Điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn O sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2018
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang, 05 câu
Câu 1 (4 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ( ; )x y thỏa mãn phương trình: (x1)4 (x 1)4 y3 b) Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2p1 là lập phương của một số tự nhiên
Câu 2 (6 điểm)
2.1 Cho
2
1 ( )
P x
a) Rút gọn biểu thức P x( )
b) Với x0 tìm giá trị lớn nhất của 7
( )
x
P x
2.2 Giải hệ phương trình:
3
2 3
x y x
xy x
Câu 3 (4 điểm)
3.1 Cho hàm số 2
yx có đồ thị là ( )P và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt
là: 3; 3
3
Đường thẳng (d) có phương trình yax b
a) Tìm a b, biết ( )d đi qua hai điểm A và B
b) Tính diện tích của tam giác OAB (điểm O là gốc toạ độ)
3.2 Cho 3 số dương a b c, , thỏa mãn: a b c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1
P
Câu 4 (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB và một điểm Q trên đoạn thẳng AB, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳngAB ta dựng hai tam giác đều AQC và QBD Gọi P là giao điểm của BC và AD
a) Chứng minh QBDP là tứ giác nội tiếp và BP BC AP AD AB2
b) Biết AB15cm Hãy tính CP CB DP DA
c) Gọi O và O’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giác AQC và QBD Gọi ,
E F lần lượt là giao điểm của AD BC, với đường thẳng OO’ Chứng minh CE DF
Câu 5 (1 điểm) Cho đường tròn ( )O có bán kính R0 và BC là một dây cung cố định của đường tròn đó, BC2a với 0 a R Điểm A di động trên cung lớn BC của đường tròn
( )O sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các điểm D, E, F lần lượt là chân các đường
cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của ABC Tìm giá trị lớn nhất của DEEFFD theo a và R
-Hết -
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2018
Môn: Toán
Hướng dẫn này gồm 05 câu, 6 trang
(x1) (x 1) y 2,00
Giả sử x y, là các số tự nhiên thỏa mãn: 4 4 3
(x1) (x 1) y
Ta biến đổi: (x1)4 (x 1)4 [(x1)2 (x 1) ].[(2 x1)2 (x 1) ]2 0,25
4 (2x x 2) 8x 8x
Vì x là số tự nhiên nên 8x38x8x3(2 ) x 3 0,25
8x 8x8x 12x 6x 1 (2x1) 0,25 Suy ra (2 )x 3 8x38x(2x1) 3 Hay (2 )x 3 y3 (2x1) 3 Suy ra 2x y 2x1 0,25
Suy ra: 8x38x(2 )x 3 8x 0 x 0 0,25 Vậy chỉ có một cặp số tự nhiên thỏa mãn là ( ; )x y (0; 0) 0,25
1 b Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2 p1 là lập phương của một số tự nhiên 2,00
Do 2p1 là lập phương của một số tự nhiên, suy ra 2p 1 n3n lẻ 0,25
2 1,
n k k
2p 1 2k1 2p 1 8k 12k 6k1 0,25
Và p là nguyên tố nên k chỉ có thể là 1 0,25
3
2p 1 3
13
p
2.1 a
Cho
2
1 ( )
P x
với x0. Rút gọn biểu thức ( ) P x 2,00
2
( )
x x x
P x
Trang 3 3
1
1
x
0,50
1 1
1
x x
2.1 b
Với x0 tìm giá trị lớn nhất của 7
( )
x
2
1
P x x x
x
x
1
x
x
Đẳng thức xảy ra khi x 2 x 2
x
0,25
Vậy max7 2 2 1
( )
x
2.2
Giải hệ phương trình:
3
2 3
x y x
xy x
Ta thấy x0 không thỏa mãn hệ đã cho, suy ra x0 0,50
Hệ đã cho tương đương:
3
3
1
2 3
1
2 3
y x
y
x
0,50
Đặt 1 u
x hệ đã cho có dạng
3 3
2 3
2 3
u y u uy y
3
3 0
u y
u
Trang 4u y
do
2 3
3 0
u
u y y y y y y 1
2
y y
+) y 1 u 1 x 1 hệ đã cho có nghiệm x y; 1; 1
0,25
0,25
2
y u x hệ đã cho có nghiệm 1
2
x y
Vậy, hệ đã cho có nghiệm x y là: ; 1; 1 và 1; 2
2
0,25
0,25
yx có đồ thị là ( ) P và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt
là 3; 3
3
Đường thẳng (d) có phương trình yax b Tìm , a b biết ( ) d đi qua
hai điểm A và B
1,50
Ta có A 3;3 và 3 1;
3 3
Do đường thẳng ( )d đi qua , A B nên
0,50
a b
a b
a b b
2 3 3 1
a
b
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên Oy
Ta có: tan 3
3
AM AOM
OM
AOM 30
3 1
NB BON
ON
0,25
0,25
2 3 sin 30
AM
sin 60 3
BN
OB
0,25
0,25
Trang 5Suy ra BOA3060 90
Diện tích tam giác OAB là 1 2 3
S OA OB
0,25
0,25
3.2 Cho 3 số dương , , a b c thỏa mãn: a b c 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1
P
ab bc ca
1,00
Ta có: 1 1
ab
ab ab
Vì 1 2
Vì
2
ab a b 1 1
ab ab
a b ab
Tương tự ta có: 1 1
b c bc
1 1
c a ca
0,25
a b c P
ab bc ca
Đẳng thức xảy ra khi a b và ab1 suy ra a b c 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3
2 khi a b c 1.
