Tài liệu Giáo trình trường điện từ_Chương 3 + 4 pptx

Trường điện từ biến thiên có thể lan truyền trong không gian hoặc trong môi trường chất dưới dạng sóng.. III.2 Khá i nie äm ve à the á vô hướ ng III.2 Khá i nie äm ve à the á vô hướ ng

Chương III Chương III TRƯỜ TRƯỜ NG ĐIỆ NG ĐIỆ N TỪ N TỪ BIẾ BI Ế N THIÊ N THIÊ N N

III.1 Khá i nie äm

III.1 Khá i nie äm

Như ở các chương trước ta đã biết trường từ biến thiên sinh ra trường điện và trường điện biến thiên sinh ra trường từ Khi đó trường điện và trường từ liên hệ chặt chẽ với nhau Trường điện từ biến thiên có thể lan truyền trong không gian hoặc trong môi trường chất dưới dạng sóng Sóng điện từ, bao gồm ánh sáng, tia X, tia hồng ngoại, tia gamma (γ), sóng radio đóng vai trò rất quan trong trong vật lý và được sử dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật và đời sống

Để khảo sát trường điện từ biến thiên ta dùng hệ phương trình Maxwell tổng quát như đã mô tả ở chương I

C

dSDdt

ddSJd

H

rr

l

r

; ∫ =− ∫

B C

dSBdt

dd

E

rl

dVdS

rot

∂

∂+

=

rrr

;

t

BE

(E Es) E JS

J

;HB

;

E

D

rrr

rrrr

r

r

+σ

=+σ

=µ

rrr

σ

=

= ; và với phương trình liên tục

tJ

rr của các phương trình Maxwell đối với các điều kiện ban đầu (E(x,y,z t)t 0; H(x,y,z t)t 0

=

=

rr

trong thể tích V và điều kiện bờ xác định (E(x,y,z t)S, H(x,y,z t)S

rr

) là duy nhất

III.2 Khá i nie äm ve à the á vô hướ ng

III.2 Khá i nie äm ve à the á vô hướ ng ϕϕ và the á ve ctor A và the á ve ctor

r

Cũng tương tự như trường điện từ không biến thiên theo thời gian (trường tĩnh và trường dừng), để phân tích toán học trường điện từ biến thiên người ta đưa ra khái niệm thế vô hướng và thế vector của trường điện từ biến thiên

Về phương diện toán học ta có thể chứng minh được rằng divrotFr =0với một vector Fr bất kỳ Theo phương trình Maxwell thứ ba thì divBr =0 (định luật Gauss đối với trường từ), do đó ta có thể đặt B rotA

rr

= Ta gọi vector Ar là của trường điện từ biến thiên

Theo phương trình Maxwell thứ hai (định luật cảm ứng điện từ Faraday đối với trường điện từ biến thiên):

t

BE

rottErot

rr

r

t

ArotE

rr

t

AE

rr

Mặt khác ta có thể chứng minh được bằng các phép toán rằng rotgradf =0 với

f là đại lượng vô hướng bất kỳ Vậy ta có thể đặt  =− ϕ

rr

Ta gọi ϕ là thế vô hướng của trường điện từ biến thiên Ta có mối liên hệ giữa Er

rr

⇒

t

Agrad

E

∂

∂

−ϕ

−

=

rr

∂r ⇒ công thực hiện để di chuyển một điện tích giữa hai điểm

trong trường phụ thuộc vào đường đi Vậy trường điện từ biến thiên không phải trường thế

Ta có thể chứng minh được rằng với một trường điện từ biến thiên cho trước ( BE,

r

r

cho trước), các giá trị A,ϕ

r không đơn trị

Thật vậy, nếu gọi f là một hàm vô hướng liên tục bất kỳ phụ thuộc vào không gian và thời gian Đặt Ar′=Ar +gradf , khi đó

ArotgradfrotA

rot

A

rot

rr

r

=+

=

′ Theo định nghĩa ta có Br =rotAr =rotAr′

Mặt khác, đặt

=ϕ′ , khi đó

Et

Agrad

gradft

t

At

fgradgrad

t

At

fgrad

t

Agrad

E

rr

r

rr

−

=

∂

∂+

−

=

, tức E E

rr

=

′

Vậy ta thấy tồn tại vô số các giá trị A,ϕ

r thỏa các điều kiện định nghĩa Do đó để A,ϕ

r

xác định hoàn toàn ta cần đưa thêm điều kiện phụ cho chúng Trong điện động lực học người ta đưa vào điều kiện phụ Lorentz:

0tA

∂

ϕ

∂εµ+

r

Ta có thể giải thích sự lựa chọn này như sau Theo phương trình chất B H

rr

µ

ta có:

