Tài liệu Giáo trình trường điện từ_Chương 1 + 2 pdf

I.1 Cá c đại lượng ve ctor đặc trưng cho trường đie än từ I.1 Cá c đại lượng ve ctor đặc trưng cho trường đie än từ Xét hai điện tích điểm q và q1 dứng yên trong chân không, chọn gốc tọ

HỌC VIỆ N CÔ NG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄ N THÔ NG

KHOA VIỄ N THÔ NG II

BÀ I GIẢ NG

Biên soạn: TS Phan Hồng Phương

(Lưu hà nh nộ i bộ )

TP HCM - 2000

Chương Chương I MỞ I MỞ ĐẦ ĐẦ U U

Tương tác điện từ là một trong các dạng tương tác cơ bản trong tự nhiên, nó được thực hiện thông qua trường điện từ Trường điện từ tồn tại ngay trong các hệ vi mô như nguyên tử, phân tử, lực điện từ có cường độ bằng khoảng

2

10− lần so với lực tương tác hạt nhân Ngoài ra ảnh hưởng của trường điện từ còn có thể được lan truyền dưới dạng sóng trong không gian và trong các môi trường chất Trong một số trường hợp ta có thể khảo sát riêng trường điện và trường từ, tuy nhiên trong đa số các trường hợp trường điện và trường từ có mối tương quan chặt chẽ

Trong chương này ta sẽ xét một số khái niệm cơ bản về trường điện từ: các thông số, định luật, … làm cơ sở để khảo sát các chương sau

I.1 Cá c đại lượng ve ctor đặc trưng cho trường đie än từ

I.1 Cá c đại lượng ve ctor đặc trưng cho trường đie än từ

Xét hai điện tích điểm q và q1 dứng yên trong chân không, chọn gốc tọa độ trùng với vị trí của q, q1 nằm tại điểm P Mỗi điện tích đều sinh ra một trường điện Lực điện của trường gây bởi q tác động lên q1 là

r 2 r 0

1

r4

qq

⋅ε

⋅ε

1

9 0

⋅

⋅π

=

hằng số điện, hay độ thẩm điện của môi trường chân không, r là khoảng cách giữa q và q1 FrE hướng về phía q nếu q và q1 trái dấu (lực hút), hướng ra xa q nếu q và q1 cùng dấu (lực đẩy)

Xét đại lượng vector

⋅ε

⋅π

=

=

m

Vir4

qq

F

2 r 0 1

rr

Vậy Er chỉ phụ

thuộc vào điện tích q tạo ra điện trường và vector bán kính rr=r⋅rir Do đó ta có thể dùng đại lượng Er để đặc trưng cho điện trường gây bởi q tại một điểm trong không gian Er gọi là vector cường độ điện trường có đơn vị là V/m Erhướng vào q nếu q < 0, hướng ra xa q nếu q > 0 (hình 1.1)

Hình 1.1

Xét môi trường điện môi được cấu tạo bởi các phân tử, môi trường này trung hòa về điện Nếu đặt điện môi vào một điện trường, điện môi bị phân cực (hình 1.2) Mức độ phân cực điện được đặc trưng bởi vector phân cực điện

Pr

Khi đó vector cường độ điện trường tại một điểm trong điện môi được

định nghĩa như sau:

2 ir4

q

⋅ε

⋅π

=

2 0

m

cPE

Với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc khi cường độ điện trường không quá lớn, vector Pr tỉ lệ với Er:

Ek

Pr =ε0⋅ E ⋅r , trong đó kE là độ cảm điện của môi trường

vector cả m ứ ng từ có đơn vị là Tesla [T] (hình 1.3)

Tổng của lực điện và lực từ là lực điện từ hay lực Lorentz:

BvqEqFF

Fr = rE +rM = r+ r×r

Nếu đặt từ môi trong từ trường, từ môi sẽ bị phân cực từ Mỗi phân tử từ môi có thể xem như tương đương với một dòng điện chảy khép kín gọi là dòng điện phân tử Moment từ của phân tử: mr =i⋅S⋅rin, trong đó rin là vector pháp tuyến của mặt có chứa dòng điện phân tử Gọi Mr là vector phân cực từ đặc trưng cho mức độ bị phân cực của từ môi:

mlim

M

n 1 i i 0

V

rr

Người ta còn đặc trưng cho trường từ bằng vector cường độ từ trường:

m

H10

Với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc khi cường độ từ trường không quá lớn: Mr =kM⋅Hr , kM là độ cảm từ của môi trường

HHkH

I.2 Một số khá i nie äm khá c

I.2 Một số khá i nie äm khá c

A Mật độ điện tích

Mật độ điện tích khối:

→

m

cV

qlim

Mật độ điện tích mặt:

qlim

Mật độ diện tích dài:

→

cqlim

0 l

l

Điện tích tổng: = ∫

C , S , V

σ

=

lddS

qdV

B Cường độ dòng điện

Các điện tích chuyển động sinh ra dòng điện Cường độ dòng điện chảy qua mặt S được định nghĩa như sau:

[ ]At

qlim

C Mật độ dòng điện Jr

Xét một dây dẫn kim loại có mật độ điện tích khối là ρ (hình 1.4a) Các điện tích di chuyển dọc theo dây với vận tốc vr Trong khoảng thời gian ∆t các điện tích di chuyển được một đoạn ∆l =v⋅∆t Lượng điện tích đi qua thiết diện ∆S' của dây trong thời gian ∆t là ∆q'=ρ⋅∆V =ρ⋅∆l⋅∆S'=ρv⋅∆S'⋅∆t

Xét trường hợp tổng quát hơn (hình 1.4b): lượng điện tích chảy qua mặt cắt không vuông góc với trục dây là ∆q=ρvr⋅∆S⋅∆t Dòng điện tương ứng là:

SJSvt

Dòng điện chạy qua mặt S bất kỳ sẽ là: =∫

S

dSJ

I r [A] Theo định luật

Ohm, vector Jr liên hệ với cường độ điện trường Er như sau:

I.3 He ä phương trình Maxwe ll và đie àu kie än bờ.

I.3 He ä phương trình Maxwe ll và đie àu kie än bờ

Hệ phương trình Maxwell là tổng hợp của 4 định luật cơ bản rút ra từ kết quả thực nghiệm và được biểu diễn dưới dạng toán học Đó là các định luật:

– Định luật cảm ứng điện từ Faraday;

– Định luật lưu số Ampère-Maxwell;

– Định luật Gauss đối với trường điện;

– Định luật Gauss đối với trường từ

I.3.1 Định luật cả m ứ ng đie än từ Faraday

I.3.1 Định luật cả m ứ ng đie än từ Faraday

Trường từ thay đổi theo thời gian tạo ra dòng điện cảm ứng

Công lực điện của trường điện cảm ứng dịch chuyển một đơn vị điện

tích dọc theo đường kín C gọi là sức điện động cảm ứng, có giá trị bằng

∫ =−

S C

dSBdt

dd

Er l r (phương trình Maxwell thứ hai dạng tích phân)

Dấu trừ biểu hiện định luật Lenz về chiều của dòng điện cảm ứng: dòng điện

cả m ứ ng luô n có chiề u sao cho tá c dụng chố ng lại nguyê n nhâ n sinh ra nó

Trong hệ SI, đơn vị của từ thông là Weber [ ]Wb , tương đương với [ ]V⋅s

Br

C

dSS

Với mặt S bất kỳ không phụ thuộc thời gian, ta có

( )SdS

ErotdS

t

BdS

Bdtd

S S

(phương trình Maxwell thứ hai dạng vi phân)

Ví dụ:

Một cuộn dây bán kính a, có N vòng được nối với điện trở R Chọn mặt phẳng Oxy của hệ tọa độ Descartes trùng với mặt phẳng cuộn dây như trên hình 1.6 Mạch điện này được đặt vào một từ trường biến thiên

(2i 3i )sin t

B

Br = 0 ry+ rz ω , trong đó ω là tần số góc và ω=103rad/s Tính:

– Từ thông móc vòng qua một vòng dây;

– Sức điện động cảm ứng trong cuộn dây; cho N = 10, B0 =0.2T, a = 10

cm, ω=103rad/s;

– Dòng điện cảm ứng trong mạch, cho R = 1 kΩ

♦ Từ thông móc vòng qua mỗi vòng dây là:

y 0 S

ωπ

=

⋅ω+

ddt

C =−

Hình 1.6

Tại thời điểm t = 0, dΦ dt>0 và

V5.188

C =−

ε Lúc này từ thông đang tăng, do đó theo định luật Lenz dòng điện cảm ứng i phải có chiều chống lại nguyên nhân sinh ra nó, tức có chiều như trên hình 1.6 Suy ra thế tại điểm 2 cao hơn tại điểm 1 và εC =V1−V2 =−188.5V

Dòng điện cảm ứng i có dạng như sau:

t10cos19.0t10cos10

5.188R

VV

3 1

I.3.2 Định luật lưu số Ampe øre

I.3.2 Định luật lưu số Ampe øre Maxwe ll Maxwe ll

Lưu số củ a vector cườ ng độ từ trườ ng Hr theo đườ ng kín C tù y ý bằng tổ ng đại số cườ ng độ cá c dò ng điệ n chả y qua diệ n tích bao bở i đườ ng kín C

∑

k

k C

Id

H lr

S S

C C

dSDdt

dI

,

J r

r

D,

J rr

C

dSDdt

ddSJd

Hr l r r (phương trình Maxwell thứ nhất dạng tích phân) (xem hình 1.7)

