n  6 n4  2 n3 2 n2 không phải là số chính

phương, trong đó n N n  ,  1

Lời giải

Ta có: A n  6   n4 2 n3  2 n2

= n n n2  2  1   n   1  2  n  1   

= n2   n  1   n3  n2  2   

= n n2  1     n3  1   n2  1   

nên n2  2 n  2 không là số chính phương

Do đó A không là số chính phương với n N n  ;  1

Bài 24:

a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì

5 29 30

có số chia hết cho 2 và có số chia hết cho 3, suy ra  n  1   n n   1 6 

b) ( 0,75 điểm)

+ Giả sử tồn tại cặp số tự nhiên  x y ; 

thỏa mãn yêu cầu Khi đó a b N ,  * mà

(n 1) n 2n 2 n n 2n 2 không là số chính phương đpcm

Bài 26: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào

chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàngchục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương

m k





  

 (loại)Kết luận đúng abcd 3136

Bài 27: Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a = ; b =

a) Chứng minh rằng với n ≥ 1 ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn)

b) Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên

c) Chứng minh Sn – 2 = Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phương

152

15

12

52

12

n n

1522

152

15

2 2

22

152

15

a1  1

Ta có T1 = 1 Z; T2 = Z; T3 = 4 Z; T4 = 3 Z;

Tiếp tục quá trình trên ta được Tn nguyên n lẻ

Vậy Sn – 2 là số chính phương n = 2k+1 với k Z và 0 1003

Bài 28: Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố

Lời giải

Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2

= ( n2 + 2)2 – ( 2n)

= ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2)

Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nên n2 – 2n + 2 = 1  n = 1

Bài 29: Cho x 1  3 2  3 4 Chứng minh rằng: P x 33x23x 3 là một số chínhphương

b) Xét p>3 thay p =6m1 vào biểu thức A= 8 p2+1 thấy 3< A3 (loại)

thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận)

p=2, A=33 (loại)

Bài 31: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính

phương thì n là bội số của 24

* Chứng minh n chia hết cho 3:

, do đó n (1)3

* Chứng minh n chia hết cho 8:

Vì 2n1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1, nên 2n chia hết cho 8, n chia hết cho 4, n +

1 là số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1, do đó n chia hết cho 8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra n chia hết cho 3, 8 mà  3,8 1

   vàn41q p q2 ,  N  p2q2 n18  n 41 59 p q p q     59Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:

Thay vào n41, ta được 882 41 841 29   2 q2.

Vậy với n882 thì n18 và n41 là hai số chính phương.

Bài 33: Cho A a 2015b2015c2015d2015, với a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn

Giải:

Ta có điều phảI chứng minh

Bài 35: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn

Chứng minh rằng là số chính phương

Giải:

(*)Gọi d là ước chung của (a - b, 2a + 2b + 1) ( ) Thì

Bài 37: Tìm các số nguyên tố và số nguyên dương thỏa mãn phương trình

Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - 3

Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7

Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1;2; 2;3; 3   

.Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7

Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3  2016k (ĐPCM

k c

ìï =ï

Þ íï =ïî

k b

k b

k b

Bài 39: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương

So với điều kiện thỏa mãn

Vậy bộ ba số nguyên dương  p q n; ; 

So với điều kiện thỏa mãn

Vậy bộ ba số nguyên dương  p q n; ; 

cần tìm là 3;7;8 

Trường hợp 3: p3

Ta sẽ chứng minh với 1 số nguyên a bất kì không chia hết cho 3 thì tích a a 3

luôn chia 3 dư 1

Suy ra không có bộ ba số nguyên dương  p q n; ; 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 40: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con gồm k phần tử của Ađều tồn tại hai số phân biệt

a , b sao cho a2 b2 là số nguyên tố.