1H

rot

rr

AJ

t

Agrad

t

Jt

EJ

t

DJ

Arotrot

1Brot

1H

−

∂

∂ε

−

∂

∂ε+

=

∂

∂ε+

=

∂

∂+

=

µ

=µ

=

rr

rr

rr

rr

rr

r

Mặt khác về mặt toán học có thể chứng minh được:

AgraddivAdivgradA

rot

rot

rr

AJ

AgraddivAdiv

−

∂

∂εµ

−µ

=

−

rr

rr

t

AA

graddivt

Adivgrad

2

rr

µ

=

∂

∂εµ+

Vậy điều kiện Lorentz 0

tA

∂

ϕ

∂εµ+

r

thể hiện tính liên tục của dòng điện toàn phần Hiện tại ta chọn như vậy để được một phương trình đơn giản hơn

III.3 Sự lan truye à n củ a trườ ng đie ä n từ bie á n thie â n Phương trình d’A

III.3 Sự lan truye à n củ a trườ ng đie ä n từ bie á n thie â n Phương trình d’Alembert lembert

Theo phương trình cuối cùng ta suy ra:

Jt

AA

t

AA

−

∆

môiđiệntrong

dẫnvật trong 0

Jt

AA

J

∂

∂

⋅σ

−

=σ

=

rr

r

Khi đó:

0t

At

AA

−

∂

∂εµ

−

∆

rr

t

Av

1At

AA

2

2 2

2 2 2

−

∆

rr

rr

rr

hay viết gọn lại như sau:

( )vt 0

AA

Phương trình này được gọi là phương trình d’Alembert về truyền sóng của trường điện từ biến thiên trong điện môi

Ta có thể viết phương trình d’Alembert tổng quát như sau:

dẫnvật trong 0

Jvt

AA

r, suy ra:

−

t

Agrad

∆

tr

div

∂

ϕ

∂εµ

ta có thể suy ra được điều kiện bờ cho các thế Ar và

ϕ Tìm được Ar và ϕ ta có thể suy ra HE,

rr Giải các phương trình vi phân tìm Ar và ϕ người ta chứng minh được chúng diễn tả hiện tượng lan truyền sóng: các nghiệm Ar và ϕ lan truyền từ nguồn (tức vùng có chứa các điện tích ρ) vào không gian xung quanh với vận tốc

µε

v Chiều truyền sóng chính là chiều truyền năng lượng Ngoài ra ta cần chú ý rằng tốc độ lan truyền của sóng điện từ trong một môi trường là như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính Trong chân không sóng điện từ lan truyền với vận tốc c=3⋅108m/s Sóng điện từ có khả năng xuyên thấu mọi chất và chân không

dVV

( )r

P rR

r

r

r0

x

yz

Hình 3.2

Trong môi trường đồng nhất vô hạn ε=const;µ=const, các phương trình trên có nghiệm như sau:

=ϕ

Rtr4

1tr

R

dVv

RtrJ4trA

rr

rrr

r

trong đó V là vùng nguồn có chứa các điện tích tự do (hình 3.2) Vậy sự thay đổi thế Ar và ϕ diễn ra trễ hơn sự thay đổi Jr và ρ một khoảng thời gian vR ,

do đó Ar và ϕ gọi là thế trễ

Các phương trình truyền:

( )vt J

AA

=ε

E

∂

∂

−ϕ

−

=

rr

có ý nghĩa như sau:

– Mô tả sự lan truyền của trường và mối quan hệ giữa trường-chất (A↔ J,µ,ε

r

r

;ϕ↔J,µ,ε

r);

– Mô tả tính chất lan truyền của trường trong các môi trường khác nhau với

III.4 Trường đie än từ bie án thie ân trong đie än môi lý tưở ng

III.4 Trường đie än từ bie án thie ân trong đie än môi lý tưở ng

Trong một số trường hợp khi khảo sát trường điện từ biến thiên trong điện môi lý tưởng để đơn giản ta có thể coi gần đúng trường điện từ biến thiên như trường thế (mô hình trường thế), khi đó thay vì giải phương trình d’Alembert ta chỉ cần giải phương trình Laplace-Poisson Bài toán khi đó trở nên đơn giản hơn nhiều Ví dụ các trường hợp đặc biệt có thể sử dụng mô hình trường thế: trường biến thiên giữa hai bản tụ điện rộng và đặt gần nhau, trường biến thiên ở lớp không khí bao quanh các đường dây dẫn điện, v.v…

III.4.1 Phươ ng trình trạng thá III.4.1 Phươ ng trình trạng thá i củ i củ a đie än môi a đie än môi

