BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên.. Tính độ dài đường cao c[r]
Trang 1 cạnh huyền cạnh kề cạnh đối
C B
A
CHUYÊN ĐỀ: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG
a
h
b' c'
b c
C H
B
A
I Một số hệ thức:
1) c2 = ac', b2 = ab' a2 = b2 + c2 2) h2 = b'c'
3) ah = bc 4) 2 2 2
-Với tam giác đều cạnh là a, ta cĩ:
2
II Tỉ số lượng giác của gĩc nhọn
1 Định nghĩa:
SinB ;CosB
tan B ;CotB
2 Tính chất:
Khi α+ β = 900 Ta cĩ:
;
* Định lý: Nếu hai gĩc phụ nhau thì: Sin gĩc này bằng cơsin của gĩc kia; tang của gĩc này bằng cơtang của gĩc kia
- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:
- Chú ý: +) 0 sin 1; 0 cos <1;
+) Khi gĩc tăng từ 0o đến 90o thì sin và tan tăng cịn cos và cot giảm
Trang 2X X
B A
2x 12 15,6
// //
K
B
A
BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo
vuông góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó
Bài giải sơ lược:
Kẻ AH CD ; BK CD Đặt AH = AB = x HK = x AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra : DH = CK =
10 2
x
Vậy HC = HK + CK = x +
10 2
x
=
10 2
x
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
Ta có : AH2 = DH CH hay
2 10 10
.
5x2 = 100 Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = – 2 5(loại)
Vậy : AH = 2 5
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao
ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC
Giải: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x
Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 15,62x2
Từ KBC HAC
BC KB
AC AH
hay 2 2
15,6 15,6
x
x
Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2
Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
Bài Tập 3 : Cho ABC A: 900 Qua trung điểm I của AC, dựng ID BC
Chứng minh : BD2 CD2 AB2
Giải: Hạ AH BC Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình)
Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2
Trang 3F E
H B
C A
= BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2
= BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC
= BC2 – AC2 = AB2
( Chú ý : AB 2 = BC 2 – AC 2 )
Bài Tập 4 : Cho ABC vuông tại A Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB,
AC Chứng minh rằng: a)
3
b) BC BE CF = AH3
Giải: a) Trong AHB có HB2 = BE BA (1) ;
AHC có HC2 = CF CA (2 )
Từ (1) và (2) có :
2
HC FC AC (1)
Trong ABC có: AB2 = BH BC và AC2 = HC BC suy ra
2 2
(2)
Từ (1) và (2) Ta có :
3
b) ABC
EBH
Thay
2
(3) Tương tự ta cũng có
3 2
AC CF BC
( 4) Từ (3) và (4) Ta có : BE CF =
3 3 4
.
AB AC
BC
Mà AB AC = BC AH nên BC BE CF =
3
BC
= AH3
Bài 5: Cho hình vuông ABCD Qua A, vẽ cát tuyến
Bất kì cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F
Chứng minh : 2 2 2
AE AF AD
Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho BE = HD.
Ta có : ABEADH ( c – g –c ) )AEAH
Áp dụng hệ thức lựơng cho AHF : AF 90 ;H 0 ADHF
Trang 43,6 6,4
9
34
N
A
C
AH AF AD nên 2 2 2
AE AF AD
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có A 1200, tia Ax tạo với
Tia AB góc Ax 15B o, cắt BC, CD lần lượt tại M, N Chứng minh: 2 2 2
3
AM AN AB
Giải: Từ A, dựng đường thẳng vuông góc với AN
Cắt CD tại P, hạ AH CD.Ta có : ABM ADP ( g – c – g))AM AP
Áp dụng hệ thức lượng cho NAP NAP: 90 ,0 AH NP
AP AN AH nên 2 2 2
AM AN AH (1)
Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD =
3
2 AB (2)
Thay (2) và (1) Ta có :
2
3 2
AM AN
AB
3
BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB 9, AC 6,4, AN 3,6; AND 900, DAN 340 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ABN c) CAN d) AD.
Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB 9, AC 6,4, AN 3,6; AND 900, DAN 340 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ABN c) CAN d) AD.