Ta thấy tổng bình phương của mỗi cặp số trên đều là số nguyên tố

Xét T là một tập con của A và | | 9T = , khi đó theo nguyên lí Dirichlet T sẽ chứa ít nhất 1 cặp nói trên

Bài 44: a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn

a) Từ giả thiết suy ra 2ab2bc2ca 0

Với x 3 1 ta có a 1;b4 và c  nguyên, thỏa mãn đầu bài2

Bài 46: Tìm x nguyên dương để 4x314x29x6 là số chính phương

Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1

Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1

Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số Số tự nhiên ần tìm n = 1

Bài 49: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x2   x 6 là một số chínhphương

Vậy số nguyên x cần tìm là 5 hoặc –6

Bài 50: Cho A = n6n42n32n2 (với n N , n > 1) Chứng minh A không phải là sốchính phương

Lời giải

6 4 2 3 2 2 2( 1) (2 2 2 2)

n n  n  n n n n  n

với n N , n > 1 thì n22n 2 (n1)21 > (n1)2

và n22n 2 n22(n1) < n2

Vậy (n1)2<n22n <2 n2 n22n không là số chính phương  đpcm2

Bài 51: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 là một số chính phương.17

2 Phép chia hết, phép chia có dư

A Bài toán

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có:

 7 7  7 7  7 7

27n 5 10 10n 27 5 5n 10 27

           

Bài 2: Tìm số tự nhiên bé nhất có 4 chữ số biết nó chia hết cho 7 được số dư là 2 và bình

phương của nó chia cho 11 được số dư là 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2 và 4 n216 là các số

nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Bài 4: Với mỗi số thực x kí hiệu  x

là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Ví dụ

2 1

  

  ;

322

  

 

 1) Chứng minh rằng x 1  x  x  x  1 x1

với mọi x 2) Có bao nhiêu số nguyên dương n840 thỏa mãn  n là ước của n ?

Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên dương m , n sao cho m n 2 chia hết cho 2

m n và 2

n mchia hết cho n2m.

Bài 6:

1) Chứng minh n62n4n2 chia hết cho 36 với mọi nnguyên dương.

2) Cho ba số phân biệt a b c, , Đặt:

x a b c   ab y a b c   bc z a b c   ac

.Chứng minh rằng trong ba số x y z, , có ít nhất một số dương.

Bài 7: Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5.

Bài 8: Cho m và n là hai số nguyên dương lẻ thỏa

2 2

1) Hãy tìm một cặp gồm hai số nguyên dương lẻ m;n

thỏa các điều kiện đã cho với

m1 và n1

2) Chứng minh  2 2 

m n  2 4mn

Bài 9: Cho n là số tự nhiên lẻ Chứng minh : 46n  296.13nchia hết cho 1947

Bài 10: Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi môn Toán được mang số báo danh là số tự

nhiên trong khoảng từ 1 đến 1000 Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh thi Toán cótổng các số báo danh được mang chia hết cho 9

Bài 11: Biết a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a2 ab b chia hết cho 9, chứng minh 2rằng cả a và b đều chia hết cho 3

Bài 12: Chứng minh rằng 2n33n2 chia hết cho n 6 với mọi số nguyên n

Bài 13: Chứng minh rằng A  22n  4n  16 chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Bài 14: Chữ số hàng đơn vị của số là Chứng minh chiahết cho

Bài 18: Chứng minh rằng 2n33n2 chia hết cho n 6 với mọi số nguyên n.

Bài 19: Số tự nhiên n 111 có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích 6của tất cả các ước số đó

Bài 20: Cho biểu thức A n 24n  (n là số tự nhiên lẻ) Chứng minh rằng A không chia 5hết cho 8.

Bài 21: Tìm các cặp số nguyên dương x y; 

sao cho x y x y2   chia hết cho xy2  y 1.

Bài 22: Cho hai số nguyên dương x, y với x > 1 và thỏa mãn điều kiện

2x2 – 1 = y15 Chứng minh rằng x chia hết cho 15

Bài 23: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho

2020

23x 1 là số nguyên ?

Bài 24: Cho A = (a2020 + b2020+c2020) - (a2016 + b2016 + c2016) với a,b,c N* Chứng minh rằng :30

A

Bài 25: Chứng minh rằng An84n76n64n5n4 chia hết cho 16 với mọi n là số

nguyên

Bài 26: Cho Bn4n3n2  Chứng minh rằng B chia hết cho 6 với mọi số nguyên nn

Bài 27: Chứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8.