Đối với trường biến thiên không phải lúc nào ta cũng có mối quan hệ tuyến tính đơn giản P 0kEE

rr

ε

= hay D 0(1 kE)E E

rrr

ε

=+

ε

= , mà các mối quan hệ này thường được biểu hiện dưới dạng vi phân Người ta chia điện môi lý tưởng thành hai loại như sau:

v Điện môi lý tưởng không nhớt (hay không trễ): vector Pr biến thiên kịp so với Er do quán tính dipole đủ nhỏ so với tốc độ biến thiên của trường Erhoặc khi trường biến thiên tương đối chậm Khi đó P 0kEE

rr

ε

=+

∆

tíchđiệncó khôngvùng

ở

tíchđiệncóvùng

ở 0tz,y,

x

v Điện môi lý tưởng nhớt: vector P

r không biến thiên kịp so với Er, tức sự phân cực của các phân tử điện môi biến thiên chậm so với sự biến thiên của trường Khi đó Pr và Er liên hệ với nhau bởi phương trình vi phân bậc I:

EkPdt

P

d

E 0

rr

r

ε

=+

τ , τ gọi là hằng số thời gian,

hoặc ở một số điện môi Pr và Er liên hệ với nhau bởi phương trình vi phân bậc cao hơn:

(E,P,P ,P , ) 0

f r r r' r'' =

III.4.2 Phương trình Laplace

III.4.2 Phương trình Laplace Poisson đố Poisson đố i vớ i vớ i ả i ả nh Laplace củ nh Laplace củ a hà a hà m thế m thế vô hướ ng

F(p) gọi là ảnh Laplace của hàm f(t)

Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace:

1dt

→

( )t P( )p

P

rr

rr

r

ε

=+

r

ε

=+

τ

Suy ra:

( ) ( ) ( )

1p

kpE

pPp

⋅ε

∆

tíchđiệncó khôngnơi

ở

tíchđiệncónơi

ở 0

p

~pp

Trong trường hợp điện trường biến thiên điều hòa thì phép biến đổi Laplace được thay bằng biến đổi Fourier

( )p →P( )jω

P

rr

Phương trình Laplace-Poisson khi đó có dạng:

III.4.3 Đie àu kie än bờ

Để nghiệm của các phương trình trên hoàn toàn xác định ta cần có các điều kiện bờ hỗn hợp trên mặt tiếp giáp hai môi trường

v Mặt tiếp giáp điện môi – điện môi:

Trường hợp trường điều hòa:

( )j E ( )j 0

E1τ ω = 2τ ω =

( )jω =σ ( )jω

III.4.4 Toá n tử đie än môi phứ c

III.4.4 Toá n tử đie än môi phứ c Đặc tính tần số củ Đặc tính tần số củ a đie än môi a đie än môi.

Trong kỹ thuật ta thường gặp loại trường biến thiên điều hòa Để phân tích trường trong trường hợp này ta dùng các toán tử Fourier ~ε( ) ( )jω,k~ jω

Xét môi trường điện môi nhớt bậc I, ta có:

( )

1j

1kjj

++ωτ

⋅ε

=ω

1j

kj

k

+ωτ

11

j11kjj

~

2 2

E 2

2 E 0

2 2

E 0

+τω

ωτ

−τω++ε

=+

τω

ωτ

−++ωτε

=ω

2 2

2 2 E 0

1

+τω

τω++ε

=ω

1

k

2 2

E 0

2

+τω

ωτε

=ω

1

1k

2 2

2 E 2 2 0

2 2

2 1

+τω

++τω

⋅ε

=ωε+ωε

ktg

E 2 2

E 1

2

++τω

ωτ

=ωε

ωε

=ωδ

εω

Thật vậy, mật độ công suất, tức độ biến đổi năng lượng trường trong một đơn vị thể tích điện môi là:

t

DEEJ

là mật độ dòng điện dịch

Nếu trường biến thiên điều hòa, ta xét phương trình trên bằng các đại lượng phức:

jE

~jDj

J&rd = ω&r = ωε&r = ωε1− ε2 &r

=ε2ωE&r +jωε1E&r =J&r 1+J&r 2

2 1

hd 1 hd

2 cd

E =ωε , tỉ lệ với ε1 Góc tiêu tán

2 hd 1

2 hd 2 1

2

E

Etg

ωε

ωε

=ε

ε

=

δ bằng tỉ số công suất tiêu tán trung

bình với biên độ công suất tích phóng năng lượng, vậy cũng đặc trưng cho khả năng tiêu tán năng lượng trường trong điện môi

v Đối với điện môi không nhớt τ = 0, suy ra ε2 =0;tgδ=0, tức không có hiện tượng tiêu tán năng lượng điện từ

v Trong điện môi nhớt, có tồn tại sự tiêu tán năng lượng điện từ Ví dụ như một tụ điện có điện môi nhớt giữa hai bản có mạch tương đương như trên hình 3.4a) và 3.4b)

