[TỔNG HỢP] Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Part 1 – Chinh phục giảng đường

Cô Lưu Huệ Phương – Link facebook: https://www.facebook.com/cophuongtoan297 II Hệ thống các bài tập Dạng 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH TXĐ CỦA MỘT HÀM SỐ CHỨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP Sử d[r]

GV: LƯU HUỆ PHƯƠNG

KHÓA LIVE VIPC4 DÀNH CHO 2004 CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Định nghĩa giá trị lượng giác:

cos

sin

tan

OP

OQ

AT

BT

















sin

tan

cos





os

cot

sin

c





Nhận xét :

  a a   a

2

a   a  k

cot a xác định khi và chỉ khi sina  0 a k

Chú ý: Từ ý nghĩa hình học của các giá trị lượng giác ta có :

a) sinak2 sina và cosak2 cosa (với kZ);

tanak tana và cotak cota ( với kZ)

a khi k l

a khi k l





a khi k l

a khi k l





2 Dấu của giá trị lượng giác :

Cung phần tư Giá trị lượng giác

cosin

O

cotang

ta g

M

Q

B T'



T

3.Các hằng đẳng thức cơ bản :

4 Cung liên kết :

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

 

  



 

   



 

tan   a tana tan  a tana

  



 

cot   a cota cot  a cota

  



Cung hơn kém nhau  Cung hơn kém nhau 2

  



    



  



  



Cách ghi nhớ: cos đối, sin bù, phụ chéo, tan-cot hơn kém nhau 

5 Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt:

Đơn vị độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

Đơn vị



4



3



2

3

4

6

2

2 2

3

3 2

2 2

1

2

2 2

1

1 2

2

2

3

1 3

Công thức cộng :

5) tan

1 tan tan

6) tan

1 tan tan

a b

a b









Cách ghi nhớ: sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “dấu chừng”(tức ngược dấu)

Tan tổng thì lấy tổng tan Chia một trừ với tích tan dễ òm

CÔNG THỨC NHÂN

1 Công thức nhân đôi :

2 2

2cot

1 tan

a a







2 Công thức hạ bậc : 3 Công thức nhân ba :

2

2

2

1 cos 2

sin

2

1 cos 2

cos

2

1 cos 2

tan

1 cos 2

a a

a a

a a

a















3 3

3 2

tan 3

1 3tan

a

a







4 Công thức biểu diễn sin2a , cos2a , tan2a theo tan a :

2



CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

1 Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos

cos cos

sin sin

sin sin

a b

a b

a b

a b









Chú ý :

Cách ghi nhớ: Cos cộng cos bằng hai cos cos (tổng chia hai rồi tới hiệu chia hai )

Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin Sin cộng sin bằng hai sin cos Sin trừ sin bằng hai cos sin

2 Công thức biến đổi tích thành tổng :

1

2

2

1

2

2

Cách ghi nhớ: Cos nhân cos bằng 1 / 2 cos cộng cos (hiệu trước tổng sau)

Sin nhân sin bằng 1 / 2cos trừ cos Sin nhân cos bằng 1 / 2 sin cộng sin Cos nhân sin bằng 1 / 2 sin trừ sin

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I) Kiến thức cần nhớ

1) Hàm số y = sinx

 Hàm số y = sinx có tập xác định R và tập giá trị -1≤ sinx ≤ 1 ,   x R

 Hàm số y = sinx là hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 

 Hàm số ĐB trên mỗi khoảng ( 2 ; 2 )

      

và NB trên mỗi khoảng 3

 Đồ thị là một đường hình sin

 Hàm số ysinf x   xác định  f x  xác định

Ví dụ 1 Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx

– Tập xác định: D = R

– Tập giá trị: 1, 1 

– Chu kỳ: T = 2 

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 

– Tịnh tiến theo véctơ v 2k i ta được đồ thị y = sinx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 ; 2 )

      

và nghịch biến trên 3

2) Hàm số y = cosx

 Hàm số y = cosx có tập xác định R và -1≤ cosx ≤ 1 ,   x R

 Hàm số y = cosx là hàm số chẵn và hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (  k2 ; 2 ) k  và NB trên mỗi khoảng( 2 ;k   k2 )