20

Bài 28: Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn P a 2 là số nguyên tố b2 P5 chia hếtcho 8 Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn ax2by2 chia hết cho P Chứng minh rằng cả hai

số x,y đều chia hết cho P

Bài 29:

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1)

Bài 30: Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng: chia hết cho 3

Bài 31: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2   n 2 không chia hết cho 3.

Bài 32: Chứng minh rằng các số A 6  2015 1 và B 6  2016 1đều là bội của 7.

Bài 33: Cho hai số nguyên a và b thỏa 24a2 1 b2. Chứng minh rằng chỉ có một số a

hoặc b chia hết cho 5

Bài 34: Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên Chứng

minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4

Bài 35: Cho a b, là các số nguyên dương thỏa mãn p a 2b2 là số nguyên tố và p5chia hết cho 8 Giả sử ,x y là các số nguyên thỏa mãn ax2by2 chia hết cho p Chứng

minh rằng cả hai số ,x y chia hết cho p

Bài 36: Giả sử Trung tâm thành phố Bến Tre có tất cả 2019 bóng đèn chiếu sáng đô thị,

bao gồm 671 bóng đèn ánh sáng trắng, 673 bóng đèn ánh sáng vàng nhạt, 675 bóng đèn ánh sáng vàng sậm Người ta thực hiện dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: mỗi lần người ta tháo bỏ hai bóng đèn khác loại và thay vào đó bằng hai bóng đèn thuộc loại còn lại Hỏi theo quy trình trên, đến một lúc nào đó, người ta có thể nhận được tất cả các bóng đèn đều thuộc cùng một loại không? Giải thích vì sao?

Bài 37: Tìm tất cả các số nguyên dương m , n sao cho m n 2 chia hết cho m2n và n m 2chia hết cho n2m.

Bài 38: Với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab 11b2  2 chia hết cho 5 thì 4  4

a b chia hết cho 5.

Bài 39: Chứng minh rằng  n   n 

A 2 1 2 1

chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

Bài 40: Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng:

1

x3 chia hết cho 3

Bài 41: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho a + b2chia hết cho a b 12  .

Bài 42: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9

Bài 43: Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= 4n 3 7n

Bài 45: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2  không chia hết cho 3.n 2

là tích 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 6

Theo định lí Ơle thì x7  x 0 mod 7 ,    Zx

Bài 2: Tìm số tự nhiên bé nhất có 4 chữ số biết nó chia hết cho 7 được số dư là 2 và bình

phương của nó chia cho 11 được số dư là 3

Lời giải

Gọi x là số cần tìm x,1000 x 9999

Vì x chia cho 11 dư 3, nên x chia cho 11 dư 5 hoặc dư 62

Nếu x chia 11 dư 5 thì x 5 11 x 5 66 11 x61 11

Lại có x chia 7 dư 2 x 2 7 x 2 63 7 x61 7

Bài 3: Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2 và 4 n216 là các số

nguyên tố thì n chia hết cho 5.

Lời giải

Ta có với mọi số nguyên n thì n chia cho 5 dư 0, 1 hoặc 4.2

Nếu n chia cho 5 dư 1 thì 2 n2 5k 1 k*

  không phải là số nguyên tố (mâu thuẫn với giả thiết)

Nếu n chia cho 5 dư 4 thì 2 n2 5k 4 k *

Bài 4: Với mỗi số thực x kí hiệu  x

là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Ví dụ

2 1

  

  ;

322

  

 

 1) Chứng minh rằng x 1  x  x  x  1 x1

với mọi x 2) Có bao nhiêu số nguyên dương n840 thỏa mãn  n là ước của n ?

Lời giải

1) Ta có:  x x

.Giả sử  x  1 x

Mà n có dạng k2; 2

k k; 2

2

k  k đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.28 84 .

Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên dương m , n sao cho m n 2 chia hết cho m2n và n m 2chia hết cho n2m.