)(

g1 ω

)(

C1 ω

)(

hai bản tụ trong từng điện môi Cho τ1=10−8s; τ2 =0; kE =4; ε2 =3,4;

m10

d

d1= 2 = −4 ; 1 2

m10

d

2

d

r)t(i

0t nếu e)t(ex

→ ; i( )t →I( )p ;

( )t E ( )p

rr

→ ; u( )t → U( )p (phân bố thế trong tụ)

Ta có ( )

1p

1kpp

~

1

E 1 0

++τε

=

1p

1kpp

~

1

E 1 0

++τε

2

2

=

Nghiệm của phương trình này có dạng:

Trong lớp điện môi thứ nhất: ϕ1( )p =Ax+B;

Trong lớp điện môi thứ hai: ϕ2( )p =Cx+D

Điều kiện bờ:

– Trên bản thứ nhất của tụ điện x = 0: 0

0 x

– Trên bản thứ hai của tụ điện x = d: ϕ2 x=d =e( ) ( )p −rI p ;

– Tại bờ giữa hai điện môi x=d1: ϕ1( )d1 =ϕ2( )d1 ;

1

2 2 d x

1

1

x

~x

Vậy dòng điện dịch qua tụ là:

( ) ( )

t

tE

~St

DSt

suy ra phương trình đối với ảnh Laplace có dạng: I( )p =p⋅~ε1E1( )p ⋅S

Theo điều kiện đề bài, e(t) có dạng là một phân bố Dirac Hàm này có ảnh Laplace là: e( )p =e p

Từ các điều kiện bờ suy ra:

+

=+

⋅ε

−

=+

=

C

~A

~

DCdBAd

SpE

~rpp

eDCd

0

B

2 1

1 1

1 1

Giải hệ phương trình trên ta tìm được các hằng số A, B, C, D

[ 1 2 1 2 2 1]

2

~d

~d

~

~prSp

e

~A

ε+ε+εε

⋅ε

[ 1 2 1 2 2 1]

1

~d

~d

~

~prSp

e

~C

ε+ε+εε

⋅ε

[ 1 2 1 2 2 1]

1 2

~d

~d

~

~prSp

de

~D

ε+ε+εε

⋅

⋅ε

~

~prSp

e

~x

,

p

1 2 2 1 2 1

2

ε+ε+εε

⋅ε

~

~prSp

ex

,

1 2 2 1 2 1

ε+ε+εε

,p

,

p

E

ε+ε+εε

⋅ε

=

1kpd1p

1kpd1

p1p

1kp1kpprS

p

1p

1kpe

1

E 1 2 2

E 2 1 1

2

E 1 E

2 0

2

E 2

+τ

++τ++τ

++τ+

++τ++τε

⋅

+τ

++τ

⋅

=

Tương tự ta suy ra công thức cho E2( )p,x

Thế các giá trị số vào các công thức này ta được:

( ) p(p bp c)

1pNp

E

2

1 1

1

++

+τ

1kpNpE

2 E 1 2 2

++

++τ

1 2 0

1 0 2 2 1 E 2

rS

dd

k1rS

τεε

τε+ε++εε

1 2 0

E 0 2 2

rS

1kdd

τεε

+ε

+ε

18 0

2 1

Sau đó dùng phép biến đổi Laplace ngược ta sẽ nhận được các giá trị cường độ điện trường trong miền thời gian E1( ) ( )t ,E2 t ♦

≈σ

pJp

~

+τ

( ) =σ ( )ω + σ ( )ω

+ωτ

σ

=ω

1jj

( )ω

σ1 đặc trưng cho khả năng tiêu tán, va chạm của các hạt mang điện tự do với mạng lưới tinh thể của vật dẫn, σ2( )ω đặc trưng cho quán tính của các hạt dao động

Vậy hệ phương trình của mô hình trường thế được viết thành:

III.6 Trường đie än từ bie án thie ân trong môi trường có I.6 Trường đie än từ bie án thie ân trong môi trường có tổn hao không nhớ tổn hao không nhớ t t

Trong môi trường có tổn hao có cả hiện tượng phân cực lẫn hiện tượng dẫn điện dưới tác dụng lực điện trường Để đơn giản hóa việc khảo sát trường

ta coi môi trường là không nhớt và các thông số ε,σ là các số thực Trong một số bài toán bờ đặc biệt ta có thể dùng mô hình trường thế