Bài giải
a) CN AC2 AN2 6, 42 3,62 5, 2915
b)
9
ABN 23 34'41''0 c)
6,4
AN CAN
AC
CAN 55 46'16''0
Trang 518
8
5
Q
P
150
18
8 5
H K
Q
P
d) AN AD.cosA AD .cos340
3,6
4,3426
AN
Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết QPT 180, PTQ 1500, QT 8, TR 5
Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR
Hướng dẫn : Từ T và R hạ các đường vuông góc với PQ
Bài giải
a) Xét PTQ, kẻ đường cao TK , ta có PQT 1800 1500 180 120
0
TK TQ Q ; TK PT.sinP PT .sin180 PT.sin180 8.sin120;
0 0
8.sin12
5,3825 sin18
b) Ta có PR PT TR 5,3825 5 10,3825 cm;
Kẻ đường cao RH, ta có RH PR.sinP10,3825.sin180 3, 2084
Xét PTQ, ta có P18 ,0 Q 120: PK PT.cosP5,3825.cos180 5,1191;
0
QK QT Q PQ PK KQ 5,1191 7,6085 12,7276
PQR
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm Trên cạnh BD lấy điểm C sao
cho BC = 3 cm Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E
a) Tính AD b) Tính các góc BAD, BAC
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD
d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D
Hướng dẫn câu c: Hạ CI AD Chứng minh : AB = CI
Trang 6I
E
A
B
D C
60
C
B
A
P
H
60
C
B
A
P
Giải :a) Áp dụng định lí Pitago Ta có :
AD AB2BD2 6282 10cm
b) Áp dụng tỉ số lượng giác Ta có :
8
10
BD
AD
3
6
BC
AB
(*) c) Hạ CI AD Ta có : ICD BAD ( g-g)
5 6 3 10
nên ABC AIC(CH-CGV) AI AB6cm
Suy ra :
1 2
CI tgCAI
AI
(**)
Từ (*) và (**) Ta có : BAC IAC hay AC là tia phân giác của BAD.
d) Mặt khác : BAC E ( cặp góc soletrong) nên E IAC hay ADE cân tại D
Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; Bˆ= 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) Hãy tìm
a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ?
Hướng dẫn :
Câu a : Từ KH = BC.CosA
AH
KH BC
AB
ABC AHK
Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và chú ý 0
A 60
Hướng Dẫn
a) Kẻ AH BC ; AHB tại H
AH = AB SinB
= 60.Sin300 = 60.2
1
= 30
AHC ( Hˆ = 1v) nên AH = AC Cos400
AC = Cos400
AH
= 0,7660
30
= 39,164
APC có ( Pˆ= 1v) nên AP = AC.Cos 200 = 39,164 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198
Trang 7I M K
H
B
b) APC ( Pˆ= 1v) nên CP = AC Sin200 = 39,164 0,342 = 13, 394
Bài 5: Cho ABC có 0
A 60 Kẻ BH AC và CK AB
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M Chứng minh MKH là tam giác đều
Bài 5: Cho ABC có 0
A 60 Kẻ BH AC và CK AB
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M Chứng minh MKH là tam giác đều
Giải : a) AHB AKC ( g-g)
và A chung
Suy ra : AHK ABC
Mặt khác :
Hay HK = cosA.BC
b)
os60
2
Mặt khác : HM = KM =
1
2BC ( Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) nên HK = HM = KM hay MKH là tam giác đều
Bài 6: Cho ABC (µA= 900 ) Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF BC
Nối AF và BE
a) Chứng minh AF = BE.cosC
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE
c) AF và BE cắt nhau tại O Tính sin AOB·
Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài 5.
Câu b: Sử dụng tính chất 2 diện tích miền đa giác hình học 8
Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vuông góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE Suy ra sin AOB·
Trang 8F
E
B
K
H O
F
E
B
Bài 6: Cho ABC (µA= 900 ) Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF BC
Nối AF và BE
a) Chứng minh AF = BE.cosC
b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE
c) AF và BE cắt nhau tại O Tính sin AOB·
Giải: a) CEF CBA ( g-g)
CF AC
CE BC
nên CFA CEB ( c -g- c)
AC
BE BC BE
Vậy AF = BE.cosC
b) Vì ABC (µA= 900 )
nên AB = SinC BC = 0,6.10 = 6cm
8
nên AE = EC = 4cm
Mặt khác : EF = SinC EC = 0,6 4 = 2,4cm
3, 2