-Û í

ï + ³ ïî

m n

+Þ

- Î Z

( )

2 2

11

- +Þ

m n

+Þ

- Î Z2 2

n n

+Þ

- Î Z

22

- +Þ

- Î Z

21

*) TH3: m n- = Û1 m= +n 1

2 2

n m n+ M - m

2 2

n m

+Þ

- Î Z

( )2 2

11

+ +Þ

- - Î Z

2 2

3 11

+ +Þ

- - Î Z2

4 21

n

+Þ

1) Chứng minh n62n4 n2 chia hết cho 36 với mọi nnguyên dương.

2) Cho ba số phân biệt a b c, , Đặt:

x a b c   ab y a b c   bc z a b c   ac

.Chứng minh rằng trong ba số x y z, , có ít nhất một số dương.

A A

Do đó trong ba số x y z, , phải có ít nhất một số dương.

Bài 7: Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5.

5 với mọi số tự nhiên n

Bài 8: Cho m và n là hai số nguyên dương lẻ thỏa

2 2

thỏa các điều kiện đã cho với

m1 và n1

2) Chứng minh  2 2 

m n  2 4mn

Lời giải

1) Với m = 11 và n = 41 thỏa các điều kiện của bài toán

Theo chứng minh trên  2 2   2 2 

Từ đó có điều phải chứng minh

Bài 9: Cho n là số tự nhiên lẻ Chứng minh : 46n  296.13nchia hết cho 1947

Bài 10: Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi môn Toán được mang số báo danh là số tự

nhiên trong khoảng từ 1 đến 1000 Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh thi Toán cótổng các số báo danh được mang chia hết cho 9

Lời giải (chữ đen)

Với 5 số tự nhiên đôi một khác nhau tùy ý thì có 2 trường hợp xảy ra:

- TH1: Có ít nhất 3 số chia cho 3 có số dư giống nhau  Tổng 3 số tương ứng chia hết cho3

- TH2: Có nhiều nhất 2 số chia cho 3 có số dư giống nhau  Có ít nhất 1 số chia hết cho 3,

1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2

Suy ra luôn chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3.

Do đó ta chia 17 số báo danh của 17 học sinh thành 3 tập hợp lần lượt có 5; 5; 7 phần tử.Trong mỗi tập hợp, chọn được 3 số có tổng lần lượt là 3a ;3a ;3a a ;a ;a1 2 3 1 2 3N

Còn lại 17 – 9 = 9 số, trong 8 số còn lại, chọn tiếp 3 số có tổng là 3a4

Còn lại 5 số, chọn tiếp 3 số có tổng là 3a5

Trong 5 số a ,a ,a ,a ,a1 2 3 4 5

có 3 số a ,a ,ai1 i2 i3

có tổng chia hết cho 3

Nên 9 học sinh tương ứng có tổng các số báo danh là 3 a i1ai2ai39

Bài 11: Biết a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a2 ab b chia hết cho 9, chứng minh 2rằng cả a và b đều chia hết cho 3

Mà 2a b  chia hết cho 3 nên ta cũng có a chia hết cho 3 Vậy cả hai số a và b đều chia hết

là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Xét 2n33n2 n n n 1 2  n1

, ta có:

Nếu n chia hết cho 3 thì 2n33n2 sẽ chia hết cho n 3.

Nếu n chia 3 dư 2 thì n1 sẽ chia hết cho 3 nên 2n33n2 sẽ chia hết cho n 3

Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n1 sẽ chia hết cho 3 nên 2n33n2 sẽ chia hết cho n 3.

Vậy trong mọi trường hợp 2n33n2 n n n 1 2  n1

sẽ chia hết cho 3.

Ta có:  2;3 1

nên 2n33n2 chia hết cho n 6 với mọi só nguyên

Bài 13: Chứng minh rằng A  22n  4n  16 chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Lời giải

Ta có A  22n  4n 16   22n   1   4n   1  18

2

n

Bài 16: Biết ,a b là các số nguyên dương thỏa mãn a2ab b chia hết cho  2 9, chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3.

3b chia hết cho 9, do đó b chia hết cho 2 3, suy ra b chia hết cho 3.