 Đồ thị là một đường hình sin

 Hàm số ycosf x   xác định  f x  xác định

Ví dụ 2 Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx

– Tập xác định: D = R

– Tập giá trị: 1, 1 

y

1

0

–1

1

y = sinx

–1

y

x

– Chu kỳ: T  2 

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :

– Tịnh tiến theo véctơ v 2k i ta được đồ thị y = cosx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

– Hàm số nghịch biến trên khoảng (  k2 ; 2 ) k  và đồng biến trên khoảng ( 2 ;k   k2 )

3) Hàm số y = tanx

 Hàm số y = tanx có tập xác định \ { , }

2

DR  k kZ

và có tập giá trị là R

 Hàm số y = tanx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; )

     

 Hàm số ytanf x   xác định  

2

,kZ

Ví dụ 3 Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx

– Tập xác định: D = R\ ,

– Tập giá trị: R

– Giới hạn:

2

lim

x

y



  



: 2

x

  

là tiệm cận đứng

– Chu kỳ: T = 

– Bảng biến thiên trên ,

 

:

1

y = cosx

–1

y

x

–1

0

x

y

O

y = tanx

– Tịnh tiến theo véctơ v k i ta được đồ thị y = tanx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D

4) Hàm số y = cotx

 Hàm số y = cotx có tập xác định D2 R\ { k ,kZ } và có tập giá trị là R

 Hàm số y = cotx là hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (k ; k)

 Hàm số ycot f x   xác định  f x k,kZ

Ví dụ 4 Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx

– Tập xác định: D = R\k,kZ

– Tập giá trị: R

– Giới hạn:

0

       



tiệm cận đứng: x = 0, x = 

– Chu kỳ: T = 

– Bảng biến thiên trên đoạn  0, :

– Tịnh tiến theo véctơ v k i ta được đồ thị y = cotx

Nhận xét:

+ 

x

y

O

y = cotx

+ 

– 

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D

Ghi nhớ:

2

2

2

  

   

     

k

k

k k







Nhận xét:

sin  k2 sin ta nói chu kì của hàm số sin là 2 

c k  c  ta nói chu kì của hàm số cos là 2 

tan  k tan ta nói chu kì của hàm số tan là 

cot  k cot ta nói chu kì của hàm số cot là 

II) Hệ thống các bài tập

Dạng 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH (TXĐ) CỦA MỘT HÀM SỐ

CHỨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A) PHƯƠNG PHÁP

Sử dụng các mệnh đề tương đương đương sau :

( )

f x

y

g x

 xác định  g x( ) 0

 y f x( ) xác định  f x( ) 0

 

f x

y

g x

 xác định  g x 0

 ysinu x( ) xác định u x( ) xác định

 ycosu x( ) xác định u x( ) xác định

 ytanu x( )=  

 

sin os

u x

c u x

2

        

 ycotu x( )=  

 

os sin

c u x

u x

  xác định sinu x   u x( ) k (kZ )

B) CÁC VÍ DỤ

Tìm tập xác định của hàm số:

a) ysin x1 b) os

3

x

y c

x



C) CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :

x y

x



1 sin

1 cos

x y

x





cos

x y

x



x y





6

y x

3

y x 

3

y x 

Câu 2 Tìm tập xác định của các hàm số sau :

cos

y

x

sin 1

x y

x







x y

x



2 sin

1 cos

x y

x





3

y





t anx 1

y



Dạng 2: XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A) PHƯƠNG PHÁP: Cho hàm số y f x( ) xác định trên D

1 Hàm số y f x( ) gọi là chẵn trên D nếu : ;

f x f x



  



2 Hàm số y f x( ) gọi là lẻ trên D nếu : ;

f x f x



   



Chú ý :

1 Nếu hàm số y f x( ) có tập xác định là D mà tập D không phải là tập đối xứng thì hàm số f(x) không chẳn cũng không lẻ

2 Nếu hàm số y f x( ) có tập xác định D thỏa mãn :  x0 D;  x0 D nhưng

f x  f x thì hàm số f(x) không chẵn cũng không lẻ

3 Sử dụng cung đối nhau để xét tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác

B) CÁC VÍ DỤ

Xét tính chẵn – lẽ của các hàm số sau :

a) y2x3x b) 2 14

y x

x

  c) y x d) yx22x3

C) CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

1 cos

x y

x





3

.sin 2

yx x

d)