( Định lí Pitago)
SABFE = SABC - SCFE
EF 6 8 2, 4 3, 2
2AB AC FC 2 = 20,16 (cm2)
c) Hạ AH BE; FK BE
Ta có : SABFE = SABE + SBFE
1
F sinAOB
2AO SinAOB BE O BE
(1)
mà + BE = 52 ( Định lí Pitago) (2)
+ ABC FEC ( g - g)
AC BC
FC EC
và C chung nên ACF BCE ( c-g-c) nên
BE BC
8
10
AC BE BC
(3)Từ (1), (2) và (3) Ta có : SinAOB =
ABFE
AF 52 0,8 52 65
BE
Trang 9H
C
M
K
H
D A
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( µB= 900 ) Lấy điểm M trên cạnh AC
Kẻ AH BM, CK BM
a) Chứng minh : CK = BH.tan BAC b) Chứng minh :
2
MC BH.tan BAC
Hướng dẫn :
Câu a : Tương tự cách giải bài 5 Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần 2
Giải: a) Ta có : AHB BKC ( g - g)
Vì K H 900; BCK ABH ( cùng phụ với CBK)
CK BH BH tgBAC
b) Từ câu a), ta có : CK=BH.tgBAC· mà
MC CK
MA AH Suy ra :
tan
MC BH BAC
MA AH (1) Mặt khác : AHB BKC ( g - g)
BK BC
AH AB =
AH AB BK =
tgBAC
BK ( 2) Thay (2) vào (1) Ta có :
·
2
MC BH.tan BAC
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD Kẻ CH AD
và CK AB a) Chứng minh CKH BCA
b) Chứng minh HK = AC.sin BAD·
c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD· = 600, AB = 4 cm và AD = 5 cm
GIẢI:
a) BKC DHC ( g - g)
Vì K H 90 ;0 D B ( cùng bằng A )
hay
HC DC HC AB (*)
Mặt khác : Xét tứ giác AKCH
Trang 10L H
K O
C
N M
Q
P D
H
E
D
A
Ta có : A HCK 1800; A ABC 1800
Suy ra : ABC HCK (**)
Từ (*) và (**) Ta có : CKH BCA( c-g-c)
mà BAD KBC ( cặp góc đồng vị)
nên HK AC sinBAD
c) SAKCH = SABCH + SBKC = 2 2
CH
=
os 2
BC AD C A AB
SinA AB
+
os
2
C A BC SinA BC
=
0
5 5 4 os60 os60 5 60 5
4 60
Sin
=2 ( 10+4cos600).sin600 +
25 sin 60 os60
2
c
26.2
Bài 9: Cho ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD C/ minh: tanB.tanC = 2
H
E
D
A
Giải : tan
AD B
BD ; tan cot
BD
HD
nên tanB.tanC =
AD BD AD
BD HD HD mà AD = 2HD nên tanB.tanC =
2
2
HD HD
Bài 10: Cho hai hình chữ nhật có 2 kích thước 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao cho các cạnh hình
chữ nhật song song với nhau
Tính diện tích tứ giác?
Trang 11H M
A
P D
A
B M
Q
C N
Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ =
1
2AH NQ CK NQ
mà AH = CosOAH AO ; CK C OCK COos ;
+ OAH OCK ( cặp góc soletrong)
ANCQ
1
2 C OAH NQ AO OC
=
1 os
2C OAH AC NQ
Ta chứng minh số đo OAH không đổi
Thật vậy : OAH 90 0 AOH 90 0 OCD OLC
( Tính chất góc ngoài đỉnh O)
mà OLC 900 MQN
Suy ra : OAH 90 0 OCD 90 0 MQN MQN OCD
( Cố định ) Vậy SANCQ = 12C OAH AC NQos
=
1 os
2C MQN OCD AC NQ
Và tgMQN =
3 5
MN
NQ MQN 30 57 ' 0 ; OCD 33 41'0
Vậy :SANCQ = 12Cos2 44' 340 52 20,9998 21
(cm2)
Bài tập 11: Cho ABC B: 60 ;0 C 800 Tính sđ góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM
Giải: Ta có : tan =
MH AH
Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH )
= 2MH
Trang 1258
40
D
E
O H
D B
C A
2
BH HC
mà tan ; tan
nên MH =
1 1 tan tan 2
AH
Vậy
tan tan tan
AH
0
11 20'
Bài 12: Cho ABC, phân giác AD, đường cao CH và trung tuyến BM gặp nhau tại một điểm Chứng minh : CosA = bCosB
Bài 13: a) Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, D 40 , F 58 0 0 Kẻ đường cao EI của tam giác đó Hãy tính:
b) Giải tam giác vuông ABC, biết rằng A 90 0, AB = 5, BC = 7
Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng Ta có :
+ EI = sinD DE = sin 400.7 4,5 (cm)
4,5
5,3 58
EI
SinF Sin (cm)
b) AC BC2 AB2 72 52 4,9(cm)
CosB
5 7
AB
BC
44 25'
B
+ C 900 B 45 35'0
Trang 13D H
A
C B
Bài 14: Cho ABC A: 90 ;0 AB5cm BC; 13cm Vẽ phân giác AD, đường cao AH
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC
b) Từ H, kẻ HK AC Chứng minh : ABC KAH
c) Tính độ dài đoạn thẳng AK và KC ?