(x,y,z t) 0

E

rotr = hay Er =−gradϕ

(x,y,z t) 0J

t

EE

rr

Mỗi thông số của trường và chất biến thiên theo thời gian được thay thế bằng ảnh Laplace:

+σ

rr

p

~p

~ε = σ =ε+σ hay trong trường hợp trường điều hòa

jj

=ω

σ+ε

=ω

P

d

E 0

rr

r

ε

=+

kpE

pPpk

8

8 0

8

8 0

E 0

0

10p

104p1

p10

4p10

1p10

13p101

p

1kpp

k

~1p

~

+

⋅+ε

=+

+ε

=

+

++ε

=+τ

++τε

=+

p104pp

~pp

~

+

⋅+ε

=ε

=

σ

Trong trường hợp trường biến thiên điều hòa:

( ) =ε ( )ω − ε ( )ω

+ω

⋅+ωε

=ω

104jj

~

+ω

ω

⋅+ω

−ε

=ω

8

8 2

10j

104j

2 Tụ điện phẳng có diện tích bản mặt là S=10− 3m2, khoảng cách giữa hai bản là d=10−4 m cách điện bằng lớp điện môi nhớt bậc I có

s10

,

3

kE = τ= −8 Tìm các thông số trong mạch tương đương C // g ở tần số

s/

Y= ω = ω ε

Vậy trong trường hợp tụ điện không lý tưởng ta có:

1j

1kjd

Sj

~d

Sj

C~j

+ωτ

++ωτεω

=εω

=ω

=

1

1kj

kd

S1

j

j1kd

S

2 2

E

3 E

2 0 E

2 0

+τω

+ω+τω+τωε

=+

ωτ

ω++τω

−ε

SYRe

g

2 2 E 2 0

+τω

τω

⋅ε

=

1

1kd

SYIm

1C

2 2 E 2 0

+τω

++τωε

=ω

♦

III.7 Phương trình Laplace đối vơ

III.7 Phương trình Laplace đối vơ ù ù i từ trường bie án thie ân i từ trường bie án thie ân

Khi từ trường biến thiên chậm trong môi trường điện môi xung quanh các đường dây dẫn điện ta có thể dùng mô hình trường thế, tức

0t

EE

H

∂

∂ε+

σ

=

rr

r

Hệ phương trình mô tả trường khi đó sẽ có dạng:

=

=

=

MHB

0tz,y,xB

div

0tz,y,xH

rot

0

rrr

r

r

Người ta phân từ môi ra làm hai loại:

– Từ môi không nhớt khi có thể bỏ qua được quán tính của các dòng điện Ampère, tức khi vector phân cực từ Mr biến đổi kịp với tốc độ biến thiên của từ trường Khi đó vector Mr tỉ lệ với vector cường độ từ trường Hr:

Hk

Mr =µ0 Mr ⇒Br =µHr

Phương trình Laplace: ∆ϕM(x,y,z t)=0; trong đó từ thế ϕM liên hệ với cường độ từ trường như sau: Hr =−gradϕM

– Từ môi nhớt: khi vector phân cực từ Mr không biến đổi kịp với tốc độ biến thiên của từ trường Khi đó các vector Mr và Hr liên hệ với nhau bởi phương trình vi phân:

dt

M

d

M 0

rr

r

µ

=+

τ , trong đó kM là hệ số phân cực từ, τ là hằng số thời gian

Làm các phép tính tương tự như các phần trên ta tính được toán tử ~µ( )p đặc trưng cho môi trường:

( )

1p

1kpp

++τµ

M

1j

1kjj

+ωτ

++ωτµ

=ω

III.8.1 Môi trường tuye án tính, đẳ ng hướ ng

III.8.1 Môi trường tuye án tính, đẳ ng hướ ng

– Ở trường tĩnh và dừng (không biến thiên theo thời gian) môi trường được đặc trưng bởi các thông số kE,kM,ε,µ;

– Đối với trường biến thiên, môi trường được đặc trưng bởi các toán tử

σµ

– Trong chân không: kE =kM =1, ε0,µ0

III.8.2 Toá n tử đie än dung và đie än cả m

III.8.2 Toá n tử đie än dung và đie än cả m C L~

dSE

dE

dSDu

q

C

lrr

lr

r

hay

u

qC

∂

∂

= Điện cảm đặc trưng cho khả năng tích lũy năng lượng từ trong một cuộn dây

i

dSBi

i

,u

∂ không xác định Khi đó để khảo sát ta dùng ảnh Laplace

của các đại lượng

Khi đó ta định nghĩa toán tử điện dung và điện cảm như sau:

Toán tử điện dung:

( ) ( ) ( )

pU

pQp

C~ = hay ( )ω = ( ) ( )ωω

jU

jQj

Toán tử điện cảm:

( ) ( ) ( )

pI

pp

L

~ =Φ hay ( )ω = Φ( ) ( )ωω

jI

jj

III.8.3 Môi trường phi tu

III.8.3 Môi trường phi tuye án ye án

Trong môi trường phi tuyến các vector EPr,r và Mr ,Hr liên hệ không tuyến tính với nhau, do đó không có khái niệm về các toán tử tuyến tính

σµ

Tương ứng, người ta đưa ra khái niệm điện dung, điện cảm trung bình và vi sai:

hd hd

C = ; Ltb =Φhd Ihd ;

uq

Cd =∂ ∂ ; Ld =∂Φ ∂i

III.8.4

III.8.4 Môi trường tuye án tính không đẳ Môi trường tuye án tính không đẳ ng hướ ng hướ ng ng

Trong loại môi trường này ta có quan hệ EPr,r như sau:

z zz y zy x zx z

z yz y yy x yx y

z xz y xy x xx x

EkEkEk

P

EkEkEk

P

EkEkEk

P

++

=

++

=

++

+ε

=+

ε

=

ε

zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx 0

E 0

k1k

k

kk

1k

kk

k1k

III.9 Phương trình truye à n củ a trườ ng đie ä n từ bie á n thie â n tr

III.9 Phương trình truye à n củ a trườ ng đie ä n từ bie á n thie â n trong cá ong cá c mô c mô i trườ i trườ ng ng

– Trong điện môi lý tưởng không nhớt σ=0, ε là số thực, phương trình truyền trong môi trường không tiêu tán là phương trình d’Alembert:

AA

−

∆

rr

E

∂

∂

−ϕ

−

=

rr

Trong môi trường không tiêu tán, trường và năng lượng truyền với vận tốc như nhau

– Trong môi trường dẫn không nhớt, độ dẫn điện σ là số thực, ta có:

t

At

AA

2

2

∂

∂µσ

=

∂

∂εµ

−

∆

rr

r

Đây là phương trình có tiêu tán Joule

Ta cũng có thể suy ra phương trình truyền cho các vector cường độ trường Er và Hr Ta có hằng đẳng thức:

HBdivgrad

1HgraddivHdivgradH

rot

∂

∂+

=

rrr

HE

rotttB

DrottErott

DJrotHrot

rot

∂

∂εµ

−

∂

∂µσ

−

=

∂

∂ε+

=

rr

rr

rr

rrr

Vậy ta suy ra phương trình cho cường độ từ trường Hr có dạng tương tự như phương trình cho Ar trong môi trường dẫn không nhớt:

t

Ht

HH

2

2

∂

∂µσ

=

∂

∂εµ

−

∆

rr

r

Tương tự với vector cường độ điện trường Er ta cũng chứng minh được:

t

Et

EE

2

2

∂

∂µσ

=

∂

∂εµ

−

∆

rr

r

Vậy tương tự như các hàm thế Ar và ϕ, các cường độ trường điện và từ lan truyền trong không gian với vận tốc v=1 εµ

III.10 Bie åu die ãn phứ c cá c phương trình củ a trường đie än từ bie án thie ân III.10 Bie åu die ãn phứ c cá c phương trình củ a trường đie än từ bie án thie ân

Khi khảo sát một trường điện từ biến thiên điều hòa để đơn giản người

ta thường dùng phương pháp biên độ phức Muốn vậy ta phải biểu diễn các đại lượng dưới dạng phức

Xét vector cường độ điện trường Er Ta biết Er là hàm số của không gian và thời gian, tức Er =Er(x,y,z t), ta có:

(x,y,z)cos[ t (x,y,z) ]

Ei

z,y,xt

cosz,y,xEi

z,y,xt

cosz,y,xEitz,y,xE

E

z zm

z

y ym

y

x xm

x

ϕ+ω

⋅+

ϕ+ω

⋅+

ϕ+ω

⋅

=

=

rr

rr

r

trong đó ω là tần số góc của trường biến thiên

Tại các điểm mà ϕx =ϕy =ϕz các thành phần Ex( ) ( ) ( )t ,Ey t ,Ez t tỉ lệ nhau nên vector Er ở đó luôn có một phương cố định Khi đó:

( )t =E cos(ωt+ψ)