Đối với một mặt kín S ta có (hình 1.8):

1 1

1

S

2 S

2 C

S

1 S

1 C

dSDdt

ddSJd

H

dSDdt

ddSJd

H

rr

lr

rr

lr

_

∫

∫

+ +

+

=

2 1 2

S

dSDdt

ddSJ

S S

dSJdS

dtd

Theo định lý Stockes ta có:

∫ =∫

dSHrotd

Với mặt S bất kỳ không phụ thuộc thời gian:

dSt

DdS

Từ phương trình Maxwell thứ nhất suy ra:

( )SdS

t

DdS

JdSH

rot

S S

S

∀

∂

∂+

rot

∂

∂+

=

rrr

(phương trình Maxwell thứ nhất dạng vi phân)

I.3.3 Định luật Gauss đối vớ i trường đie än

I.3.3 Định luật Gauss đối vớ i trường đie än

Thô ng lượng củ a vector cả m ứ ng điệ n Dr gử i qua mặt kín bấ t kỳ S bằng tổ ng cá c điệ n tích tự do phâ n bố trong thể tích bao bở i mặt S.

[ ]V S

QdS

dVdS

Dr (phương trình Maxwell thứ ba dạng tích phân) S

dVDdivdS

V V

∀ρ

= ∫

⇒ divDr =ρ (phương trình Maxwell thứ ba dạng vi phân)

I.3.4 Định luật Gauss đối vớ i trường từ

I.3.4 Định luật Gauss đối vớ i trường từ

Thô ng lượng vector cả m ứ ng từ Br (từ thô ng) gử i qua mặt kín S bấ t kỳ bằng 0

0dSB

S

Φ ∫ r (phương trình Maxwell thứ tư dạng tích phân)

Định luật này thể hiện tính liên tục của thông lượng vector cảm ứng từ

Br: các đường sức từ không có điểm bắt đầu và điểm kết thúc, chúng được khép kín hoặc đi xa vô cùng

Chú ý: Định luật Gauss đối với trường từ được suy ra từ định luật Faraday đối với mặt kín (hình 1.10):

1 1

S

2 C

S

1 C

dSBdt

dd

E

dSBdt

d

d

E

rl

r

rl

Điều này đúng với mặt S bất kỳ, do đó: ∫ =

S

0dS

Theo định lý divergence ta có: BdS 0 divDdV ( )V

V S

∀

=

⇒ divBr =0 (phương trình Maxwell thứ tư dạng vi phân)

I.4 Định luật bả o toàn đie än tích

I.4 Định luật bả o toàn đie än tích

Điệ n tích trong mộ t hệ cô lậ p về điệ n khô ng thay đổ i

Dòng điện qua mặt kín S bằng tốc độ thay đổi điện tích trong thể tích V bao bởi mặt S Điều này được thể hiện dưới dạng toán học như sau:

∫

∫ =−

V S

qdVdt

ddS

qdVdS

Dr (định luật Gauss)

∫

S S

dSJdS

qdVdt

ddS

J

r

Theo định lý divergence ta có: JdS divJdV ( )V

V S

I.6 Cá c đie àu kie än bờ

I.6 Cá c đie àu kie än bờ

Điều kiện bờ là giá trị các vector đặc trưng của trường tại mặt biên phân chia hai môi trường chất khác nhau

Các điều kiện bờ rút ra từ các phương trình Maxwell dạng tích phân:

B

qdVdS

D

dSDdt

ddSJd

H

dSBdt

dd

E

S

V S

S S

C

S C

r

rl

r

rl

r

• Các thành phần tiếp tuyến

Xét khung chữ nhật abcd để vuông góc với bờ S ngăn cách giữa hai môi trường sao cho khung đối xứng qua mặt S (hình 1.11) Ta có:

0dSBdt

dlimd

Elim

S 0 bc 0 ad C

E

τ 1

Bây giờ ta hãy tìm điều kiện bờ cho thành phần tiếp tuyến của vector cường độ từ trường: Hτ Ta có:

4

4 34

421

rr

lr

l

0

S 0 bc 0 ad S

0 bc 0 ad 0

s 0

Vậy thành phần Hτ không liên tục trên bờ

• Các thành phần pháp tuyến

Xét hình khối đặt vuông góc với bờ S ngăn cách giữa hai môi trường sao cho đối xứng qua S (hình 1.11)

2 1 n

n n

r

Vậy thành phần Bn liên tục trên bờ

Tóm lại ta có thể tóm tắt các điều kiện bờ trong bảng 1.1, và tóm tắt hệ phương trình Maxwell trong bảng 1.2