Giải :
a) Áp dụng định lí Pitago, ta có :
AC BC AB cm
+ Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có :
BD CD
AB AC
13 17
AB AC AB AC
Suy ra :
5 3
BD cm
CD =
12 9
17 17cm
b) ABC KAH ( g-g)
c) Ta có : AH BC = AB AC
3
13 17
AB AC
BC
Từ ABC KAH
131 1 169
; KC
38 10
169cm
BÀI TẬP VỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Bài 1: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng
dần
a Cot 40o, sin 50o, tan 70o, cos 55o
b Sin 49o, cot 15o, tan 65o, cos 50o, cot 41o
Bài 2:
a) Biết sin =
5
13, hãy tính cos , tan , cot b) Biết tan =
12
35, hãy tính sin , cos , cot c) Tìm x biết tan x + cot x = 2
d) Biết cos =
3
4, hãy tính sin , tan , cot e) Biết cot =
8
15, hãy tính sin , cos , tan
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o
b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o
Trang 14c) A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 –
1 2
Bài 4: C/minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn
a) (cos - sin )2 + (cos + sin )2 b)
(cos sin ) (cos sin )
cos sin
Bài 5: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, các cạnh BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh rằng:
S ∆ ABC= 1
2 a c sin B=
1
2 AB BC sin B
Áp dụng để tính diện tích tam giác ABC biết AC = 10, BC = 15, C=60^ o
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.
a) Chứng minh răng:
sin A sin Bsin C
b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?
Bài 7: Cho biểu thức
1 2sin cos
A
sin cos
với 45o a) Chứng minh rằng
sin cos A
sin cos
b) Tính giá trị của A biết
1 tan
3
Bài 8: Hãy đơn giản các biểu thức
a 1−sin2a b (1−cosa) (1+cosa) c sina−sina cos2a
d sin4a+cos4a+2 sin2a cos2a e tan2a−sin2a tan2a g cos2a+tan2a cos2a
Bài 9: Chứng minh các đẳng thức sau :
a) 1+ tan2x =
1 cos 2x b) 1+ cot2x =
1 sin 2x
c) cos4x – sin4x = 2cos2x -1 d) sin6x + cos6x = 1- 3.sin2x.cos2x
Bài 10: Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi 0o<α<90 o .
cotg2α−cos2α
cot 2α +
sinα cosα cotα =1
Bài 11: Cho tam giác ABC có ^A=90 o , BC=a không đổi, C=α (0^ o<α<90 o)
a Lập công thức để tính diện tích tam giác ABC theo a và α
b Tìm góc α để diện tích tam giác ABC là lớn nhất Tính giá trị lớn nhất ấy và vẽ hình minh họa
Bài 12: Cho tam giác ABC, ^A=90 o , AB< AC , trung tuyến AM, ^ACB=α , ^ AMB=β
Chứng minh rằng: (sinα +cosα)2=1+sinβ
Bài 13: Cho hình thang có độ dài hai đường chéo lần lượt là 9 cm và 12 cm.
a Tính diện tích hình thang khi tổng độ dài của hai đáy là 15 cm
b Tính diện tích hình thang khi tổng độ dài của hai đáy là 16 cm.
Trang 15Bài 14: Chứng minh rằng sin < tg ; và cos < cotg
Bài 15: Tìm x:
a 3 cosx+2 sin(90o−x)=4,15
b 2 sin2x +cos2x=1,8281
c cos 2x−sin2x=0,5
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Đặt BC = a; AC = b; AB = c Chứng
minh rằng : a) AH = a.sinB.cosB b) BH = a.cos2B c) CH = a.sin2B
Bài 17: Tam giác ABC có góc B= 300 ; góc A= 450 ; AB= a Tính khoảng cách từ C đến cạnh
AB
Bài 18: Một tam giác cân có đường cao ứng với đáy đúng bằng độ dài đáy Tính các góc của
tam giác đó
Bài 19: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, C=50^ o Biết AB = 2; AD = 1,2 Tính diện tích hình thang
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB = AC = a ) Phân giác của góc B cắt AC tại D
a) Tính DA ; DC theo a Tính tan22030’
Bài 21: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường
hợp: a) ^A=40 o b) ^A=140 o
Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13 cm ; BC = 10 cm Tính cos A
Bài 23: a Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD
Biết AB = 6, AC = 9 và ^A=68 o Tính độ dài AD
b Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16 Tính góc B và góc C
c Tam giác ABC cân tại A, B=65^ o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại C, phân giác CD Cho BC = a; AC = b Chứng minh :
0
CD =
( )sin 45
ab
a b
Bài 25*: Cho tam giác ABC có các góc nhọn A và B Biết ^A=a o , ^ B=b o , a>b Chứng minh rằng:
a ¿sin (a+b )=sina cosb+sinb cosab¿ sin (a−b)=sina cosb−sinb cosa
c¿ cos (a+b) =cosa cosb−sina sinb d¿ cos (a−b) =cosa cosb+sina sinb
Từ đó suy ra:
a¿cos 2 x=1−2 sin2x=2 cos2x−1=1−tan
2
x
1+tan2x b¿sin 2 x=2 sinx cosx=
2tanx
1+tan2x
c¿tan 2 x= 2tanx
1−tan2x
Bài 26: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC = 700
Bài 27: Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác
Biết IA=2√5 , IB=3. Tính AB