3

sin cos 2

y

x



Câu 2 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

Câu 3 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sin2x + cos2x

d) y = tanx + cotx e) y = sin4x f) y = sinx.cosx

g) y = sin tan



3

3

sin

x x



i) y = tan x

Dạng 3 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRÊN TẬP D A)PHƯƠNG PHÁP

Sử dụng miền giá trị của hàm số lượng giác trên một đoạn :

Sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số lượng giác

A) BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

d) ytanx trên đoạn ;

 

e ) ysinxcosx f)

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

5

y  x 



d)

2

1

y

x



Chú ý Các em cần ghi nhớ một số công thức :

Đặt

Câu 3 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :

a) y = 3sin3x + 5 b) y= sin3x + cos3x c) y 2 2(4 3sin ) x

d) y = sin4x + cos4x e) y = sin6x + cos6x f) 1 2 2

3

y



y



y



2

y x x x

3

y x 

p) 2cos(3 ) 3

6

y x 

q) 5cos(2 ) 1

4

y x 

-

266 CÂU TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 1 – ĐẠI SỐ LỚP 11

BÀI 1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Điều kiện xác định của hàm số 1

y



A xk2 B xk C

2

x  k

D

4

x  k

Câu 2: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốy 3 2 sinx lần lượt là

A 1 và 0 B 3 và 2 C 3 và -2 D 3 và 1

Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số 3cos 1

2

y x  

   

  là

A 2 B 5 C 4 D 3

Câu 4: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A ysin 3x B y sinx C y2sinx D ysinx

Câu 5: Điều kiện xác định của hàm số tan 2x

3

y   

A

2

x  k

B

k

x  

x  k

D 5

12

x  k

Câu 6: Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì bằng bao nhiêu?

2



D

4



Câu 7: Tập xác định của hàm số 2 3 2

sin cos

y



 là

3

2 |

Câu 8: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốycos2x2cos 2x là

A 3 và -2 B -3 và 1 C 3 và 2 D 1 và 2

Câu 9: Điều kiện xác định của hàm số 1 sin

cos

x y

x



2

x  k 

B

2

x  k

2

x   k 

D xk

Câu 10: Giá trị lớn nhất của hàm số 2

y  x x là

Câu 11: Điều kiện xác định của hàm số cot

cos

x y

x

A

2

x  k

B xk2 C xk D x

2

k



Câu 12: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y sinx B ycosxsinx C ycosxsin2x D ycos sinx x

Câu 13: Hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn với chu kì bằng bao nhiêu?

2



D 3

Câu 14: Hàm số y| sin |x là hàm số tuần hoàn với chu kì bằng bao nhiêu?

2



Câu 15: Đồ thị hàm số ytanx2 đi qua điểm nào sau đây?

A ( ;1)

4

M 

B (0; 0)O C (1; )

4

N 

D ( ;1)

4

P 

Câu 16: Điều kiện xác định của hàm số y tanx là:

sin2

y x

A x 2

2

k

x k



  





 



D

x 2 3

k

  





  



Câu 17: Tập xác định của hàm số ycotx là:

A \ ,

2

k k Z

Câu 18: Giá trị lớn nhất của hàm số sin 2 cos 1

y



  là:

Câu 19: Điều kiện xác định của hàm số 2sin 1

1 cos

x y

x





 là

A

2

x  k

B xk C xk2 D 2

2

x  k 

Câu 20: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin 3

x

  lần lượt là

A 0 và – 3 B 2 và 0 C 2 và – 3 D – 1 và – 5

Câu 21: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 7 2 cos( )

4

y  x

lần lượt là:

A 4 à 7v B 2 à 7v C 5 à 9v D 2 à 2v

Câu 22: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin2x4sinx5 là:

Câu 23: Điều kiện xác định của hàm số 1 3cos

sin

x y

x



A xk B

2

x  k

C xk2 D

2

k

x 

Câu 24: Mệnh đề nào sau đây là đúng

A cosx     1 x  k B cos 0

2

x   x  k

2

x   x  k 

D cosx   1 x  k

Câu 25: Điều kiện xác định của hàm số ycos x là

A x0 B x0 C x0 D x0

Câu 26: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 2 cos

2

x

y  lần lượt là

A 3 và -1 B 3 và 2 C 1 và 0 D 2 và 1

Câu 27: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ?