Mà 2a b chia hết cho 3 nên ta cũng có a chia hết cho 3 Vậy cả hai số a và b đều chia

hết cho 3.

Bài 17: Giả sử Trung tâm thành phố Bến Tre có tất cả 2019 bóng đèn chiếu sáng đô thị, bao gồm 671 bóng đèn ánh sáng trắng, 673 bóng đèn ánh sáng vàng nhạt, 675 bóng đèn ánh sáng vàng sậm Người ta thực hiện dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: mỗi lần người ta tháo bỏ hai bóng đèn khác loại và thay vào đó bằng hai bóng đèn thuộc loại còn lại Hỏi theo quy trình trên, đến một lúc nào đó, người ta có thể nhận được tất cả các bóng đèn đều thuộc cùng một loại không? Giải thích vì sao?

Lời giải

Ta có 671 chia cho 3 dư 2 ; 673 chia cho 3 dư 1; 675 chia cho 3 dư 0.

Ta thấy mỗi loại bóng đèn có số bóng khi chia cho 3 được các số dư khác nhau 0, 1, 2 Sau mỗi bước thay bóng đèn, số bóng đèn mỗi loại giảm đi 1 hoặc tăng thêm 2 , khi đó số

dư của chúng khi chia cho 3 thay đổi như sau:

-Số chia cho 3 dư 0 sau khi thay chia cho 3 sẽ dư 2

-Số chia cho 3 dư 1 sau khi thay chia cho 3 sẽ dư 0.

-Số chia cho 3 dư 2 sau khi thay chia cho 3 sẽ dư 1.

Do đó sau mỗi bước thay bóng thì số bóng đèn mỗi loại chia cho 3 cũng có số dư khác nhau là 0, 1, 2 Vì vậy luôn luôn chỉ có 1 loại bóng đèn có số lượng bóng chia hết cho 3 Giả sử đến một lúc nào đó tất cả bóng đèn cùng một loại, thì số bóng đèn của 2 loại kia đều 0 và chia hết cho 3 (mâu thuẫn).

Vậy không thể thay bóng theo quy trình như trên để tất cả bóng đèn cùng một loại

Bài 18: Chứng minh rằng 2n33n2 chia hết cho n 6 với mọi số nguyên n.

Lời giải

Ta có: 2n33n2 n n n 1 2  n1

.Nhận thấy rằng n n 1

là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Xét 2n33n2 n n n 1 2  n1

, ta có:

2

Nếu n chia hết cho 3 thì 2n33n2 sẽ chia hết cho n 3.

Nếu n chia 3 dư 2 thì n1 sẽ chia hết cho 3 nên 2n33n2 sẽ chia hết cho n 3.

Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n1 sẽ chia hết cho 3 nên 2n33n2 sẽ chia hết cho n 3.

Vậy trong mọi trường hợp 2n33n2 n n n 1 2  n1

sẽ chia hết cho 3.

Ta có:  2;3 1

nên 2n33n2 chia hết cho n 6 với mọi só nguyên

Bài 19: Số tự nhiên n 111 có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích 6của tất cả các ước số đó

Lời giải

111 3 37Mối ước số nguyên dương của n có dạng x y

3 37 trong đó x 0 1 2 3 4 5 6 ; ; ; ; ; ; 

và

 ; ; ; ; ; ; 

y 0 1 2 3 4 5 6

Do x có thể nhận 7 giá trị và y cũng có thể nhận giá trị 7 nên n

có tất cả 7 7x 49 ước số nguyên dương phân biệt

Nếu a là một ước số nguyên dương của ,n a 3

111 thì

n b a

 cũng là một ước số nguyên dương của ,n b a Khi đó a và b tạo thành một cặp ước số nguyên dươngcủa n và chúng có tích đúng bằng n

Trong 49 ước số nguyên dương phân biệt của n, ngoại trừ 3

111 còn 48 ước số còn lại được chia thành 24 cặp ước số có tính chất như cặp ước a b, 

Vậy tích tất cả các ước nguyên dương phân biệt của n là  624 3  147