0,25
4 a Chứng minh QBDP là tứ giác nội tiếp và BP BC AP AD AB2 2,00
Ta có AQDCQB và QAQC QD, QB nên AQD CQB 0,50 Suy ra: PDQPBQ nên QBDP là tứ giác nội tiếp 0,50
AQP ADB nên AQP ADB g g( ) AP AQ AP AD AQ AB
AB AD
Trang 6Tương tự ta có: BP BC BA BQ.
AP ADBP BC AB AQAB QBAB AQ QB AB 0,50
Tứ giác QBDP nội tiếp nên PQDPBD
Do BD/ /QC nên PBDBCQ (Hai góc so le trong)
0,50
nên CP CQ
CQ CB hay CP CB C Q2 A Q2 0,50
DP DADQ BQ
Vậy CP CB DP PA AQ QB 15cm 0,50
4 c Gọi O O lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giác , ’ AQC QBD Gọi ,
,
E F lần lượt là giao điểm của AD BC với đường thẳng , OO Chứng ’
minh CE/ /DF
1,00
Tứ giác QBDP nội tiếp nên AQPPDB
Suy ra: AOPPO B' Mà AOP và PO B lần lượt cân tại O và O’ nên '
'
EPOFBO (1)
0,25
Ta có: APQ ACQ60 và QPBQDB60
Nên PQ là phân giác của góc EPF
Mà OO’ là trung trực của đoạn thẳng PQ nên PQEF
Suy ra tam giác PEF cân tại P nên PEOPFO
0,25
Mà PFOBFO' nên PEOBFO' (2)
Từ (1) và (2) ta có: EOP FO B g g ' ( )
0,25
Suy ra
EO OP OC
FO O BO D (3)
Vì OCAB và DO'AB nên OC/ /DO nên ' EOCFO D' (4)
Từ (3) và (4) suy ra: EOC FO D c g c Suy ra ' ( ) CEODFO'CE/ /DF
0,25
Trang 75 Cho đường tròn ( ) O có tâm O, bán kính R0và BC là một dây cung cố
định của đường tròn đó, BC2a với 0 a R Điểm A di động trên cung lớn BC
của đường tròn ( ) O sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các điểm D, E, F
lần lượt là chân các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của ABC Tìm giá trị lớn
nhất của DEEFFD theo a và R
1,00
Vẽ tia At là tiếp tuyến của ( )O tại A
Vì BFCBEC90 nên tứ giác BFEC nội tiếp Nên AEF ABC
Mặt khác CAtABC Suy ra AEF CAt nên At/ /EF
Mà OAAt nên OAEF
0,25 Gọi M là giao điểm của đường thẳng OA và đường thẳng EF
EF R
S S FM OA EM OA
2
FD R
2
ED R
2
ABC
DE EF FD R
Gọi K là trung điểm của BC
Và AD OA OK R OB2BK2 R R2a2 0,25 Suy ra: (DEEFFD R) 2 (a R R2a2)
Vậy giá trị lớn nhất của DEEFFD là
2 2
a R R a R
Đẳng thức xảy ra khi DK hay A là điểm chính giữa của cung lớn BC
0,25
Chú ý:
- Nếu thí sinh giải theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của câu đó
- Nếu thí sinh giải theo cách khác nhưng chưa hoàn thiện lời giải thì giám khảo chỉ cho điểm những ý làm được nếu chỉ ra được lời giải hoàn thiện theo hướng làm đó