A y cosx B ysinx C ycosx D ysin2x

Câu 28: Cho hàm số ( ) 2sin

2

x

y f x  Với mọi số nguyên k và x thì:

2

k

f x   f x

3

( ) 2

k

f x   f x

  C f x k   f x( ) D f x k  4 f x( )

Câu 29: Điều xác định của hàm số ytan 2x là

A

k

x  

B

k

x   

C

2

x  k

D

4

x  k

Câu 30: Điều kiện xác định của hàm số 1 sin

sin 1

x y

x





 là

A x  k2 B 2

2

x  k 

C xk2 D 3 2

2

x  k 

Câu 31: Hàm số xác định khi và chỉ khi

A x k  B    

2 2

Câu 32: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y4 sinx 3 1 lần lượt là:

A 4 2 1 à 7 v B 4 2 à 8v C 2 à 4v D 2 à 2v

Câu 33: Tập giá trị của hàm số y4 cos 2x3sin 2x6 là:

A  3;10 B  1;11 C 6;10  D 1;13

Câu 34: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ;

2

 

A ysinx B ycosx C ytanx D ycotx

Câu 35: Tập xác định của hàm số y tan 2x là:

C \ ;

2

k k

Câu 36: Điều kiện xác định của hàm số 1

sin 2

y

x

 là

A xk B xk2 C

2

x  k

D

4

x  k

Câu 37: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y3sin 2x5 lần lượt là:

A 8 àv 2 B 5 à 2 v C 5 à 3v D 2 à 8v

Câu 38: Hàm số ysinx nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A ;

2

 

2



 

 

1 sin

1 sin

x y

x







2 2

x  k 

2 2

x   k 

Câu 39: Tập xác định của hàm số y 1 cos x2 tanx là:

2 k k

C \k2 , k  D \ 2 ,

Câu 40: Hàm số ycosx đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A ;

2

 

2





Câu 41: Hàm số ytanx đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A ; 2

2

 

2 2

 

Câu 42: Hàm số ycotx nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A 0; 2 B 0; C  ;  D ;

2 2

 

Câu 43: Đồ thị hàm số ycosx đi qua điểm nào sau đây?

A M( ;1) B N(0;1) C ( 1; )P   D (3 ;1)Q 

Câu 44: Đồ thị hàm số ycotx đi qua điểm nào sau đây?

2

P 

D Q(;0)

Câu 45: Đồ thị hàm số sin

4

y x 

  đi qua điểm nào sau đây?

A ( ;0)

4

M 

B ( ;1) 2

N 

C ( ;0)

4

P 

D Q(0; 0)

Câu 46: Đồ thị hàm số sin

4

y x

đi qua điểm nào sau đây?

A ( ;1)

4

M 

B ( ;1) 2

N 

C (0; )

4

P 

D ( ;0)

4

Q 

Câu 47: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ; 0

2



A ysinx B ycosx C ytanx D ycotx

Câu 48: Hàm số ycos 4x là hàm số tuần hoàn với chu kì bằng bao nhiêu?

2



D 4

Câu 49: Hàm số sin

5

x

y là hàm số tuần hoàn với chu kì bằng bao nhiêu?

5



D 2

Câu 50: Hàm số ysin 2018x là hàm số tuần hoàn với chu kì bằng bao nhiêu?

A

1009



B 2018 C

2018



D 4036

Câu 51: Hàm số ytan 2018x là hàm số tuần hoàn với chu kì bằng bao nhiêu?

A

1009



B 2018 C

2018



D 4036

Câu 52: Hàm số cot

2018

x

y là hàm số tuần hoàn với chu kì bằng bao nhiêu?

A

1009



B 2018 C

2018



D 1009

Câu 53: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y sinx B ysinx C y cosx D ysin 2x

Câu 54: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ?

A y| tan |x B ytan 2x C ycot | |x D ycot2x

Câu 55: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y | cot |x B ycotx C ycot 4x D ytan 2x

Câu 56: Với 0 x

2

 thì hàm số nào sau đây nhận giá trị âm?

A ytan(x) B ysin(x) C ycot(x) D ycos(x)