Er rm

zm z ym y xm x

Er =r ⋅ +r ⋅ +r ⋅

Biên độ Erm không phụ thuộc vào t

Tuy nhiên, tại các điểm mà ϕx ≠ϕy ≠ϕz các thành phần

j xm y t

j xm

x E e i E e i E ei

Retz,y

j ym y

j xm

x E e i E e i E ei

z,y,x

E&r =r ⋅ ϕ +r ⋅ ϕ +r ⋅ ϕ Ta gọi đại lượng này là vector biên độ phức của Er

Tương tự ta có các vector biên độ phức của các đại lượng vector khác như sau:

zm z

j ym y

j xm

x H e i H e i H ei

z,y

j ym y

j xm

x D e i D e i D ei

z,y

j ym y

j xm

x B e i B e i B ei

z,y

,y

z,y

&rr

2

Et

rot&r =− ω&r

DjJH

rot&r = &r+ ω&r

div&r =

và các phương trình chất: B&r =~µH&r , D&r =~εE&r, J&r =~σE&r

Với điện môi lý tưởng không nhớt: ε~=ε, σ=0

Với từ môi lý tưởng không nhớt:µ~=µ

Với vật dẫn lý tưởng không nhớt: σ~=σ

Đồng thời ta cũng có thể viết lại các phương trình truyền sóng dạng phức:

v Trong môi trường không có điện tích tự do:

J& =& hay σ~1E& n =~σ2E& n trong vật dẫn

v Nếu môi trường là điện môi nhớt thì các phương trình truyền dạng phức được viết thành:

0A

~

~

H+ω2εµ =

∆&r &r

v Nếu môi trường là vật dẫn nhớt thì các phương trình truyền dạng phức được viết thành:

0A

~

~j

A− ωµσ =

∆&r &r

0E

~

~j

E− ωµσ =

∆&r &r

0H

~

~j

H− ωµσ =

∆&r &r

– Với trường hợp môi trường không nhớt: ~ε =ε, µ~=µ, σ~=σ

– Nếu môi trường có tổn hao không nhớt thì ta có thể coi môi trường tương đương với vật dẫn nhớt, các phương trình truyền dạng phức được viết như cho vật dẫn nhớt:

0E

~j

E− ωµσ =

∆&r &r

0H

~j

H− ωµσ =

∆&r &r

trong đó σ~( )jω =σ+ jωε Điều kiện bờ: E&1τ =E&2τ; H&1τ =H& 2τ,

n 2

~

E+ω2εµ =

∆&r &r

0H

=ω

jj

~ Điều kiện bờ: E&1τ =E&2τ; H&1τ =H& 2τ,

n 2

n

~ε & = ε & , µ1H& n =µ2H& n

III.11 Bie åu die ãn phứ c củ a ve ctor Poynting

III.11 Bie åu die ãn phứ c củ a ve ctor Poynting

Trong kỹ thuật, đối với các đại lượng đo công suất người ta thường quan tâm đến các giá trị trung bình hơn là các giá trị tức thời Như ta đã biết, vector Poynting thể hiện mật độ dòng công suất của trường lan truyền Để khảo sát trường bằng phương pháp biên độ phức, để tính giá trị trung bình của dòng công suất ta cần biểu diễn vector Poynting dưới dạng phức

Ta viết lại các công thức của các cường độ điện và từ trường, chú ý rằng

XX

E2

1e

ERet

Er = &r⋅ ω = &r⋅ ω + &r ⋅ − ω

( ) { } (j t j t * j t)

eHe

H2

1e

HRet

Hr = &r ⋅ ω = &r ⋅ ω + &r ⋅ − ω

trong đó

zm z

j ym y

j xm x

*

eEie

Eie

Eiz,y,

x

E&r =r ⋅ −ϕ +r ⋅ −ϕ +r ⋅ −ϕ

zm z

j ym y

j xm x

*

eHie

Hie

Hiz,y,

x

H&r =r ⋅ −ϕ +r ⋅ −ϕ +r ⋅ −ϕ

là các vector liên hiệp phức của E&r và H&r

Vector Poynting tức thời bằng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(E H e E H e E H E H)

41

eHe

H2

1e

Ee

E2

1tHtEt

S

*

* t

j 2

*

* t j 2

t j

* t j t

j

* t j

rr

×+

×+

⋅

×+

⋅

×

=

⋅+

⋅

×

⋅+

ω

− ω

ω

− ω

Bằng các phép biến đổi đơn giản ta có thể chứng minh được:

{ 2 j t}

t j 2 t

j 2

*

*

eHERe2e

HEe

H

E&r × &r − ω + &r× &r ω = &r× &r ω

suy ra: ( ) { } {* 2 j t}

eHERe2

1HERe2

1t

Sr = &r× &r + &r× &r ω

Ta nhận thấy số hạng thứ nhất của biểu thức này không đổi theo thời gian, vậy giá trị trung bình của vector Poynting là:

0

HERe2

1dte

HERe2

1T

1dttPT

1t

444

44

1

&r

&rr

r

×+

1t

Sr = &r× &r ta gọi đại lượng phức *

HE2

1S

~r &r &r

×

= là vector Poynting dạng phức

Chương IV

Chương IV SÓ SÓ NG ĐIỆ NG ĐIỆ N TỪ N TỪ PHẲ PHẲ NG VÀ NG VÀ TRỤ TRÒ TRỤ TRÒ N N

IV.1 Khá i nie äm

IV.1 Khá i nie äm

Trường điện từ biến thiên theo thời gian tạo nên sóng điện từ lan truyền trong không gian Trong kỹ thuật, hiện tượng truyền sóng được ứng dụng rất rộng rãi Theo hình dạng mặt sóng, người ta phân chia làm nhiều loại sóng: sóng phẳng, sóng trụ, sóng cầu, v.v… (hình 4.1a) Trong chương này ta khảo sát hai loại sóng: sóng phẳng và sóng trụ tròn

Hình 4.1a)

Hình 4.1b)

Só ng điệ n từ phẳ ng, chẳng hạn như sóng truyền trên một đường dây dẫn thẳng, hay sóng truyền xét ở vùng xa từ một anten (hình 4.1b), v.v… là sóng mà ở mọi điểm, trường và năng lượng lan truyền theo một phương xác định

Só ng trụ trò n, như sóng truyền trong dây cáp đồng trục, là loại sóng mà trường và năng lượng truyền theo chiều bán kính r từ một trục tỏa ra xung quanh hoặc hướng vào trục

trường và năng lượng truyền từ nguồn tỏa ra đều trong không gian, khi đó mặt sóng là các mặt cầu (hình 4.1b)

IV.2 Só ng đie än từ phẳ ng trong đie än môi

IV.2 Só ng đie än từ phẳ ng trong đie än môi

Erx

y

z

Sr

Hình 4.2

Để khảo sát sóng điện từ phẳng trong điện môi ta dùng hệ tọa độ Descartes Chọn trục z trùng với phương truyền sóng và x, y nằm trên mặt sóng (hình 4.2) Để đơn giản ta xét trường hợp trong mỗi mặt phẳng vuông góc với trục z, các vector HE,

rr phân bố đều, tức HE,

rr chỉ là hàm của z và thời gian t

Chọn trục x cùng chiều với Er tại z=0 Ta có điều kiện bờ: E&0 E&r 0

r

= Vector Poynting có chiều trùng với trục z, Er có chiều trùng với x, do đó Hr trùng với chiều trục y

Khi đó:

( )z tE

= , suy ra E& E&r x

r

= ; H&r =H&r yViết lại các phương trình truyền của Er và Hr trong điện môi không nhớt:

0E

E+ω2µε =

∆&r &r ; ∆H&r +ω2µεH&r =0

Từ các phương trình trên suy ra:

x

2 2

x 2 2

x 2 2 x 2 2 x

2

Edx

Edz

Ey

Ex

∂

∂+

y 2 2

y 2 2 y 2 2 y

2

Hdy

Hdz

Hy

Hx

∂

∂+

x

2

Edz

E

d &r =−ω µε&r ; 2 y

2 y 2

Hdy

H

d &r &r

µεω

x

2

Edz

E

d &r =γ &r ; 2 y

2 y 2

Hdy

H

d &r &r

γ

Thông số γ được gọi là hệ số truyền sóng Ta có thể viết lại biểu thức của γ

phụ thuộc vào vận tốc truyền sóng như sau:

vjj

−

( z)

2

z 1 y

x y x

z y x

z y

x

z y

x

eAe

Ai

z

Ei00E

z0

0

iii

EE

E

zy

x

ii

iE

rot

γ γ

&

&

&

rr

−γ

j

AiHH

r

&r− = γ ⋅ ; 1 e z iy

j

AH

r

&r

⋅γωµ

y z

⇒Z Z gọi là tổng trở sóng, đặc trưng sự phản

ứng của môi trường đối với sóng phẳng

Thế biểu thức của γ vào các nghiệm E&r và H&r và thực hiện một vài phép biến đổi ta có các nghiệm E&r và H&r trong miền thời gian như sau:

=ψ+β

−ω

=

+

v

ztcosAz

tcosAtz

=ψ+β

−ω

=

+

v

ztcosAz

tcosZ

Atz

=ψ+β+ω

=

−

v

ztcosAz

tcosAtz

=ψ+β+ω

=

−

v

ztcosAz

tcosZ

Atz

– Các sóng thuận và ngược truyền với biên độ không đổi và giá trị tức thời chỉ phụ thuộc vào góc pha ϕ1 =ωt−βz+ψ đối với sóng thuận và

ψ+β+

ω

=

ϕ2 t z đối với sóng ngược Như vậy ta có thể thấy ý nghĩa vật lý