Bảng 1.1 Tổng kết về các điều kiện bờ

E1τ − 2τ =

S 2

H τ− τ =

S n

n D

0B

B n − n =

Bảng 1.2 Tóm tắt hệ phương trình Maxwell

∫

∫

S S

C

dSDdt

ddSJ

d

t

DJHrot

∂

∂+

=

rr

dSBdt

Định luật bảo toàn điện tích:

tJ

I 7 Định ly ù Po y nting

I 7 Định ly ù Po y nting – – Năng lư ơ ïng đie än tư ø Năng lư ơ ïng đie än tư ø

Xét điện tích điểm dq chuyển động với vận tốc vr trong thể tích V chịu tác dụng của trường điện từ Er, Br

Lực điện từ tác dụng lên dq là: Fr =dq(Er +vr×Br)

Khi dq chuyển động một đoạn ld lực Fr sinh ra công bằng:

( )

dtvEdq

dEdq

dBvdqdEdq

dBvEdqdFdA

=

⋅

×+

r

lrrrrl

dA =ρ⋅r⋅ r⋅

Mật độ dòng điện dẫn bằng Jr =ρvr [A/m2] ⇒ J E dV dPj

dt

dA =r⋅r⋅ =Trong đó P J EdV

;

t

BE

và hằng đẳng thức div( )Er×Hr =HrrotEr −ErrotHr

t

DEJEt

BHt

DJEt

BHH

rr

rrr

rr

r

t

BHt

DEJEHEdiv

∂

∂

⋅+

∂

∂

⋅+

rrrrrr

Đặt Sr =(Er×Hr) Đại lượng vector này gọi là vector Poynting, có đơn vị là

DEJEP

div

∂

∂

⋅+

∂

∂

⋅+

⋅

=

−

rr

rrrrr

, suy ra định lý Poynting dạng tích phân:

∂

∂

⋅+

⋅

=

−

V V

S

dVt

BHt

DEdV

EJdS

S

rr

rrr

rr

Đây là công suất trường điện từ truyền qua mặt S vào thể tích V Số hạng thứ nhất ∫ ⋅

∫ ∂ 

∂

⋅+

BH

t

D

E

rr

BHt

DEdt

rr

Giả sử Er,Dr,Hr,Br =0 tại thời điểm t =0, suy ra:

∫ ∫=  ∂ 

∂

⋅+

BHt

DEW

rr

rr

Theo điều kiện cho môi trường tuyến tính, đẳng hướng Dr =εEr, ta có:

( )

t

EDt

EEt

EEt

rr

rr

EDt

DEDE

1t

1t

B

rr

dVBH2

1dVDE2

H

2

1

wM = r⋅r 3 là mật độ năng lượng từ trường

Đối với trường điện từ tĩnh trong thể tích V các phương trình Maxwell có dạng: rotEr =0; rotHr =0, kết hợp với hằng đẳng thức toán

V∫ r× r = ∫ r×r = ∫r =

⇒ =∫ ⋅ +∫ ⋅∂∂ + ⋅∂∂ 

V V

dVt

BHt

DEdV

EJ0

rr

rrr

r

2

1dVDE2

1W

V V

=

⋅+

⋅

Vậy năng lượng trường điện từ tĩnh không đổi theo thời gian

I.8 Ý nghĩa he ä phương trình Maxwe ll

I.8 Ý nghĩa he ä phương trình Maxwe ll

• Phương trình 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt thể hiện điện và từ của trường điện từ biến thiên

t

DJH

rot

∂

∂+

=

rrr

;

t

BE

Vậy từ trường và điện trường biến thiên luôn gắn bó kèm theo nhau và luôn có tính chất xoáy (rotEr ≠0; rotHr ≠0)

Trường điện từ có thể biến thiên hoặc không biến thiên theo thời gian Giữa các trường điện từ không biến thiên người ta chia làm hai loại: trường điện từ tĩnh và trường điện từ dừng

t

B

;0t

E

;0

r

⇒0

Hrot

– Với trường điện từ tĩnh: ∂/∂t =0; Jr=0; rotEr =0; rotHr =0 Đây là trường của các nam châm vĩnh cửu và các vật mang điện tĩnh Điện và từ lúc này hoàn toàn không phụ thuộc vào nhau, đều có tính chất thế và không có tính chất xoáy

• Phương trình 3 và 4 mô tả hình học của mặt thể hiện điện trường và từ trường

S

0dS

Br – dòng vector Br luôn chảy liên tục, không có điểm

đầu và điểm cuối

S

QdS

Dr hay divDr =ρ – vector Dr có thể có những vùng xuất phát

(ρ>0) và những vùng tận cùng (ρ<0) Dr có thể không chảy liên tục, khép kín khắp nơi như Br

• Các phương trình Maxwell mô tả quan hệ khăng khít giữa trường và môi trường chất

Phương trình

t

DJHrot

∂

∂+

=

rrr

thể hiện tính chất xoáy của từ trường, đường sức từ Hr xoay quanh những dòng điện là một dạng chuyển động của chất;

Phương trình divDr =ρ thể hiện rằng điện trường tỏa ra từ những hạt mang điện là nguồn của điện trường;

Phương trình divBr =0 chứng tỏ từ trường Br không có nguồn;

Các hệ số µ,ε,σ,ρ là các thông số của môi trường

Chương II

Chương II TRƯỜ TRƯỜ NG ĐIỆ NG ĐIỆ N TỪ N TỪ TĨNH VÀ TĨ NH VÀ TRƯỜ TRƯỜ NG ĐIỆ NG ĐIỆ N TỪ N TỪ DỪ DỪ NG NG

II.1 Trường đie än từ tĩnh

II.1 Trường đie än từ tĩnh

II.1.1 Khá i nie äm

II.1.1 Khá i nie äm

Trường điện từ tĩnh là trường thỏa mãn các điều kiện: các đại lượng đặc trưng cho trường và cho môi trường chất Er,Dr,Br,Hr,ρ,σ, không thay đổi theo thời gian (∂ ∂t =0) và trong trường không có các điện tích chuyển động, tức không có dòng điện (Jr=0)

Để khảo sát trường điện từ tĩnh ta dùng hệ phương trình Maxwell:

0t

DJH

∂

∂+

=

rrr

t

BE

ρ

=D

div

r

; divBr =0 kết hợp với các phương trình chất cho môi trường tuyến tính, đẳng hướng H

ε

= Vì rotHr =0, rotEr =0, các phương trình mô tả trường điện và từ hoàn toàn độc lập với nhau, trường có tính chất thế và ta có thể xét riêng từng loại trường: trường điện tĩnh và trường từ tĩnh

• Trường điện tĩnh, chẳng hạn như trường của một hay nhiều điện tích điểm hoặc các vật tích điện đứng yên, được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell:

0E

rotr = ; divD=ρ

r và phương trình chất D E

rrε

=

• Trường từ tĩnh, chẳng hạn như trường của một hay nhiều nam châm vĩnh cửu đứng yên Hệ phương trình Maxwell mô tả trường từ tĩnh:

0H

rotr = ; divBr =0, kết hợp với phương trình chất B H

rrµ

=

II.1.2 Trường đie ä

II.1.2 Trường đie än tĩnh n tĩnh

A Khái niệm về thế vô hướng ϕE

Xét một điện tích điểm q đặt trong trường điện tĩnh Er Vậy lực điện trường tác động lên q là: F qE

rr

=Tác dụng lên q một lực ngoài F−r để di chuyển điện tích q, công ta cần để dịch chuyển q một đoạn ld trong trường là:

l

rl

r

dEqd

Theo định lý Stockes: ∫ =∫

S C

dSErotd

E

rl

r

S

dSErotqA

r mà 0

E

rotr =

Suy ra A = 0, tức Ed Ed Ed 0

2

2 1 1 2

2 1 1

P

) bP P ( P P

) aP P ( P C

rl

r

2 P

) 2 bP 1 P ( 1P

2 P

) 2 aP 1 P ( 1P

dEd

rl

r

, trong đó

1

P và P2 là 2 điểm trên đường kín C (hình 2.1)

Như vậy công dịch chuyển điện

tích q từ P1 đến P2 chỉ phụ thuộc

vào vị trí P1 và P2 mà không

phụ thuộc vào quãng đường dịch

chuyển

Nếu q = 1 c (Coulomb) ta có:

2 P

1 P

1 2

Hàm số ϕE( )P =ϕE(x,y,z) gọi

là hàm thế vô hướng (thế năng,

thế điện) ứng với điểm P(x,y,z)

trong trường điện tĩnh

Er

C

Hình 2.1

Vì điểm mốc P1 chọn tùy ý nên khi cho hàm thế vô hướng ta cần nói rõ điểm mốc Đối với các điểm mốc khác nhau hàm thế vô hướng tại một điểm cho trước khác nhau Tuy nhiên, hiệu các thế vô hướng ϕE1 và ϕE2 tại các điểm P1và P2 là hoàn toàn xác định:

−

ϕ

1

2 2

0 1

rl

rl

B Mối liên hệ giữa Er và ϕE

Ta tìm mối quan hệ giữa thế vô hướng ϕ và vector cường độ điện trường E

r

Xét hai điểm cách nhau một đoạn ld trong trường điện tĩnh Er Lượng tăng

rl

chiếu của Er theo phương ld ;

E z

E y

E x

E

z z y y x x

gradi

z

iy

ix

iEiEiE

∂

ϕ

∂+

=

rr

r

rr

rr

=

=

EdivD

div

0E

rot

rr

grad

rr

r

Đối với môi trường tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng ε=const:

ρ

=ϕε

−

=ε

=div E divgrad ED

div

rr

mà divgrad chính là toán tử Laplace

E E

grad

div ϕ =∆ϕ Vậy ta suy ra phương trình Laplace-Poisson cho điện trường tĩnh:

ερ

ở 0

dotự tíchđiệncóvùng

ở

∂

ϕ

∂+

ở 0

dotự tíchđiệncóvùng

ở

2 E 2 2 E 2 2 E 2 E

zy

D Bài toán bờ và các điều kiện bờ của trường tĩnh điện

Với phương trình Laplace-Poisson ∆ϕE =−ρ ε, trong đó ρ và ϕE là các hàm số của tọa độ x,y,z: ρ=ρ(x,y,z), ϕE =ϕE(x,y,z), ẩn là ϕE, điều kiện bờ là các giá trị ϕE tại bờ phân chia hai môi trường chất khác nhau

Có các loại điều kiện bờ như sau:

• Điều kiện bờ Dirichlet: cho trước giá trị ϕE(S) trên bờ S;

• Điều kiện bờ Neumann: cho giá trị đạo hàm ∂ϕE( )S ∂n (đạo hàm ϕEtheo chiều pháp tuyến in

r), tức sự phân bố En(S) trên bờ S (hoặc )

Trong điện trường tĩnh, bề mặt các vật này đẳng thế:

En n

E 2

E 2 E 1

S

1

ϕ và quy luật chuyển tiếp của ∂ϕE ∂n,Eτ,En(S)

Ta xét một vài ví dụ các loại bờ thường gặp trong kỹ thuật

1 Vật dẫn (môi trường 1) – Điện môi (môi trường 2)

Hệ phương trình Maxwell trên bờ S:

0E

rotr =

)n(D

divr =ρ=σS⋅δ , trong đó δ( )n là hàm Dirac

Vì trong vật dẫn (môi trường 1) không có điện trường tĩnh

0D

;

0

E1τ = n = , suy ra điều kiện bờ E1τ =E2τ =0;D n =0;D n =σS

2 Điện môi 1 – Điện môi 2

Hệ phương trình Maxwell trên bờ S: rotEr =0; divDr =0, suy ra điều kiện bờ: E1τ =E2τ; D n =D n; ε1E n =ε2E n

E 2 2 E 2 2 E

∂

ϕ

∂+

∂

ϕ

điện phẳng, hàm ϕE chỉ phụ thuộc vào tọa độ x:

uCd

d x

E y

E x

E

d

ui

z

iy

ixgrad

E

rr

rr

∂

ϕ

∂+

−

d + +

+ +-

0

-ErBản kim loại

Bản kim loại

2

dd

u

ε

ρ+

2

dd

u2

E

2

dd

uxi

xgrad

E

rr

−ε

−

II.1.3 Đie än dung

II.1.3 Đie än dung

Xét một môi trường có độ thẩm điện là ε, độ dẫn điện là σ trong trường điện tĩnh Nếu trong trường này có các điện tích chuyển động thì sẽ hình thành dòng điện có mật độ Jr Ta có: J E

rrσ

= Viết lại phương trình liên tục:

0tJ

∂

ρ

∂+

=1divDE

div

rr

Suy ra:

Ngoài ra ta có Er =−gradϕE ⇒ gradϕE =0 ⇒ ϕE =const

Kết quả phân tích trên cho thấy rằng vật dẫn là vật đẳng thế, bề mặt vật dẫn cũng là mặt đẳng thế; điện tích chỉ phân bố ở mặt ngoài vật dẫn; trường điện trong vật dẫn bằng 0

Bây giờ ta hãy xét một hệ gồm hai vật thể dẫn điện hình dạng bất kỳ, ở giữà là một điện môi, cả hệ thống tạo thành một tụ điện Nếu ta nối hai vật thể với nguồn một chiều, các điện tích dương và âm tập trung trên bề mặt của các vật thể: vật thể nối với cực dương của nguồn tích điện dương +Q và vật thể nối với cực âm của nguồn tích điện âm -Q Và bề mặt vật dẫn luôn là mặt đẳng thế Ta định nghĩa khái niệm điện dung như sau:

trong đó σS là mật độ điện tích mặt Khi đó ta có thể tính được điện tích Q:

n S

Q

rr

L

S

dE

dSEC

lr

r

Giá trị C không phụ thuộc vào điện trường Er và là đại lượng đặc trưng của hệ thống hai vật dẫn trên C phụ thuộc vào hình dáng, kích thước, vị trí tương đối của hai vật dẫn và điện thẩm của điện môi giữa hai vật dẫn

Nếu lớp điện môi giữa hai vật dẫn là điện môi không lý tưởng, tức có một độ dẫn điện σ nào đó thì dòng điện dẫn có thể chảy qua nó (dòng điện rò) Khi đó tụ điện này còn có điện trở r:

∫

∫

⋅σ

dE

lr

Ta có rC=ε σ

Ta có thể mở rộng khái niệm điện dung cho một hệ thống vật dẫn Cho một hệ vật dẫn đánh số 1, 2, 3, …, n mang điện tích q1,q2,q3, ,qn (hình 2.3) Gọi thế trên các mặt vật dẫn tương ứng là ϕE1,ϕE2,ϕE3, ,ϕEn Ta sẽ chứng minh rằng trong môi trường tuyến tính ta có mối quan hệ như sau:

n nn 2

2 1 1 En

n n 2

12 1 11 1

E

q

qq

qq

α++α

+α

=

ϕ

α++α+α

=

ϕ

Thật vậy, nếu ta chọn thế mốc ở xa vô cùng, ta có:

n E 12

E 11 E S

n S S

1 S 1

r4

1

dSr

41

n

n 1

πε++σ

πε

=

Các số hạng ϕE11,ϕE12,ϕE13, ,ϕE n là

các thành phần của ϕE1 ứng với từng điện

tích trên mỗi vật dẫn khi các vật dẫn khác

không mang điện Theo trường hợp trên

với hệ hai vật dẫn, ta suy ra mỗi ϕE1i phải

tỉ lệ với qi, tức ϕE1i =α1iqi Vậy ta có

điều phải chứng minh

Các hệ số αlk gọi là hệ số thế, có ý nghĩa vật lý như sau: αlk bằng thế trên vật l khi vật thứ k có điện tích 1C và các vật cò lại không mang điện Nếu môi trường tuyến tính thì αl k =αk l

Quan hệ tuyến tính giữa các thế ϕE1,ϕE2,ϕE3, ,ϕEn và các điện tích

n 3

2

1,q ,q , ,q

q cũng có thể viết như sau:

En nn 2

E 2 1 E 1 n

En n 2

E 12 1 E 11 1

=

ϕβ++ϕβ+ϕβ

=

Các hệ số βlk bằng lượng điện tích nạp được lên vật dẫn l khi điện thế của vật k là 1V, còn điện thế của các vật còn lại bằng 0 (nối đất) Tương tự như trên, nếu môi trường tuyến tính thì βlk =βkl

Gọi điện áp giữa các vật dẫn k và l là ulk, ulk =ϕEl −ϕEk Từ hai hệ phương trình tuyến tính trên ta có thể viết mối quan hệ giữa các điện tích

n 3

2

1,q ,q , ,q

q của các vật với các điện áp giữa chúng như sau:

nn nn 3

3 2 n 2 1 1 n

n n 13

13 12 12 10 10 1

uC

uCu

CuC

uCuCuC

q

+++

+

=

+++

II.1.4 Trường từ tĩnh và từ the á vô hướ II.1.4 Trường từ tĩnh và từ the á vô hướ ng ng

Như ta đã biết, hệ phương trình Maxwell đối với trường từ tĩnh có dạng:

=

=

0HdivB

div

0H

rot

rr

1 P

S

Hr

Hình 2.4

Vậy trường điện từ tĩnh có phân bố năng lượng từ trong không gian Với môi trường tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng µ=const, ta có:

0grad

divH

divB

ta suy ra phương trình Laplace cho từ thế vô hướng:

0

M =ϕ

II.1.5 Một số bài toá n thường gặp

II.1.5 Một số bài toá n thường gặp

Trong bài toán trường điện tĩnh, ta cần tìm sự phân bố trường, tức sự phân bố của các đại lượng E,D

rr hoặc ϕE trong môi trường có các vật mang điện Bài toán trường điện tĩnh có dạng: ϕE =−∫Edl+C

2 1 E 1

1 Phương pháp dùng định luật Gauss

Phương pháp này dùng để tính điện trường đối xứng qua tâm hình cầu, hoặc qua trục hình trụ (điện tích điểm hoặc một vật dẫn hình cầu mang điện đều đặt trong môi trường điện môi nhiều lớp hình cầu đồng tâm, một trục mang điện hoặc một vật dẫn hình trụ tròn, v.v …)

A Điện trường của quả cầu mang điện đều

Gọi điện tích của quả cầu là q Để tìm sự phân bố trường của quả cầu ta dùng định luật Gauss: DdS q

chỉ có thành phần xuyên tâm (// in

r) Chọn mặt S là mặt cầu đồng tâm với quả cầu và có bán kính r, ta có:

S S

=

⋅π

qD

π

= Vậy ta xác định được vector cường độ điện trường:

r 2 r

r r

r4

qi

DiE

E

rr

rr

⋅πε

=

⋅ε

qdr

E)

(

r 2

r r

const

=

r4

q)(

R3

4

q (ρ là mật độ điện tích khối trong quả cầu, R là bán kính quả cầu) Các đường sức điện trường đã được mô tả trên hình 1.1

B Điện trường của dây dẫn trụ tròn

Trong trường hợp này E,E,D

rr

ϕ chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến trục và E Er ir; D Dr ir

rr

D

S

r S

=π

=q

⇒

r2

r

r2E

;ir4D

rr

rr

⋅επ

λ

=

⋅π

E)

0 0

A Điện trường của lưỡng cực điện

Xét điện trường của một lưỡng cực điện (hình 2.7) tại điểm P(r,θ,ϕ)trong hệ tọa độ cầu Trường đối xứng qua trục và chỉ phụ thuộc vào các tọa độ

r và θ (hệ tọa độ cầu) Trường dạng này gọi là trường kinh tuyến

Chọn thế mốc ở xa vô cùng Ta sẽ xác định thế tại điểm P

Gọi ϕE+(P) là thế tương ứng với +q, ϕE−(P) tương ứng với -q Ta có:

−

− +

+

πε

−

=ϕ

πε

=

ϕ

r4

q)

P(

;r4

q)

14

⋅

−+

=

4rr

2

rrl

⋅++

=

4rr

⋅+

=

−

rr

r

i1ri

rr

rrl

rr

⋅+

ir ⋅ = ⋅ θ

=

rr

, trong đó θ là góc giữa ir

r và lr

⇒ r+ =r 1−α; r− =r 1+α

Vì r>>l ⇒ α<<1 ⇒

2

rr21r1

=

⇒ ± = ⋅cosθ

2

1r

14

q)P(

−α

−πε

=

2/1

12

/1

1r4q

4/1

2/12/1r4

−α+

⋅πε

=

r4

q4/1r4

q

α

≈α

−

α

⋅πε

=

r4

cospr

4

cosq

2

2 πε

θ

=πε

θ

= ltrong đó l

rr

4

ip)

rr

Như vậy thế tại điểm P chỉ phụ thuộc vào hai tọa độ r và θ, tức đây là trường kinh tuyến Ta tính được vector cường độ điện trường tại điểm P nào đó trong không gian:

θ

θ⋅+

⋅

=E i E i

rr

r

r

r4

cospr4

rpr

E

πε

θ

=πε

;

3 E

r4

sinpr

E

πε

θ

=θ

l

πε

=+

r8

qE

E

r

Trên hình 2.8 vẽ các đường sức điện trường của lưỡng cực điện (+q)(-q)

Bây giờ ta sẽ tìm phương trình các đường đẳng thế trên một mặt kinh tuyến bất kỳ, phương trình này có dạng:

constC

;krrq

c4

cos24

B Điện trường của dây dẫn thẳng song song tích điện

Giả sử bán kính các dây dẫn vô cùng nhỏ, ta xét bài toán khảo sát hai trục mang điện bằng nhau và trái dấu

Giả sử:

• Môi trường tuyến tính, đẳng hướng và đồng nhất ε=const ;

• Điện tích phân bố đều, mật độ điện tích là λ

⇒ Điện trường không phụ thuộc tọa độ z Trường dạng này gọi là trường song phẳng Theo kết quả ở ví dụ 1.B ta có thế tại điểm P ứng với từng dây dẫn là:

+

+

−

−πε

λ

=

2r

rlnr

rln2

rln

• Thay thế 2 hay nhiều môi trường khác nhau bằng một môi trường đồng nhất;

• Đưa thêm vào môi trường đồng nhất những điện tích mới để bảo đảm điều kiện bờ không đổi

Trong bài toán nêu ra ở trên, ta có ϕE =0 tại vô cùng và tại mặt phẳng bờ Thế điện trong trường hợp này thỏa mãn mọi điều kiện của bài toán 2 điện tích điểm q và -q đặt cách nhau một khoảng 2d (hình 2.9b)

Thật vậy, ta có thế tại 1 điểm P trong không gian là:

−

⋅πε

=

ϕ

+ +

+

− +

cosdr4d4r

1r

14

qr

1r

14

qP

2 2

∞

=σ

0

=

ϕ

qd

εε

0

=ϕP

b)

Er

+r

−rE

r

r

θEr

Hình 2.9

Chọn thế trên mặt phẳng trung trực bằng 0: ϕ=0 Tại vô cùng r+ →∞, theo công thức trên ta có ϕ→0 Như vậy ta có thể thay hệ điện tích điểm – mặt phẳng dẫn bằng 1 môi trường đồng nhất và đưa vào đây điện tích -q đối xứng với q qua mặt phẳng trên

Điện trường Er tại điểm P bất kỳ là:

−

⋅πε

+ +

+

2 2 2

E r

cosdr4d4r

cosd2rr

14

qr

E

2 2 E

cosdr4d4r

sind24

qr

1E

=θ

+ θ

−

θπε

=θ

−θ

=

+ +

+ +

θ

2 2 2

r z

cosdr4dr

d2cosrr

cos4

qsin

EcosEE